Tìm điều kiện cần và đủ để mỗi phơng trình có một nghiệm nằm xen giữa hai nghiệm của ph¬ng tr×nh kia.. Xác định m để phơng trình: a Có đúng một nghiệm dơng.[r]
(1)Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng Chøng minh ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm hoÆc v« nghiÖm víi hÖ sè bÞ rµng buéc Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax 2+ bx +c=0 ( a ≠ ) cã hai nghiÖm nÕu hai điều kiện sau đợc thoả mãn: i) a ( a+2 b+ c ) <0 ii) a+3 b+2 c=0 Bµi to¸n 2: Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a+2b+3c=1 Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm (1) x −4 (2 a+1) x + a2 +192 abc+1=0 2 (2) x −4 (2 b+1) x + b +96 abc+1=0 Bµi to¸n 3: a) Cho a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b>a+c vµ a>0 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax 2+ bx +c=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2b−c ≥4 b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax 2+ bx +c=0 ( a ≠ ) cã nghiÖm nÕu a c) Cho f ( x)=ax2 + bx+ c ( a ≠ ) Chứng minh tồn m∈ R để a f ( m)≤ th× ph¬ng tr×nh f(x)=0 cã nghiÖm Bµi to¸n 4: Chøng minh r»ng nÕu |a|+|b|> th× ph¬ng tr×nh ax2 + bx+1 − a=0 cã nghiÖm Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a+b +c ≠ th× ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm a( x −b)( x −c )+ b(x −c )(x − a)+ c ( x − a)( x − b)=0 Bµi to¸n 6: Cho a, b, c lµ ba sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 14a+6b+3c=0 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax 2+ bx +c=0 cã nghiÖm Bµi to¸n 7: Gi¶ sö p=abc lµ sè nguyªn tè Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax 2+ bx +c=0 kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ Bµi to¸n 8: Chøng minh r»ng: a) Nếu phơng trình x 2+ ax+b=0 ( a , b ∈ Z ) có các nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó là nh÷ng sè nguyªn b) NÕu a, b, c lµ nh÷ng sè nguyªn lÎ th× ph¬ng tr×nh ax 2+ bx +c=0 kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ Bµi to¸n 9: Cho a, b, c tho¶ m·n -1<a,b,c<1 vµ a+b+c=0 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm x −2( a −b − c) x+2( −ab+ bc − ca+1)=0 Bµi to¸n 10: Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng kh¸c cã tæng b»ng12, Chøng minh r»ng ba ph¬ng tr×nh sau cã mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm (1) x 2+ ax+b=0 (2) vµ x 2+ cx+ a=0 (3) x + bx +c=0 Bµi to¸n 11: Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c cßn p, q lµ hai sè tuú ý.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm 2 a b + =c x − p x −q Chuyên đề: Phơng trình bậc hai ẩn và áp dụng xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai cã mét nghiÖm chung Bài toán 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung (1) x −( m+2) x +12=0 x −( m−2) x+36=0 (2) Bµi to¸n 2: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung, t×m nghiÖm chung đó x 2+(3 m+1) x − 9=0 x 2+(7 m− 1) x − 19=0 (2) ax 2+ bx +c=0 cx + bx +a=0 Bµi to¸n 3: XÐt c¸c ph¬ng tr×nh (1) (2) Tìm hệ thức a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có nghiệm chung nhÊt Bµi to¸n 4: Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung (1) x +mx −1=0 (2) mx − x +2=0 Bài toán 5: Hãy xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung (1) x − mx +2 m+1=0 (2) mx −(2m+1) x −1=0 Bµi to¸n 6: Cho hai ph¬ng tr×nh x −2 mx+ m=0 (1) (2) x − mx +10 m=0 Tìm các giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm cña ph¬ng tr×nh (1) Bài toán 7: Tìm hệ thức a và b hai phơng trình sau có nghiệm thì chúng cã mét nghiÖm chung vµ chØ mét mµ th«i x 2+2( a −1) x +2 a(a− 2)=0 (1) (2) x +2( b −1) x +2 b(b − 2)=0 2 Bµi to¸n 8: Cho hai ph¬ng tr×nh x + x +a=0 (1) vµ x + ax+1=0 (2) a) Tìm các giá trị a để hai phơng trình trên có ít nghiệm chung b) Với giá trị nào a thì hai phơng trình trên tơng đơng Bài toán 9: Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung (1) ax + x +1=0 (2) x + ax+1=0 Bµi to¸n 10: Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh (1) x + ax+b=0 (2) x + cx+d =0 Cã nghiÖm chung th× b − d ¿ +(a+c )(ad − bc)=0 ¿ Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng Bµi to¸n 1: Cho ph¬ng tr×nh (m 1) x 2(m 1) x m 0 a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phơng trình có nghiệm 2, tìm nghiệm 1 x x2 x ; x 1 c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm tho¶ m·n Bµi to¸n 2: Cho ph¬ng tr×nh x 2(m 1) x m 0 a) CMR: víi mäi gi¸ trÞ cña m ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phơng trình đã cho.Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm độc lập víi m Bµi to¸n 3: Cho ph¬ng tr×nh x x m 0 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng x1 x2 3 x x1 x ; x 2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n Bµi to¸n 4: Cho ph¬ng tr×nh (m 1) x 2(1 m) x m 0 a) Xác định m để phơng trình có nghiệm (3) b) Xác định m để phơng trình có nghiệm 2, tìm nghiệm c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3( x1 x2 ) 5 x1 x2 Bµi to¸n 5: Cho ph¬ng tr×nh x 2(m 1) x 2m 10 0 (m lµ tham sè) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm 2 b) Cho biểu thức P 6 x1 x2 x1 x2 đó x1; x2 là nghiệm phơng trình đã cho.Tìm m để P đạt GTNN, tìm giá trị nhỏ Bµi to¸n 6: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x (m 1) x 2(m 1) x m 0 a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phơng trình Tìm m để x1.x2 và x1 2 x2 Bµi to¸n 7: Cho ph¬ng tr×nh x x 0 Kh«ng tÝnh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ 7 c¸c biÓu thøc a) x1 x2 b) x1 x2 Bài toán 8: Cho phơng trình (m 4) x 2(m 2) x m 0 Xác định m để phơng trình a) Cã hai nghiÖm cïng dÊu b) Cã hai nghÞªm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã GTT§ lín h¬n c) Cã mét nghiÖm d¬ng Bµi to¸n 9: Cho ph¬ng tr×nh x 2(1 2m) x 4m 0 a Xác định m để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm độc lập với m 3 c TÝnh theo m biÓu thøc A x1 x2 d) Xác định m để phơng trình có nghiệm ba lần nghiệm Bµi to¸n 10: Cho ph¬ng tr×nh x x 0 Kh«ng tÝnh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc 2 x x A x2 x1 Bµi to¸n 11: Cho ph¬ng tr×nh Èn x (m lµ tham sè): x mx m 0 CMR ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2m TÝnh nghiÖm kÐp (nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña m 2 §Æt A x1 x2 x1 x2 a) CMR: A=m2+8m+8 b) T×m m cho A=8 c) T×m GTNN cña A vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña m Bµi to¸n 12: Cho ph¬ng tr×nh Èn x (m lµ tham sè): x 2mx 2m 0 CMR ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2m 2 §Æt A 2( x1 x2 ) x1 x2 a) CMR: A=8m2-18m+9 b) T×m m cho A=27 c) T×m m cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai nghiÖm Bµi to¸n 13: Cho ph¬ng tr×nh: x 2(m 1) x 2m 0 a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với m 2 b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m GTNN cña M x1 x2 Bµi to¸n 14: Cho ph¬ng tr×nh Èn x: mx 2( m 2) x m 0 a) Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm âm (4) Bài toán 15: Cho phơng trình ẩn x: x mx 28 0 Xác định mđể phơng trình có hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n x1 x2 1 2 Bµi to¸n 16: Cho ph¬ng tr×nh: x 2(m 1) x m m 0 a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm âm x x 50 b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 2 Bµi to¸n 17: Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x (2m 1) x m 4m 0 cã Èn lµ x a) Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng Bµi to¸n 18: Cho ph¬ng tr×nh ( x 2)( x x) ( x 2)(2 x m) 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m=1 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt Bµi to¸n 19: Cho ph¬ng tr×nh: x 2(m 1) x 2m 0 a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh CMR: gi¸ trÞ cña biÓu thøc B= x1 x2 x1.x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Bµi to¸n 20: Cho ph¬ng tr×nh: x 2(m 1) x m 0 a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bµi to¸n 21: Cho ph¬ng tr×nh Bµi to¸n 21: Cho ph¬ng tr×nh (m 1) x 2(1 m) x m 0 a) Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Xác định m để phơnmg trình có nghiệm 2, tính