Đang tải... (xem toàn văn)
Các chuyên đề bất đẳng thức và cực trị tuyệt hay.Đây là tài liệu biên soạn khá đầy đủ và công phu theo các chuyên đề về bất đẳng thức và cực trị, min max giúp độc giả có thể tự học để nâng cao kỹ năng trình độ.
A- CÁC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHỦ ĐỀ 1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BỔ ĐỀ THƯỜNG GẶP Tính chất bất đẳng thức 1.1 Tính chất bắc cầu Với số thực a,b,c: Nếu a > b b > c a > c Nếu a < b b < c a < c 1.2 Tính chất liên hệ phép cộng phép trừ Với số thực a,b,c : Nếu a > b a ± c > b ± c Nếu a < b a ± c < b ± c 1.3 Tính chất liên hệ phép nhân phép chia: Với số thực a, b, c thỏa mãn a > b : a b Nếu c > ac > bc c > c Nếu c = ac =bc a b Nếu c < ac < bc c < c 1 Nếu a > b ab > a < b 1 Nếu a > b ab < a > b Với số thực a, b,c ,d thỏa mãn a > b c > d �a b � ac bd � c d � Nếu ba0 � � ac bd � d c � Nếu �a b � ad bc � Nếu �d c Phương pháp biến đổi tương đương bổ đề thường gặp 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp biến đổi tương đương phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức Muốn sử dụng thành thạo phương pháp biên đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức cần ghi nhớ khái niệm, định lý tính chất bất đẳng thức để sử dụng vào phép biến đổi tương đương Để chứng minh bất đẳng thức A �B thường dùng phương pháp xét hiệu, cụ thể xét bổ đề đây: 2.2 Các bổ đề thường gặp làm bất đẳng thức Bổ đề 1.1 Cho a,b hai số thực 2 Chứng minh : 4ab � (a b) �2( a + b ) Chứng minh Thực xét hiệu , ta được: ( a b) 4ab = a + 2ab + b 4ab = a 2ab + b = (a b) �0 ( a,b) � ( a b) �4ab Thực xét hiệu, ta : 2 2 2 2 2( a + b ) (a b) = a +2 b a 2ab b = (a b) �0 ( a,b) � 2( a + b ) �(a b) 2 Vậy 4ab � (a b) �2( a + b ) Đẳng thức xảy : a = b a b2 �a b � ( a b) �� � � � ab � Lời bình : Ta viết dạng : Bồ đề 1.2 Cho a,b,c số thực Chứng minh : (ab + bc+ ca) �( a b c) 2 2 �3( a b c ) Chứng minh Thực xét hiệu ta được: � a b (b c)2 (c a)2 �0� ( a b c) (ab + bc+ ca)= � � � (a b c) �3 (ab + bc+ ca) Thực xét hiệu ta được: 2 2 2 3( a b c ) (a b c) = (a b) + (b c ) + (c a ) �0 , a,b,c � 3( a b c ) �( a b c) Vậy : 3(ab+bc+ca) � (a b c) 2 2 �3( a b c ) Đẳng thức xảy : a = b = c Lời bình: Ta viết dạng : ab + bc + ca �3 ( a b c) 1 Bồ đề 1.3: Cho a, b > Chứng minh : a + b �a b Chứng minh Thực xét hiệu , ta được: 1 ab (a b) 4ab (a b) �0 a + b a b = ab a b = ab = ab , a,b,>0 Chứng minh Thực xét hiệu ta được: Thực xét hiệu ta được: Vậy: Đẳng thức xảy a=b=c; Lời bình: Ta viết dạng: Bổ đề 1.3: Cho a, b >0 chứng minh rằng: Chứng minh Thực xét hiệu ta được: Đẳng thức xảy Lời bình: Ta viết dạng: Bổ đề 1.4: Cho a,b,c > chứng minh rằng: Chứng minh Xét Xét hiệu Tương tự: Vậy: Đẳng thức xảy