Đang tải... (xem toàn văn)
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ Lời mở đầu: Nội dung các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thông thường được nêu dưới dạng tổng quát sau đây: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu th[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ Lời mở đầu: Nội dung các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ thông thường nêu dạng tổng quát sau đây: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A = f(xi) và các giá trị xi tương ứng với i= 1; n và các xi thuộc miền xác định nào đó, thỏa mãn hệ ràng buộc gk(xi) = ak (k= 1; k ) Nguyên tắc chung để giải bài toán: Với các điều kiện xi cho trước, dùng các phép biến đổi toán học để đưa dạng bất đẳng thức M1 A ≤ M với ∀ x i , đó M1 và M2 là các số, sau đó tìm giá trị tương ứng các xi để A = M1 ; A = M2 Khi đó M1 là giá trị nhỏ nhất, M2 là giá trị lớn A Sau đây chúng tôi xin giới thiệu số bài toán tìm giá trị lớn (Max) và nhỏ (Min) thường gặp chương trình toán THCS Ở đây phân chia các dạng toán là tạm thời chưa bao trùm hết các kiểu bài toán tìm Min, Max phức tạp khác Dạng thứ Những bài toán tìm Min, Max không có điều kiện ràng buộc cho các biến Trong loại này thông thường có các kiểu bài toán sau đây: *1 Biểu thức cần tìm cực trị là biểu thức nguyên Cách giải thường dùng là viết biểu thức dạng tổng các bình phương với hằng: f(x) = ± [ g ( x) ] + K VD1 Tìm giá trị nhỏ f(x) = x2 – x + 1 3 HD giải: f(x) = x2 – x + = (x – ¿ + ≥ (do (x – ¿ ≥ ) Vậy GTNN f(x) là x = VD2 Tìm GTLN f(x) = – x2 + 6x + HD giải: f(x) = – x2 + 6x + = – (x – 3)2 + 10 10 (do – (x – 3)2 ) Vậy GTLN f(x) là 10 x = VD3 Tìm GTNN f(x; y) = 2x2 – 2xy + 5y2 + 2x + 2y HD giải: f(x; y)= y+ 1¿ −1 ≥ −1 x − y+ 1¿ 2+ ¿ ¿ Do (2x – y + 1)2 ; (3y + 1)2 nên GTNN f(x; y) –1 VD4 Tìm giá trị lớn f(x; y) = – x2 – y2 + xy + 2x + 2y HD giải: – 2f(x; y) = 2x2 + 2y2 – 2xy – 4x – 4y = (x – y)2 + (x – 2)2 + (y – 2)2 – ¿ −2 x= −1 y= ¿{ ¿ (2) f(x; y)= y −2 ¿ x − 2¿ +¿+ ≤ x − y ¿ +¿ ¿ −1 ¿ Vậy f(x; y) có giá trị lớn x = y = Bài tập áp dụng 1-1 Tìm GTNN f(x) = x5 – x2 – 3x + với x 1-2 Tìm GTNN f(x; y; z) = x4 + y4 + z4 – – 2x2y2 + 2x2 – 2xz 1-3 Tìm GTNN : f(x)= x(x + 1)(x + 2)(x + 3) 1-4 Tìm GTNN : f(x) = x100 – 10x10 + 10 1-5 Tìm GTNN : f(x; y) = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28 1-6 Tìm GTLN f(x) = + x – x2 *2 Biểu thức cần tìm cực trị có chứa dấu giá trị tuyệt đối VD Tìm GTNN f(x) = HD giải: x – x ¿ x − 3( x ≥ 3) Cách 1: Ta có /x – 3/ = − x( x<3) ¿{ ¿ ¿ x −5 ( x ≥ 5) /x – 5/ = − x( x <5) ¿{ ¿ Nếu x < thì f(x) = – 2x > Nếu x ≤ thì f(x) = Nếu x > thì f(x) = 2x – > Giá trị nhỏ f(x) = ≤ x ≤5 Cách 2: f(x) = /x – 3/ + / x – 5/= /x – 3/ + /5 – x/ |x − 3+5 − x|=2 Vậy GTNN f(x) là <==> (x – 3)(5 – x) ⇔3 ≤ x ≤ Bài tập áp dụng 2-1 Với giá trị nguyên x, tìm GTNN f(x) = /x – 2/ +/x – 3/ +/ x – 4/ +/x – 5/ 2-2 Tìm GTNN f(x) = /x2 – 1/ + /x2 – 4/ + /x + 1/ + /x + 2/ 2-3 Tìm GTNN : f(x) = √ x+ √ x − 4+ √ x −4 √ x −4 2-4 Tìm GTNN : f(x) = x − 1993 ¿2 ¿ x −1994 ¿2 ¿ ¿ √¿ 2-5 Tìm GTLN, GTNN : f(x) = √ 1− x +√ x+ *3 Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN là biểu thức hữu tỉ chứa biến VD1: Tìm GTLN, GTNN : y = x 2+1 x − x+ (3) HD giải: Cách 1: x −1 ¿2 ¿ x− ¿ + ¿ y= ¿ ¿ 2( x −2 x+1) x − x +1 − =2 −¿ x − x +1 x − x+1 GTLN y là x = 3(x 2+1) x 2+1 = x − x+ 3( x2 − x +1) x +1 ¿2 ¿ x− ¿ + ¿ = 3¿ ¿ 2( x2 − x +1)+( x 2+ x +1) = +¿ 3 (x2 − x +1) Vậy GTNN y là x = – y= Cách 2: Do x2 – x + > với x nên ta có thể viết: y(x2 – x + 1) = x2 + <==> (y – 1)x2 – yx + y – = (*) Nếu y = thì x = Nếu y thì phương trình (*) phải có nghiệm 2 y − 1¿ =−3 y +8 y −4 ≥0 Δ= y − ¿ 4 y − ¿ ≤ ⇔ ≤ y ≤2 ⇔¿ Vậy GTNN y là x = – GTLN y là x = VD2 Tìm GTLN, GTNN y= 1+ x ¿2 ¿ 1+ x ¿ HD giải: y = với x 2 1+ x ¿ ¿ 1+ x ¿2 ¿ 1+ x ¿2 ¿ ¿ ¿ x + x +1 ¿ GTLN y là x = (4) Để tìm GTNN có hai cách sau: Cách 1: Dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai: Biến đổi thành (y – 1)x4 + 2yx2 + y – = Khi y = thì x = 0, y thì phương trình phải có nghiệm Δ ' =2 y − 1≥ 1 <==> y , GTNN y là x = x2 − 1 ≥ Cách 2: Biến đổi y = + 2 x +1 ( ) Bài tập áp dụng x2+ x − 3-1 Tìm GTNN, GTLN : y = x − x+3 x +2 x+3 3-2 Tìm GTNN, GTLN : y = x +2 x+ 1993¿ ¿ 3-3 Tìm giá trị lớn : y = x ¿ 2( x2 + x +1) 3-4 Tìm GTLN, GTNN : y = x2 +1 x2 3-5 Tìm GTLN y = 1+ x x +8 3-6 Tìm GTNN y = (x+¿2) ¿ Với x > ¿ 2 x − x +7 3-7 Tìm GTLN y = x −2 x +2 3-8 Tìm GTLN y = √ x +1− x 3-9 Tìm GTLN và GTNN : y = x + √ 2− x2 x +ax +b 3-10 Xác định a và b để biểu thức A = có GTNN – x 2+ Dạng thứ hai: Những bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc các biến Xin giới thiệu số bổ đề có liên quan: BĐ1 Tổng hai số dương là số thì tích chúng lớn hai số đó BĐ2 Tích hai số dương là số thì tổng chúng nhỏ hai số đó BĐ3 Với x > ta có: x+ x ≥ dấu xảy x = n BĐT Cauchy ∀ x i ≥ 0; ∑ x i ≥ n i =1 n √∏ n i=1 xi Dấu xảy x1 = x2 …= xn BĐT Bunhiacopxki: (x2 + y2)(a2 + b2) ax+¿by ¿ Dấu xảy ax = by n Với nhiều số hạng: n n (∑ )(∑ ) (∑ ) i=1 a1 bi ≥ i=1 a2 i=1 an Dấu xảy khi: b = b = = b n bi (5) * Những bài toán áp dụng BĐ 1, VD1 Cho a + b = 1, tìm GTNN A = a2 + b2; B = a4 + b4 ; C = a + b8 HD giải: A = a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = – 2ab 1 Theo BĐ thì ab lớn a = b = 1 Vậy A nhỏ a = b = 1 Do a2 + b2 ==> a4 + a2b2 + b4 và a4 – 2a2b2 + b4 nên 2(a4 + b4) 1 GTNN B = a = b = Tương tự ta tìm GTNN C là 64 a = b = Bài tập áp dụng 4-1 Cho a + b = 1, tìm GTNN a3 + b3 + ab 4-2 Tìm GTLN f(x; y) = (a – x)(b – y)(cx – dy) Với a, b, c, d là các số dương, a > x, b > y, cx + dy > 4-3 Tìm GTLN A = xy với 3x + 5y = 12 4-4 Với a > 0, b > 0, ab = 1, tìm GTNN : (a + )(b + 1) 2 4-5 Tìm GTLN : f(x) = (2x + 1)(5 – x ) với x x 4-6 Tìm GTNN y = + x −1 với x > *5 Những bài toán áp dụng các BĐT VD1 Tìm GTNN : f(x; y) = 3( x2 y2 x y + )− 8( + )+10 y x y x x y + ⇔|t |≥ 2⇔ t ≥ ⇔t − ≥ y x Khi đó: f(x; y) = f(t) = t2 – + 2(t – 2)2 f(t) = t = ⇒ x= y =±1 Vậy