nghiệm c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện 3( x1 x2 ) 5x1 x2 Bµi to¸n 22: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai x 2(m 1) x 2m 10 0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm 2 b) Cho biểu thức P= 6x1 x2 x1 x2 đó x1; x2 là nghiệm phơng trình đã cho Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ Bµi to¸n 23: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x (m 1) x 2(m 1) x m 0 a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phơng trình Tìm m để x1 x2 và x1 2 x2 Bµi to¸n 24: Cho x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x mx 0 m2 4 T×m GTNN cña biÓu trhøc x1 x2 Bµi to¸n 25: Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x 2(m 2) x m 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m= b) Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c)Gọi x1; x2 là hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để (5) x1 (1 x2 ) x2 (1 x1 ) m 2 Bµi to¸n 26: 1) Cho ph¬ng tr×nh x ax a 1 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh a=-1 x Với giá trị tìm đợc b) Xác định a biết phơng trình đã cho có nghiệm là cña a h·y tÝnh nghiÖm thø hai cña ph¬ng tr×nh 2) CMR: a b 2 th× Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm x 2ax b 0 vµ x 2bx a 0 Bµi to¸n 27:Cho ph¬ng tr×nh bËc hai x 2(k 2) x 2k 0 a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với k 2 b) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.T×m gi¸ trÞ cña k cho x1 x2 18 Bµi to¸n 28: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m, n: x mx n 0 1) Cho n=0 a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với m b) Tìm m để phơng trình có nghiệm 2 2) Tìm m và n để hai nghiệm x1 ; x2 phơng trình thoả mãn x1 x2 1; x1 x2 7 Bµi to¸n 29: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m: x 2mx 2m 0 a) Giải phơng trình m=1 b) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép c)Với m=? phơng trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp) Bµi to¸n 30: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 5) x n 0 (x lµ Èn) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m=1; n=4 b) Tìm m và n để phơng trình có hai nghiệm là và -3 c) Cho m=5 Tìm số nguyên n nhỏ để phơng trình có nghiệm dơng Bµi to¸n 31: Cho ph¬ng tr×nh x 2(m 1) x 2m 10 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2 T×m gi¸ trÞ cña 2 m để 10x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bµi to¸n 32: Cho ph¬ng tr×nh (2m 1) x 4mx 0 (1) cã Èn lµ x a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m=1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m bÊt kú c) Tìm m để phơng trình có nghiệm m Bµi to¸n 33: Chøng minh r»ng nÕu a, b lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x px 0 vµ b, c lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x qx 0 th× (b-a)(b-c)=pq-6 Bµi to¸n 34: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 3) x m 0 (Èn x) a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm x x b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phơng trình Tìm m để đạt GTNN, tìm GTNN Bµi to¸n 35: Cho ph¬ng tr×nh x px q 0 a) CMR: p 9q 0 thì phơng trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm b) Cho p, q là các số nguyên CMR: phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó ph¶i lµ sè nguyªn Bµi to¸n 36: Cho ph¬ng tr×nh x mx x 0 cã Èn lµ x (6) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt âm 2 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phơng trình Tìm m để có x1 x2 13 Bài toán 37: Tìm k để phơng trình kx (12 5k ) x 4(1 k ) 0 có tổng bình phơng các nghiÖm b»ng 13 2 Bµi to¸n 38: Cho ph¬ng tr×nh mx 2mx m 3m 0 cã Èn lµ x a) Tìm m để phơng trình vô nghiệm x x 1 b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 2 2 3 4 Bµi to¸n 39: CMR: ph¬ng tr×nh (a b ) x 2(a b ) x a b 0 lu«n cã nghiÖm víi mäi a, b Bµi to¸n 40: Cho ph¬ng tr×nh (m 1) x 2(m 1) x m 0 1) Giải và biện luận phơng trình đã cho theo m 2) Khi ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 a) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1; x2 độc lập với m b) T×m m cho x1 x2 2 Bµi to¸n 41: Cho ph¬ng tr×nh mx 2(m 1) x m 0(m 0) (1) CMR: nÕu x1 ; x2 lµ nghiÖm 2 cña (1) vµ tho¶ m·n x1 x2 2 th× ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp 2 Bµi to¸n 42: Cho ph¬ng tr×nh x 2mx m 0 a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với m b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm x1; x2 kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2 c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x2 x1 Bµi to¸n 43: Cho ph¬ng tr×nh x mx n 0 Èn x a) T×m m vµ n biÕt r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n x1 x2 1 3 x1 x2 7 2 b) Cho biết n=m-2 Tìm m và n để x1 x2 đạt GTNN Bµi to¸n 44: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 3) x m 0 (Èn x) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn x1 x2 2 b) Tìm m cho A đạt GTNN và tính giá trị với A x1 x2 x1 x2 Bµi to¸n 45: Cho ph¬ng tr×nh x px q 0 T×m p, q biÕt r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 x2 5 3 tho¶ m·n x1 x2 35 Bµi to¸n 46: Cho ph¬ng tr×nh ax bx c 0 cã hai nghiÖm sè d¬ng x1 ; x2 CMR: ph¬ng trình cx bx a 0 có hai nghiệm số dơng Gọi các nghiệm đó là x3 ; x4 Chứng minh r»ng ( x1 x2 )( x3 x4 ) 4 (7) Bµi to¸n 47: Gäi ; lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3x x 0 Kh«ng gi¶I ph¬ng tr×nh h·ylËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè b»ng sè mµ c¸c nghiÖm cña nã lµ vµ 2 Bµi to¸n 48: Cho ph¬ng tr×nh (m m 1) x (m 8m 3) x 0 Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m GTLN vµ GTNN cña tæng S= x1 x2 Bµi to¸n 49: Cho ph¬ng tr×nh x x m 0 víi m lµ tham sè Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3 2 a) T×m m cho x1 x2 x1 x2 x2 x1 3 2 b) T×m GTLN cña biÓu thøc A x1 x2 x1 x2 Bµi to¸n 50: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x (2m 3) x m 0 2 Tìm m để x1 x2 3x1 x2 ( x1 x2 ) đạt giá trị lớn Bài toán 51: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác CMR phơng trình x (a b c) x ab bc ca 0 v« nghiÖm Bµi to¸n 52: Cho ph¬ng tr×nh mx (2m 1) x m 0 2 Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 x2 2003 Bµi to¸n 53: Gäi a, b lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x px 0 ; c, d lµ hai nghiÖm cña 2 ph¬ng tr×nh y qy 0 Chøng minh hÖ thøc (a c)(a d )(b c )(b d ) ( p q ) 2 Bµi to¸n 54: Cho ph¬ng tr×nh x 2mx 3m 4m 0 (Èn x) a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với m b) T×m m cho x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bµi to¸n 55: Cho ph¬ng tr×nh (m 2) x (2m 1) x m 0 (Èn x) a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với m b) Tìm tất các giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Khi đó hãy tìm m để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm 2 Bµi to¸n 56: Cho ph¬ng tr×nh mx (m m 1) x m 0 Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt khác -1 Bµi to¸n 57: Cho f ( x) x 2(m 2) x 6m a) CMR: ph¬ng tr×nh f(x)=0 cã nghiÖm víi mäi m b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t từ đó tìm điều kiện m để phơng trình f(x)=0 có hai nghiÖm lín h¬n 2 Bµi to¸n 58: BiÕt r»ng x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax bx c 0 ViÕt ph3 ¬ng tr×nh bËc hai nhËn hai sè x1 ; x2 lµ nghiÖm Bµi to¸n 59: a) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x ax 0 3 TÝnh A= x1 x2 theo a (8) b) Cho f ( x) 2mx (5 4m) x (2m 20) x (45m 26) x 32 2m Tìm m để f(x) có nghiÖm lµ Chøng minh lóc Êy f(x) chia hÕt cho x x 10 T×m c¸c nghiÖm cßn l¹i cña f(x) Bµi to¸n 60: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x x 0 a) H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 2x1 x2 vµ 2x2 x1 A 2x x 2x x 2 b) H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Bµi to¸n 61: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x mx 0 2 TÝnh A x1 x2 theo m Bµi to¸n 62: Chøng minh r»ng nÕu a(a c) c(c a ) 8(d b) 2 th× hai ph¬ng tr×nh x ax b 0 vµ x cx d 0 cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi to¸n 63: Cho phơng trình (m 4) x 2(m 2) x m 0 Xác định m để phơng