Các phương pháp xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Lan Vinh CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA CÁC VÀNH KHƠNG GIAO HỐN Chun ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 BẢNG KÝ HIỆU  : tập số nguyên  : tập số hữu tỷ n : nhóm cyclic   : tập rỗng U (R) : nhóm phần tử khả nghịch R n RS , RS 1 , S 1R : vành thương phải (trái) R S Rp : địa phương hóa vành giao hoán R ideal nguyên tố p Qclr (R) , Qcll (R) : vành thương phải (trái) cổ điển R N e M : N module cốt yếu module M u.dim ( M ) : chiều điều module M J (R) : radical Jacobson R k [x i : i  I ] : vành đa thức k với biến {x i : i  I } k xi : i  I : vành tự k sinh {x i : i  I } Eij : đơn vị ma trận X : số X annl (S ) , annr (S ) : lũy linh trái (phải) S MỞ ĐẦU Như ta biết đại số giao hoán, việc xây dựng trường thương miền nguyên R thực chất việc ta xây dựng vành thương RS S  R \ {0} Mở rộng vành giao hốn bất kỳ, lấy tập đóng nhân S R ta xây dựng vành thương RS R, bước xây dựng Atiyah- Macdonald [1] trình bày chi tiết Tuy nhiên, với vành khơng giao hốn vành th ương lúc tồn tại, việc xây dựng vành thương vành không giao hốn gặp nhiều khó khăn Đến năm đầu thập niên 1930, Ore đưa lý thuyết địa phương hóa theo tâm với điều kiện cần đủ để xây dựng vành thương vành khơng giao hốn Có hai phương pháp xây dựng vành thương vành khơng giao hốn Phương pháp thứ phương pháp truyền thống tương tự ta xây dựng trường thương miền nguyên đại số giao hoán gọi địa phương hóa theo tâm vành khơng giao hoán Phương pháp thứ hai theo nghĩa rộng phương pháp thứ gọi xây dựng vành thương theo phương pháp Ore Goldie Luận văn muốn nghiên cứu hai phương pháp này, khả áp dụng chúng lý thuyết vành khơng giao hốn nói chung lý thuyết P I-vành nói riêng Muốn tìm thí dụ chứng tỏ giống khác hai phương pháp Luận văn trình bày thành chương với nội dung sau: Chương 1: Trình bày lại số kiến thức lý thuyết vành nhằm làm sở lý luận cho chương sau Chương 2: Trong chương chúng tơi trình bày (từ tài liệu khác nhau) phương pháp truyền thống xây dựng vành thương vành khơng giao hốn, cịn gọi địa phương hố theo tâm vành khơng giao hoán phương pháp Ore Goldie Chương 3: Đưa số ví dụ cho thấy việc xây dựng vành thương vành không giao hốn phương pháp truyền thống khơng phải lúc thực CHƯƠNG 1: XÂY DỰNG VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA CÁC VÀNH GIAO HOÁN 1.1 NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho R vành có đơn vị • Tập đóng nhân: tập S R gọi tập đóng nhân R nếu: * 1S, 0S, * S đóng phép tốn nhân định nghĩa R • Vành địa phương: R gọi vành địa phương R giao hoán có ideal tối đại • Miền ngun (khơng giao hốn): vành khác khơng, khơng có ước khơng • Module trung thành: M gọi R−module trung thành Mr  (0) suy r  • Tập linh hóa: M R−module tập linh hóa tồn M ký hiệu A(M ) A(M )  {x  R | Mx  (0)} • Định lý: A(M ) ideal hai phía R Hơn M R / A(M ) −module trung thành • Định lý: cho M R−module, gọi E (M ) tập tất tự đồng cấu nhóm cộng M, E (M ) với phép toán cộng nhân E (M ) định nghĩa thông thường vành Khi ta có R / A(M ) đẳng cấu với vành E (M ) • Vành