Lớp các MD5 đại số với IDEAL dẫn suất không giao hoán và các MD5 nhóm tương ứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Mộng Tuyền LỚP CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT KHƠNG GIAO HỐN VÀ CÁC MD5-NHĨM TƯƠNG ỨNG Chun ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM TẠ Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Anh Vũ, người thầy kính u nhiệt tình giúp tác giả tiếp cận với lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, đại số Lie nhiều kiến thức quan trọng khác suốt q trình tác giả học cao học Từ đó, tác giả giải tốn để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người thầy tận tâm nghiêm khắc giúp tác giả trưởng thành nhiều mặt tri thức Tác giả xin chân thành cảm ơn: Quý Thầy hội đồng phản biện dành thời gian đọc luận văn cho nhiều nhận xét hữu ích Quý Thầy Cơ khoa Tốn Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho tác giả kiến thức quý báu, cần thiết để tác giả nâng cao trình độ chun mơn, phương pháp làm việc hiệu trình học tập giảng dạy Q Thầy Cơ Phịng Khoa học Công nghệ Sau Đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập làm luận văn trường Quý Thầy Cô khoa Tiểu học Mầm non, khoa Toán học, Ban giám hiệu trường Đại học Đồng Tháp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học, nghiên cứu làm luận văn Các tác giả tài liệu mà tác giả tham khảo Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, thầy cô, đồng nghiệp bạn học viên cao học động viên giúp đỡ tác giả thời gian học tập làm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2010 Nguyễn Thị Mộng Tuyền MỤC LỤC LỜI CẢM TẠ T 0T MỤC LỤC T T DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU T 0T MỞ ĐẦU T T Chương :LỚP CÁC MDn-NHÓM VÀ MDn-ĐẠI SỐ T T 1.1.Nhóm Lie T 0T 1.2.Đại số Lie T 0T 1.2.1.Khái niệm đại số Lie T T 1.2.2.Đại số Lie ideal 11 T 0T 1.2.3.Đồng cấu đại số Lie 12 T 0T 1.2.4.Biểu diễn quy đại số Lie 13 T T 1.2.5.Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh 13 T T 1.3.Sự liên hệ nhóm Lie đại số Lie 14 T T 1.3.1.Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie cho 14 T T 1.3.2.Nhóm Lie liên thơng đơn liên tương ứng với đại số Lie 15 T T 1.3.3.Ánh xạ mũ exponent 16 T 0T 1.4.Biểu diễn phụ hợp K-biểu diễn lớp MD-nhóm MD-đại số 16 T T 1.4.1.K-biểu diễn nhóm Lie 16 T T 1.4.2.Các MDn-nhóm MDn-đại số 18 T T CHƯƠNG : LỚP CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 19 T T 2.1.Định lý phân loại 19 T 0T 2.2.Một số bổ đề 22 T 0T 2.3.Chứng minh định lý 2.1 24 T 0T CHƯƠNG 3: MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT KHƠNG GIAO HỐN 37 T T 3.1 Một vài bổ đề 37 T 0T 3.2 MD5-đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn 39 T T 3.2.1 Một vài ví dụ MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ khơng giao hốn 3-chiều 39 T T 3.2.2 MD5-đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn chiều 41 T T 3.3 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm tương ứng với MD5-đại số xét.45 T T 3.3.1 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo 45 T T 3.3.1.1 Khái niệm K-quỹ đạo nhóm Lie 45 T T 3.3.1.2 Một số bổ đề 46 T 0T 3.3.2 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thơng đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất thứ khơng giao hoán chiều 47 T T KẾT LUẬN 50 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 T 0T DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut (V ) : Nhóm tự đẳng cấu khơng gian vectơ V Aut ( G ) : Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G b ( n,  ) : Không gian ma trận tam giác trường   : Trường số phức C ∞ (V ) : Không gian hàm khả vi vô hạn lần đa tạp V End (V): Không gian đồng cấu đa tạp V exp: Ánh xạ mũ exp G : Nhóm Lie G * : Khơng gian đối ngẫu đại số Lie G GL(n, ) : Nhóm tuyến tính tổng qt cấp n hệ số thực gl(V): Đại số Lie tuyến tính tổng quát gl(n,  ): Đại số Lie ma trận cấp n  Lie(G): Đại số Lie nhóm Lie G Mat (n, ) : Tập