Lời bình: Ta viết dạng Mở rộng: Bổ đề 1.5 Cho Chứng minh rằng: Chứng minh Đẳng thức xảy ; Xét hiệu: Đẳng thức xảy a = b; Vậy: Lời bình: Hồn tồn tương tự ta có: Bổ đề 1.6 Cho Chứng minh rằng: Chứng minh Thực xét hiệu ta được: Đẳng thức xảy a=b; Vậy: Lời bình: Tương tự ta có Bổ đề 1.7 Cho Chứng minh rằng: Chứng minh Xét hiệu, ta được: Đẳng thức xảy a = b; Bổ đề 1.8 Cho Chứng minh rằng: Chứng minh Ta đặt Ta cần chứng minh: Thật vậy, ta có: Đẳng thức xảy Ngồi ra, độc giả tham khảo cách chứng minh khách sau: Sử dụng bổ đề 1.7 ta có: Đẳng thức xảy Bổ đề 1.9 Cho số thực dương, chứng minh rằng: Chứng minh Sử dụng bổ đề 1.8 ta có: Vậy: Đẳng thức xảy Bổ đề 1.10 Cho a.b,c số thực dương Chứng minh rằng: Chứng minh: Ta có: a b b c c a (a 2b a 2c) (b2 a b2c) (c a c 2b) 2abc Ta có: a b c ab bc ca (a 2b a 2c) (b2 a b2 c) (c a c 2b) 3abc � ( a b)(b c)(c a) (a b c)(ab bc ca) abc Mặt khác, theo bổ đề 1.9 ta có: a b c ab bc ca �9abc � abc � Vậy: a b c ab bc ca 9 a b b c c a � a b c ab bc ca Đẳng thức xảy khi: a=b=c Bổ đề 1.11 Cho a,b số thực không âm a b3 ab �( ) 2 Chứng minh rằng: Chứng minh: Thực xét hiệu, ta a b3 ab(a b) � a b3 a b 4(a3 b3 ) (a b)3 � � ��0 ( ) 2 8 Vì theo bổ đề 1.6 ta có: a3+b3 ≥ ab(a+b) a b3 ab �( ) Vậy: Đẳng thức khi: a=b a b � (a b) Lời bình: Ta viết dạng : Bổ đề 1.12 Cho a,b hai số thực dương Chứng minh rằng: 1 2� a b (a b)2 Chứng minh: 1 2� � a b ab (a b) Ta có: vì: ۳ ab ( a b) � ab ( a b) 2 ab ( a b) Đẳng thức xảy khi: a=b 1 � 2 Bổ đề 1.13 Cho ab ≥ Chứng minh rằng: a b ab Chứng minh: 1 2 Thực xét hiệu, ta được: a b ab 1 1 a( b a) b( a b) ( )( ) 2 a ab b ab (1 a )(1 ab) (1 b )(1 ab) �b(1 a ) a (1 b ) � (ab 1) ( a b) � (a b) � 2 (1 a )(1 b )(1 ab) � (1 a )(1 b )(1 ab) � 1 � 2 Vậy với ab ≥1 a b ab 1 � 2 Lời bình: Với -1< ab ≤1 thì: a b ab Bổ đề 1.14 Cho a,b hai sô thực dương 1 � 2 (1 b) ab Chứng minh rằng: (1 a ) Chứng minh: Thực phép biến đổi tương đương, ta có: (a 1) (b 1)2 � (ab a b 1) ab �� (a 1) (b 1) � � �(ab 1) �(ab a b 1) � (a b 2a 2b 2)(ab 1) �( ab a b) 2( ab a b) Mặt khác, ta lại có: (a b 2a 2b 2)(ab 1) (a 3b ab3 2a 2b 2ab 2ab) (a b 2a 2b 2) Ta có được: (ab+a+b)2+2(ab+a+b)+1= a2b2 + a2 + b2 +2a2b + 2ab2+ 4ab +2a +2b +1 Thực xét hiệu, ta được: (a2 + b2 +2a+ 2b +2)(ab + 1) - [(ab+a+b)2+2(ab+a+b)+1] = a3b+ab3+1-2ab-a2b2 = ab(a2-2ab+b2)+(a2b2-2ab+1) = ab(a-b)2+(ab-1)2≥0, với a,b>0 Đẳng thức xảy khi: a=b=1 Lời bình: Ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh (độc giả tham khảo chủ đề số 5) 3.Bất đẳng thức thường gặp 3.1.Bất đẳng thức AM-GM (thường gọi bất đẳng thức Cauchy) 3.1.1 Dạng tổng quát (n số không âm) a1 a2 an n � a1 , a2 , an n Cho a1a2 , an , �0, ta có Đẳng thức xảy khi: a1 a2 an , 3.1.2.Dạng cụ thể (2 