tự đồng cấu: vành tự đồng cấu R−module M là: C (M )  {y  E (M ) | Ta  y  y  Ta , a  R} Trong đó: Ta : M  M x  ax • Module bất khả quy: M gọi R−module bất khả quy thỏa hai điều kiện sau: * MR  (0) , * M có hai module (0) M • Định lý (bổ đề Shur): M R− module bất khả quy C (M ) vành chia • Ideal nguyên tố: ideal P gọi nguyên tố BC  P suy B  P C  P , với B, C ideal A • Radical R: radical R, ký hiệu J (R) , tập tất phần tử R mà linh hóa tất R−module bất khả quy Nếu R khơng có module bất khả quy ta đặt J (R)  R Radical định nghĩa gọi radical Jacobson R • Tập (p : R) : p ideal phải R (p : R)  {x  R | Rx  p} • Định lý: J (R)  (p : R) p chạy khắp tập ideal phải tối đại R • Định lý: J (R)  p p chạy khắp tập ideal phải tối đại R (p : R) ideal hai phía lớn R chứa p • Lũy linh: ta nói phần tử a  R lũy linh a n  với n số ngun dương • Nil ideal: ta gọi ideal phải (trái, hai phía) nil ideal phần tử lũy linh • Ideal lũy linh: ta gọi ideal phải (trái, hai phía) p ideal lũy linh có số nguyên dương m cho a1.a2 am  với a1, a2, , am  p suy p m  (0) • Nửa nguyên thủy: R gọi nửa nguyên thủy J (R)  • Định lý: R nửa nguyên thủy ideal R nửa nguyên thủy • Vành Artin phải: vành gọi Artin phải mọ i tập không rỗng c ác ideal phải có phần tử tối tiểu • Định lý: R vành Artin J (R) ideal lũy linh • Định lý: R vành Artin nil ideal (phải, trái, hai phía) R lũy linh • Định lý (Wedderburn−Artin): ideal vành Artin nửa đơn vành Artin nửa đơn • Vành đơn: vành R gọi đơn R  (0) R ideal khác ngồi hai ideal (0) • Định lý: vành Artin nửa nguyên thủy tổng trực tiếp số hữu hạn vành Artin đơn • Vành Noether phải: vành gọi Noether phải tập không rỗng ideal phải có phần tử tối đại • Định lý: cho A nil ideal phía vành Noether phải R Khi A lũy linh • Vành nguyên thủy: vành R gọi vành nguyên thủy có module bất khả quy trung thành • Vành nguyên tố: vành R gọi nguyên tố aRb  (0) , với a, b  R suy a  b  • Định lý: khẳng định sau tương đương: R vành nguyên tố, Nếu A, B hai ideal R AB  (0) A  , B  , Linh hóa tử bên trái ideal trái khác (0) R (0), Linh hóa tử bên phải ideal trái khác (0) R (0) • Định lý: vành nguyên thủy vành nguyên tố • Định lý: phần tử khác không tâm vành nguyên tố R phần tử ước khơng R Hay tâm củ a vành ngun tố miền ngun • Chính quy phải: cho R vành, phần tử x ∈ R , x  gọi quy phải xr = ⇒ r = với r ∈ R , nói cách khác x khơng có ước khơng bên phải • Chính quy trái: cho R vành, phần tử x ∈ R , x  gọi quy trái rx = ⇒ r = với r ∈ R , nói cách khác x khơng có ước khơng bên phải • Chính quy: cho R vành, phần tử x ∈ R , x  vừa quy phải vừa quy trái gọi quy, nói cách khác x khơng có ước khơng • Đại số: cho K vành giao hốn có đơn vị A gọi đại số K thỏa mãn: * A K−module, * A vành, * k  K , a, b  A : k (ab)  (ka )b  a(kb) • Ideal đại số hiểu ideal vành A đồng thời K−module A • Đại số đơn: đại số A gọi đại số đơn A  A khơng có ideal khác (0) A N ếu A ạđi số đơn tâm A, ập t hợp C  {c  A | cx  xc, x  A} trường Khi A xem đại số C • Đại số đơn tâm: cho K trường, đại số A gọi đại số đơn tâm A đơn tâm A đẳng cấu với K • Đại số nguyên thủy: đại số A nguyên thủy có A−module bất khả quy trung thành • Đại số nửa nguyên thủy: đại số A gọi nửa nguyên thủy J (A)  (0) • Ideal nguyên thủy đại số: ideal p đại số A gọi ideal nguyên thủy A / p đại số nguyên thủy • Định lý (Amitsur): gọi A[x ] đại số theo biến x với hệ số lấy A, A khơng có nil ideal khác (0) A[x ] đại số nửa nguyên thủy • Ideal nguyên tố: ideal P đại số A gọi nguyên tố BC  P suy B  P C  P , với B, C ideal A • C / B ideal nguyên tố A / B C ideal nguyên tố A chứa B • Đại số nguyên tố: đại số A gọi đại số nguyên tố (0) ideal nguyên tố A, tức BC  suy B  , C  với B, C ideal A • Nhận xét: A đại số ngun thủy A đại số ngun tố • Định lý: khẳng định sau tương đương: A đại số nguyên tố, Nếu bAc  (0) b  , c  , Linh hóa tử bên trái ideal trái khác (0) A (0), Linh hóa tử bên phải ideal trái khác (0) A (0) • Đại số nửa nguyên tố: đại số A gọi nửa nguyên tố A khơng có ideal lũy linh khác (0) • Nhận xét: A đại số nguyên tố A đại số nửa ngun tố • Ideal nửa nguyên tố: ideal B A gọi nửa nguyên tố đại số thương A / B nửa nguyên tố • Đại số tự do: cho {x1 , x2 , } tập vô hạn đếm phần tử, giả sử X vị nhóm tự sinh tập đếm phần tử x1 , x2 , Gọi K {X } đại số vị nhóm X K Khi K {X } gọi đại số tự với tập đếm phần tử sinh xi , hay ký hiệu K x1 , x2 , Tập hợp {x1 , x2 , } nhúng vào K {X } phép nhúng i :{x1 , x2 , } → K {X } có tính chất phổ dụng Điều có nghĩa với A đại số ánh xạ α :{x1 , x2 , } → A tồn đồng cấu β : K {X } → A cho biểu đồ sau giao hoán: i K {X } {x1 , x2 , } ∃!β α A • Định nghĩa: cho A đại số trường F, a  A gọi đại số F có đa thức khác không p(x )  F [x ] cho p(a )  A gọi đại số đại số (algebraic algebra) F phần tử A đại số F Trước xây dựng vành thương vành khơng giao hốn, ta nhắc lại bước xây dựng vành thương vành giao hoán sau: 1.2 VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA CÁC VÀNH GIAO HOÁN Với R vành giao hoán bất kỳ, S tập đóng nhân R , ta xây dựng vành thương R , ký hiệu RS (hoặc RS −1 ), theo tập đóng nhân S , đồng cấu vành: ε : R → RS −1 với ε ( s ) khả nghịch RS với s ∈ S sau: Cho tập nhân S vành R Trên tập R × S ta định nghĩa quan hệ hai  sau: ∀(r , s ),(r ', s ') ∈ R × S : (r , s )  (r ', s ') ⇔ ∃t ∈ S :(rs '− r ' s )t =0 Lặp lại trình ta r=i 0, ∀i Do R chứa ⊕i≥0 a ibR (là module phải tự có hạng vơ hạn đếm được), u.dim( RR ) = ∞ (mâu thuẫn với giả thiết u.dim( RR ) < ∞ ) Hệ 2.19: Nếu R miền nguyên Noether phải R Ore phải, nói riêng Qclr ( R) tồn tại, division hull nh ất R Chứng minh: Một miền nguyên Noether chứa tổng trực tiếp vô hạn module khác không nên theo định lý Ore phải Phát biểu ngược lại hệ nói chung khơng đúng, ví dụ: miền ngun giao hốn R miền nguyên Ore, R không cần thiết vành Noether Hệ 2.20: Một miền nguyên R gọi miền nguyên Bézout mở rộng hữu hạn ideal phải R Một miền nguyên Bézout luôn Ore phải Chứng minh: Giả sử aR ∩ bR = a, b ∈ R \ {0} , chọn c ∈ R cho: cR = aR ⊕ bR ồt n r , s, d ∈ R cho: = c ar + bs b = cd , suy ra:= b ard + bsd , rd = , b = cd b ≠ nên d ≠ , vậy: rd = ⇒ r = , c = bs , suy mà cR = bR cR = aR ⊕ bR ⇒ a = (mâu thuẫn) Bổ đề Jategaonkar: Giả sử a, b hai phần tử vành R độc lập tuyến tính