hợp ma trận vuông cấp n hệ số thực n(n,  ): Không gian ma trận tam giác chặt chẽ cấp n trường  sl(n,  ): Không gian ma trận cấp n có vết khơng trường   : Trường số thực tr ( A ) : Vết ma trận A Z ( G ) : Tâm đại số Lie G Ω F : Quỹ đạo Kirillov qua F MỞ ĐẦU Vấn đề mà chúng tơi quan tâm có nguồn gốc từ tốn mơ tả cấu trúc C*P P đại số phương pháp K-hàm tử Năm 1943, I Gelfand A Naimark đưa khái niệm C*-đại số Các C*-đại số P P P P nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng Tốn học Vật lí, Cơ học Tuy nhiên, vấn đề mô tả cấu trúc C*-đại số trường hợp tổng quát lại P P phức tạp cịn tốn mở Năm 1974, Đỗ Ngọc Diệp sử dụng K-hàm tử đồng điều Brown-DouglasFillmore (còn gọi K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) nhóm P P P P phép biến đổi Affine đường thẳng thực  Bởi phương pháp mô tả cấu trúc C*P P đại số K-hàm tử BDF gọi phương pháp Đỗ Ngọc Diệp Năm 1975, J Rosenberg sử dụng phương pháp để mô tả C*-đại số C*(Aff  ) P P P P nhóm phép biến đổi Affine đường thẳng phức  C*-đại số vài P P nhóm Lie giải khác Năm 1977, Đỗ Ngọc Diệp cải tiến phương pháp để đặc trưng C*-đại số kiểu I mở rộng lặp nhiều tầng Đến lúc này, KP P hàm tử BDF dường khơng cịn thích hợp với việc mơ tả C*-đại số nhóm P P Lie khác C*-đại số khác Một cách tự nhiên nảy sinh hai vấn đề lớn P P - Vấn đề 1: Tổng quát hóa K-hàm tử BDF theo cách để mơ tả lớp rộng C*-đại số P P - Vấn đề 2: Đi tìm lớp C*-đại số lớp nhóm Lie mà C*-đại số P P P P chúng có khả mơ tả K-hàm tử mở rộng Năm 1980, G G Kasparov nghiên cứu vấn đề thứ thành cơng việc tổng qi hóa K-hàm tử BDF thành K-song hàm tử tốn tử (cịn gọi KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Ngay sau đó, Kasparov sử dụng KK-hàm tử để mơ tả C*-đại số C*(H ) nhóm Heisenberg H P P P P R R R R Vấn đề thứ hai có liên quan mật thiết với phương pháp tiếng đóng vai trị then chốt lý thuyết biểu diễn nhóm Lie – phương pháp quỹ đạo Kirillov khởi xướng vào năm 1962 Năm 1980, phương pháp quỹ đạo Kirillov gợi ý để Đỗ Ngọc Diệp đề nghị xét lớp MD-đại số MD-nhóm Lớp đơn giản phương diện phân tầng K-quỹ đạo, nên nói chung C*-đại số P chúng mơ tả nhờ KK-hàm tử P Giả sử G nhóm Lie thực giải n chiều (n số tự nhiên dương) G gọi MDn-nhóm K-quỹ đạo khơng chiều có số chiều số k (chẵn) khơng vượt q n Khi k = n G cịn gọi MDn -nhóm Đại số Lie(G) MDn-nhóm (tương ứng MDn -nhóm) gọi MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số) Rõ ràng lớp MD MD Đến đây, toán lớn đặt phân loại MD-đại số đồng thời mơ tả C*-đại số P MD-nhóm phương pháp P KK-hàm tử Năm 1984, Hồ Hữu Việt phân loại triệt để MDn -đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán  n , đại số Lie(Aff  ) đại số Lie(Aff  ) Ngay sau đó, Hồ  ) Aff  , Aff  Hữu Việt dùng phương pháp KK-hàm tử để mô tả C*( Aff P P phủ phổ dụng nhóm Aff  Như vậy, với kết có trước Đỗ Ngọc Diệp Rosenberg, toán MD -đại số MD -nhóm xem giải triệt để Thế MD-đại số MD-nhóm sao? Đáng tiếc chúng, vấn đề trở nên phức tạp nhiều Chú ý nhóm (tương ứng đại số) Lie thực giải khơng q 3-chiều MD-nhóm (tương ứng, MD-đại số), chúng liệt kê hết từ lâu lý thuyết đại số Lie Bởi vậy, cần MDn-nhóm với n ≥ Trong năm 2005 - 2007, Lê Anh Vũ phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán ba bốn chiều Năm 2008, Lê Anh Vũ Kar Ping Shum phân loại tất MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hốn chiều khơng q bốn Ngồi ra, quan tâm nghiên cứu MD-nhóm MD-đại số cịn kiện quan trọng sau đây: MD-nhóm, họ K-quỹ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo theo nghĩa A Connes Các phân gọi MD-phân liên kết với MD-nhóm xét Phân khái niệm xuất xứ từ lý thuyết phương trình vi phân kể từ cơng trình G Reed năm 1952, lý thuyết phân trở thành nhánh thuộc lĩnh vực Tơpơ – Hình học nhanh chóng phát triển Năm 1982, nghiên cứu đa tạp phân lá, A Connes đưa khái niệm phân đo gắn phân đo với C*-đại số mà gọi C*-đại số phân P P P P Lập tức nẩy sinh câu hỏi liệu C*-đại số