số, số khơng âm) Theo Cơ Si ta có: �x �2 x �2 2 �y �2 y � x 1 y 1 z 1 �8 xyz �z �2 z � Đẳng thức xảy khi: x y z PHẦN B – GỢI Ý, ĐÁP ÁN Bài 1.1 a b c �2 a b c Ta có: � a 2a 1 b 2b 1 c 2c 1 �0 � a 1 b 1 c 1 �0 2 (đúng với a, b, c ) a b c �2 a b c Vậy: Đẳng thức xảy a b c Bài 1.2 x2 y2 �x y � x3 y �xy x y � x y x xy y xy �0 x Ta có: y � x y x xy y �0 � x y x y �0 (đúng với x, y ) x2 y �x y x Vậy y Đẳng thức xảy khi: x y Bài 1.3 x4 y4 x2 y x2 y2 x y �2۳�� y x y x Ta có: � x y x x2 y2 xy x4 y4 xy x y2 xy y �0, x, y 2 � y � 3y x xy y �x � 0, x, y �0 � 2� Vì: 2 x y x y � x y x Đẳng thức xảy khi: x y �0 Vậy: y 2 Bài 1.4 t Đặt x y y x Ta cần chứng minh: �x y � �x � � �۳ 1� � �y x � �y y x t �3t � t 3t �0 � t 1 t �0 � 2� � x y x xy y x2 y2 2 �x y � x2 y � y � 3y �3 � � x xy y �x � 0, x, y �0 x � 2� �y x � Vì: Vậy: y 2 Đẳng thức xảy khi: x y �0 Bài 1.5 Ta có: a b 2ab b a � a 2b2 2ab � 2b a b a b 2ab b a b 2ab b a (đúng với a b ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 1.6 1 4 P � � a b a b 2 Ta có: Vậy MinP � a b Bài 1.7 1 �1 � c a b � �� �16 c a b � ac bc c �a b � c a b 4 Ta có: Vì: � � ab ab � � � �c a b � � �a b c � c � � Đẳng thức xảy khi: Bài 1.8 1 1 a a 4a � x, y � � � x y x y b c bc Ta dùng bổ đề sau: Từ ta có: b c b c b b 4b c c 4c � ; � Tương tự ta có: a c a c a b a b Cộng vế có: a c a b b c bc ca ab b c � �a �4 � � b b c c a a a b c �b c a c a b � Bài 1.9 1 � x, y, z Ta dùng bổ đề sau: x y z x y z 1 1 1 � , � c, � Từ ta có: a b b a 2b b c c b 2b c a a c 2a 1 � �1 1 � � � ��9 � � Cộng vế với vế được: �a b c � �a 2b b 2c c 2a � � 1 1 � � �3 � � a b c �a 2b b 2c c 2a � Đẳng thức xảy khi: a b c Bài 1.10 1 � x, y, z x y z x y z Ta dùng bổ đề sau: 1 1�1 1 � � � � 3a 2b c a b a b a c �a b a b a c � Ta có: 1 1 �2 1 � �3 � � � � � � Mặt khác: a b a b a c �a b a c � �a b c � 1 �3 � � � � Từ ta có: 3a 2b c 36 �a b c � 1 �1 � 1 �2 � � � � , � � � Tương tự ta được: a 3b 2c 36 �a b c �2a b 3c 36 �a b c � 1 1 �1 1 � � � � Cộng vế với vế được: 3a 2b c a 3b 2c 2a b 3c �a b c � Đẳng thức xảy abc 16 1 �3 � � � � 3a 2b c 1 �a b c � Lời bình: Ta dùng cơng thức tính nhanh: Bài 2.1 Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: x y Khi ta có: � x 32 �6 x � � 2 2 � y �6 y � x y 18 �6 x y xy 6.15 90 � x y �6 xy � 90 18 P x2 y � 18 � MinP 18 � x y Từ đó: Bài 2.2: 2� �� x 3 y xy xy Ta có: A � � 26 16 26 4� � �56 � 2 4x y xy 3xy �4 x y 12 xy � xy x y Khi đó: � x y �4 16 26 16 � � � 26.2 56 � xy x y xy � � Vì: � MinA 56 � x y � x Vậy Bài 2.3: Ta có 1 1 � � P 2� � 2 �a b c ab bc ca ab bc ca � ab bc ca P �2 Từ đó: Bởi: 1 ,y a b c ab bc � ca P Vậy Bài 2.4: 3 39 18 2 2 a b c 3 ab bc ca 39 �abc 1 1�1 1 � � � � 3a 2b c a c a b a b �a c a b a b � Ta