phải R Cho C ⊆ R vành khác không mà phần tử giao hốn với a b tập R sinh a, b C C – vành tự a, b Chứng minh: Nếu a, b không tự C, chọn đa thức (khác đa thức hằng) f ( x, y ) ∈ C x, y có bậc n nhỏ cho f (a, b) = Biểu diễn f dạng: α + xg ( x, y ) + yh( x, y ) (α ∈ C ) , g ( x, y ) ≠ Ta có: suy = f (a, b= )b a( g (a, b)b) + b(α + h(a, b)b) g (a, b)b = Bây viết g dạng: β + xp ( x, y ) + yq ( x, y ) ( β ∈ C ) Ta có: deg g ≤ n − , deg p ≤ n − , deg q ≤ n − (*) g (a, b= )b a ( p (a, b)b) + b( β + q (a, b)b) = (**)  p ( x, y ) y = (**) suy ra:  = x a= , y b  β + q ( x, y ) y = (*) suy ra: ( x, y ) q= ( x, y )  p=  β = (mâu thuẫn với g ( x, y ) ≠ ) Vậy tập R sinh a, b C C – vành tự a, b Định lý 2.21: Nếu miền ngun R khơng phải miền ngun Ore R chứa đại số tự C x1 , x2 , , C tâm R Chứng minh: R miền nguyên Ore nên tồn a, b ∈ RR R – độc lập tuyến tính phải Theo bổ đề Jategaonkar suy vành sinh a b C đẳng cấu với C x, y , suy vành sinh a, ab, ab , … C đẳng cấu với C x1 , x2 , Định nghĩa 2.22: Một đại số trường k gọi PI – đại số (polynomial identity algebra) tồn đa thức khác không: f ( x1 , , xn ) ∈ k x1 , , xn cho f (a1 , , an ) = với a1 , , an ∈ R Từ định lý 2.21 định nghĩa 2.22 ta có hệ sau: Hệ 2.23: Một miền nguyên R PI – đại số trường k R miền nguyên Ore 2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho k trường, k – miền nguyên tự R = k X miền nguyên Ore trái (phải) | X | ≥ , với hai phần tử a, b khác X, ta có aR ∩ bR = (0) Ví dụ 2: = y= Cho R  − đại số sinh hai phần tử x, y với quan hệ sau: yx Đặt S = { x n : n ≥ }, với phần tử R có dạng: f ( x) + g ( x) y ( f , g ∈  [x] ) Khơng có ước trái khơng, S khả nghịch phải Ta chứng minh S khả hoán bên phải, ta cần chứng minh: aS ∩ sR ≠ ∅ với= a f ( x) + g ( x) y = s x n (n ≥ 1) , thật vậy: = a nx f= ( x) x n sf ( x) nên aS ∩ sR ≠ ∅ Vậy tồn vành thương phải RS −1 Để xác định vành thương phải RS −1 , trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Cho S ⊆ R tập mẫu số phải, gọi U = { a ∈ R : as = , với s thuộc S} a Chứng minh U ideal R b Đặt R = R / U , chứng minh S tập mẫu số phải R chứa phần tử quy R , RS −1 ≅ RS −1 R chứng minh: a Ta có: với r ∈ R với a ∈U , tồn s ∈ S cho: (= ) s r= (as ) , ∈U , RU ⊂ U Ta chứng minh UR ⊂ U , thật vậy: cho r ∈ R a ∈U : tồn s ∈ S cho as = Vì S khả hốn bên phải, ta có: rs ' = sr ' với s ' ∈ S r ' ∈ R , nhân a vào hai vế phương trình ta được: (ar = ) s ' (= as )r ' , ar ∈U U nhóm nhóm ( R, +) : với phần tử khác a ' ∈U , theo chứng minh trên: t t ∈ S cho: = (a ± a ') s = ± a ' s ∈U với s ∈ S , ồn ± a ' st = (a ± a ') st , đẳng thức suy a ± a ' ∈U Vậy U ideal R Hơn ta có kết sau: S tập mẫu phải R , ta có đồng cấu vành ϕ : R → RS −1 , xác định sau: ϕ (r ) = r với ker ϕ = U b Trước tiên ta chứng minh S chứa phần tử quy R : Nếu xs = ( x ∈ R, s ∈ S ) xs ∈U , xss ' = với s ' ∈ S , điều chứng tỏ x ∈U , x = Giả sử s y = ( y ∈ R, s ∈ S ) sy ∈U , sys1 = với s1 ∈ S Vì S khả nghịch phải, suy ( ys1 ) s2 = với s2 ∈ S , y ∈U , y = Vậy S chứa phần tử quy R Do S khả đảo phải nên S khả đảo phải Vậy S tập mẫu số phải R chứa phần tử quy R Cho f −1 −1 hợp ánh