NW359 360 DẠNG 43 THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN có yếu tố góc và KHOẢNG CÁCH GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 43: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Góc đường thẳng mặt phẳng  Định nghĩa: d   P  � (� d ;  P  )  900 Nếu Nếu d   P  � � d ;  P    � d ; d '   � AIH     P với d ' hình chiếu d lên 00 � d�;  P  �90 Chú ý: Góc hai mặt phẳng  Định nghĩa:  P   Q  Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng a , b vng góc với hai mặt phẳng Khi đó, góc hai mặt phẳng  P  Q góc hai đường thẳng a b b a    c Cách 2: Ta thực theo bước Bước 1: Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (P) (Q) Bước 2: Tìm điểm I thuộc d cho mp (P) ta dễ dàng tìm đường thẳng a qua I vng góc với đường thẳng d mp(Q) ta tìm đường thẳng b qua I vuông góc với đường thẳng d Khi đó: Góc hai mp(P) mp(Q) góc a b Thể tích khối đa diện a Cơng thức tính thể tích khối chóp V = S.h TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Trong đó: S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp h B Chú ý: Cho khối chóp S.ABC A ' , B ' , C ' điểm tùy ý thuộc SA , SB , SC ta có VS.A 'B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VS.ABC SA SB SC b Cơng thức thể tích khối lăng trụ : V  B.h ( B diện tích đáy, h chiều cao) XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có cạnh bên vng góc Ví dụ: Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng với đáy: Chiều cao hình chóp độ dài góc với mặt phẳng đáy, tức SA ^ (ABC ) chiều cạnh bên vng góc với đáy cao hình chóp SA b) Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp chiều cao tam giác chứa mặt bên vng góc với đáy Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB ) vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) chiều cao c) Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB ) (SAD) vng góc với mặt đáy (ABCD ) d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp đoạn thẳng nối đỉnh tâm đáy Đối với hình chóp đáy tam giác tâm trọng tâm G tam giác Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có tâm đa giác đáy hình chóp SH chiều cao D SAB chiều cao hình chóp SA giao điểm hai đường chéo hình vng ABCD có đường cao SO XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP Diện tích tam giác vng S= nửa tích cạnh góc vng 2  Pitago: AB + AC = AC TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Diện tích tam giác  S= (cạnh)2  h= (cạnh) Diện tích hình vng:  S= (cạnh)2 2  Pitago: AB + AD = BD .Đường chéo hình vng cạnh Diện tích hình chữ nhật:  S= dài x rộng Diện tích hình thoi: S = AC BD   S= 2.SABC=2.SADC Diện tích hình thang:  S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé) S = AH ( AB +CD )  II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Thể tích khối đa diện  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Cơng thức tỉ số thể tích  Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng  Khoảng cách hai đường thẳng chéo BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh  SBC  45�( tham khảo hình bên) Thể tích bên SA vng góc với đáy, góc SA mặt phẳng khối chóp S ABC bằng: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ a3 3a C 12 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc mặt bên mặt đáy HƯỚNG GIẢI: B1: Tính diện tích đáy B2: tính thể tích khối lăng trụ V  S h a3 A 3a B Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A BC   SAM  Gọi M trung điểm BC AM  BC SA  BC nên � Từ dễ thấy góc cần tìm   ASM  45� Do tam giác SAM vuông cân tại A SA  AM  a a a a3 VS ABC   Suy Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hình chóp có diện tích mặt đáy 3a chiều cao 2a Thể tích khối chóp 3 3 A 6a B 2a C 3a D a Lời giải Chọn B 1 V  S đ h  3a 2a  2a 3 Ta có Câu Câu Thể tích V khối chóp có chiều cao h diện tích đáy 3B 1 V  Bh V  Bh A V  3Bh B C D V  Bh Lời giải Chọn D V  3B.h  Bh Ta có Khi tăng độ dài cạnh khối chóp lên lần thể tích khối chóp thay đổi nào? A Tăng lần B Tăng lần C Tăng lần D Không thay đổi Lời giải Chọn B V  B.h Thể tích khối chóp là: Độ dài cạnh đáy tăng lên lần diện tích mặt đáy tăng  lần Cạnh bên tăng lên lần chiều cao hình chóp tăng lên lần TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Vậy tăng độ dài cạnh khối chóp lên lần thể tích khối chóp tăng lên lần Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h 1 V  Bh V  Bh V  Bh 3 A B C V  Bh D Lời giải Chọn B Câu V  Bh Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h Khối chóp S ABCD có A , B , C , D cố định S chạy đường thẳng song song với AC Khi thể tích khối chóp S ABCD sẽ: A Giảm phân nửa B Tăng gấp đôi C Tăng gấp bốn Lời giải D Giữ nguyên Chọn D Gọi  đường thẳng qua S song song AC V  B.h Ta có:  P ABCD  � d  S ,  ABCD    d  ,  ABCD    h +  song song AC nên không đổi + A , B , C , D cố định nên diện tích tứ giác ABCD khơng đổi Vì thể tích khối chóp S ABCD giữ nguyên Câu Cho khối chóp  H  H  chóp A 3a tích 2a , đáy hình vng cạnh a Độ dài chiều cao khối C 4a Lời giải B a D 2a Chọn A 1 6a 3 V  B.h  ( 2a )  2a � h   3a 3 2a Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a thể tích a Tính chiều cao h hình chóp cho A h  a B h  2a C h  3a Lời giải D h  3a Chọn C Câu 3V 3a3 V  S h � h    3a S a Ta có: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a thể tích 3a Tính chiều cao h hình chóp cho A h 3a B h 3a C h  3a Lời giải D h 3a Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Do đáy tam giác nên S ABC 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  2a    a2 3V 3a V  SABC h � h    3a S ABC a Mà Câu Nếu độ dài chiều cao khối chóp tăng lên lần, diện tích đáy khơng đổi thể tích khối chóp tăng lên A lần B 20 lần C 15 lần D 10 lần Lời giải Chọn A Thể tích khối chóp tăng lên lần Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a chiều cao 4a Tính thể tích hình chóp cho A V 2a 3 B V 4a 3 V C Lời giải a3 3 D V a3 Chọn C Do đáy tam giác nên a2 SABC  1 a2 a3 V  S ABC h  4a  3 Mà Câu 11 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vuông tại A , AB  a , AC  2a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA  a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  a B V a3 V C Lời giải a3 D V a3 Chọn B B  S ABC  Diện tích đáy Chiều cao: h  a a.2a  a 2 1 a3 VABCA ' B 'C '  B.h  a a  3 Câu 12 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA  a Tính thể tích V khối chóp S ABC TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A V 2a 3 B V a3 12 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C V a3 3 D V a3 Lời giải Chọn B B  S ABC  Diện tích đáy Chiều cao: h  a a2 1 a2 a3 VABCA ' B ' C '  B.h  a  3 12  ABC  , đáy ABC tam giác vuông cân tại A , Câu 13 Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với