có: 1 1 �1 2 � �3 � � � � � � Mặt khác: a c a b a b �a c a b � �a b c � 1 �3 � �3 � � � � � � Từ đó: 3a 2b c �a b c � 36 �a b c � 1 1 �6 6 � � � � 16 Vậy: 3a 2b c a 3b 2c 2a b 3c 36 �a b c � abc 16 Đẳng thức xảy khi: Bài 2.5: 1 � x y z x y z x y 2z x y z Ta có: x y z 10 xy yz zx x y z xy yz zx Mặt khác: x y z xy yz zx � 16 Ta biết: x y z xy yz zx �6 16 16 Từ đó: � � 1 x y z 10 xy yz zx � ��9 �2 x y z x y z x y z � x yz Đẳng thức xảy khi: Bài 2.6: Từ giả thiết ta có được: x y z x y z �18 x2 y2 z � x y z Mặt khác: x y z x y z �18 � x y z �6 Từ ta được: 1 9 P � � x y y z z x x y z 15 MinP � x y z Vậy: Bài 2.7 z xy Do tính đối xứng x y nên ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: �1 1 � �x y � �x z � �y z � P x y z � � � � � � � � y z � �y x � �z x � �z y � �x x z �x z � 15 z x2 z 15 z 15 z � � � z x �z 16 x � 16 x z 16 x 16 x 2 16 x Ta tách: y z �y z � 15 z y2 z 15 z 15 z � � � z y �z 16 y � 16 y z 16 y 16 y 2 16 y Tương tự: 15 z �1 � 15 z 15 z 27 P �6 � � � � 16 �x y � 16 x y 16 z 2 Vậy: z xy Đẳng thức xảy khi: Bài 2.8 Cách Ta giả sử điểm rơi đạt tại: x a, y b � a b Dựa liên hệ a b ta đặt: 3t a bt t � a b b t 1 � b �a t 1 t 1 t 1 2t 23 �1 2t � 23 P t 1 � � �2 6t 6t �6t � Khi thì: P 2t t � t � x 1, y 6t Đẳng thức xảy khi: Cách Với điểm rơi đạt tại: x 1, y P x y �1 x � �2 y � x y � � � � �3 x y �2 x � �y � 2 Ta tách: Đẳng thức xảy khi: x 1, y Bài 2.9 � a 3 b 3 c 3 �0 � �a, b, c �3 � � � ab bc ca �11 a 1 b 1 c 1 �0 � P a b c ab bc ca �36 2.11 14 � MaxP 14 Vậy: a; b; c 1; 2;3 Dấu “=” xảy hoán vị Bài 2.10 � ab � � bc � � ca � 1 1 1 � � � � � ��3 � � � c ab � a bc � b ca � � � � � � � Ta biến đổi: c a b � �1(1) c ab a bc b ca c c c 2� ab c a b a b c c ab Mặt khác: a a b b � ; � a b c a b c a bc b ca Tương tự: c a b abc � a b c c ab a bc b ca Cộng vế ta được: Ta làm sau: 1 � c c ab a a bc b b2 � ca c a b c a b 2 Bài 2.11 x y x y xy M x y �2 x y x y x y Ta có: Đẳng thức xảy ra: � 6 6 2 � x �y � x y x y � x y � � 2 x y �� �� � �xy �xy �x � y � � � 2 Bài 2.12 Cách x x y y y x � x y 3x y x y Ta có: x y P � 1 � MinP � x y 3 x 2x y y y x Vậy: Cách Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: x y 1 x 2x y 3x x y � 3x x y 5x y 3 Ta có: 1 y y x 3y y x � 3y y x 5y x 3 Tương tự: Cộng vế: x y x x y� y y x x y x 2x y y y x MinP Vậy: Bài 2.13 � x y a b c 2abc �2 ab bc ca Ta chứng minh được: 18 P� ab bc ca �2 18.2 11 ab bc ca Từ đó: Vậy: MinP 11 � a b c Bài 2.14 Ta có: 4a 12 2a 2a 2ab ca cb Tương tự: Từ đó: 4b 12 2a 2b c 2b ; c 12 2a 2b c 2a c 2a c 2b 6a 6b 2c 2a 2b 2c 4a 12 4b 12 c 12 � 2a 2b 2c 2 a b 1 � 2a 2b 2c 1 P � � MinP � � c2 4a 12 4b 12 c 12 � Vậy: Bài 3.1 Cách a abc abc � �x b c � x b c , x b c � b bca bca � � y 1 , y 1 �y