Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất của phương trình: Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng hoặc giảm tron[r]
(1)Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC Lưu hành nội PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC −−−−−−− Kiến thức bản: ▪ ▪ ▪ ▪ f ( x) = ïì f ( x) ³ g ( x) Û ïí (hoặc g( x ) ) ïïî f ( x) = g ( x) ìï f ( x) ³ ïï ìï g ( x) ³ ï f ( x) = g ( x) Û í g ( x) ³ Û íï ïï ïï f ( x) = [g ( x) ]2 î ïï f ( x) = [g ( x)] ïî ìï f ( x) ³ ïï ï f ( x) < g ( x) Û í g ( x) ³ ïï ïï f ( x) < [g ( x)]2 ïî éïì g ( x) < êïí êï f ( x) ³ ïî f ( x) > g ( x) Û êê êìïï g ( x) ³ êí êëïïî f ( x) > 0 (I ) g ( x) nghiệm BPT đã cho là hợp nghiệm hệ (I) với ( II ) hệ (II) ● Các cách giải phương trình thức thường sử dụng: Phương pháp 1: Biến đổi dạng Ví dụ: Giải phương trình: 3x x x Giải: 3x x x 3x x x 2 x 2 3 x x x x x x x x Vậy phương trình có nghiệm: x Bài tập: Giải các phương trình sau: 4x x2 x 2x 6x2 x 10 x x x ( x 1) x ( x 2) x GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -1- Cell phone: 0935228284 (2) Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC Lưu hành nội Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử thức Ví dụ: Giải phương trình: x x 3x Giải: x x x (1) 2 x Điều kiện: x x 3 x x 3x x (1) x (nhận) x 11 x x (3 x 1)(4 x ) (3 x 1)(4 x ) 3 x 11x 11 Vậy tập nghiệm phương trình là: S 0; 3 Bài tập: Giải các phương trình sau: x 5 x 3 x 1 x x x 2x 5x 3x x Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình hệ phương trình đại số: Ví dụ: Giải phương trình: ( x 5)(2 x ) x 3x Giải: ( x 5)(2 x ) x 3x (1) x 3 Điều kiện: x 3x x (1) ( x x ) 10 x 3x t 2(n) Đặt t x x (t 0) Phương trình trở thành: t 3t 10 t 5(l ) x t x 3x x 3x (nhận) x 4 Vậy tập nghiệm phương trình là: S 4;1 Bài tập: Giải các phương trình sau: x x ( x 1)(4 x ) 3x 15x x 5x 3( x 2)2 ( x 1) x x x x x 2 x x 16 x x ( x 1)(3 x ) x x 2 x 5x x x2 x x x2 x x2 x x2 x GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -2- Cell phone: 0935228284 (3) Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC Lưu hành nội Phương pháp 4: Biến đổi phương trình dạng tích số: A.B=0 A.B.C=0 x2 Ví dụ: Giải phương trình: 3x x 3x Giải: x 3x x (1) 3x Điều kiện: 3x x (1) x 3x (1 x ) x ( x 1)( x 2) (1 x ) x ( x 1) ( x 2) x x x x x 3x x 3 x x x So với điều kiện ban đầu ta được: x=1 Vậy tập nghiệm phương trình là: S 1 Bài tập: Giải các phương trình sau: x x x x 8x x x x 2( x 1) Phương pháp 5: Quy phương trình chứa thức hệ phương trình không chứa thức Ví dụ: Giải phương trình: 3 x x 2x Giải: x x x (1) Đặt u x 2; v x u v 3 3 u v u v3 u 3uv(u v) v u v uv(u v) v (1) 3 3 u 3 3 u v 5 u v 5 u v 5 u v 3 u v 5 x u Do đó: x2 x v v x x 3 u x 5 5 u v u v 3 v3 x x 3 2 u v 5 v v 5 1 Vậy tập nghiệm phương trình là: S 2; 3; 2 Bài tập: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -3- Cell phone: 0935228284 (4) Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC Lưu hành nội Giải các phương trình sau: x 34 x 2( x 2) x x 1 x 1 (2 x )2 (7 x )2 (7 x )(2 x ) 3 ( x+ x 1 x 2x 2( x x 2) x x 35 - x x + ) 35 - x = 30 17 - x + x 17 - x = Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm phương trình: Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) thì phương trình f (x) c có không quá nghiệm khoảng (a;b) Do đó tồn x0(a,b) cho f (x0 ) c thì x0 là nghiệm phương trình f (x) c Tính chất 2: Nếu hàm f là hàm tăng khỏang (a,b) và hàm g là hàm giảm khoảng (a,b) thì phương trình f (x) g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a,b) Do đó tồn x0 (a,b) cho f (x0 ) g(x0 ) thì đó là nghiệm phương trình Ví dụ: Giải phương trình: x + x - 1- 3x + = Giải: Điều kiện: x Đặt f x x x 3x Ta có: f x x 3x x f (x) đồng biến trên , 3x Mặt khác f (1) nên phương trình f (x) có nghiệm x 1 ● Các cách giải bất phương trình thức thường sử dụng: Phương pháp 1: Biến đổi dạng bản: Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x2 - x + < x + Giải: ìï x - x + ³ é1 ïï ê < x£ ï x - 4x + < x + Û í x + > Û ê3 ïï ê ïïî x - x + < x + x + êëx > æ1 ù Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = çç ;1úÈ [3; + ¥ ) èç3 úû Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ( x + 1)(4 - x) > x - Giải: éìï ( x + 1)(4 - x) ³ êïí êï x - < ïî ( x + 1)(4 - x) > x - Û êê Û êïìï x - ³ êí êëïïî - x + x + > x - x + é- £ x < ê ê ê0 < x < êë Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = [- 1;2)È (0;7) Bài tập tương tự: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -4- Cell phone: 0935228284 (5) Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC Lưu hành nội Giải các bất phương trình sau: a x + x + < x + b + x - x > - x c x - x + - x + > d - 1- x > 2- x Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử thức: Ví dụ : Giải bất phương trình: x + 11 - x - ³ x - (1) Giải: ïìï x + 11 ³ ï Điều kiện: í x - ³ Û x ³ ïï ïïî x - ³ (1) Û x + 11 ³ x - + 2x - Û x + 11 ³ x - + ( x - 4)(2 x - 1) Û ( x - 4)(2 x - 1) £ - x éx £ - 12 Û ê êë5 £ x £ Kết hợp điều kiện ta được: £ x £ Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = [5;8] Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau: a x - - x- £ x- b x + + x+ 2- 2x + > c x + x+ 1< d x + ³ 6x - 2x - + 7- x Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số: Ví dụ : Giải bất phương trình: x + x + 3 - x - x > (1) Giải: Điều kiện: - x - x ³ Û - £ x £ (1) Û - x - x + > + 2(- x - x + 3) - (2) - x - x + (t ³ 0) Bất phương trình (2) trở thành: 2t - 3t - < Û - < t < 5 So sánh điều kiện t ³ ta được: £ t < Þ - x - x + < Û x + x + 13 > 0, " x Î ¡ 2 So với điều kiện ban đầu ta tập nghiệm bất phương trình (1) là: S = [- 3;1] Đặt t = Bài tập tương tự: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -5- Cell phone: 0935228284 (6) Tài liệu LTĐH TOÁN – PT, BPT CÓ CHỨA CĂN THỨC Lưu hành nội Giải các bất phương trình sau: a x + x + - 3x + x + > b x + x + < - x - x d x + < 2x + - 2x x c x( x - 4) - x + x + ( x - 2) < Phương pháp 4: Biến đổi bất phương trình dạng tích số thương: Ví dụ : Giải bất phương trình: ( x - x ) x - x - ³ (1) Giải: é êx £ Điều kiện: x - x - ³ Û ê ê êëx ³ 1 TH1: Với x = x = thì (1) thỏa mãn Suy x = ; x = là nghiệm (1) 2 éx £ TH2: Với x < x>2 thì (1) Û x - x ³ Û ê êëx ³ 2 x ³ Vậy nghiệm bất phương trình là: x £ - ; x = 2; x ³ So sánh điều kiện ta được: x < - Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau: 51 - x - x b <1 1- x x+ 5- a <1 x- 12 + x - x c ³ x - 11 12 + x - x 2x - d 2( x - 16) x- + x- > 7- x x- Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực; Cảm nhận đam mê; Hành động kiên trì ! Bí ẩn thành công là kiên định mục đích! Chúc các em học sinh THÀNH CÔNG học tập! Biên soạn và chỉnh lý: GV - Th.s Huỳnh Phúc Hải Email: uocmoxanh_284@yahoo.com ; uocmoxanh284@gmail.com ĐT: 0935.228284 – 0905.228284 – 096.4455112 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -6- Cell phone: 0935228284 (7)