phân có thích hợp với phương P P pháp KK-hàm tử hay không? Câu trả lời khẳng định Năm 1985, A M Torpe dùng KK-hàm tử để mô tả thành công C*-đại số phân Reed xuyến 2P P chiều Đến đây, lại xuất thêm tốn mơ tả C*-đại số MD-phân P P Đây lí để quan tâm nghiên cứu lớp MD-đại số MDnhóm Cụ thể, trước hết chúng tơi tìm hiểu lớp MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán mà Lê Anh Vũ Kar Ping Shum phân loại dựa vào kỹ thuật họ cải tiến (nếu cần), giới thiệu vài MD5-đại số với ideal dẫn xuất không giao hốn xét MD5-nhóm tương ứng số vấn đề liên quan Bởi thế, đề tài mang tên “lớp MD5-đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn MD5-nhóm tương ứng” Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Giới thiệu khái niệm nhóm Lie, đại số Lie, K-biểu diễn nhóm Lie lớp MD-nhóm, MD-đại số Chương 2: Chương trình bày chi tiết định lý phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán Lê Anh Vũ Kar Ping Shum trình bày [Vu-Sh] chứng minh tường minh định lý Chương 3: Đưa ba MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ không giao hốn chiều mơ tả tranh hình học MD5-đại số Phần cuối chương trình bày mệnh đề chứng tỏ khơng tồn MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ chiều khơng giao hốn Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu Chương :LỚP CÁC MDn-NHÓM VÀ MDn-ĐẠI SỐ Chương chủ yếu đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau, giới thiệu đối tượng nghiên cứu lớp MD5-nhóm MD5-đại số mà quan tâm Trước hết, nhắc lại khái niệm nhóm Lie đại số Lie (thực) Nhiều mệnh đề, định lý phát biểu không chứng minh Độc giả quan tâm đến chứng minh muốn tìm hiểu sâu khái niệm xin xem tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch] 1.1.Nhóm Lie Định nghĩa 1.1 Tập hợp G gọi nhóm Lie điều kiện sau thỏa mãn: (i) G nhóm Lie (ii) G đa tạp khả vi (iii) Phép toán nhóm G × G → G , ( x, y )  xy −1 khả vi Ta không cần ý đến lớp khả vi đa tạp G , theo định lý GleasonMontgomery-Zippin, nhóm Lie lớp 0 (tức đa tạp tơpơ) đưa vào đa tạp lớp ∞ tương thích với cấu trúc nhóm Tùy vào đa tạp khả vi thực hay phức mà nhóm Lie gọi nhóm Lie thực hay phức Nhóm Lie G gọi giao hốn phép tốn nhóm giao hốn Chiều nhóm Lie G chiều đa tạp khả vi G Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm vừa đa tạp khả vi nên đưa nhiều cơng cụ đại số, giải tích, tơpơ, hình học vi phân,… để nghiên cứu cấu trúc nhóm Lie Ví dụ 1.1 a Đường thẳng thực  với phép toán (+) thơng thường nhóm Lie giao hốn b Đường trịn đơn vị S với phép tốn (.) (có thể xem S tập hợp số phức có mođun 1) nhóm Lie giao hoán c Tập hợp GL ( n,  ) ma trận vuông cấp n không suy biến với phép tốn nhân ma trận nhóm Lie (khơng giao hoán n ≥ 2) Đặc biệt, n = GL ( n,  ) = * d Nếu G1 , G2 nhóm Lie tích G1 × G2 nhóm Lie Tương tự cho tích nhiều nhóm Lie Những trường hợp đặc biệt thường gặp nhóm Lie với phép cộng  n =  ×  × ×  , xuyến n-chiều T n = S × S × × S e Nhóm phép biến đổi affine đường thẳng thực  với tơpơ tự nhiên nhóm Lie Nhóm ký hiệu aff  Cụ thể, nhóm aff  = {( a, b ) / a ∈  , b ∈ } * 1.2.Đại số Lie 1.2.1.Khái niệm đại số Lie Định nghĩa 1.2 Một không gian vectơ  trường  gọi đại số  (hay -đại số)  có thêm phép nhân () :  ×  →  ( x, y )  xy cho tiên đề sau thỏa mãn: (A ) Phép nhân kết hợp: ( xy ) z= x ( yz ) , ∀x, y, z ∈  R R (A ) Phép nhân song tuyến tính: R R ( λ1 x1 + λ2 x2 ) y = λ1 ( x1 y ) + λ2 ( x2 y ) x ( λ1 y1 + λ2 y2 ) = λ1 ( xy1 ) + λ2 ( xy2 ) với ∀λ1 , λ2 ∈ Κ , x1 , x2 , y1 , y2 , x, y ∈  Tùy vào trường  thực hay phức mà đại số  gọi đại số thực hay phức Đại số  giao hốn hay có đơn vị phép nhân giao hốn hay có đơn vị Số chiều đại số  số chiều không gian vectơ  Định nghĩa 1.3 Giả sử  trường Một khơng gian vectơ G trường  gọi đại số Lie trường  (hay  -đại số Lie) G cho phép nhân [.,.] (được gọi móc Lie), [.,.] : G × G → G ( x, y )  [ x, y ] cho tiên đề sau thỏa mãn: (L ) Song tuyến tính: R R [λ1 x1 + λ2 x2 , y ] = λ1 [ x1 , y ] + λ2 [ x2 , y ] [ x, λ1 y1 + λ2 y2 =] λ1 [ x, y1 ] + λ2 [ x, y2 ] ∀λ1 , λ2 ∈ Κ , x1 , x2 , y1 , y2 , x, y ∈ G (L ) Phản xứng: [ x, x ] = 0, ∀x ∈ G R R (L ) Thỏa mãn đồng thức Jacobi: R R [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0, ∀x, y, z ∈ G Số chiều đại số Lie G số chiều khơng gian vectơ G Khi trường  trường số thực  (hay phức  ) G gọi đại số Lie thực (hay phức) Cho G không gian hữu hạn chiều trường  Giả sử số chiều G n Cấu trúc đại số Lie G cho móc Lie cặp vectơ thuộc sở {e1 , e2 , , en } chọn trước G sau: ei , e j  = n ∑c e , k ij k k =1 1≤ i < j ≤ n Các hệ số cijk , 1≤ i < j ≤ n gọi số cấu trúc đại số Lie G sở chọn Nhận xét 1.1 (i) Nếu trường  có đặc số khác ta dễ dàng kiểm tra tiên đề (L2 ) định R R nghĩa 1.3 tương đương với (L ’): R R − [ y, x ] , [ x y ] = ∀x, y ∈ G (ii) Nếu [ x, y ] =0, ∀x, y ∈ G , ta nói móc Lie tầm thường đại số Lie giao hoán Trên phép toán Lie nói chung phép nhân khơng giao hốn khơng kết hợp Nội dung luận văn đề cập nghiên cứu đại số Lie thực nên khơng sợ nhầm lẫn ta dùng thuật ngữ đại số Lie để đại số Lie thực Ví dụ 1.2 a Khơng gian  n với móc Lie [ x, y ] ≡ (tầm thường) hiển nhiên đại số Lie Đại số Lie mà móc Lie tầm thường, gọi đại số Lie giao hốn b Khơng gian  với tích có hướng thông thường đại số Lie thực chiều c Cho  [ x, y=] đại số trường  Với cặp xy − yx ,  ( x, y ) ∈  , ta định nghĩa trở thành đại số Lie Nói riêng, đại số Lie Mat(n,) ma trận vng cấp n  đại số Lie với móc Lie [ A, B ] = AB − BA, ∀A, B ∈ Mat ( n,  ) , kí hiệu gl(n,  ) d Đặc biệt, xét đại số tốn tử tuyến tính End(V)  -khơng gian vectơ V Khi đó, End (V ) trở thành đại số Lie với móc Lie xác định sau: [ A= , B] A  B − B  A , ∀A, B ∈ End (V ) Đại số Lie gọi đại số Lie tuyến tính tổng quát kí hiệu gl(V) ad X 0  0 = 0  * *  0 * * 0 0  0 0 0 0  * −α  * − β  ( ) Theo bổ đề 3.1 ta có trace ad X = , suy α = Do [ X , Y ] = , suy G1 giao hoán Hệ 3.1 Nếu G MD5-đại số có ideal dẫn xuất thứ G1 khơng giao hốn, số chiều G1 Bổ đề 3.3  G , G  ⊂ G Chứng minh Giả sử Z ∈  G , G  , Z tổ hợp tuyến tính móc Lie [ X ,Y ] với X ∈ G , Y ∈ G Để chứng minh Z ∈ G ta cần chứng minh [ X , Y ] ∈ G ∈  G , G  , X ∈ G nên X tổ hợp tuyến tính phần tử dạng [ X , X ] , X , X ∈ G Vì ta cần chứng minh [ X , X ] , Y  ∈ G Áp dụng đồng thức Jacobi X , X , Y ta có kết cần chứng minh Bổ đề 3.4 Cho G MD5-đại số Nếu G có ideal dẫn xuất thứ 4-chiều khơng giao  hốn dim = ΩF   , ∀F ∈ G * Chứng minh Giả sử G MD5-đại số, G1 ideal dẫn xuất chiều khơng giao hốn khơng tính tổng quát, ta giả sử G = X1, X , X , X , X , G ⊂ X , X , X Theo mệnh đề 1.5 G giao hoán Với F = α X 1* + β X 2* + γ X 3* + δ X 4* + σ X 5* ∈ G * Xét trường hợp sau: • γ= δ= σ=  0, i, j ∈ {2,3, 4,5} Vì  G1 , G1  = G nên F ,  X i , X = j Bây giờ, giả sử = X i , X j  ∑ C x (i < j ) l =2 l ij i Suy ma trận dạng song tuyến tính BF là: G1 = X , X , X , X ,  − β C122   − β C12  B =  − β C132  − β C142   − β C152 − β C132 − β C142 − β C152   0  0  0   0  2 2 Trong C122 , C132 , C142 , C152 không đồng thời 0, C= C= C= C= 12 13 14 15  X i , X j  ∈ G , ∀i, j Trong trường hợp β ≠ rankB = • F = , dễ thấy rankB = Vì G MD5-đại số nên dim Ω F = rankB = ∨ 2, ∀F ∈ G * * Sau số nhận xét có liên quan: Nhận xét 3.1 Một ma trận vuông thực, phản xứng có hạng chẵn Nhận xét 3.2 Với A, B, C , E , F số thực, ma trận phản xứng T sau: 0 − A − B −C    A −E −F  T= B E −G   0 C F G Khi ta có det T = ⇔ AG + CE = BF Nhận xét 3.3 Phép đổi sở biến đại số Lie hữu hạn chiều thành đại số Lie đẳng cấu với 3.2 MD5-đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn Ta biết rằng, đại số Lie chiều giao hoán, theo mệnh đề 1.5 hệ 3.1 ta cần xét đại số Lie có ideal dẫn xuất thứ khơng giao hốn 3-chiều, 4-chiều ideal dẫn xuất thứ hai giao hoán 3.2.1 Một vài ví dụ MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ khơng giao hốn 3chiều Mệnh đề 3.1 Các đại số Lie với ideal dẫn xuất thứ G1 không giao hoán 3-chiều ideal