c a c a c a � c c ab cab � �z a b � z a b , z a b Ta đặt � � x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 � xy yz zx 1 2 x y z �2 Ta cần chứng minh: x y z �0 � x y z �2 xy yz zx Thật vậy: Cách Ta có: ab b a bc c b ca a c a b b c c a ab bc ca 1 b c c a c a a b a b b c � Vậy � b c � a2 b2 c2 �a � � 2 �b c c a a b � b c c a a b a2 b c b2 c a c2 a b b c � �a � � �2 �b c c a a b � a b c b c c a a b Dấu đẳng thức xảy : Bài 3.2 P Ta có: �1 x� �y Đổi biến đặt: 1 � �1 � y �2 x z � �z 1 a ;b ;a x y z � � � �1 � z�2 � y � �x a , b, c � a b c a b c a b c 2 2 2 2 b c c a a b a b c Khi đó: x x2 a b c a2 b2 c2 � 0 x �P � x2 a2 b2 c 2 P Bài 3.3 a b a b � a a b b a 1 b 1 � a b �0; y �0 � x y b a Đổi biến đặt: 3 � �a � �� � b � � 3 P� � ��� 1 � �� x y �9 � �b ��� �a �� Từ đó: x a b b 1 a 1 � x3 y x3 y �9 � x3 y x y � �8 x y 3xy � � � � � x y 3 2 � x y xy �8 � xy x y �0 � �xy � 1� � � � � Bài 3.4 x y z �x 2 yz x x ; y z x �y 2 zx y y ; z x y �2 z z xyz Đổi biến đặt: a x x y y ; b y y 2z z ; c z z 2x x 4c a 2b 4a b 2c 4b c 2a ;y y ;z z 9 Khi đó: P � 4.3 � MinP � x y z Ta chứng minh được: x x Bài 3.5 bc x; ca y; ab z x, y , z � xyz abc Đặt: bc bc bc bc x2 a 2b a c a b c a a b c ac ab y z Khi đó: x y z x y z 3 xyz x2 y2 z2 P � � y z z x x y 2 x y z 2 2 Từ đó: Bài 3.6 Ta đặt: x a b c 0; y b c a 0; z c a b xz xy yz ;b ;c 2 Khi đó: x y y z z x xyz � Vậy ta cần chứng minh: a Theo AM-GM có: x y �2 xy 0; y z �2 yz 0; z x �2 zx Nhân vế với vế ta được: Bài 3.7 Ta đặt: x x y y z z x �8xyz a b c ,y ,z a , b, c bc ca ab Khi ta cần chứng minh: Bài 3.8 b c � 32abc �a 2� � � a b b c c a �b c c a a b � Hướng giải Ta dễ dàng thấy điểm rơi đạt tại: a b c 1 ab bc ca � a b c � ab bc ca �3 Ta biết: a b c ab bc ca a b c ab bc ca �32 Vậy: Hướng giải Ta đặt: a x , b y � c a b x y � y� a b c ab bc ca x xy y �x � y �6 � 2� � y �x � x y � a b c � �y Đẳng thức xảy khi: � 2 2 Bài 3.9 Đặt: a x; b y; c z a, b, c �0 � a b c 3 �3 3 x y z a b3 c3 � � � 64 P a b3 c abc � �x y z abc 64 Khi đó: � a b3 c p pq 3r 27 9q 3r : p Ta biết: Q 64 P a b c abc 27 9q 3r r Từ đó: p 4q p r � Ta có: Từ tìm được: MinP 3 4q Q 27 9q 4q 25 � p q � a b c 1� x y z 64 q2 p �=� = q 3 Lời bình: Ta ý 16 16 Q � q 48q 153 q 24 q 25 �25 q �3 9 Hoặc: Bài 3.10 �4q � � � � � Đặt: x y a; y z b; z x c a, b, c �0 � a b c �x y z x y y z a b � a b �abc � x y z b;2 y c;2 z a � Khi đó: 2 a b a b c 1 abc � c a b a b c � a b a b 4 4 Ta thấy: a b c �2 Hoặc: a b c � a b c �4 � a b � a b c �4abc Lời bình: Đặt: x y 2a; y z 2b; z x 2c � a b c �x y z x y y z a b � a b �8abc � a b �4abc � x y z 2b;2 y 2c;2 z 2a � 4abc �( a b) a b c c (a b)(a b)c �(a b) a b a b c �2 (a b)c � (a b)c �1 � a b �(a b) c �4abc Hoặc Bài 4.1 Ta tìm k