trình a) cã hai nghiÖm cïng dÊu b) Cã hai nghiÖm tr¸idÊu vµ nghiÖm ©m cã GTT§ lín h¬n c) Cã mét nghiÖm d¬ng Bµi to¸n 64: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 1) x m 0 a) Xác định m để phơng trình có nghiệm -1 và tìm nghiệm b) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với m 2 c) Với giá trị nào m thì A x1 x2 đạt GTNN tìm GTNN Bµi to¸n 65: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 1) x m 0 a)CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với m 2 b) T×m m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x1 x2 10 2 2 Bµi to¸n 66: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 3) x m 3m 0 a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm m thay đổi b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x1 x2 Bµi to¸n 67: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 1) x m m 0 a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm âm x x 50 b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 2 Bµi to¸n 68: Cho ph¬ng tr×nh x (2m 1) x m 4m 0 a) Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng Bµi to¸n 69: Cho ph¬ng tr×nh (m 1) x 2(m 2) x m 0 a) Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn (4 x1 1)(4 x2 1) 18 2 Bµi to¸n 70: Cho hai ph¬ng tr×nh x p1 x q1 0 vµ x p2 x q2 0 BiÕt r»ng p1 p2 2( q1 q2 ) CMR: ít hai phơng trình đã cho có nghiệm (9) 2 Bµi to¸n 71: Cho ph¬ng tr×nh (m m 1) x (m m 1) x 0 a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 ; x2 b) T×m GTNN cña P= x1.x2 c) T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc S= x1 x2 2 Bµi to¸n 72: Cho ph¬ng tr×nh (m m 1) x (m 2m 2) x 0 a) CMR: phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với m b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc S= x1 x2 2 Bµi to¸n 73: Cho ph¬ng tr×nh x 2(m 2) x m 4m 0 a) Tìm các giá trị m để phơng trình có nghiệm b) CMR: ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× hai nghiÖm cña nã tho¶ m·n 2 x1 x2 3x1 x2 Bài toán 74: Tìm Tất các sô nguyên k để phơng trình : kx2 –(1-2k)x + k – = lu«n cã nghiÖm h÷u tØ Bµi to¸n 75: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + a1x +b1 =0 (1) x2 + a2x + b2 = (2) Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 +b2) Chứng minh hai phơng trình đã cho có nghiệm Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng so s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè cho tríc ********* Bài toán 1: Tìm m để phơng trình x mx m 0 có nghiệm thoả mãn điều kiện x1 x2 Bài toán 2: Tìm m để phơng trình 2mx x m 0 có nghiệm thoả mãn x2 2 Bµi to¸n 3: Cho ph¬ng tr×nh x 2(m 1) x ( m 1) 0 x1 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm nhỏ 1, nghiệm lớn b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bµi to¸n 4: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ nh÷ng sè d¬ng th× ph¬ng tr×nh 1 0 x x a x b a 2a 2b b x1 x2 vµ 3 Cã hai nghiÖm x1 ; x2 (x1 >x2 ) cho 2 Bµi to¸n 5: Cho hai ph¬ng tr×nh x px n 0 (1) vµ x 2mx n 0 (2) (10) Tìm điều kiện cần và đủ để phơng trình có nghiệm nằm xen hai nghiệm ph¬ng tr×nh Bài toán 6: Tìm giá trị tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ x ( m 1) x m 0 h¬n 1: Bài toán 7: Tìm m để phơng trình 3x x 2(m 1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ 2 Bài toán 8: Xác định m để phơng trình mx 2(m 2) x 0 có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo hai nghiệm nhỏ Bài toán 9: Cho phơng trình mx 2(m 3) x m 0 Xác định m để phơng trình: a) Có đúng nghiệm dơng b) Có đúng nghiệm không dơng Bài toán 10: Cho phơng trình (m 4) x 2(m 2) x m 0 Xác định m để phơng trình cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n: x x a) x1 x2 vµ 2 b) x1 x2 2( x1 x2 ) Bài toán 11: Cho phơng trình (m 1) x 2mx m 0 Xác định m để phơng trình : a) Có hai nghiệm nhỏ b) Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm nhá h¬n 2 Bµi to¸n 12: Cho ph¬ng tr×nh ax bx c 0;(a 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 x2 2 Chøng minh r»ng: b a c ac 3abc Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp) (11)