dẫn xuất thứ hai G giao hoán 1-chiều sau MD5-đại số: (i)  G 5,,3,1 : [ X2, X3] = X4 [ X2, X4 ] = X3 [ X3, X ] = X5 (ii)  G 5,,3,2 : [ X2, X3] = X4 [ X2, X4 ] = −X3 [ X3, X ] = X5 (iii)  G 5,,3,3 : = [ X , X ] X= [ X2, X3] X4 3, [ X1, X ] = = [ X1, X ] [ X2, X4 ] = 2= X5 , [ X3, X ] X4 , −X3 X5 Chứng minh: (i) Lấy F = α X 1* + β X 2* + γ X 3* + δ X 4* + σ X 5* ∈  G 5,,3,1 , α , β , γ , δ , σ ∈  * U = aX + bX + cX + dX + eX ∈  G 5,,3,1 , a, b, c, d , e ∈  Nhắc lại { }  G 5,,3,1 F = KerBF = U∈ G 5,,3,1 | F , [U , X i ] = 0, i = 1, 2,3, 4,5 Khi U ∈  0, i 1, 2,3, 4,5 G 5,,3,1 F ⇔ F , [U , X i ] ==  a  0     b  0 0 ⇔ Bc  =      d  0 e  0     Bằng tính tốn trực tiếp ta thu ma trận B dạng song tuyến tính BF sau: 0 0 0    0 −δ −γ  = B 0 δ −σ 0   0 γ σ 0  0 0 0   0, γ= δ= σ= , suy dim Ω F = Rõ ràng rankB =  rankB 2 2, γ + δ + σ ≠ Vậy  G 5,,3,1 MD5-đại số (ii) Lập luận tương tự ta chứng minh  G 5,,3,2 ,  G 5,,3,3 MD5-đại số 3.2.2 MD5-đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn chiều Mệnh đề 3.2 Khơng tồn MD5-đại số có ideal dẫn xuất khơng giao hoán chiều Chứng minh Giả sử G MD5-đại số chiều với ideal dẫn xuất thứ G khơng giao hốn chiều, khơng tính tổng quát ta giả sử G = X , X , X , X , X G = X , X , X , X Ta xét trường hợp ideal dẫn xuất thứ hai sau: dim G = Không tính tổng quát, ta giả sử G = X Xét móc Lie sau: = [ X1, X ] = [ X1, X ] = [ X1, X ] aX, [X , X ] ∑= i =2 i i e= [ X , X ] h5 X 5 X5, f= [ X , X ] l5 X 5 X5, X, [X , X ] ∑ b= i =2 i i cX , [X , X ] ∑= i =2 i i g= [ X , X ] k5 X 5 X5, 5 [ X , X ] = ∑ di X i , i =2 Do X , X , X ∈ G , theo bổ đề 3.1 ta có ( ( ) ) ( ) trace = ad X trace = ad X trace = ad X ⇔ l5 = k5 = g5 = Mặt khác, áp dụng bổ đề 3.3, ta có d= d= d= Lấy U = aX + bX + cX + dX + fX F = α X1 + β X + γ X + δ X + σ X { } Ta nhớ lại rằng, G F = KerBF = U ∈ G | F , [U , X i ] = 0, i = 1, 2,3, 4,5 , ( BF dạng song tuyến tính G ) Khi U ∈ G F ⇔ F , [U , X i = ] 0, = i 1, 2,3, 4,5 a    b  ⇔ Bc  =   d  f   Bằng tính tốn trực tiếp ta thu ma trận B sau 0 A  = B B  C  D − A − B − C − D − E − F  E −G   F G 0 0 0  với A = a2 β + a3γ + a4δ + a5σ B = b2 β + b3γ + b4δ + b5σ C = c2 β + c3γ + c4δ + c5σ σ , E e= = D d5= f= h5σ 5σ , F 5σ , G Dựa vào bổ đề 3.4 nhận xét 2, ta có AG + CE = BF ⇔ h5 + ci e5 = bi f , i = 2,3,  a2 a3 a4    Do ma trận  b2 b3 b4  khả nghịch, suy h= e= f= điều mâu thuẫn 5 c c c   4 dim G = Vậy trường hợp không xảy dim G = , khơng tính tổng qt ta giả= sử G X , X ≅ 2 Xét móc Lie sau: e4 X + e5 X , [ X , X ] = h4 X + h5 X [ X1, X ] = ∑ X i , [ X , X ] = i =2 f X + f5 X , [ X , X ] = l4 X + l5 X [ X1, X ] = ∑ bi X i , [ X , X ] = i =2 X4] [ X ,= ∑c X , [X i =2 i i ,= X ] g X + g5 X 5 [ X , X ] = ∑ di X i i =2 Theo bổ đề 3.3, ta có c= c= d= d= 3 Tương tự trường hợp 1, cách tính tốn trực tiếp ma trận dạng song tuyến tính BF G sau: 0 A  = B B  C  D với − A − B − C − D − E − F − G  E − H −L  F H 0 G L 0  A = a2 β + a3γ + a4δ + a5σ B = b2 β + b3γ + b4δ + b5σ C= c4δ + c5σ , G = g 4δ + g5σ D= d 4δ + d5σ , H = h4δ + h5σ E= e4δ + e5σ , L = l4δ + l5σ = F f 4δ + f5σ Xét ma trận B , theo bổ đề 3.2 nhận xét bỏ dòng cột ta a2 h4 = b2 f a h = b f  5 AH + CE = BF ⇔  a3h4 = b3 f a3h5 = b3 f5 a a  Do ma trận   khả nghịch (*), suy h= h= f= f= 5  b2 b3  Tương tự bỏ dòng 4, cột ma trận B , ta có a2l4 = b2 g a l = b g  25 , AL + DE = BG ⇔  a3l4 = b3 g a3l5 = b3 g5 từ (*) suy l4= l5= g 4= g5= Điều mâu thuẫn, G ≅  Vậy trường hợp không xảy dim G = , khơng tính tổng quát ta= giả sử G X , X , X ≅ 3 Xét móc Lie sau: [ X , X ] = ∑ X i , [ X , X ] = e3 X + e4 X + e5 X i =2 [ X , X ] = ∑ bi X i , i =2 [ X , X ] = f3 X + f X + f5 X 5 [ X , X ] = ∑ ci X i , [ X , X ] = g3 X + g X + g5 X i =2 [ X , X ] = ∑ di X i i =2 Theo bổ đề 3.3, ta có b= c= d= 2 Do X , X có vai trị nhau, nên phép biến đổi sở thích hợp ta giả sử từ đầu g3 = Do G = X , X , X , X nên a2 ≠ Bằng cách đổi sở thích hợp, ta thu a= 1, a= a= a= Khi ma trận