B/ PHẦN HAI CHUYÊN ĐỀ: “ CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – HÌNH HỌC 7 ” I/ Lý do chọn chuyên đề : Chúng ta biết rằng, đối với học sinh học toán lớp 7, vì phải bắt đầ[r]
(1)Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học A/ PHẦN MỘT Với tinh thần giúp đỡ học sinh nắm các phương pháp chứng minh và có kỹ chứng minh ba điểm thẳng hàng toán 7, là giáo viên dạy toán thân đã tìm tòi, học hỏi đưa số phương pháp để giúp học sinh thực có hiệu gặp các dạng Toán chứng minh này Chuyên đề là số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và số dạng toán đôi với các phương pháp nhằm góp phần giúp cho học sinh giáo viên quá trình học tập và giảng dạy B/ PHẦN HAI CHUYÊN ĐỀ: “ CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – HÌNH HỌC ” I/ Lý chọn chuyên đề : Chúng ta biết rằng, học sinh học toán lớp 7, vì phải bắt đầu đối mặt với lượng lớn các kiến thức hình học, nên việc giải các bài toán hình học nhiều em còn lúng túng, chưa nắm phương pháp Đặc biệt là chứng minh ba điểm thẳng hàng, phần lớn các em gặp khó khăn dạng toán này, học sinh không biết lâp luận trình bày nào ? Dâu hiệu nhận biết phần chứng minh này sao? Với trăn trở và suy nghĩ trên tôi viết chuyên đề này Tôi mong giải phần xúc trên và giúp cho học sinh định dạng có hướng giải các vấn đề gặp dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng hình học II/ Phạm vi chuyên đề: Trong chuyên đề này tôi xin đề cập đến việc: + Các phương pháp "chứng minh ba điểm thẳng hàng" + Các bài tập thực hành ( đôi với các phương pháp) III/ Nội dung chuyên đề: Dạng 1:Sử dụng hai góc kề bù A Kiến thức bản: Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam (2) Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học M CAM MAB 1800 ⇒ C, A, B thẳng hàng C A B B Bài tập: Ví dụ 1: ( Bài tập 55 trang 80 SGK Hình học 7) Cho hình vẽ: Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng B Bài giải: KD là đường trung trực AC DA = DC D ADC cân D Dˆ =Dˆ (1) I DI là đường trung trực AB DA = DB ABD cân D Dˆ =Dˆ (2) Từ (1) và (2) suy Dˆ +Dˆ =Dˆ +Dˆ A C K Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC) Mà I=900 suy IDK 900 D1 +Dˆ =Dˆ +Dˆ =900 BDC=D1 +D2 +D3 +D4 =1800 Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, M là trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Bài giải: B Xét AMB và CMD Có: AB = DC (gt) BAM=DCM=900 A C M MA = MC (M là trung điểm AC) Do đó: AMB = CMD (c.g.c) D x Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam (3) Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học Suy ra: AMB=DMC Mà AMB+BMC=1800 (kề bù) nên BMC+CMD=1800 Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng *Bài tự luyện: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N là trung điểm BE và CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng Dạng 2: Sử dụng tiên đề Ơclít và hệ A.Kiến thức bản: + Tiên đề Ơclit : “ Qua điểm ngoài đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng đó” C B A CB // a CA // a a => A, B, C thẳng hàng + Hệ quả: “ Qua điểm A ngoài đường thẳng a, kẻ đường thẳng vuông góc với a A AC a B BC a => A, B, C thẳng hàng a C B.Bài tập: * Sử dụng tiên đề: Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N cho D là trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Bài giải: Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam (4) Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học Xét AOD và COB có: + OA N D = OC (gt) A + AOD=COB (hai góc đối đỉnh) + OD = OB (gt) O Nên AOD = COB (c.g.c) C B Suy ra: DAO=OCB Do đó: AD // BC Nên DAB=CBM (đồng vị) Xét DAB và CBM có : M AD = BC ( AOD = COB) DAB=CBM AB = BM ( gt) Nên DAB = CBM (c.g.c) Suy ABD=BMC Do đó BD // CM (1) Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Gọi M, N là trung điểm các cạnh AC, AB Trên các đường thẳng BM và CN lấy các điểm D và E cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng Giải: Xét ∆AMD và ∆CMB có: AM = MC (gt) A D E AMD=CMB (đ/đ) MB = MD (gt) N B Nên ∆AMD = ∆CMB (c – g – c) Suy ADM=MBC ⇒ AD // BC (1) Tương tự chứng minh ∆ANE = ∆BNC Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam M C (5) Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học Suy AEN=BCN ⇒ AE // BC (2) Từ (1) và (2) suy ba điểm E, A, D thẳng hàng *Sử dụng hệ quả: Ví dụ 5: Cho ∆ABC, trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC Vẽ AH ⊥ BC (H BC), AK ⊥ ED Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài giải: Xét ∆ADE và ∆ABC ta có: E K D +AE = AC (gt) + AD = AB (gt) A + DAE=BAC (đ/đ) Nên ∆ADE = ∆ABC (c – g – c) B C H D=B ( hai góc tương ứng) DE // BC Mà AK DE (gt) AK BC Mà AH BC (gt) Vậy ba điểm K, A, H thẳng hàng Dạng 3: +Tính chất đường trung trực đoạn thẳng +Tính chất đường phân giác góc A Kiến thức bản: + Ba điểm cùng thuộc đường trung trực đoạn thẳng thì chúng thẳng O hàng OA =OB CA = CB ⇒ O, C, D thẳng hàng A B C DA = DB Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam D (6) Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học + Một góc có đường phân giác + OL phân giác O + OK phân giác O L ⇒ O, L, K thẳng hàng K O B.Bài tập: Ví dụ 6: Cho ∆ABC cân A, AH là phân giác góc BAC ( H ∈ BC) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB và qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt O Chứng minh A, H, O thẳng hàng Bài giải: A Ta có: ∆ABO = ∆ACO (Cạnh huyền – góc nhọn) Nên OB = OC hay O thuộc trên đường trung trực BC(1) ∆ABC cân A(gt) mà AH là phân giác nên là trung trực BC Hay A thuộc trên đường trung trực BC (2) H C B H thuộc trên đường trung trực BC(3) Từ (1), (2), (3) suy A, H, O thẳng hàng O Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là điểm nằm tam giác cho MB = MC Gọi N là trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, M, N A thẳng hàng Bài giải: Ta có: AB = AC (gt) MB = MC (gt) NB = NC ( gt) M Hay A, M, N cùng thuộc trên đường trung trực BC Vậy A, M, N thẳng hàng B Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam N C (7) Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học Ví dụ 8: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox và Oy lấy hai điểm B và C cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính cho chúng cắt hai điểm A và D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng Bài giải: x Ta có ΔBOD = ΔCOD (c-c-c) B Nên: BOD=COD Hay OD là phân giác xOy (1) A D Ta có ΔBOA = ΔCOA (c-c-c) O Nên: BOA=COA y C Hay OA là phân giác xOy (2) Từ (1) và (2) suy O, D, A thẳng hàng Dạng 4: Giao điểm ba đường trung tuyến, ba đường cao, ba đường trung trực, ba đường phân giác tam giác A.Kiến thức bản: a) Đường trung tuyến tam giác thì qua trọng tâm tam giác đó A + G là trọng tâm ∆ABC + AM là trung tuyến ∆ABC ⇒ A, G, M thẳng hàng G C B M b) Đường cao tam giác thì qua trực tâm tam giác A H + H là trực tâm ∆ABC + AK là đường cao ∆ABC ⇒ A, H, K thẳng hàng B K c) Đường trung trực cạnh thì qua giao điểm hai đường trung trực hai cạnh còn lại tam giác: Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam C (8) Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học A F E Q C B + Q là giao điểm hai đường trung trực AC và BC ⇒ F, E, Q thẳng hàng + EF là đường trung trực AB d) Đường phân giác góc tam giác thì qua giao điểm hai đường phân A giác còn lại tam giác: + AK cắt BK K + CM là phân giác C ⇒ C, M, K thẳng hàng K B Bài tập: M C B Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy hai điểm P, Q cho AQ = PQ = PM Gọi E là trung điểm AC Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng A Bài giải: Trong ∆ABC có AM là trung tuyến Q E Mà AQ = QP = PM (gt) AP = AM P C P là trọng tâm ∆ABC Vì E là trung điểm AC nên BE là trung tuyến ∆ABC BE qua trọng tâm P Vậy ba điểm B, P, E thẳng hàng Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam M B (9) Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM AC, CN AB (M ∈AC, N∈ AB), H là giao điểm BM và CN.Gọi K là trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài giải: A Ta có: H là giao điểm hai đường cao BM và CN Nên H là trực tâm ABC Mà ∆ABC cân A (AB = AC), có AK là đường trung tuyến Nên AK là đường cao. ⇒ Đường cao AK qua trực tâm H N M H Vậy ba điểm A, H, K thẳng hàng Ví dụ 11: (Bài tập 40/73 SGK) B C K Cho ∆ABC cân A Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm tam giác và cách ba cạnh tam giác đó Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng Bài giải: A Ta có: I là giao điểm hai đường phân giác C và B (1) (Vì I cách ba cạnh tam giác) Mà G là trọng tâm ∆ABC G Nên G thuộc trung tuyến AG Lại có ∆ABC cân A I Nên AG là đường phân giác (2) Từ (1) và (2) suy G ≡ I Hay A, G, I thẳng hàng C B Ví dụ12: Cho ∆ABC cân A, M là trung điểm BC Đường trung trực AB, AC cắt D Chứng minh A, D, M thẳng hàng Bài giải: A Ta có: D là giao điểm hai đường trung trực ∆ABC Suy AD là đường trung trực (1) Mà AM là đường trung tuyến ∆ABC (gt) D Lại có ∆ABC cân A Nên AM chính là đường trung trực ∆ABC (2) B Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam M C (10) Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học Từ (1) và (2) suy A,D,M thẳng hàng Bài tập tự luyện: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt I Các đường phân giác các góc ngoài đỉnh A và C cắt K Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng C/KẾT LUẬN Trên đây là định hướng ban đầu nhằm giúp cho học sinh làm quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Việc phân chia các dạng bài tập này là học sinh dễ nhớ, dễ thực hành.Vì đây là kiến thức khó học sinh nên bước đầu thân tôi chọn bài tập nhỏ, đơn giản, bài tập chủ yếu vận dụng kiến thức đã học để qua đó giới thiệu các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Hình học Trên đây là nội dung chuyên đề “ Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hình Học 7” mà tổ Toán – Tin chúng tôi xây dựng nên, chắn không thể trách khỏi thiếu sót Rất mong góp ý chân thành các đồng chí, đồng nghiệp để chuyên đề này hoàn thiện Đại Hồng, Ngày 07 tháng 01 năm 2013 Người thực Nguyễn Thị Hồ Linh Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam (11)