Bài 2: 5,5 điểm a Một quầy bán bánh phục vụ hai chiếc bánh pizza tròn có cùng độ dày nhưng kích cỡ khác nhau.. Chiếc nhỏ hơn có đường kính 30cm giá 30 ngàn đồng.[r]
(1)UBND HUYỆN CHÂU THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC-ĐAO TẠO CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012-2013 - Môn thi: - Ngày thi: - Thời gian: TOÁN 13-01-2013 150 phút (không kể phát đề) Bài 1: (3 điểm) a) Giải hệ phương trình sau: ¿ X −Y =1 X +4 Y =10 ¿{ ¿ b) Từ kết câu a) suy nghiệm hệ phương trình sau: ¿ 1 − =1 x y + =10 x y ¿{ ¿ Bài 2: (5,5 điểm) a) Một quầy bán bánh phục vụ hai bánh pizza tròn có cùng độ dày kích cỡ khác Chiếc nhỏ có đường kính 30cm giá 30 ngàn đồng Chiếc to có đường kính 40cm giá 40 ngàn đồng Hãy tính và cho biết bánh pizza nào rẻ hơn? (phép tính lấy với chữ số thập phân) b) Giải phương trình sau: x3 – 3x2 - 3x + = c) Với giá trị nào m và n thì hàm số: y = (m2 – 5m +6)x2 + (m2 + mn – 6n2)x + là hàm số bậc ? Bài 3: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC tùy ý, từ điểm M nằm tam giác và không thuộc đường thẳng nào chứa cạnh tam giác dựng các đoạn thẳng MH vuông góc AB (H thuộc đường thẳng AB), MK vuông góc BC (K thuộc đường thẳng BC), MP vuông góc CA (P thuộc đường thẳng CA) Chứng minh AB.MH+BC.MK+CA.MP có giá trị không đổi với vị trí nào M Bài 4: (4 điểm) ¿ a) Giải hệ phương trình: b) Chứng minh đẳng thức: |x+1|+| y − 1|=5 |x +1|− y+ 4=0 ¿{ ¿ √ a − √ b ¿2 + √ ab ¿ ¿ ¿ (a>0, b>0) (2) Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường phân giác tam giác ABC cắt đường tròn (O) P, Q, R (các tia phân giác là AP, BQ, CR) a) Chứng minh PQ CR b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tam giác ICP cân - HẾT ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học 2012-2013 Môn thi: TOÁN Câu ¿ X −Y =1(1) (3.0 a) X +4 Y =10(2) ) Q Nội dung ¿{ ¿ Từ phương trình (1) ta có: X = 1+ Y (3) thay vào (2) ta được: 3(1+Y) + 4Y = 10 ⇔ 7Y = ⇔ Y = Thay Y=1 vào (3) ta X = Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (X ;Y) = (2 ;1) b) (5,5 ) ¿ 1 − =1 x y + =10 x y ¿{ ¿ d1 ¿ =π 152 =706 ,5 (cm 2) π¿ 0.25 0.25 0.25 d2 ¿ =π 202 =1256(cm2 ) π¿ (1) Do đó ngàn ta mua 1256/40 = 31.4 (cm2) (2) Từ (1) và (2) suy bánh pizza lớn có giá rẻ bánh pizza nhỏ b) Phương trình x3 – 3x2 - 3x + = (1) Ta có: x3 – 3x2 - 3x + = x2(x-3) – 3(x-3) = 0.25 0.25 0.25 0,5 Do đó ngàn ta mua 706,5/30 = 23,55 (cm2) Tương tự, S2 = 0.5 0.75 0,5 0.25 0.25 Đặt 1/x = X; 1/y = Y Theo kết câu a) hệ có nghiệm X =2; Y=1, ta có: X = 1/x = ⇔ x = ½ Y = 1/y = ⇔ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là : (x ;y) = (1/2 ; 1) a) Do hai bánh cùng độ dày nên ta gọi: d1, S1 là đường kính, diện tích bánh pizza nhỏ d2, S2 là đường kính, diện tích bánh pizza lớn Ta có: S1 = Điểm 0,25 0,25 0,25 0,5 ⇔ (x2-3)(x-3) = (2) 0,25 (3) Nghiệm (2) là nghiệm nghiệm các phương trình : x −3=0( 3) ¿ x − 3=0 (4) ¿ ¿ ¿ ¿ 0.25 0.25 0.25 0.25 Giải (3) ta các nghiệm: x1,2 = ± √ Giải (4) ta có nghiệm: x3 = Vậy phương trình (2) và là phương trình (1) có các nghiệm là: x1,2 = ± √3 ; x=3 0.75 c) Hàm số y = (m2 – 5m +6)x2 + (m2 + mn – 6n2)x + có dạng: y = Ax2 + Bx +C Nó là hàm số bậc và khi: A=0 B≠0 ⇔ ¿ m −5 m+6=0 m2 + mn − n2 ≠ ⇔ m=2 ¿ ¿ m=3 ¿ ¿( m−2 n)(m+3 n)≠ ¿ ¿{ ¿ ¿¿ 0.5 0.5 Từ đó, ta xét các trường hợp: (3,5 ) ¿ m=2 (m− n)( m+3 n) ≠0 ⇔ ¿ m=2 * n ≠1 n ≠− ¿{ ¿ ¿ m=3 (m− n)( m+3 n) ≠0 ⇔ ¿ m=3 * n≠ − n≠ ¿{ ¿ Ta có: MH là đường cao Δ MAB nên MH.AB = SMAB MK là đường cao Δ MBC nên MK.BC = SMBC A P H 0.75 0.5 (4) B K MP là đường cao Δ MCA nên MP.CA = SMCA Vậy: AB.MH+BC.MK+CA.MP = SABC Do A, B, C cố định nên diện tích tam giác ABC không đổi hay AB.MH+BC.MK+CA.MP không đổi (đpcm) (4,0 ) C 0.5 0.75 0.5 0.5 ¿ |x+1|+| y − 1|=5 (1) a) |x +1|− y+ 4=0(2) ¿{ ¿ Từ (2) suy ra: |x +1|=4 y −4 , thay vào (1): 4y + | y −1| = * Xét y 1, ta có 4y +y -1=9 ⇔ y = (thỏa đk y 1) Giải tìm được: x = x = -5 * Xét y<1, ta có 4y -y +1=9 ⇔ y = 8/3 (loại vì không thỏa đk y<1) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ;y) = (3 ;2) ; (-5 ;2) b) √ a − √ b ¿2 + √ ab ¿ ¿ ¿ 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 (a>0, b>0) Thực vế trái ta có: 0,5 √ a − √ b ¿ + √ ab ¿ 0,75 √ b ¿2 +4 √ ab ¿ a ¿ − √ab+ ¿ √ ¿ ¿ ¿ 0,75 √ a+√ b ¿2 = = (4,0 ) ¿ b √a −√¿ ¿ √ab ¿ ¿ ¿ a+ √ √ b −( √ a − √ b)=2 √ b a) Chứng minh PQ CR A Gọi K là giao điểm PQ và CR Vì AP là tia phân giác góc BAC nên R ∠BAP =∠PAC ⇒ cung BP = cung PC Tương tự cung Ả = cung RB và cung AQ = cung QC B (đpcm) Q I 0.5 K C P Do ∠ QKC là góc có đỉnh đường tròn, nên Sđ ∠ QKC = ½ (Sđcung QC+Sđcung BR+Sđcung BP) = ¼ (Sđcung AC+Sđcung AB+Sđcung BC) = 3600/4 = 900 Vậy PQ CR (đpcm) b) Chúng minh ∆ ICP cân: Ta có Sđ góc ICP = ½ (Sđcung BP+Sđcung BR) ( ∠ ICP là góc nội tiếp) 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 (5) Sđgóc PIC = ½ (Sđcung PC+Sđcung RA) ( ∠ PIC là góc có đỉnh đường tròn) Vì cung BP = cung PC và cung BR = cung RA nên ∠ ICP = ∠ PIC ⇒ ∆ IPC cân P (đpcm) Phụ chú: - Nếu học sinh có cách giải khác chính xác, lý luận chặt chẽ hưởng điểm tối đa - Điểm thi không làm tròn 0.5 0.5 0.5 (6)