B dạng song tuyến tính BF G 0 A  B = B  C  D − A − B − C − D − E − F − G  E 0 0  F 0 0 G 0  với A = a2 β , E = e3γ + e4δ + e5σ B = b3γ + b4δ + b5σ , F = f3γ + f 4δ + f5σ C = c3γ + c4δ + c5σ , G = g 4δ + g5σ D = d3γ + d 4δ + d5σ 3.1 Nếu f ≠ , cách đổi sở thích hợp xem f= 1, f= f= ' Ta thay X= X − c3 X  X 1' , = X  c4 X + c5 X , nên từ đầu ta giả sử  X , = X  c4 X + c5 X tức c3 = Bây giờ, xét ma trận B Theo nhận xét bổ đề 3.4 b3 = b = c e  b5 = c5e3 BF = CE ⇔  ⇒ b3 = b4 = b5 = c4 = c5 = e4c4 = c5e4 + c4e5 =  c5e5 = Áp dụng đồng thức Jacobi cho X , X , X , ta X = mâu thuẫn Vậy trường hợp không xảy 3.2 Nếu f =0 ⇒ e3 ≠ Ta thay X 3' = ' X − b3 X ta  X , X 3'  =X + e4' X + e5' X , X , X= e3 ' X 3'  b4' X + b5' X  X , = Nên từ đầu ta giả sử [ X , X ] =X + e4 X + e5 X , [ X ,= X ] b4 X + b5 X tức e3 = , b3 = Xét ma trận B song tuyến tính BF G , ta có c3 = c3 = b f = c e 4   4 b4 f = b5 f = c5e5 ⇔ b5 f = BF = CE ⇔  + = + b f b f c e c e 4  4 b f + b f = c4e3 + c3e4 =  4  c= c= c= c5e3 + c3e5 = ⇒ c3 = c4 = c5 = b4 = b5 = Áp dụng đồng thức Jacobi với X , X , X ta  f5d3 = d3 =  =  f f5d ⇔  d5 = f = f d 5  Áp dụng đồng thức Jacobi với X , X , X ta X + A( X , X ) = (trong A( X , X ) biểu thức X X ) mâu thuẫn { X , X , X } độc lập tuyến tính, trường hợp không xảy Vậy trường hợp điều không thỏa mãn Suy không tồn MD5-đại số có ideal dẫn xuất thứ khơng giao hốn chiều 3.3 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm tương ứng với MD5-đại số xét 3.3.1 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo 3.3.1.1 Khái niệm K-quỹ đạo nhóm Lie Cho G nhóm Lie liên thơng đơn liên G đại số Lie nó, G * khơng gian đối ngẫu đại số Lie G Thì K-biểu diễn G G * cho = K( g ) F , X : F , Ad ( g −1 ) X ; ( ∀g ∈ G , ∀F ∈ G * , ∀X ∈ G ) Khi đó, ứng với F G * , K-quỹ đạo Ω F G qua F xác định bởi: = ΩF {K( ) F / g ∈ G} g Đối với nhóm Lie G , quan tâm đến tốn mơ tả K-quỹ đạo Ω F G , ∀F ∈ G * Như biết, luật nhóm G chưa cho cách tường minh mà biết rõ cấu trúc đại số Lie G G nên ta gặp nhiều khó khăn q trình nghiên cứu nhóm Lie G Trong ánh xạ mũ exp G : G → G tính chất tự nhiên lại có ích cho q trình nghiên cứu nhóm Lie Ký hiệu exp G : G → G ánh xạ mũ G exp G : End  G → Aut G ánh xạ mũ nhóm Lie Aut G tự đẳng cấu  -tuyến tính G Nhắc lại vi phân= Ad* ad : G → End  G biểu diễn phụ hợp G G xác định công thức đơn giản: adU ( X = ) [U , X ] , ∀U , X ∈ G Tính tự nhiên ánh xạ mũ thể hình vng giao hốn sau: Ad G  → Aut G expG ↑ Ad exp G = exp.ad ↑ exp ad → End  G G  Với U ∈ G , F ∈ G * , ta xác định phần tử G * ký hiệu FU sau: = FU , X F ,exp ( ad U ) X , ∀X ∈ G 3.3.1.2 Một số bổ đề Bổ đề 3.5 Nếu gọi Ω F K-quỹ đạo G qua F ta ln có bao hàm thức: Ω F ⊃ {FU / U ∈ G} Đặc biệt, exp G tồn ánh đẳng thức xảy Chứng minh Với U ∈ G , đặt = g exp G ( −U ) ∈ G Khi ta có: = FU , X = F ,exp ( ad U ) X F , Ad ( exp G (U ) ) X = F , Ad (= g −1 ) X K ( g ) F , X , ∀X ∈ G Do đó, FU = K ( g ) F nói riêng FU ∈ Ω F Tức {FU / U ∈ G} ⊂ Ω F Nếu giả thiết thêm exp G toàn ánh Theo tính chất tồn ánh ta có: Với g ∈ G tồn U o ∈ G , để g −1 = exp G (U o ) Khi = K( g ) F , X = = F , Ad ( g −1 ) X ( ) F ,exp ad U= X o F , Ad ( exp G (U o ) ) X FU o , X , ∀X ∈ G Do K ( g ) F = FU o {FU / U ∈ G} ⊃ Ω F , nghĩa có đẳng thức = ΩF {FU / U ∈ G} Để tiện cho việc sử dụng phần sau, ta ký hiệu Ω F ( G ) thay cho tập {FU / U ∈ G} Như bao hàm thức viết là: Ω F ( G ) ⊂ Ω F , ∀F ∈ G * Một điều kiện đủ để đẳng thức xảy exp G : G → G toàn ánh Thực ra, nhiều trường hợp điều kiện yếu tính tồn ánh exp G đủ để có đẳng thức Ω F =Ω F ( G ) Cụ thể là: Bổ đề 3.6 Giả sử G liên thông Nếu họ Ω F ( G ) , ∀F ∈ G * lập thành phân hoạch G * Ω F ' ( G ) , ∀F ' ∈ G * điều mở đóng (tương đối) Ω F , ∀F ∈ G * Khi đó, Ω F ( G ) =Ω F , ∀F ∈ G * Mệnh đề 3.3 Giả sử G nhóm Lie thực giải được, đơn liên, hữu hạn chiều G đại số Lie Khi khẳng định sau tương đương: (i) Ánh xạ exp G : G → G vi phơi giải tích (hay G nhóm