xạ R → R → RS Vì f ( s ) ⊆ U ( RS ) ánh xạ ϕ : R → RS −1 đồng cấu S – khả nghịch có tính phổ dụng nên tồn đồng cấu vành g : RS −1 → RS −1 −1 cho g  ϕ = f , g (rs −1 ) = rs Mặt k hác ta có: −1 (r )ϕ ( s ) −1 RS −1 Do với rs −1 ∈ ker g rs = , suy r ∈U= rs −1 ϕ= g đẳng cấu Quay ại l ví dụ trên, theo bổ đề trên, ta có kernel ϕ : R → RS −1 U = Ry =  [x] y , R = R / U , RS −1 đẳng cấu với địa phương hóa vành giao hoán  [x] tập {x n : n ≥ 0} Mặt khác S không khả nghịch trá i yx = x n y ≠ với n ≥ , vành thương trái S −1R không tồn CHƯƠNG 3: MỘT SỐ VÍ DỤ VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA CÁC VÀNH KHƠNG GIAO HỐN Như trình bày chương 2, tập đóng nhân S ⊆ R , với R vành bất kỳ, hy vọng tìm vành thương RS với khái niệm “vành phổ dụng S − nghịch đảo” Khác với trường hợp vành giao hoán, vành khơng giao hốn vành “S – nghịch đảo” RS vành khơng, R ≠ {0} ∉ S Ví dụ: cho R M n (k ), (n ≥ 2) k vành khác không, cho S tập = đóng nhân {1, E11} , Eij đơn vị ma trận, gọi ε : R → RS , ker ε có dạng M n (U ) , U ideal k Nhưng ta lại có: E11E22 = suy E22 ∈ ker ε , ta có 1∈U , suy U = k , ε ánh xạ không RS = (0)! Từ ví dụ vành RS khó dự đốn, nói chung khó để chứng minh vấn đề RS ε : R → RS khơng chắn bảo tồn tính chất (i), (ii) Định nghĩa 3.1: Vành R gọi quy mạnh nếu: với a ∈ R , tồn x ∈ R cho a = a2 x Định lý 3.2: Vành R quy mạnh R quy Von Neumann giản ước Vành ln tích trực tiếp vành chia Ta phát biểu không chứng minh định lý Bây trình phát biểu chứng minh kết sau Robinson Định lý 3.3: Nếu miền nguyên R (không giao hốn) nhúng vào tích trực tiếp vành chia Di ( i ∈ I ), R nhúng vào vành chia Chứng minh: Đặt P = ∏ i Di , viết phần tử x ∈ P dạng ( xi )i∈I = x* ( xi* )i∈I ∈ P sau: Với x ∈ P , ta xác định phần tử  xi* 0,= xi =  * −1 =  xi xi , xi ≠ Ta định nghĩa: = ⇒ 0} U x {(ai )i∈I : ∀i ∈ I , xi ≠ 0= Ta có: = U x ann = annr ( x) : ideal P, ta có: l ( x) − xx* ∈U x và: (U x + U y + + U z ) xy z = (*) Xem R tập P, đặt U = ∑U x , x chạy khắp R \ {0} , ta có U ≠ P , U = P với x, y, , z ∈ R \ {0} thích hợp ta 1∈U x + U y + + U z theo (*) ta xy z = , điều mâu thuẫn với giả thiết R miền nguyên Vì Di quy mạnh nê n P = ∏ i Di P / U quy mạnh nên theo định lý 3.2, tồn đồng cấu vành f từ P vào vành chia D thích hợp, với f (U ) = ( ) Với x ∈ R \ {0} : f (1 − xx* ) = 0= − f ( x) f x* suy f ( x) ≠ ∈ D Vậy f | R phép nhúng R vào vành chia Hệ 3.4: Nếu miền nguyên R (không giao hốn) nhúng vào vành quy mạnh R’ R nhúng vào vành chia Chứng minh: Theo định lý 3.3, R’ tích trực tiếp họ vành chia Di (i ∈ I ) , nói riêng R’ (hay R) nhúng ∏ i∈I Di Do R miền ngun (khơng giao hốn) nên theo định lý 3.3 suy R nhú ng vào vành chia Ví dụ 1: Cho R =  G , G nhóm, đặt S =  \ {0} vành thương phải R tương ứng với S vành  G , tâm địa phương hóa RS −1 cho ta đẳng cấu vành tự nhiên đến  G Tương tự R vành phần tử có dạng: {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈  } S =  \ {0} RS −1 tập có dạng: RS −1 = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈  } Trong trường hợp RS −1 = Qclr ( R) RS −1 vành chia Ví dụ 2:    Cho R =  T {nI : ≠ n ∈  } , I ma