k 2 A để kx (2 k )( x y ) (2 k ) y xy ( x y ) kx (2 k )( x y ) (2 k ) y � k Đẳng thức xảy ra, ta có xy ( x y ) Phần lại tự chứng minh Bài 4.2 n m, n Ta thêm hệ số m : 13 x x 13 x x mx x nx x m n 13 13 mx x nx x � m x x n x x m n 2m 2n m ,n 2 Dựa đẳng thức xảy ra, ta tìm Phần lại tự chứng minh Bài 4.3 1 2a ab 2b � a b a b 2 Ta đánh giá Từ P� 5 a b b c c a a b c � a b c MinP Vậy Bài 4.4 � a bc Ta dễ dàng đánh giá 3 23 a b a b 3a 2ab 3b � 2 P �2 a b c � a b c 6 Từ Vậy MinP � a b c Bài 4.5 Ta đánh giá 1 � a2 , a 2a 2 Phần lại tự chứng minh Bài 4.6 1��9 1��9 1� �9 � � � � � � �4 a a � �4 b b � �4 c c � �2a a Ta đánh giá a a a , b , c Ta để ý độ dài cạnh tam giác nên: a b c � 2a � a Phần lại bạn đọc tự chứng minh Bài 4.7 2 x4 � x , x 3 Ta đánh giá Phần lại bạn đọc tự chứng minh Bài 4.8 x x �kx , x � x x x k �0, x � k Ta cần tìm k cho Từ đánh giá được: x x �4 x , x Phần lại bạn đọc tự chứng minh Bài 4.9 k 1 k 1 � 2x y z 2x y z Ta cần tìm k cho 1 �k � � 2x y z � k �x y z � Đẳng thức xảy Phần lại bạn đọc tự chứng minh MaxP Từ đọc giả tìm Bài 5.1 Ta có Ta có �x yz 3 2 2ab 6bc 2ca abc � 2 7 a b c 3 49 4ab 9ca 4bc 22 32 22 Q � 2 a 2b a 4c b c b a c a c b a b c �a 2b 2c �a � MinQ � �6 2 �� b c 1 7 � � a b c � Vậy Bài 5.2 2a b 1 12 12 a a b � a a b 2a b Từ 1 1 �2 2 � �1 1 � P� � � � � � 2a b 2b c 2c a 1 �a b b c c a � �a b c � 1 �1 1 � �1 1 � � ��3 � ��3.2015 � � 3.2015 a b c Mà �a b c � �a b c � 2015 P � 3.2015 � MaxP � a bc 3 2015 Vậy Bài 5.3 Ta có 1 � �1 2 a b c ab bc ca ab bc ca a b c (do a b c �3 ) 2007 2007 � � M �2 �1 670 � 2 a b c ab bc ca ab bc ca � � Từ ab bc �ca � a b c 3 Vì Đẳng thức xảy a b c Bài 5.4 2007 ab bc ca 2007 � � � 1 �2 P �x � �y � xy 2 � 4x � 16 xy � 4y � Ta có: 699 P 25 1 �t �xy 16 16 Bằng đổi biến tìm được: Bài 5.5 a3 b3 c3 abc � 2 2 2 Ta đưa về: a ab b b bc c c ca a a3 a b c a b a b a b 2 a ab b 3 a ab b Bài 5.6 2 2 � 2 �1 � � ��� �1 � � � �� M � 2c 2a b � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �3� �3� � �� M a b c 1 16 2 a b c �4 a b c � a b c 1 � a b c 3 Mặt khác: abc T � 4a 2b 1 4c 3 16 Vậy � � � � ... Đẳng thức xảy khi: a=b=1 Lời bình: Ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh (độc giả tham khảo chủ đề số 5) 3 .Bất đẳng thức thường gặp 3.1 .Bất đẳng thức AM-GM (thường gọi bất đẳng thức. .. Đẳng thức xảy khi: a=b=1 Lời bình: Ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh (độc giả tham khảo chủ đề số 5) 3 .Bất đẳng thức thường gặp 3.1 .Bất đẳng thức AM-GM (thường gọi bất đẳng thức. .. ( Các ví dụ ứng dụng hệ bất đẳng thức trình bày chủ đề số 3) 3.5 Bất đẳng thức Nesbitt Cho a, b, c số thực dương a b c � Chứng minh rằng: b c c a a b Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức