NW359 360 DẠNG 43 THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN có yếu tố góc và KHOẢNG CÁCH GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 43: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Góc đường thẳng mặt phẳng  Định nghĩa: d ⊥ ( P ) ⇒ (·d ; ( P ) ) = 900 Nếu Nếu d ⊥ ( P ) ⇒ (·d ; ( P ) ) = (·d ; d ' ) = (· AIH ) ( ) với d' hình chiếu d lên ( P) 00 ≤ d· ; ( P ) ≤ 90 Chú ý: Góc hai mặt phẳng  Định nghĩa: ( P) ( Q) a b Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng , vng góc với hai mặt phẳng Khi đó, góc hai mặt phẳng ( P) ( Q) góc hai đường thẳng a b b a α ϕ c β Cách 2: Ta thực theo bước Bước 1: Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (P) (Q) Bước 2: Tìm điểm I thuộc d cho mp (P) ta dễ dàng tìm đường thẳng a qua I vng góc với đường thẳng d mp(Q) ta tìm đường thẳng b qua I vng góc với đường thẳng d Khi đó: Góc hai mp(P) mp(Q) góc a b Thể tích khối đa diện a Cơng thức tính thể tích khối chóp TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ V = S.h Trong đó: S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp h B Chú ý: Cho khối chóp S.ABC A ' , B ' , C ' điểm tùy ý thuộc SA , SB , SC ta có VS.A 'B'C ' SA ' SB ' SC ' = VS.ABC SA SB SC b Cơng thức thể tích khối lăng trụ : V = B.h B h ( diện tích đáy, chiều cao) XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có cạnh bên vng góc S.ABC Ví dụ: Hình chóp có cạnh bên với đáy: Chiều cao hình chóp độ dài SA cạnh bên vng góc với đáy vng góc với mặt phẳng đáy, tức SA ^ (ABC ) chiều cao hình chóp b) Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp chiều cao tam giác chứa mặt bên vng góc với đáy SA S.ABCD Ví dụ: Hình chóp có mặt (SAB ) bên vng góc với mặt (ABCD ) phẳng đáy chiều cao hình chóp c) Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy D SAB SH chiều cao S.ABCD Ví dụ: Hình chóp có hai (SAB ) (SAD ) mặt bên (ABCD) vng góc với mặt đáy chiều cao hình chóp TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA SA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp đoạn thẳng nối đỉnh tâm đáy Đối với hình chóp đáy tam giác tâm trọng tâm G tam giác 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có tâm đa giác đáy giao điểm hai đường chéo hình vng ABCD SO có đường cao XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP Diện tích tam giác vng S= nửa tích cạnh góc vng  Pitago: AB + AC = AC 2 Diện tích tam giác  S= (cạnh)2  h= (cạnh) Diện tích hình vng:  S= (cạnh)2 AB + AD = BD  Pitago: .Đường chéo hình vng cạnh Diện tích hình chữ nhật:  S= dài x rộng Diện tích hình thoi: S = AC BD   S= 2.SABC=2.SADC Diện tích hình thang:  S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé) S = AH ( AB + CD )  II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Thể tích khối đa diện  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Cơng thức tỉ số thể tích  Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  Khoảng cách hai đường thẳng chéo BÀI TẬP MẪU S ABC ABC a (ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021) Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh , cạnh bên SA vng góc với đáy, góc S ABC khối chóp bằng: A a3 B 3a SA mặt phẳng ( SBC ) 45° ( tham khảo hình bên) Thể tích a3 3a 12 C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc mặt bên mặt đáy HƯỚNG GIẢI: B1: Tính diện tích đáy V = S h B2: tính thể tích khối lăng trụ Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A BC ⊥ ( SAM ) BC AM ⊥ BC SA ⊥ BC M Gọi trung điểm nên α = ·ASM = 45° Từ dễ thấy góc cần tìm Do tam giác Suy SAM vuông cân tại A SA = AM = a a a a3 VS ABC = = Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hình chóp có diện tích mặt đáy 6a 2a A B 3a chiều cao 3a C Lời giải 2a Thể tích khối chóp a3 D Chọn B Ta có 1 V = S đ h = 3a 2a = 2a 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Câu h 3B khối chóp có chiều cao diện tích đáy 1 V = Bh V = Bh V = 3Bh V = Bh A B C D Lời giải Chọn D V = 3B.h = Bh Ta có Khi tăng độ dài cạnh khối chóp lên lần thể tích khối chóp thay đổi nào? A Tăng lần B Tăng lần C Tăng lần D Không thay đổi Lời giải Chọn B Thể tích V Thể tích khối chóp là: V = B.h Câu Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 22 = Độ dài cạnh đáy tăng lên lần diện tích mặt đáy tăng lần 2 Cạnh bên tăng lên lần chiều cao hình chóp tăng lên lần Vậy tăng độ dài cạnh khối chóp lên lần thể tích khối chóp tăng lên lần h B Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy chiều cao 1 V = Bh V = Bh V = Bh V = Bh 3 A B C D Lời giải Chọn B V = Bh h B Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy chiều cao S ABCD S AC A B C D Khối chóp có , , , cố định chạy đường thẳng song song với S ABCD Khi thể tích khối chóp sẽ: A Giảm phân nửa B Tăng gấp đôi C Tăng gấp bốn D Giữ nguyên Lời giải Chọn D S AC ∆ Gọi đường thẳng qua song song V = B.h Ta có: ∆ P( ABCD ) ⇒ d ( S , ( ABCD ) ) = d ( ∆, ( ABCD ) ) = h AC ∆ + song song nên khơng đổi TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ABCD A B C D + , , , cố định nên diện tích tứ giác khơng đổi S ABCD Vì thể tích khối chóp giữ nguyên ( H) a 2a Cho khối chóp tích , đáy hình vng cạnh Độ dài chiều cao khối (H) chóp 3a A B a C Lời giải 4a D 2a Chọn A 1 6a V = B.h = ( 2a ) = 2a3 ⇒ h = = 3a 3 2a Câu S ABCD Cho hình chóp có đáy h cao hình chóp cho A h = a B ABCD h = 2a hình vng cạnh C Lời giải h = 3a a thể tích D a3 h = 3a .Tính chiều Chọn C Ta có: Câu 3V 3a V = S h ⇒ h = = = 3a S a S ABC Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh hình chóp cho h= A 3a h= B 3a C Lời giải 2a thể tích h = 3a 3a Tính chiều cao h= D 3a h Chọn C S ∆ABC ( 2a ) = Do đáy tam giác nên = a2 Mà Câu 3V 3a V = S∆ABC h ⇒ h = = = 3a S ∆ABC a Nếu độ dài chiều cao khối chóp tăng lên lần, diện tích đáy khơng đổi thể tích khối chóp tăng lên 20 15 10 A lần B lần C lần D lần Lời giải Chọn A Thể tích khối chóp tăng lên lần TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU S ABC Câu 10 Cho hình chóp chóp cho V= A 2a 3 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ có đáy tam giác cạnh V= B 4a 3 a V= C Lời giải chiều cao a3 3 4a Tính thể tích hình V= D a3 Chọn C a2 S∆ABC = Do đáy tam giác nên Mà 1 a a V = S ∆ABC h = 4a = 3 ABC S ABC A AB = a AC = 2a Câu 11 Cho hình chóp tam giác có đáy tam giác vng tại , , , cạnh SA SA = a S ABC bên vng góc với mặt đáy Tính thể tích V khối chóp A V = a3 B a3 V= a3 V= C Lời giải D a3 V= Chọn B B = S ABC = Diện tích đáy h=a Chiều cao: a.2a = a 2 1 a3 VABCA ' B 'C ' = B.h = a a = 3 S ABC ABC SA Câu 12 Cho hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên vng góc SA = a S ABC với mặt đáy Tính thể tích V khối chóp V= A 2a 3 V= B a3 12 V= C a3 3 V= D a3 Lời giải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU B = S ABC Diện tích đáy h=a Chiều cao: 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ a2 = 1 a2 a3 VABCA ' B ' C ' = B.h = a = 3 12 Câu 13 Cho khối chóp