trận đơn vị Viết lại R  , chọn=    sau:   0   1 0 0 1 0 0 + + + ∈ R = a. b c d a , b , c , d    0 0 0 0 0 1         0      Nên theo ví dụ tâm địa phương hóa RT −1 vành Q =   0   a b Các phần tử quy R phần tử có dạng   a ≠ c   c ≠ , thật vậy, vì: a b  b  1  = a = thì:  nên    c  khơng quy,  c  0    a b  1 a b  = c = thì:  nên    c  khơng quy  1 0    a b Với a ≠ , c ≠   khả nghịch Q: c   1  a b  a  c      − b  ac  =I   c  r Do R bậc (order) Q, = Q Q= Qcll ( R) , nói riêng R vành Ore cl ( R ) Ta xét tập đóng nhân S sau:  a b   = S  : a, b, c ∈  , a ≠    c   Các phần tử S khơng thiết phải quy Xét đồng cấu ϕ xác định sau: a b ϕ :R → , ϕ =a, c    vành thương phải R tương ứng với S Do RS −1 tồn đẳng cấu với     1 0 = với  Mặt khác ta có:     ∈ S , với phần tử có dạng  0  0  0 0 a b  c  ∈ S ta lại có:   S −1R khơng tồn Ví dụ 3:  a b    a   c =   0  ≠ , S không khả nghịch trái hay 0        Cho trước số nguyên tố p, đặt R =   , thực tương tự ví dụ  p p     n 0 đặt:= T = n.I   : n ∈  , p /| n  tâm địa phương hóa   0 n RT −1 vành   ( p)  Q=  , ký hiệu  ( p ) địa phương hóa  ideal nguyên tố  p  p (p),  p =  ( p) p ( p )  ( p ) − module a  a  ( \ p ) −1 =  : a ∈ , b ∈ \ p  =  : a ∈ , b ∈ , p /| b   ( p) = b  b  Xét tập đóng nhân S xác định sau:  x   = S  p x z ≠ ∈  : | , / p   y z      x 0 * Mọi phần tử S quy Thật vậy, với = s  ∈ S :  y z a =  xa 0=   x  a   Giả sử  =0 ⇒  ya + zb =0 ⇒ b =0 ∈  p s quy trái    y z  b c   zc =   c= ∈  p a = ax 0=   a  x   Giả sử  =0 ⇒ bx + cy =0 ⇒ b =0 ∈  p s quy phải    b c  y z  cz =   c= ∈  p  x 0 * Mọi phần tử quy R thuộc S Thật vậy,= lấy r   ∈ R y z    x 0 quy, ta chứng minh   ∈ S tức cần chứng minh p /| x z ≠ ∈  p y z    0  x   0  Nếu p | x ta có:   (do p | x suy x = ), mâu thuẫn với r  =  = y z x      quy  x  0   0  Nếu z= ∈  p ta có:  =  =  , mâu thuẫn với r quy  y z  1   0  Vậy S tập đóng nhân chứa tất phần tử quy R, phần tử khả nghịch Q, thật vậy: p /| x nên  x 0 Nghịch đảo r =   Q y z   ∈  ( p ) x khả nghịch  p x   x  −1 −1  − z yx    z −1  r Do R bậc = Q, Q Q= Qcll ( R) , nói riêng R vành Ore cl ( R ) Ta kiểm tra R vành Ore cách trực tiếp cách kiểm tra S khả hoán bên trái khả hoán bên phải  x 0 u  = ∈ S = a Với s    v w  ∈ R , giải phương trình ma trận sau:  y z    u  x   x  u   v w  z  =  y z  n w  ⇒ vx = yu + zn       phương trình có nghiệm n ∈  p z khả nghịch  p , ta có: aS ∩ sR ≠ ∅ hay S khả hoán bên phải Tương tự ta chứng minh S khả hốn bên trái Ta có ba lưu ý sau tính chất phép tốn cộng R: (1) Với s ∈ R , annl ( s ) = ⇒ s ∈ S  p 0 (2) Phần tử t =   có annr (t ) = , t ∉ S    p 0 1 0 a = (3) Phần tử t =  ∅   0  , ta có: aS ∩ tR =  1    x 0 * Với (1),= đặt s   ∉ S Nếu p | x , y z   0 0   s = Nếu p /| x ta phải có z = ,    0 trường hợp  s = y x −    u   pu  * Với (2), ta có t  =  khơng u= ∈   v w  v w v= w= ∈  p   x   p  u   x 0 = với  * Với (3), giả sử phương trình:       ∈ S có  0  y z    v w   y z nghiệm, suy x = pu (mâu thuẫn) Ví dụ 4:  k k [x]  Cho R =   , k trường Tập nhân S xác định sau: k [ x ]    c = S   f ( x)   : , , [ ] , c ∈ k f g ∈ k x c g ≠  g ( x)   S tập hợp tất phần tử quy R Mọi phần tử quy S khả nghịch Q  k k ( x)  −1 = ( R) RS Q Suy R thứ tự phải Q =  , Qclr=  ( ) k x   Mặt khác Qcll ( R) khơng tồn S khơng khả hốn bên trái, thật vậy: 0 1 1 0 = a  ∈ R= s  Cho   ∈ S , ta có: 0 x     c 0  f ( x)    c   c = ,  g ( x)   0   0   f ( x)    c xf ( x)  = , g ( x)   x   xg ( x)  Sa ∩ Rs = ∅ Suy R vành Ore phải vành Ore trái Mặc dù phần tử quy R khả nghịch Q, Sa ∩ Rs = r ∅ nói lên ằng  x −1  −1 as =   ∈ Q viết dạng t r với r ∈ R t phần tử 0  −1 quy R Do Q khơng thể vành thương trái R tương ứng với S KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày hai phương pháp để xây dựng vành thương vành khơng giao hốn: phương pháp truyền thống gọi địa phương hóa theo tâm tương tự cách xây dựng vành thương vành giao hoán; phương pháp Ore với định lý điều kiện cần đủ để tồn vành thương vành khơng giao hốn, phương pháp theo nghĩa tốt khắc phục số hạn chế phương pháp xây dựng vành thương vành khơng giao hốn theo phương pháp truy ền thống Qua luận văn này, học tập khả tự học hỏi làm quen dần với khả tự nghiên cứu Trong trình làm luận văn, nhiều vấn đề liên quan đến đề tài mà thực chưa nghiên cứu cách sâu sắc đầy đủ Hy vọng bậc học cao sau tơi có đủ điều kiện khả để tiếp tục nghiên cứu sâu sắc phương pháp xây dựng vành thương vành khơng giao hốn, đặc biệt phương pháp Ore Goldie, với ứng dụng lý thuyết lĩnh vực nghiên cứu tính chất vành khơng giao hốn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường ĐHSP tp.HCM, phịng KHCN&SĐH, Thầy, Cơ trực tiếp giảng dạy tơi suốt khóa học Đặc biệt, xin biết ơn sâu sắc PGS TS Bùi Tường Trí , người trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tận tình giúp đỡ tơi suốt khóa học TÀI LIỆU THAM KHẢO Atiyah, M F., Macdonald, I G., Introduction to Commutative Algebra, University of Oxford, Cambridge, Massachusetts Jacobson, N (1964), Structure of rings, Amer Math Soc Colloq Publ., 37 Jacobson, N (1975), Pi-Algebras, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, New York Herstein, I N (1968), Noncomunicative rings, The math Assoc Amer Lam, T Y., Lectures on Modules and Rings, Springer Lam, T Y., Exercises in Modules and Rings, Springer Lam, T Y., A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag McConnell, J C., Robson, J C., with the cooperation of Small, LW., Noncommutative Noetherian Rings, Amer Math Soc Providence, Rhode Island Stenström, Bo (1975), Rings of Quotients, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York ... A đại số F Trước xây dựng vành thương vành khơng giao hốn, ta nhắc lại bước xây dựng vành thương vành giao hoán sau: 1.2 VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA CÁC VÀNH GIAO HOÁN Với R vành giao hoán bất kỳ, S tập... thuyết địa phương hóa theo tâm với điều kiện cần đủ để xây dựng vành thương vành khơng giao hốn Có hai phương pháp xây dựng vành thương vành không giao hoán Phương pháp thứ phương pháp truyền... trình bày hai phương pháp để xây dựng vành thương vành khơng giao hốn: phương pháp truyền thống gọi địa phương hóa theo tâm tương tự cách xây dựng vành thương vành giao hoán; phương pháp Ore với