Đang tải... (xem toàn văn)
Các đường nét đứt được vẽ thêm để gợi ý chứng minh khi chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ khi chứng minh - nếu cần.. Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/02/2013 (Đề thi này gồm 01 trang) x x x2 x 1 x x x Câu 1: (3 điểm) Cho A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm) 2 a) Giải phương trình: x x x x 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + ¿ 2 ( x+ y)( x − y )=45 2 ( x − y)( x + y )=85 ¿{ ¿ c) Giải hệ phương trình: Câu : (4 điểm) a) Cho a b c 0 , tính giá trị biểu thức: 1 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A n n là số chính phương P Câu : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định và AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động trên cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi theo a và R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC và cạnh CA lấy điểm D và E cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 1+ x y ¿ 10 10 x y 16 16 Q= + + ( x + y ) −¿ 2 y x ( ) Hết (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu ý a Đáp án và hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x 0, x 1 A x ( x 1) A x ( x 1) A x ( x 1) x x A (vì x x 1) 1 1 ( x ) 4 4 0.75đ 0.75đ Vậy GTLN A = 0.25đ x ( x 1) x x 1 x b c Điểm 0.25đ 0.75đ 1 x x (t / m) 0.25đ x x x x 18 2( x x 8) x x 0 0.25đ Đặt x x y, y 0 ta phương trình: a y=2 ¿ y=− ¿ ¿ ¿ ¿ 2 ¿ y −3 y −2=0 ⇔2 y + y − y −2=0 ¿ ⇔ ( y − 2)(2 y +1)=0 ⇔ y = <0 (loại); với y = ta có x x 2 x x 12 0 ( x 6)( x 2) 0 x 6 hoặc x (thỏa mãn phương trình đã cho) Vậy pt đã cho có nghiệm: x 6 , x b Vì x2 + 2x + = (x+1)2+1 > 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ (3) Nên: |2x-7| < x2 + 2x + <=> ¿ x +9> x + x − 5>0 ¿{ ¿ <=> ¿ x −7 < x2 +2 x+ 2 x −7>− x −2 x − ¿{ ¿ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ <=> x2+4x+4>9 <=> (x+2)2 >9 <=> |x+2| >3 x +2>3 ¿ x+ 2< −3 ¿ ⇔ ¿ x>1 ¿ x <−5 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ <=> Kết luận nghiệm bất phương trình Biến đổi c a ¿ 2 ( x+ y)( x − y )=45 2 ( x − y)( x + y )=85 ¿{ ¿ ⇔ x + y ¿ =45(1) ¿ ¿ ( x − y)( x + y 2)=85(2) (x − y)¿ 0.25đ 0.25đ Từ hệ ta có x – y > Nhân hai vế (1) với 17 và nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) ⇔ 4x2 + 17xy + 4y2 = Nếu y = thì x = => không thỏa mãn hệ Nếu y , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2 và đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = <=> (t+4)(4t+1) = <=> t = - hoặc t = - 1/4 <=> x = -4y hoặc y = - 4x thay vào hệ phương trình trên nghiệm phương trình đã cho là: (x ; y) {(4;-1);(1;-4)} 1 2 2 2 b c a a c b a b2 c 1 2 2 2 2 b c (b c ) a c (a c) a b (a b) 1 a b c 0 (voi : abc 0) 2bc 2ac 2ab 2abc P 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ (dk : abc 0) 1đ 1đ (4) A n2 n là số chính phương nên A có dạng A n n k (k N * ) 4n 4n 24 4k (2k ) (2n 1) 23 b 2k 2n 23 (2k 2n 1)(2k 2n 1) 23 2k 2n 1 0.5đ 0.5đ (Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) a 2k 2n 23 k 6 2k 2n 1 n 5 0.75đ Vậy với n = thì A là số chính phương C Δ ABC = AB+BC+CA M B = AB+BP+PC+CA = (AB+BM)+(CN+CA) P O A (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM (t/c tt cắt nhau) C 2 2 = √ OA − OM =2 √ a − R N Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy P di chuyển trên cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi C Δ ABC = √ a2 − R Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình - Chứng minh mà không có hình vẽ hình vẽ sai thì không công nhận (không có điểm) (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần) 0.25đ Trình bày c/m: S Δ BID= S Δ BIC b Trình bày c/m: S Δ BIC= S ΔBIA 1 => S Δ BID= S ΔBIA = S Δ ABD Trình bày c/m: S Δ ABD= S Δ ABC A 36 => S Δ BID 36 S Δ ABC=36 =1 Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình E thì không - Chứng minh mà không có hình vẽ hình vẽ sai công nhận (không có điểm) I ĐK: x≠0, y≠0 B D C 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ (5) 2 1+ x y ¿ 10 10 x y Q= + + ( x 16 + y 16 )−¿ 2 y x 2 1+ x y ¿ − 10 10 x y ¿ + +1+ + (x16 + y 16 +1+1) −¿ 2 y x ( ) ( ) Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: 10 10 x y + +1+1 ≥ x y 2 y x 16 16 4 (x + y +1+1) ≥ x y ( ) 2 4 2 4 => Q≥ x y + x y −1− x y − x y − =− Vậy giá trị nhỏ Q là Q = – 5/2 x2 = y2 = Chú ý: HS có thể giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ (6)