BC = 2a A a3 S ABC , góc SB có SA B vng góc với ( ABC ) a3 30° ( ABC ) , đáy ABC tam giác vuông cân tại Tính thể tích khối chóp C Lời giải a3 3 S ABC D A , a3 Chọn A Ta có AB hình chiếu SB lên ( ABC ) suy góc SB ( ABC ) góc · SBA = 30° A BC = 2a ⇒ AB = AC = a , a SA = AB.tan 30° = a = ∆SAB 3 A Xét vng tại có 1 a a3 S ABC = AB = a VS ABC = SA.S ABC = a = 3 Ta có Vậy Tam giác ABC vuông cân tại TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có đáy với mặt phẳng đáy mặt phẳng S ABCD chóp A V = 3a ABCD ( SBC ) 3a 3 V= 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B hình chữ nhật, AB = a AD = a SA , , vng góc tạo với đáy góc V = a3 C Lời giải 60o V Tính thể tích V= D a3 khối Chọn C Ta có S ABCD = AB AD = a.a = 3a Dễ thấy · BC ⊥ AB; BC ⊥ SB ⇒ SBA = 60o ( SAB µA = 1v ) tan 60o = SA ⇒ SA = AB tan 60o = a AB Xét tam giác vng có: 1 VS ABCD = S ABCD SA = a 3.a = a3 3 Vậy S ABC SA = a ABC ABC Câu 15 Cho hình chóp có vng góc với đáy Biết tam giác ( SBC ) mặt phẳng V= a A 3 hợp với đáy V= B ( ABC ) 2a 3 góc 30° V= C Lời giải: Tính thể tích a 12 V khối chóp V= D S ABC a Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Gọi I BC , trung điểm Xét tam giác SIA AI = AB Ta có Diện tích BC = 2a a A ta có SA = a ⇒ AI = a 3 = a2 a3 V = SA.S ABC = 3 Câu 16 Cho khối chóp A ⇒ AB = 2a S ABC = AB Thể tích ¶ = 30° SIA ta có vng tại 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ S ABC , góc SA có SB ( ABC ) a vng góc với B 30° ( ABC ) ABC tam giác vuông cân tại Tính thể tích khối chóp , đáy a C S ABC 3 D A , a3 Lời giải: Chọn A AB hình chiếu Tam giác ABC SB lên ( ABC ) vuông cân tại TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA suy góc SB ( ABC ) góc · SBA = 30° A BC = 2a ⇒ AB = AC = a , Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Vì diện tích mặt bên hình chóp nên ta có tam giác TH1: H ABC nên ta có nằm tam giác Khi ta có ⇒ ⇒ ABC SA = SB = SC = a 3a 2a = VS ABC 1 a 2a a = S ABC SH = = 3 A H nằm tam giác so với đường thẳng trịn bàng tiếp góc A ABC Khơng tính tổng quát giả sử H nằm khác phía BC Tương tự ta có HM = HN = HK Vì tam giác ABC nên 3a ⇒ BN a AM = AB + BN = HB = = : =a cos 60° 2 Vì cạnh 3a AH = AM : cos30° = : =a 2 ⇒ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ⇒ H a AN = 3 SH = SA2 − AH = 3a − TH2: Nếu với SM = SN = SK ⇒ HM = HN = HK AH = 1 SM AB = SN BC = SK CA 2 SH = SB − BH = 3a − a = a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇒ SA H tâm đường , a ⇒ SB = SC = a VS ABC 1 a2 a3 = S ABC SH = a = 3 12 Trang 72 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy Vmin 2a A S ABC góc ϕ SB có đáy tam giác cân tại B , , khoảng cách từ sin ϕ = S ABC 3a3 , · · · A AB = a BAC = 120°, SBA = SCA = 90° thỏa mãn ( SAC ) Thể tích khối chóp 3a3  a a  a =  , = 12  12  Câu 13 Cho hình chóp Gọi 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ S đến mặt đáy nhỏ C 3a3 12 D 3a3 24 Lời giải Chọn C Gọi D Ta có hình chiếu vng góc S lên đáy  AC ⊥ SC ⇒ AC ⊥ ( SDC ) ⇒ AC ⊥ DC   AC ⊥ SD Tam giác cạnh ABC cân tại A ( ABC ) , đặt Tương tự ta có · CAB = 120° ⇒ BC = a SD = x ( < x < 2a ) AB ⊥ DB · · DBC = DCB = 60° ⇒ ∆DBC a Tam giác Kẻ Gọi SDC DK ⊥ SC vuông tại tại I = BD ∩ AC D ⇒ SC = 3a + x = SB K ⇒ DK ⊥ ( SAC ) , xét ∆DIC ⇒ d ( D, ( SAC ) ) = DK = vng tại TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA C x.a 3a + x · BDC = 60° Trang 73 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU trung điểm ⇒B DC ⇒ DI = = 2a · cosBDC Theo giả thiết 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ DI ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = d ( D, ( SAC ) ) xa · , ( SAC ⇒ sin ϕ = d ( B, ( SAC ) ) ⇔ = ϕ = SB ( 3a + x ) SB ( ) ⇔ x + 3a − 4ax = x = a x  x ⇔  ÷ −4 +3= ⇔  a a  x = 3a Vậy So sánh với điều kiện suy x=a a VS ABC = S ∆ABC SD = 12 Câu 14 Cho tứ diện mặt phẳng A a3 ABCD có ; Biết góc hai · ·DAB = CBD · = 90º AB = a; AC = a 5; ABC = 135° ( ABD ) , ( BCD ) B a3 30° Thể tích tứ diện C a3 ABCD D a3 Lời giải Chọn D Dựng Ta có DH ⊥ ( ABC )  BA ⊥ DA ⇒ BA ⊥ AH   BA ⊥ DH Tam giác AHB có AB = a , Áp dụng định lý cosin, ta có Tương tự  BC ⊥ DB ⇒ BC ⊥ BH   BC ⊥ DH ·ABH = 45o ⇒ ∆HAB BC = a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA vuông cân tại A ⇒ AH = AB = a Trang 74 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Vậy S ∆ABC Dựng  HE ⊥ DA ⇒ HE ⊥ ( DAB )   HF ⊥ DB Suy Đặt 1 a2 · = BA.BC.sin CBA = a.a = 2 2 HF ⊥ ( DBC ) · (·( DBA) , ( DBC ) ) = (·HE , HF ) = EHF DH = x , HE = tam giác , ax a +x 2 HEF HF = Câu 15 Cho hình chóp · · SAB = SCB = 90° 2π a 2 S ABC B VABCD a3 = DH S ∆ABC = có đáy tam giác vng cân tại khoảng cách từ điểm ngoại tiếp hình chóp 2a + x HE x + 2a = = ⇒x=a HF x + 2a 2 S ABC E xa Vậy · cos EHF = vuông tại Suy A A đến ( SBC ) B , AB = BC = a , Diện tích mặt cầu a 8π a C 16π a D 12π a Lời giải Chọn D Gọi H Ta có: hình chiếu S lên  BC ⊥ SC ⇒ HC ⊥ BC   SH ⊥ BC Tương tự AH ⊥ AB ( ABC ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 75 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Và ∆ABC vuông cân tại vuông Dựng đường thẳng qua trung điểm Ta hồn tồn có J cắt B d nên qua tại d 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ hình vng Gọi ABCH O vng góc với I⇒I ( ABCH ) O = AC ∩ BH IJ ⊥ SA ⇒ IJ // AB ⇒ I trung điểm AH // ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = d ( H , ( SBC ) ) = HK hình chiếu K ⇒ HK = a Tam giác H lên Tam giác SHA SC SHC vuông tại , hay SB AB A¢C vng tại H ⇒ SA = 3a A 3a H ⇒ SH = a có cạnh đáy a a 15 3a ) Thể tích khối lăng trụ B I = d ∩ SC ΑΒ a = 2 BC ⊥ ( SHC ) ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ABC A′B′C ′ SA SA 3a JA = = ⇒ rS ABC = AI = a ⇒ S mc = 4π r = 12π a 2 Câu 16 Cho hình lăng trụ tâm hình tâm mặt cầu ngoại tiếp rS ABC = AI = IJ + JA2 ; IJ = ( O , dựng mặt phẳng trung trực Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: Do , C ; biết khoảng cách hai đường thẳng ABC A′B′C ′ 3a tính theo D a 3a bằng: Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 76 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Ta có AB / / A′B′ ⇒ AB / / ( A′B′C ) ⇒ d ( AB , A′C ) = d ( AB ,( A′B′C ) ) = d ( B ,( A′B′C ) ) = Đặt AA′ = x > Tam giác a 15 CA′B′ cân tại Diện tích tam giác , C CA′ = CB′ = a + x CA′B′ a2 3a + x SCA′B′ = a a + x − = a = a 3a + x 2 2 Thể tích lăng trụ V = x a2 ( 1) Lại có V = 3VB A′B′C a 15 = d( B ,( A′B′C ) ) S A′B′C = a 3a + x Do x a = a 15 a 3a + x ⇔ x = 15 3a + x ⇔ x = a V = x a = 3a Câu 17 Cho hình lăng trụ đứng · BAC = 30° lăng trụ ABC A ' B ' C ' , đáy ABC tam giác cân tại Biết khoảng cách hai đường thẳng ABC A′B′C ′ tính theo TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA a AB CB ¢ C , cạnh a AB = a góc Thể tích khối bằng: Trang 77 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A a3 B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C 3a D 3a 3 3a 3 Lời giải Chọn A Ta có AB / / A′B′ ⇒ AB / / ( A′B′C ) ⇒ d( AB , B′C ) Đặt AA′ = x > Tính a AC = BC = CA′B′ Diện tích tam giác Tam giác a = d ( AB ,( A′B′C ) ) = d ( B ,( A′B′C ) ) = ABC cân tại Diện tích tam giác cân a S ABC = AC.CB.sin120o = C , a2 a + 3x CA′ = CB′ = + x2 = 3 CA′B′ SCA′B′ = Thể tích lăng trụ V = AA′.S ABC = x 1 a a + x a a a + 12 x A′B′.CH = − = 2 4 a2 Lại có V = 3VB A′B′C a a a + 12 x = d( B ,( A′B′C ) ) S A′B′C = Do a a a a + 12 x a a = ⇔ x = ⇒V = 4 x Câu 18 Cho hình lăng trụ 2 ABC A ' B ' C ' TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , có cạnh đáy a Khoảng cách từ điểm A đến mặt Trang 78 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU phẳng ( A¢BC ) A a 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Thể tích khối lăng trụ B 2a 16 ABC A′B′C ′ C tính theo 2a 16 a bằng: D 2a 16 2a Lời giải Chọn A Gọi H trung điểm , hình chiếu vng góc A A′H BC I Chứng minh khoảng cách từ Đặt AA′ = x > Xét tam giác Ta có AI A đến ( A ' BC ) a AI = A′AH vuông tại A : đường cao: 1 1 4 a = + ⇒ + = ⇒x= 2 AI AA′ AH x 3a a 2 Thể tích lăng trụ V = x.S ABC = Câu 19 Cho lăng trụ cạnh bên ABCD.A ' B 'C ' D ' AA ' a a 3 2a = 16 2 có đáy mặt đáy ABCD 600 thể tích khối lăng trụ cho A B 3a3 V= a3 V= hình thoi cạnh Đỉnh a , tâm cách điểm A' C a3 V= O A , D B · ABC = 1200 , D Góc Tính theo V = a3 a Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 79 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Hình thoi a ABCD cạnh , a 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ nên góc ·ABC =120° · BAD = 60° , suy tam giác ABD cạnh Diện tích đáy Gọi H ABCD S = 2.S ABD = trọng tâm tam giác ABD Tính Ta có = a A′H ⊥ ( ABCD ) AO = Góc a AA ' a a , AH = mặt đáy góc A′AH Ta có 60° a A′H = AH tan 60° = 3=a Thể tích lăng trụ a a3 V = A′H S = a = 2 Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , Các mặt bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 45° hình chiếu S mặt phẳng đáy năm fngồi tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S ABC A V= a3 B V= a3 V= C Lời giải a3 D V= a3 24 Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 80 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( ABC ) Gọi H hình chiếu S mặt phẳng Gọi hình chiếu H lên cạnh AB, BC , CA P, Q, R · · · Dễ dàng có góc mặt bên với đáy góc SPH = SQH = SRH = 45° Vậy ta có ba tam giác vuông cân SHP, SHQ, SHR , suy HP = HQ = HR ⇒ H tâm đường trịn bàng tiếp ∆ABC Do ∆ABC đều, khơng tính tổng quát, ta coi H tâm đường trịn báng tiếp góc A Gọi bán kính đường trịn bàng tiếp góc A ⇒ SH = = = S a = p−a a 1 a a a3 VS ABC = SH S ABC = = 3 Vậy Câu 21 Cho khối chóp có đường cao , tam giác vng có , góc S ABC SA = 2a ABC C AB = 2a · CAB = 30° phẳng Gọi ( SAC ) A 2a 3 H hình chiếu Tính thể tích khối chóp B 2a A H AB′B SC Gọi B′ điểm đối xứng B qua mặt C 6a 7 D a 3 Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 81 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ , Ta có: BC = a AC = a 1 1 = 2+ = 2+ = 2 AH SA AC 4a 3a 12a ; 3a ⇒ AH = 3a HC = AC − AH = ; S HAC = 3a AH HC = 1 3a a3 2a 3 VHABC = S HAC BC = a = ⇒ VHAB ' B = 2VHABC = 3 7 Câu 22 Cho hình chóp tứ giá Gọi A điểm đối xứng M chóp S ABCD S ABCD C có cạnh đáy qua D , N a , cạnh bên hợp với đáy góc trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) 600 chia khối thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng: B C D Lời giải Chọn A Gọi V thể tích khối chóp S ABCD TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 