exponential) (ii) Với ∀X ∈ G , ad X khơng có giá trị riêng phức (trong  ) ảo Hệ 3.2 Nếu G nhóm Lie thực giải được, liên thông hữu hạn chiều với đại số Lie G có tính chất (ii) mệnh đề 3.3 ánh xạ mũ exp G : G → G tồn ánh 3.3.2 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thơng đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất thứ khơng giao hốn chiều Giả sử G nhóm  G 5,,3,1 ,  G 5,,3,2 ,  G 5,,3,3 Ký hiệu G đại số Lie nhóm G G * không gian đối ngẫu đại số Lie G Mỗi U ∈ G có tọa độ ( a, b, c, d , e ) sở ( X , X , X , X , X ) F ∈ G * có tọa độ (α , β , γ , δ , σ ) sở đối ngẫu (X * ) , X 2* , X 3* , X 4* , X 5* ( X , X , X , X , X ) Cuối ta ký hiệu Ω F K-quỹ đạo chứa F G G * ≡   5,3,1 mô tả sau: Mệnh đề 3.4 K-quỹ đạo Ω F chứa F nhóm G = G (i) Nếu λ= δ= σ= Ω F = {F (α , β ,0,0,0 )} : quỹ đạo 0-chiều (ii) Nếu λ= δ= 0, σ ≠ Ω F = {F (α , β , z, t ,σ )} : quỹ đạo 2-chiều (iii) Nếu λ = 0, δ ≠ 0, σ = Ω F = {F (α , y, z, δ ,0 )} : quỹ đạo 2-chiều (iv) Nếu λ ≠ 0, δ = σ =0 Ω F = {F (α , y, γ , t ,0 )} : quỹ đạo 2-chiều (v) Nếu λ ≠ 0, δ ≠ 0, σ = Ω F = {F (α , y, z, t ,0 )} : quỹ đạo 2-chiều (vi) Nếu λ + δ ≠ 0, σ ≠ Ω F = {F (α , y, z, t ,σ )} : quỹ đạo 2-chiều Chứng minh Giả sử với U có tọa độ ( a, b, c, d , e ) ∈ G , ta có • [U , X ] = • [U , X ] = − dX − cX • [U , X= bX − dX 3] • [U , X= bX + cX 4] • [U , X ] = Suy ma trận ánh xạ adU là: 0 0  0 0 0 − d ad= U  0 − c b  0 − d 0  0 b 0  0 c  Ma trận adU có giá trị riêng (bội 5) Từ ta 1 0  0 exp(adU= ) 0 − d  0 − c b 0 − d  0  0 b 0  0 c  Do vậy, tọa độ FX ∈ G * sau: x = α  y =β − d γ − cδ   z =γ + bδ − dσ t = bγ + δ + cσ   s = σ Theo bổ đề 3.5 hệ 3.2, ta suy điều phải chứng minh Bằng tính tốn lập luận tương tự, ta hồn tồn mơ tả tranh K-quỹ đạo MD5-nhóm cịn lại Do đó, ta có mệnh đề sau:  5,3,2 mô tả sau: Mệnh đề 3.4 K-quỹ đạo Ω F chứa F nhóm G = G (i) Nếu λ= δ= σ= Ω F = {F (α , β ,0,0,0 )} : quỹ đạo 0-chiều (ii) Nếu λ= δ= 0, σ ≠ Ω F = {F (α , β , z, t ,σ )} : quỹ đạo 2-chiều (iii) Nếu λ = 0, δ ≠ 0, σ = Ω F = {F (α , y, z, δ ,0 )} : quỹ đạo 2-chiều (iv) Nếu λ ≠ 0, δ = σ =0 Ω F = {F (α , y, γ , t ,0 )} : quỹ đạo 2-chiều (v) Nếu λ ≠ 0, δ ≠ 0, σ = Ω F = {F (α , y, z, t ,0 )} : quỹ đạo 2-chiều (vi) Nếu λ + δ ≠ 0, σ ≠ Ω F = {F (α , y, z, t ,σ )} : quỹ đạo 2-chiều  5,3,3 mô tả sau: Mệnh đề 3.5 K-quỹ đạo Ω F chứa F nhóm G = G (i) Nếu λ= δ= σ= Ω F = {F (α , β ,0,0,0 )} : quỹ đạo 0-chiều (ii) Nếu λ + δ ≠ 0, σ = Ω F = {F ( x, y, z, t ,0 )} : quỹ đạo 4-chiều (iii) Nếu σ ≠ Ω F = {F ( x, y, γ , t , s )} : quỹ đạo 4-chiều KẾT LUẬN Trước hết ta khẳng định rằng, MD5-đại số phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie), kết nhận 24 họ MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán họ MD5-đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn Đồng thời, tranh hình học Kquỹ đạo 27 họ MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng mô tả cách tường minh Qua đó, ta nhận 24 họ MD5-phân đo Trong luận văn này, tác giả trình bày lại chi tiết định lý phân loại Lê Anh Vũ Kar Ping Shum chứng minh cách tường minh định lý Đồng thời, luận văn đưa họ MD5 đại số với ideal dẫn xuất chiều khơng giao hốn, mơ tả tranh hình học chúng chứng minh không tồn MD5-đại số với ideal dẫn xuất chiều khơng giao hốn Dựa phương pháp sử dụng kết nêu trên, gợi cho ta hướng cần nghiên cứu tiếp sau • Phân loại tơpơ MD5-phân cịn lại Mô tả kiểu tô pô phân C * -đại số liên kết với MD5-phân • Cũng với hướng nghiên cứu trên, MDn-nhóm MDn-đại số với n ≥ Sau cùng, hạn chế kiến thức, thời gian,… nên nội dung luận văn dừng lại khuôn khổ định Tác giả hy vọng tiếp tục nghiên cứu vấn đề Mặc dù cố gắng nhiều soạn thảo, thiếu sót khơng tránh khỏi, tác giả mong nhận góp ý q thầy bạn đọc TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [Tra] Đào Văn Trà (1984), “Về lớp đại số Lie số chiều thấp”, tuyển tập báo cáo Hội thảo Khoa học Viện Toán học Việt Nam lần thứ 12 Hà Nội [Vu1] Lê Anh Vũ (1987), “Phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại nhóm kim cương thực”, Tạp chí Tốn học, số 3, tr – 10 [Vu2] Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4, Luận án phó tiến sĩ khoa học Tốn Lý, Viện Tốn học Việt Nam, Hà Nội [Vu-Tri] Lê Anh Vũ, Nguyễn Cơng Trí (2005), “Vài ví dụ MD5-đại số MD5-phân đo liên kết với MD5-nhóm tương ứng”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM, số (42), TP.HCM [Vu3] Lê Anh Vũ (2006), Về lớp MD5-đại số phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại MD5-nhóm tương ứng, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ, MS: B2005.23.70, Tp.HCM [Tha] Dương Minh Thành (2006), Về lớp MD5-đại số phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại MD5-nhóm liên thơng tương tứng, Luận văn Thạc sĩ Toán học, MS: 60 46 10, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Tp.HCM [Hoa] Dương Quang Hòa (2007), Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại MD5-nhóm liên thơng tương ứng, Luận văn Thạc sĩ Tốn học, MS: 60 46 10, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Tp.HCM Tiếng Anh [Di] Do Ngoc Diep (1975), “The Structure of the Group C*-algebras of the Group of Affine P P transformations of the straight link”, Funkt Anal i Priloz, pp 63-64 [Di] Do Ngoc Diep (1999), Method of Noncommutative Geometry for Group C*-algebras, P P Chapman and Hall/ CRC Press Reseach Notes in Mathematics Series, 416, (1999) 10 [Ha-Sch] M Hausner and J T Schwartz (1968), Lie Group – Lie Algebra, Gordon and Breach, Sci Publisher, New York – London – Paris 11 [Ki] A A Kirillov (1976), Elements of the Theory of Representations, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York 12 [Vu4] Le Anh Vu (1990), “On the structure of the C*-algebra of the foliation Formed by the K-orbits of Maximal Dimension of the real Diamond Group”, J.Operater 24, pp 227 – 238 13 [Vu5] Le Anh Vu (1990), “On the foliations Formed by Generic K-orbits of the MD4Groups”, Acta Math Vietnam, (2), pp 39 – 55 14 [Vu6] Le Anh Vu (1993), “Foliations Formed by Orbits of Maximal Dimension in the Coadjoint Representation of a Class of Solvable Lie Groups, Vest Moscow Uni., Math Bullentin, Vol 48 (3), p.p 24 – 27 15 [Vu7] Le Anh Vu (2003), “Foliations Formed by K-orbits of Maximal Dimension of some MD5-Groups”, East – West Journal of Mathematics, Vol (2), pp 159 – 168, Bangkok, Thailand 16 [Vu8] Le Anh Vu (2006), “On a Subclass of 5-dimensional Solvable Lie Algebras Which Have 3-dimensional Commutative Derived Ideal”, East – West Journal of Mathematics, Vol (1), pp 13 – 22, Bangkok, Thailand 17 [Vu-Sh] Le Anh Vu, Kar Ping Shum (2008), “Classification of 5-dimensional MDalgebras having commutative derived ideals”, World Scientific Publishing Co, pp 351371 18 [Vu-Tha] Le Anh Vu, Duong Minh Thanh (2006), “The Geometry of K-orbits of the Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”, Contributions in Mathematics and Applications (Proceedings of the International Conference in Mathematics and Applications, Decenber 2005, Bangkok, Thailand), pp – 16, Bangkok Thailand Tiếng Pháp 19 [Bo] N.Bourbaki (1972), Groupes et Algégres de Lie, Hermann Paris 20 [So-Vi] V M Son et H H Viet, “Sur la structure des C*-algebres d’une Classe de P Groupes de Lie”, J.Operator (11),p.p 77 – 99 P ... loại lớp MD5- đại số, chúng tơi tìm đưa vài ví dụ MD5- đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn chiều, mơ tả tranh hình học chúng chứng minh không tồn MD5- đại số với ideal dẫn xuất không giao hoán. .. 5,,3,1 MD5- đại số (ii) Lập luận tương tự ta chứng minh  G 5,,3,2 ,  G 5,,3,3 MD5- đại số 3.2.2 MD5- đại số với ideal dẫn xuất khơng giao hốn chiều Mệnh đề 3.2 Không tồn MD5- đại số có ideal dẫn. .. hiệu số để phân loại MD5- đại số cho MD5- nhóm tương ứng, ví dụ G5,3,1( λ ) MD5- nhóm liên thông, đơn liên tương ứng với G5,3,1( λ1 ,λ2 ) Tất nhóm điều MD5- nhóm bất khả phân CHƯƠNG 3: MD5- ĐẠI SỐ VỚI