BC  2a , góc SB  ABC  30� Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B a3 C Lời giải a3 D Chọn A �  30�  ABC  suy góc SB  ABC  góc SBA Ta có AB hình chiếu SB lên Tam giác ABC vuông cân tại A , BC  2a � AB  AC  a a SA  AB.tan 30� a  3 Xét SAB vng tại A có Ta có S ABC  1 a a3 AB  a VS ABC  SA.S ABC  a  3 Vậy Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  a , SA vuông góc TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU với mặt phẳng đáy mặt phẳng chóp S ABCD 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  SBC  o tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối 3a V B A V  3a C V  a Lời giải D V a3 Chọn C Ta có S ABCD  AB AD  a.a  3a o � Dễ thấy BC  AB; BC  SB � SBA  60  SAB � A  1v  tan 60o  Xét tam giác vng có: 1 VS ABCD  S ABCD SA  a 3.a  a3 3 Vậy SA � SA  AB tan 60o  a AB Câu 15 Cho hình chóp S ABC có SA  a vng góc với đáy ABC Biết tam giác ABC mặt phẳng A V a3 3  SBC  hợp với đáy B V  ABC  góc 30� Tính thể tích V khối chóp S ABC 2a 3 V C Lời giải: a3 12 D V a3 Chọn A � Gọi I trung điểm BC , ta có SIA  30� Xét tam giác SIA vng tại A ta có SA  a � AI  a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có AI  AB Diện tích 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ � AB  2a S ABC  AB  a2 a3 V  SA.S ABC  3 Thể tích  ABC  , đáy ABC tam giác vng cân tại A , Câu 16 Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với BC  2a , góc SB  ABC  30� Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B a3 C a3 D Lời giải: Chọn A �  30� AB hình chiếu SB lên  ABC  suy góc SB  ABC  góc SBA Tam giác ABC vuông cân tại A , BC  2a � AB  AC  a a SA  AB.tan 30� a  3 S ABC  AB  a 2 1 a a3 VS ABC  SA.S ABC  a  3 Câu 17 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S ABC A V a3 B V  a C V 3a D V  3a Lời giải: Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Gọi H trung điểm AB �  SAB    ABC  �  SAB  � ABC   AB � SH  AB SH � SAB  SH  VS ABC �� SH   ABC  � � � AB AB  a S ABC   a2 ,  SH S ABC  a 3 Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Biết SD  2a góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  300 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V 2a 3 B V a3 13 V C Lời giải a3 D V 4a Chọn D … � Ta có SC  SD  2a , SI  SC.sin SCI  2a 3.sin 30  a , �  2a 3.cos300  3a CI  SC cos SCI SI  AB � AB  2a BC  CI  BI   3a   a  2a 2 Từ đó: S ABCD  AB.BC  2a.2a  4a 1 4a VS ABCD  S ABCD SI  4a 2.a  3 Vậy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Tam giác BCD � DE  � DH  AH  AD  DH  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 3 1 1 S EFK  d E , FK  FK  d  D,BC BC  2 2 1 AH S EFK   3 AM AN AP    Mà AE AK AF � VSKFE  Câu VAMNP AM AN AP 8   � VAMNP  VAEKF  AE AK AF 27 27 81 Lại có: VAEKF Cho hình chóp S ABC có AB  cm , BC  cm , CA  cm Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng  ABC   SAB  ,  SBC  , nằm bên tam giác ABC Các mặt phẳng  SCA  tạo với đáy góc 60� Gọi AD , BE , CF đường phân giác tam giác ABC với D �BC , E �AC , F �AB Thể tích S DEF gần với số sau đây? A 2,9 cm B 4,1 cm C 3,7 cm Lời giải 3 D 3,4 cm Chọn D Vì mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCA tạo với đáy góc 60�và hình chiếu vng  ABC  nằm bên tam giác ABC nên ta có hình chiếu S góc S xuống mặt phẳng tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC AB  BC  CA p 9 Gọi