GTNN f(x; y) = x = y = ±1 HD giải: đặt t = VD2 Tìm GTNN f(x; y) = x2 + y2 với ax + by = k (a, b, k là số) HD giải: (ax + by)2 (a2 + b2 )(x2 + y2) Hay x + y a b = x y 2 k 2 a +b dấu xảy từ đó suy GTNN f(x; y) VD3 Tìm GTLN, GTNN x biết ¿ x +a+ b+c=7 x 2+ a2 +b2 +c 2=13 ¿{ ¿ HD giải: Ta chứng minh được: 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 Hay: 3(13 – x2) (7 – x)2 4x2 – 14x + 10 (6) 2x2 –7x + 5 2(x – 1)(x – ¿ ≤ x≤ -GTNN x là a = b = c = - GTLN x là a = b =c = ¿ x + z =9(1) y +t 2=16(2) xt+ yz ≥ 12(3) ¿{{ ¿ VD4 Cho hệ Với x, y, z, t là số thực dương Tìm GTLN x + y HD giải: Nhân (1) với (2) vế theo vế: x2y2 + x2t2 + z2y2 + z2t2 = 144 (4) Bình phương hai vế (3) : x2t2 + 2xyzt + y2z2 144 (5) Từ (4) và (5): x2y2 + z2t2 – 2xyzt = Suy xy = zt (6) Cộng (1) và (2) ta có: x2 + y2 + z2 + t2 = 25 (7) Từ (6) và (7) ta có: x2 + y2 + 2xy + z2 + t2 – 2zt = 25 Hay: (x + y)2 + (z – t)2 = 25 Để x + y lớn thì z – t = Vây x + y = 5, z = t = 2,4 Tính (x, y, z, t) = (1,8; 3,2; 2,4; 2,4) Bài tập áp dụng 5-1 Với x, y , tìm GTNN : f(x;y) = x4 y4 x2 y2 x y ( + )−( + )+( + ) y x y x y x 5-2 Tìm GTLN M = xy + yz + xz x + y + z = và z, y, z là các số không âm 5-3 Cho x; y; z > và x + y + z = 1 1 Tìm GTNN x + y + z 5-4 Cho x + y + z = 1, tìm GTNN x2 + y2 + z2 5-5 Với p > 1, tìm GTNN A = p2 x + x − với x 2 5-6 Với: ¿ x 2+ y =4 z 2+t 2=9 xt+ yz ≥ ¿{{ ¿ (x; y; z; t > 0) Tìm giá trị lớn x + y 5-7 Cho các số tự nhiên x; y; z; t Tìm GTNN M = x2 + y2 + 2z2 + t2 với ¿ x2 − y +t 2=21 x 2+3 y + z 2=101 ¿{ ¿ (7) 5-8 Cho a2 + b2 + c2 = Tìm GTNN, GTLN a + b + c 5-9 Với a + b + c Tìm GTNN : M = a2 + b2 + c2 5-10 Với a, b, c và ab + bc + ac = Tìm GTNN a + b + c x z + y t 5-11 Cho 1≤ x ≤ y ≤ z ≤t ≤n Tìm GTNN : A = *6 Những bài toán dùng ẩn phụ để đưa phương trình bậc hai dùng bất đẳng thức VD1 Tìm GTLN, GTNN của: f(x; y) = 2x – 3y với 3x2 – xy + 2y2 = (*) Giải: Đặt t = 2x – 3y ==> y = x−t thay vào (*) 29x2 – 5tx + 2t2 – 45 = 0, bài toán có cực trị phương trình có nghiệm: Δ=−207 t +5220≥ hay − 580 ≤t ≤ 580 √ 23 √ 23 Từ đó suy GTLN, GTNN f(x; y) VD2 Tìm GTLN A = ab a + 2b = HD giải: A = ab = b(1 – 2b) ==> – 2b2 + b – A = Δ=1− A ≥ 0⇒ A ≤ 1 , suy GTLN A 8 a = ; b= Bài tập áp dụng 6-1 Tìm GTNN, GTLN A = 2x2 – xy – y2 với x2 + 2xy + 3y2 = 6-2 Cho x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = Tìm GTLN, GTNN S = x + y + 6-3 Cho (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 =0 Tìm GTNN, GTLN S = x2 + y2 6-4 Cho hệ: ¿ x + y +z=5 xy + yz+zx =8 ¿{ ¿ Tìm GTLN, GTNN x 6-5 Tìm GTNN S = x + y với x, y > Và 1 + = x2 y2 a (trong đó a là số dương) 6-6 Cho x2 + 3y2 + z2 = Tìm GTLN : A = 2x + y – z 6-7 Tìm GTNN : f(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) *7 Những bài toán cực trị liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai VD1 Cho phương trình bậc hai: x2 – mx – =0 , có hai nghiệm x1, x2 m2 Tìm GTNN x14 + x24 HD giải: Tính x14 + x24 = m + + m x14 + x24 √ 2+ GTNN +2 √ m = ± √8 Bài