82 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU V1 thể tích khối chóp cắt MB cắt MN Ta có AD SD VM PDQ VM BCN Mặt khác tại tại = P Q → → PDQ.BCN VM BCN = VN MBC Câu 23 Cho tứ diện ∆SMC V = VS ABCD = ⇒ V1 = V ⇒ V2 = V ⇒ V2 : V1 = : 2 12 12 MN song song với có chia khối tứ diện chứa điểm d ( S ; ( ABCD )) , điểm thuộc cho , , MA = 2SM SN = NB S ABC M N SA SB mặt phẳng qua AD V1 + V2 = V VM BCN = VM PDQ + V1 ⇒ V1 = VM BCN Suy thể tích khối chóp cịn lại, MP MD MQ 1 = = MB MC MN 2 S ∆MBC = S ABCD , d ( S ;( ABCD)) = A V2 trọng tâm Mà (α) trung điểm P Q 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ S ABC SC Kí hiệu mặt phẳng (α) ( H1 ) , ( H2 ) ( H1 ) khối đa diện chứa điểm S , ( H2 ) ; thể tích Tính tỉ số A V1 V V2 H H ( 1) ( ) V2 B C D Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 83 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Kí hiệu Gọi V thể tích khối tứ diện 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ S ABC , giao điểm với đường thẳng , P Q BC AC (α) Ta có NP //MQ //SC N QPC VN SMQC VB ASC d ( N , ( SAC ) ) d ( B, ( SAC ) ) S ASC VS ABC = d ( N , ( SAC ) ) S SMQC d ( B, ( SAC ) ) S SAC ( QNC ) , ta hai khối chóp Suy = VN SMQC VB ASC 10 = = 27 d ( N , ( QPC ) ) SQPC NB CQ CP 1 2 = = = d ( S , ( ABC ) ) S ABC SB CA CB 3 27 Câu 24 Cho hình chóp · · SAB = SCB = 900 trọng tâm tam giác a3 V1 VN SMQC VN QPC 10 V1 V = + = + = ⇒ = ⇒ = V VB ASC VS ABC 27 27 V1 + V2 V2 A N SMQC NS = = BS SSMQC  AM  = = ÷ = ⇒ S ASC  AS  VN QPC ( H1 ) Ta có S AMQ Khi chia khối S ABC có đáy tam giác Góc ABC , M B SB mặt phẳng trung điểm a3 15 SA ABC ( ABC ) Thể tích C a 18 vuông cân tại α thỏa mãn SMGB B, AB = BC = a, tan α = Gọi G là D a3 Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 84 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  Lấy điểm  Ta có D cho VS ABCD  Vậy VSMGB = AB ⊥ SD 1 2a = SD.S ABCD = 2a.a = 3 a3 18 Câu 25 Cho hình lăng trụ B′C cho ABC A′B′C ′ tích V Gọi M trung điểm ; điểm nằm AC N ; trung điểm Hãy tính theo thể tích khối tứ diện AB′ CN = NB′ K V : C ′MNK 11V 36 , tương tự 1 VSMGB = VSABG = VSABC = VS ABCD 12  Ta có A hình vng BC ⊥ CD, BC ⊥ SC ⇒ BC ⊥ SD  Ta có cạnh ABCD 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B 2V 15 C 5V 18 D V 12 Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 85 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có: Lại có 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ d ( C ′ ; ( MNK ) ) = d ( C ′ ; ( AB′C ) ) = d ( B ; ( AB ′C ) ) S ∆MNK = S∆AB′C − S∆AMK − S∆MNC − S ∆B′NK = S ∆AB′C − AM AK CM CN B′N B′K S ∆AB′C − S ∆AB′C − S∆AB′C AC AB′ AC CB′ B′C AB′ 1 1 = S ∆AB′C − S ∆AB′C − S ∆AB′C − S ∆AB′C = S ∆AB′C 2 3 ⇒ VC ′MNK 1 1 1 V = d ( C ′ ; ( MNK ) ) S ∆MNK = d ( B ; ( AB′C ) ) S ∆AB′C = VB′ABC = V = 3 4 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 86 ... khảo hình bên) Thể tích a3 3a 12 C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc mặt bên mặt đáy HƯỚNG GIẢI: B1: Tính diện tích đáy V =... lớn+bé) S = AH ( AB + CD )  II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Thể tích khối đa diện  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Cơng thức tỉ số thể tích  Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng TÀI... Bh h B Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy chiều cao S ABCD S AC A B C D Khối chóp có , , , cố định chạy đường thẳng song song với S ABCD Khi thể tích khối chóp sẽ: A Giảm