Mo dau ve luy thua

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng:.. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương..[r]

Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 01 MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA Thầy Đặng Việt Hùng 1) Khái niệm Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a a, với n là số tự nhiên
Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên a m
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m = ( a) n m với m, n là số tự nhiên Đặt biệt, m = ta có a n = n a 2) Các tính chất Lũy thừa  a = 1, ∀a
Tính chất 1:   a = a, ∀a  a > 1: a m > a n ⇔ m > n
Tính chất (tính đồng biến, nghịch biến):  m n 0 < a < 1: a > a ⇔ m < n  am > bm ⇔ m >
Tính chất (so sánh lũy thừa khác số): với a > b > thì  m m  a < b ⇔ m < Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ và số mũ nguyên âm thì số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì số a phải dương 3) Các công thức Lũy thừa
Nhóm công thức 1:
Nhóm công thức 2: a m a n = a m + n am = a m−n an (a ) m n = a mn = ( a n ) m n ( a) m n a =a = n ab = n a n b , n a na = , ∀a ≥, b > b nb m m n  → a =a ; 3 a =a ; a =a n n ∀a, b ≥ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau : 1 a) a   a −1 ( ) c) a b) a π a : a 4π 3 d) a a1,3 : a Hướng dẫn giải: 1 a) a   a −1 =a (a ) −1 −1 = a a1− =a π b) a a : a ( ) c) a 3 4π =a a2 = a π = a2 = a a π 3 d) a a1,3 : a = a3 = a .a1,3 = a1,3 a Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức : Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng a) a2 (a −b a c) a a) − b2 2 a2 (a (a b) a ) −b − b2 2 3 5 3 −b +b +1 = a4 7 3 ) − 1)( a −b (a b) +1 +a b a c) 7 (a +a −a −b (a + a3 3  a  = a4 3 −b −b a +a −a + a3 3 )  1π  π π a + b − ( )  ab    ) +1 = a 3 +b +b +a −b = a (a − b ) ) = ( a − 1)( a + 1) a ( a + + a ) = a ( a ( a − 1)( a + + a ) )( a )( − a2 π Hướng dẫn giải: ) +a b +b d) 3 3 3 3 +a b +b −b 2 3 7  3 3 a + a b + b    2a    =a −b 3 ) +1 π   d) ( a + b ) −  π ab  = a π + b π + 2a π b π − 4a π b π = ( a π − b π ) = a π − b π   Ví dụ 3: Viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau : π π 11 a) A = 2 b) B = a a a a : a 16 b3 a a b Hướng dẫn giải: c) C = x x d) D = ( a > 0) ( ab > ) 1   1 5     31 3      3        a) A = 2 =   2   =  2  =  2  = 2 = 210                     b) B = a a a a : a 11 16       =  a          a   2 1 15   11 11 11 16 +1  +1    a  a  : a 16 =   a  a  : a =  a  : a 16 = 11 = a        a 16     Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức sau : 3   34   34  4 a − b a + b        1  a −b a −b        a) A = − : a −b  b) B =  − ab  1 1       a2 − b2  a + a b a + b       Hướng dẫn giải:   1 1 1     1 1 2 2    a −b a2 − b2   a − b a − b a − b − a + a b    4 a) A = − : a − b4  = 1 − : a − b = =   1 1 1 1 1               4 4 4 4 4 a + b  a a + b  a + b  a a + b  a −b   a + a b         1   b2  a2 − b2  b = =   a a  a − b  2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn −1 Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 3 1 1   34   32  34   12    12  4 2 2 − + − − − − a b a b a b a b a b a b         (a − b)            b) B =  − ab  =  = a −b 1 1 1 =       a2 − b2 a2 − b2  a2 − b2            Ví dụ 5: Đơn giản các biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa) 2  32  a b   a    14  a2 +  a) A =   +  : a + b b) B =    b a   a b3      a2 −    a   +4  2a  Hướng dẫn giải: a   + 1 a 2b2 +  + a  :  a + b  = b ab3 =   1 1    ab    a + b ab3  a + b        a 2 ⇔ a ≥ = = a −2 ⇔ a < 2  32 12   a b   a    14   a b  a) A =   +   :  a + b  =  3     b a b a  a b       a2 + b) B = = a2 +  a2 −  ( a2 + 4) a   +4 a 4a  2a  Ví dụ 6: Cho a, b là các số dương Rút gọn biểu thức sau :      a b a) a + b  a + b − ab  b)  a + b  :  + +  b a      Hướng dẫn giải: 2 2 3   a) a + b  a + b − ab  = a + b  a − a b + b  = a + b = a + b     1  13  31 31  31  13 13 3 1 a + b a b a + b    a b 3    13  a b a b  b)  a + b  :  + +  =  1 2 = = 2 1 b a  13     3 2a b + a + b a + b a +b    BÀI TẬP LUYỆN TẬP ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Bài 1: Viết các biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại) a) A = x x d) D = b) B = 23 3 b3 a a b c) C = 2 e) D = a8 f) F = b2 b b b Bài 2: Có thể kết luận gì số a các trường hợp sau? − − a) ( a − 1) < ( a − 1) −3 −1 b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) 1 c)   a −0,2 < a2 d) (1 − a ) − > (1 − a ) − e) ( − a)4 > (2 − a)  2   f)   >   a a − Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau:  a) A =   3+ − ( 3−     ) ( 3+ ) +  3− 2  −1 b) B = + 10 + + − 10 + Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 4x 4x + a) Chứng minh a + b = thì f(a) + f(b) =      2010  b) Tính tổng S = f  + f   + + f    2011   2011   2011  Bài 5.1: So sánh các cặp số sau Bài 4: Cho hàm số f ( x) = π π a)   và   2 2 6 7 d)   10 7 8 và   Bài 5.2: So sánh các cặp số sau a) 30 và 20 π b)   2 π và   5 π e)   6 π và   5 b) và c) 17 và 28 Bài 6: Tìm x thỏa mãn các phương trình sau? d) 13 và 1) x = 1024 2) 4) ( 3 ) 7) 2x 1 =  9 x−2 x ( 12 ) ( ) = x x −x Học trực tuyến tại: www.moon.vn 10  4 và   7 2 x +1 23 = 125 −x 27 = 64 8) 0, x = 0,008 11) 71− x.41− x =  3 c)   5 2   5)        27   0, 25  322 x −8 =   0,125   10) 2   25 3 3) 81 − x = 3 6)   2 32 x −5 x + x −7   9)    49  =1 7 =  3 x −3 28 Mobile: 0985.074.831