tập áp dụng 7-1 Cho phương trình bậc hai: x2 – ax + a – = có hai nghiệm x1, x2 (8) x x 2+ Tìm GTLN, GTNN của: M = x + x +2(1+ x x ) 2 7-2 Cho phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 : x2 – 2(m – 1)x + m – = Tìm GTNN x12 + x22 7-3 Cho phương trình bậc hai : (m2 + m + 1)x2 – (m2 + 8m + 3)x – = Tìm GTLN, GTNN x1 + x2 7-4 Cho phương trình bậc hai : x2 + 2(m – 2)x – 3m + 10 = Tìm GTNN x12 + x22 *8 Một số bài toán cực trị hình học giải phương pháp đại số VD1 Cho hình vuông ABCD cạnh a Xác định vị trí điểm M trên đường chéo BD để diện tích tam giác CEF đạt GTNN và tính GTNN đó theo a E và F là hình chiếu M trên AB và AD HD giải: E A B F M D E’ C Kẻ ME’ vuông góc với CD, đó MFDE’ là là hình vuông Đặt ME’ = x ==> ME = a – x = AF, A* = S(CEF) = S(MEF) + S(MEC) + S(FMC) = S(AFB) + S(FMC) 1 2 = a( a− x)+ x = [ a − x (a − x ) ] A* đạt GTNN x(a – x) đạt GTLN, x + (a – x) = a nên tích x(a – x) lớn a x = a – x = ==> x = a/2 ==> ME’ = a/2 a √2 ==> MD = Vậy M chính là giao điểm hai đường chéo AC và BD và đó S(CEF) = 3a2 /8 VD2 Cho điểm M nằm tam giác ABC ( AB = c, BC = a, CA = b) Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh AB, BC , CA là z, x, y Hãy xác định vị trí M để biểu thức: a b c P = x + y + z đạt GTNN HD giải: A M B C Ta có 2S = ax + by + cz (S là diện tích tam giác ABC) (9) a b c (ax + by + cz)( x + y + z ¿=2SP x y y z x z 2SP = a2 + b2 + c2 + ab( y + x ¿+ bc( z + y )+ ca( z + x ) Do x y + ≥ , nên 2SP y x (a + b + c)2 Vậy P đạt GTNN (a + b + c) /2S x = y = z tức là điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (giao điểm ba đường phân giác) VD3 Chứng minh các tam giác vuông có chu vi không đổi thì tam giác có cạnh huyền nhỏ là tam giác vuông cân HD giải: Chuyển bài toán hình học sang đại số: a+ b+c=k ¿ a2 +b2=c a , b , c , k >0 ¿ ¿{{ ¿ ¿ ¿¿ Tìm GTNN c a2 + b2 = c2 = (k – a – b)2 <==> k2 – 2ka – 2kb + 2ab = <==> ab + k2 – ka – kb = k2/2 <==> (k – a)(k – b) = k2/2 (hằng số), k – a + k – b nhỏ k – a = k – b hay a = b đó a + b lớn nên c nhỏ Tam giác vuông cân Bài tập áp dụng 8-1 Cho hình vuông ABCD cạnh a, xét các hình thang có bốn đỉnh trên bốn cạnh hình vuông và hai đáy song song với đường chéo hình vuông Tìm hình thang có diện tích lớn và tính diện tích 8-2 Cho đoạn thẳng AB = m và đường thẳng d song song với AB M là điểm không thuộc AB và M nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa đường thẳng d Gọi C và D là giao điểm MA, MB với d, tìm vị trí M để tam giác MCD có diện tích nhỏ 8-3 Cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo, quay hình vuông ABCD đến MNPQ tâm quay là O, góc quay là α Xác định góc quay α để chu vi phần chung hai hình vuông ABCD và MNPQ là nhỏ 8-4 Hãy tìm tam giác ABC điểm M cho tích các khoảng cách từ đó đến các cạnh tam giác có giá trị lớn 8-5 Cho hình vuông ABCD, hình vuông MNPQ có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh hình vuông ABCD, xác định vị trí MNPQ để diện tích MNPQ nhỏ (10) (11)