p nửa chu vi tam giác ABC Ta có : S ABC  p  p  AB   p  BC   p  AC   6 r S  p Suy chiều cao hình chóp : h  r.tan 60� 2 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 54 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ EA BA  Vì BE phân giác góc B nên ta có : EC BC FA CA DB AB   Tương tự : FB CB , DC AC S AEF AE AF AB AC   S AC AB AB  BC AC  BC Khi : ABC SCED CA CB S BFD BC BA   Tương tự : S ABC CA  AB CB  AB , S ABC BC  CA BA  CA Do đó, � � ab bc ac S DEF  S ABC �    �  a  c  b  c  b  a  c  a  a  b  c  b � � � �, với BC  a , AC  b , AB  c  2abc S ABC  210  a  b  b  c  c  a 143 210 280 VS DEF  2  143 143 Suy  cm  �3,  cm  3 Câu 10 Trong tất khối chóp tứ giác ngoại tiếp mặt cầu bán kính a , thể tích V khối chóp tích nhỏ A V 8a 3 B V 10a 3 C V  2a Lời giải D V 32a 3 Chọn D SE  Giả sử SO  x ta có: SI  x  a ; TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  x  a  a  x  2ax Trang 55 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ SE IE � NO  IE.SO   SE Xét SEI ∽SON ta có: SO NO ax x  2ax 2 Thể tích khối chóp là: f  x  Xét hàm số x  4ax f�  x   x  2a  ; � 2ax � 4a x V  x �  � � x  2ax �  x  2a  x2 x  2a   2a  x  f�  x   � x  4a (do  2a  x ) Bảng biến thiên 32a V Vậy giá trị nhỏ thể tích là: Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành thỏa mãn AB  a, AC  a , BC  2a Biết tam giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C khoảng cách từ D đến a mặt phẳng ( SBC ) Thể tích khối chóp cho 2a A a3 B a3 C 3 Lời giải a3 D Chọn A 2 Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A ( AB  AC  BC ) Gọi E điểm đối xứng B qua A ta có tứ giác ACDE hình chữ nhật, tam giác EBC tam giác cạnh 2a TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 56 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ AD P( SBC ) � d ( D, ( SBC ))  d ( A, ( SBC ))  d ( E , ( SBC )) Hay d ( E , (SBC ))  2.d( D, ( SBC ))  2a 3 Gọi I trung điểm đoạn BC , ta có: BC  EI , BC  SI � BC  ( SEI ) d ( E , ( SBC ))  EH  Trong mp( SEI ) kẻ EH vuông góc với SI tại H Khi đó: Ta có CD  ( SAC ) ( Do CD  SC , CD  AC ) Suy AB  ( SAC ) 2a 3 Xét tam giác SBE có SA vừa trung tuyến vừa đường cao nên tam giác SBE cân tại S Xét hình chóp S EBC có đáy tam giác EBC , cạnh bên SE  SB  SC Nên gọi F  EI �CA ta có SF  ( EBC ) 2a HE sin I$   EI a Tam giác EHI vuông tại H nên $ sin I 2a SF  FI tan I$ EI  a  15  sin I$  ( )2 Tam giác SIF vuông tại F nên 1 2a 2a VS ABCD  SF S ABCD  SF AB.CA  a.a  3 15 Câu 12 Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác ABC có cạnh a Biết mặt bên hình chóp có diện tích cạnh bên a Tính thể tích nhỏ khối chóp S ABC a3 A a3 B a3 C 12 a3 D Lời giải Chọn C ABC  M , N , K Gọi H hình chiếu S mặt phẳng đáy  ; hình chiếu S AB, BC , CA TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 57 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 SM AB  SN BC  SK CA 2 Vì diện tích mặt bên hình chóp nên ta có tam giác ABC nên ta có SM  SN  SK � HM  HN  HK TH1: H nằm tam giác ABC � H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi ta có � AH  a AN  3 SA  SB  SC  a SH  SA2  AH  3a  3a 2a  1 a 2a a VS ABC  S ABC SH   � 3 TH2: Nếu H nằm ngồi tam giác ABC Khơng tính tổng quát giả sử H nằm khác phía với A so với đường thẳng BC Tương tự ta có HM  HN  HK Vì tam giác ABC nên H tâm đường tròn bàng tiếp góc A AH  AM : cos30� AM  AB  BN  3a BN a HB   : a � cos 60� 2 , 3a : a 2 Vì cạnh SA a � SB  SC  a 2 2 � SH  SB  BH  3a  a  a � VS ABC 1 a2 a3  S ABC SH  a  3 12 �a a � a Vmin  � , � 12 � 12 � Vậy � �  SCA �  90� , SBA Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cân tại A , AB  a , BAC  120�  SAC  Gọi  góc SB thỏa mãn 2a Thể tích khối chóp S ABC A 3a3 B sin   3a3 , khoảng cách từ S đến mặt đáy nhỏ 3a3 C 12 D 3a3 24 Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 58 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ  ABC  , đặt SD  x   x  2a  Gọi D hình chiếu vng góc S lên đáy �AC  SC � AC   SDC  � AC  DC � AC  SD � Ta có Tương tự ta có AB  DB � � � Tam giác ABC cân tại A CAB  120�� BC  a DBC  DCB  60�� DBC cạnh a 2 Tam giác SDC vuông tại D � SC  3a  x  SB � d  D,  SAC    DK  x.a K � DK   SAC  3a  x Kẻ DK  SC tại � Gọi I  BD �AC , xét DIC vuông tại C BDC  60� DC � DI   2a � d  B,  SAC    d  D,  SAC   � cosBDC � B trung điểm DI xa d  B,  SAC   �  �   SB, ( SAC � sin    3a  x  SB Theo giả thiết   xa � �x � x �� �    � � x  3a So sánh với điều kiện suy x  a �a � a � � x  3a  4ax  a3 VS ABC  S ABC SD  12 Vậy � � � Câu 14 Cho tứ diện ABCD có DAB  CBD  90�; AB  a; AC  a 5; ABC  135� Biết góc hai mặt phẳng a3 A  ABD  ,  BCD  30� Thể tích tứ diện ABCD a3 a3 a3 B C D Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 59 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Dựng DH   ABC  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �BA  DA �BC  DB � BA  AH � BC  BH � � BA  DH BC  DH � � Ta có Tương tự o � Tam giác AHB có AB  a , ABH  45 � HAB vuông cân tại A � AH  AB  a Áp dụng định lý cosin, ta có BC  a �  a.a 2  a S ABC  BA.BC sin CBA 2 2 Vậy �HE  DA � � HE   DAB  HF   DBC  Dựng �HF  DB � � DBA  ,  DBC    � HE , HF   EHF Suy   tam giác HEF vuông tại E Đặt DH  x , �  cos EHF Suy HE  ax a2  x2 , HF  xa 2a  x HE x  2a a3   �xa VABCD  DH S ABC  HF x  2a Vậy Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân tại B, AB  BC  a , �  SCB �  90� SBC  SAB khoảng cách từ điểm A đến  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 2 2 A 2 a B 8 a C 16 a D 12 a Lời giải Chọn D ABC  Gọi H hình chiếu S lên  �BC  SC � HC  BC � SH  BC � Ta có: AH  AB Tương tự TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 60 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Và ABC vuông cân tại B nên ABCH hình vng Gọi O  AC �BH , O tâm hình vng ABCH  Dựng đường thẳng d qua O vng góc với  , dựng mặt phẳng trung trực SA qua trung điểm J cắt d tại I � I tâm mặt cầu ngoại tiếp Ta hồn tồn có IJ  SA � IJ // AB � I trung điểm SB , hay I  d �SC rS ABC  AI  IJ  JA2 ; IJ   a  2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: AH //  SBC  � d  A,  SBC    d  H ,  SBC    HK Do BC   SHC  � HK   SBC  ( K hình chiếu H lên SC ) � HK  a Tam giác SHC vuông tại H � SH  a Tam giác SHA vuông tại H � SA  3a JA  SA 3a  � rS ABC  AI  a � S mc  4 r  12 a 2 B C có cạnh đáy a ; biết khoảng cách hai đường thẳng Câu 16 Cho hình lăng trụ ABC A��� a 15 B C tính theo a bằng: C Thể tích khối lăng trụ ABC A��� AB A� 3a A 3a B 3a C Lời giải 3a D Chọn D AB / / A�� B � AB / /  A�� B C  � d  AB , A�C   d  AB , A��  d  B , A��  B C  B C  Ta có  x0 Đặt AA� a 15  CB�  a2  x2 B cân tại C , CA� Tam giác CA�� a2 3a  x 2 SCA�� a a  x   a  a 3a  x B  2 B Diện tích tam giác CA�� a2 V  x Thể tích lăng trụ TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA  1 Trang 61 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ a 15 V  3VB A�� S A�� a 3a  x B C  d  B , A�� BC  B C  Lại có Do x a a 15  a 3a  x � x  15 3a  x � x  a a2 3a3 V  x  4 Câu 17 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , đáy ABC tam giác cân tại C , cạnh AB = a góc a � BAC  30� Biết khoảng cách hai đường thẳng AB CB �bằng Thể tích khối B C tính theo a bằng: lăng trụ ABC A��� a3 3a 3a 3a 3 A B C D Lời giải Chọn A a AB / / A�� B � AB / /  A�� B C  � d AB , B�C   d  AB , A��  d  B , A��  B C  B C  Ta có  x0 Đặt AA� Tính AC  BC  a Diện tích tam giác ABC B cân tại C , Tam giác CA�� S ABC CA�  CB�  B Diện tích tam giác cân CA�� Thể tích lăng trụ a2 o  AC.CB.sin120  SCA�� B  V  AA� S ABC  x a2 a  3x  x2  3 1 a a  x a a a  12 x A�� B CH    2 4 a2 a a a  12 x V  3VB A��  d S  �� BC ABC B C   B , A�� Lại có x Do a2 a a a  12 x a a3  � x  �V  4 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 62 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Câu 18 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' , có cạnh đáy a Khoảng cách từ điểm A đến mặt a � B C tính theo a bằng: phẳng ( A BC ) Thể tích khối lăng trụ ABC A��� 2a A 16 2a B 16 2a C 16 Lời giải 2a D Chọn A H Gọi H trung điểm BC , I hình chiếu vng góc A A� a AI  ( A ' BC ) Chứng minh khoảng cách từ A đến  x0 Đặt AA� AH vuông tại A : Xét tam giác A� 1 1 4 a   �   �x 2 AA� AH x 3a a 2 Ta có AI đường cao: AI Thể tích lăng trụ V  x.S ABC a a 3 2a   16 2 � Câu 19 Cho lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tâm O ABC = 120 Góc cạnh bên AA ' mặt đáy 60 Đỉnh A ' cách điểm A , B , D Tính theo a thể tích khối lăng trụ cho A V= 3a3 B V= a3 V= C Lời giải a3 D V = a Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 63 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ � � Hình thoi ABCD cạnh a , ABC =120�nên góc BAD  60�, suy tam giác ABD cạnh a Diện tích đáy ABCD S  2.S ABD  a2 a2  A� H   ABCD  Gọi H trọng tâm tam giác ABD Ta có Tính AO  a a , AH  AH 60� Góc AA ' mặt đáy góc A� Ta có A� H  AH tan 60� a 3a V  A� H S  a a a3  2 Thể tích lăng trụ Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , Các mặt bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 45�và hình chiếu S mặt phẳng đáy năm fngoài tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S ABC A V a3 B V a3 V C Lời giải a3 D V a3 24 Chọn A  ABC  Gọi H hình chiếu S mặt phẳng Gọi hình chiếu H lên cạnh AB, BC , CA P, Q, R � � � Dễ dàng có góc mặt bên với đáy góc SPH  SQH  SRH  45� Vậy ta có ba tam giác vuông cân SHP, SHQ, SHR , suy HP  HQ  HR � H tâm đường trịn bàng tiếp ABC Do ABC đều, khơng tính tổng quát, ta coi H tâm đường trịn báng tiếp góc A Gọi bán kính đường trịn bàng tiếp góc A � SH    S a  pa a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 64 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 a a a3 VS ABC  SH S ABC   3 Vậy Câu 21 Cho khối chóp S ABC có đường cao SA  2a , tam giác ABC vuông C có AB  2a , góc �  30� CAB Gọi H hình chiếu A SC Gọi B�là điểm đối xứng B qua mặt phẳng  SAC  Tính thể tích khối chóp 2a 3 A 2a 3 B H AB� B 6a 3 C Lời giải a3 D Chọn A 1 1  2  2  2 SA AC 4a 3a 12a Ta có BC  a , AC  a Ta có: AH � AH  3a 3a 3a HC  AC  AH  S  AH HC  ; ; HAC 1 3a a3 2a 3 VHABC  S HAC BC  a  � VHAB ' B  2VHABC  3 7 Câu 22 Cho hình chóp tứ giá S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60  BMN  chia khối Gọi M điểm đối xứng C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng: A B C Lời giải D Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 65 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Gọi V thể tích khối chóp S ABCD V V V  V V1 thể tích khối chóp PDQ.BCN thể tích khối chóp cịn lại, MB cắt AD tại P → P trung điểm AD MN cắt SD tại Q → Q trọng tâm SMC VM PDQ Ta có VM BCN  MP MD MQ 1   MB MC MN 2 VM BCN  VM PDQ  V1 � V1  VM BCN Mặt khác S MBC  S ABCD , d ( S ;( ABCD))  d ( S ; ( ABCD )) Mà V VM BCN  VN MBC  VS ABCD  � V1  V � V2  V � V2 : V1  : 2 12 12 Suy Câu 23 Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc SA SB cho MA  2SM , SN  NB ,   H1   H  khối đa diện mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu    ,  H1  chứa điểm S ,  H  có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng  H1   H  V V chứa điểm A ; thể tích A B C Lời giải Chọn A V1 Tính tỉ số V2 D Kí hiệu V thể tích khối tứ diện S ABC TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 66 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ    với đường thẳng BC , AC Gọi P , Q giao điểm  H1   QNC  , ta hai khối chóp N SMQC Ta có NP //MQ //SC Khi chia khối N QPC VN SMQC V Ta có B ASC d  N ,  SAC    d  B,  SAC    d  N ,  SAC   S SMQC d  B,  SAC   S SAC NS  BS S AMQ S �AM � VN SMQC 10  � � � SMQC    S ASC �AS � S ASC V 27 B ASC Suy VN QPC d  N ,  QPC   SQPC NB CQ CP 1 2     VS ABC d  S ,  ABC   S ABC SB CA CB 3 27 V1 VN SMQC VN QPC 10 V1 V      �  �  V VB ASC VS ABC 27 27 V1  V2 V2 Câu 24 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng cân tại B, AB  BC  a, �  SCB �  900 SAB Góc SB mặt phẳng ( ABC )  thỏa mãn tan   Gọi G trọng tâm tam giác ABC , M trung điểm SA Thể tích SMGB a3 C 18 a3 B 15 a3 A a3 D Lời giải Chọn C  Lấy điểm D cho ABCD hình vng  Ta có BC  CD, BC  SC � BC  SD , tương tự AB  SD 1 VSMGB  VSABG  VSABC  VS ABCD 12  Ta có 1 2a VS ABCD  SD.S ABCD  2a.a  3  Ta có  Vậy VSMGB  a3 18 B C tích V Gọi M trung điểm AC ; N điểm nằm Câu 25 Cho hình lăng trụ ABC A��� TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 67 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C cho CN  NB� cạnh B� ; K trung điểm AB� Hãy tính theo V thể tích khối tứ diện C� MNK : 11V A 36 2V B 15 5V C 18 Lời giải V D 12 Chọn D Ta có: d  C� ;  MNK    d  C � ;  AB� C    d  B ;  AB � C  Lại có S MNK  SAB�C  SAMK  SMNC  S B�NK AM AK CM CN B� N B� K S AB�C  S AB�C  SAB�C AC AB� AC CB� B� C AB� 1 1  S AB�C  S AB�C  S AB�C  S AB�C  S AB�C 2 3 1 1 1 V VC �MNK  d  C � ;  MNK   S MNK  d  B ;  AB � C   S AB�C  VB�ABC  V  � 3 4 12  S AB�C  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 68 ... +CD )  II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Thể tích khối đa diện  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Cơng thức tỉ số thể tích  Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng  Khoảng cách hai đường... Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc mặt bên mặt đáy HƯỚNG GIẢI: B1: Tính diện tích đáy B2: tính thể tích khối lăng trụ V  S h a3... chóp có diện tích mặt đáy 3a chiều cao 2a Thể tích khối chóp 3 3 A 6a B 2a C 3a D a Lời giải Chọn B 1 V  S đ h  3a 2a  2a 3 Ta có Câu Câu Thể tích V khối chóp có chiều cao h diện tích