B- néi dung Phần 1 : các kiến thức cần lưu ý 1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa[r]
(1)Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC a.môc tiªu: 1-Học sinh nắm vững số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 2-Một số phơng pháp và bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm cho häc sinh häc sau 3-Rèn kỹ và pp chứng minh bất đẳng thức B- néi dung Phần : các kiến thức cần lưu ý 1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa 2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu 5- Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt tØ sè 6- Ph¬ng ph¸p lµm tréi 7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phơng pháp đổi biến số 9- Ph¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai 10- Ph¬ng ph¸p quy n¹p 11- Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng Phần :các bài tập nâng cao PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên (2) Phần I : các kiến thức cần lưu ý A B A B 0 A B A B 0 1-Đinh nghĩa: 2-tính chất + A>B ⇔ B< A + A>B vµ B >C ⇔ A>C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B vµ C > D ⇒ A+C > B + D + A>B vµ C > ⇒ A.C > B.C + A>B vµ C < ⇒ A.C < B.C + < A < B vµ < C <D ⇒ < A.C < B.D + A > B > ⇒ A ❑n > B ❑n ∀n +A>B A ❑n > B ❑n víi n lÎ ⇒ + | A| > |B| A ❑n > B ❑n víi n ch½n ⇒ + m > n > vµ A > ⇒ A ❑m > A ❑n + m > n > vµ <A < ⇒ A ❑m < A ❑n +A < B vµ A.B > ⇒ 1 > A B 3-một số bất đẳng thức + A ❑2 víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) n + A víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) + | A|≥ víi ∀ A (dÊu = x¶y A = ) + - | A| < A = | A| + + AB A B | A − B|≤|A|−|B| ( dÊu = x¶y A.B > 0) ( dÊu = x¶y A.B < 0) Phần II : số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > Lu ý dùng bất đẳng thức M ❑2 với M VÝ dô x, y, z chøng minh r»ng : a) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx 2 b) x ❑ + y ❑ + z ❑ 2xy – 2xz + 2yz c) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz - zx ( x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx) y − z ¿2 x − z ¿2 +¿ ≥ = đúng với x;y;z R x − y ¿ 2+¿ ¿ ¿ V× (x-y) víix ; y DÊu b»ng x¶y x=y (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z (y-z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx = DÊu b»ng x¶y x = y =z (3) b)Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ❑2 đúng với x;y;z R VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z R DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 – 2( x+ y +z ) = x ❑2 - 2x + + y ❑2 -2y +1 + z ❑2 -2z +1 = (x-1) ❑2 + (y-1) ❑2 +(z-1) ❑2 DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a) a2 +b2 a+ b ≥ 2 ( ) a2 +b2 +c a+ b+c ≥ 3 ( ;b) ) c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n gi¶i a2 +b2 a+b − 2 2 2 ( a + b ) a + 2ab+ b2 − 4 ( a2 +2 b2 − a2 −b −2 ab ) ( a −b )2 ≥ a2 +b2 a+ b ≥ 2 ( ) a) Ta xÐt hiÖu = = = VËy ( ) DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiÖu a2 +b2 +c a+b+ c − 3 = [ ( a − b ) + ( b − c )2 + ( c − a ) ] ≥ 2 2 VËy a +b +c ≥ a+ b+c 3 ( ) ( ) DÊu b»ng x¶y a = b =c c)Tæng qu¸t 2 a1 +a2 + +an a1 +a2 + +an ≥ n n ( ) Tóm lại các bớc để chứng minh A B theo định nghĩa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H=(C+D) ❑2 H=(C+D) ❑2 +….+(E+F) ❑2 Bíc 3:KÕt luËn A B VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) Gi¶i: m2 m2 m2 m2 2 ⇔ − mn+n + − mp+ p + − mq+q + − m+1 ≥ 4 4 ( )( )( )( ) (4) ⇔ ( 2 2 m m m m − n + − p + − q + −1 ≥ 2 2 )( )( DÊu b»ng x¶y )( m −n=0 m − p=0 m −q=0 m −1=0 ) m m p= m q= m=2 { { ⇔ (luôn đúng) n= ⇔ {n=m=2 p=q=1 phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Lưu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng Chú ý các đẳng thức sau: ( A + B )2= A2 +2 AB+B ( A + B+C )2=A +B 2+C +2 AB+2 AC+2 BC ( A + B )3= A3 +3 A B+3 AB2 + B3 VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng a) a2 + b ≥ ab b) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) Gi¶i: a) a2 + b ≥ ab 2 2 ⇔ a +b ≥ ab ⇔ a − a+b ≥ (bất đẳng thức này luôn đúng) ⇔ ( a −b )2 ≥ VËy a2 + b ≥ ab (dÊu b»ng x¶y 2a=b) 2 b) a +b +1 ≥ ab+a+ b ⇔ 2(a2 +b2 +1)> 2(ab+ a+b) 2 2 ⇔ a − 2ab+ b +a −2 a+1+b − 2b +1≥ b −1 ¿2 ≥0 a −1 ¿2 +¿ Bất đẳng thức cuối đúng a −b ¿ 2+ ¿ ⇔¿ VËy a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b c) DÊu b»ng x¶y a=b=1 a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) ⇔ ⇔ ⇔ (a 2+ b2+ c 2+ d 2+ e2 )≥ a ( b+c + d+ e ) ( a − ab+ b 2) + ( a2 − ac+ c ) + ( a2 − ad + d ) + ( a − ac +4 c2 ) ≥ ( a −2 b )2 + ( a− c )2 + ( a− d )2+ ( a− c )2 ≥ Bất đẳng thức đúng ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chøng minh r»ng: ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b )( a4 + b4 ) (5) Gi¶i: ⇔ ( a +b ) ( a + b2 ) ≥ ( a8 +b )( a4 + b4 ) 2 2 2 ⇔ a b ( a − b ) +a b ( b − a ) ≥0 10 10 12 10 2 10 12 12 4 a +a b +a b +b ≥ a + a b + a b + b ⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) Bất đẳng thức cuối đúng ta có điều phải chứng minh 12 Ví dụ 3: cho x.y =1 vµ x.y Chøng minh Gi¶i: x2 + y2 x− y √2 x +y ⇒ x2+y2 √ v× :x y nªn x- y √ ( x-y) x− y ⇔ x2+y2+2- √ x+ √ y -2 ⇒ x2+y2- √ x+ √ y 2 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 ⇔ x +y +( √ ) - √ x+ √ y -2xy Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh ⇒ (x-y- √ ) Ví dụ 4: 1)CM:P(x,y)= x y + y − xy −2 y+ 1≥ ∀ x , y∈ R 2 2)CM: √ a +b +c ≤|a|+|b|+|c| (gîi ý :b×nh ph¬ng vÕ) 3)cho ba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: { x y z =1 1 + + < x+ y+ z x y z Chứng minh : có đúng ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97) Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 ) 0 + + + + x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( x y z )=x+y+z - ( (v× x y z < x+y+z theo gt) → sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d¬ng NÕñ trêng hîp sau x¶y th× x, y, z >1 → x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z=1 b¾t buéc ph¶i x¶y trờng hợp trên tức là có đúng ba số x ,y ,z là số lớn Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x 2+ y ≥ xy b) x 2+ y ≥∨xy∨¿ dÊu( = ) x = y = c) ( x+ y )2 ≥ xy d) a b + ≥2 b a 2)Bất đẳng thức Cô sy: a1 +a2 +a 3+ + an ≥ √ a1 a2 a3 an n Víi >0 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski +¿ n ¿ x 21+ x 22 + ¿ ( a1 x 1+ a2 x + +an x n ) ( a + a22+ + a2n ) ¿ 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: NÕu {Aa≤≤ bB≤≤ cC ⇒ aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≥ 3 (6) {Aa≥≤bB≤≥Cc DÊu b»ng x¶y { a=b=c A=B=C aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≤ 3 ⇒ NÕu b/ các ví dụ ví dụ 1: Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x+ y )2 ≥ xy Tacã ; ( a+b )2 ≥ ab ; ( b+ c )2 ≥ bc ( a+b )2 ⇒ ( b+ c )2 ( c +a )2 ≥ ac 2 2 64 a b c =( abc ) ( c +a )2 ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) 8abc DÊu “=” x¶y a = b = c 1 + + ≥9 (403-1001) a b c CMR:x+2y+z (1 − x)(1 − y )(1 − z) ví dụ (tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: a b c + + ≥ b+c c +a a+b CMR: 4)Cho x ,y tháa m·n √ x − √ y=1 ;CMR: x+y ví dụ 3: Cho a>b>c>0 vµ a +b + c =1 chøng minh r»ng 2 a3 b3 c3 b c a c a b Gi¶i: Do a,b,c đối xứng, giả sử a b { ⇒ c a ≥ b2 ≥c a b c ≥ ≥ b+ c a+ c a+ b ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã a2 VËy ví dụ 4: a b c a2+ b2 +c a b c = = +b + c2 ≥ + + 2 b+ c a+ c a+ b b+ c a+c a+ b 3 a b c DÊu b»ng x¶y a=b=c= + + ≥ b+c a+ c a+b √3 ( ) Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng : 2 2 a +b + c + d + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 Gi¶i: Ta cã 2 a +b ≥ ab 2 c + d ≥ cd Do abcd =1 nªn cd = ab 1 ) x (dïng x+ ≥ )≥ ab a ( b+ c )+ b ( c+ d )+ d ( c+ a ) Ta cã a2 +b 2+ c ≥ 2(ab+cd )=2(ab+ (1) MÆt kh¸c: =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = (ab+ ab1 )+( ac+ac1 )+( bc+ bc1 ) ≥ 2+ 2+ VËy a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 ví dụ 5: Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (7) b+d ¿2 ¿ a+ c ¿2 +¿ ¿ √¿ Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacã ac+bd √ a2 +b2 √c +d mµ ( a+ c )2 + ( b+ d )2=a 2+ b2+ ( ac + bd ) + c2 +d ⇒ b+d ¿2 ¿ a+ c ¿2 +¿ ¿ √¿ ( a 2+b ) +2 √ a2+ b2 √ c 2+ d 2+ c 2+ d ví dụ 6: Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã ( 12 +12+12 ) (a2 +b 2+ c2 )≥ ( a+ b+1 c )2 ( a 2+b 2+ c ) ≥ a2 +b 2+ c 2+2 ( ab+ bc+ ac ) ⇒ Lưu ý: ⇒ a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y a=b=c Phương pháp 4: A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x ❑2 <x Sử dụng tính chất bắc cầu ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: Tacã ⇒ ⇔ ⇔ +d {a>c b>c +d ⇒ (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc >d >0 {ab −c −d >c >0 (®iÒu ph¶i chøng minh) 2 ví dụ 2: Cho a,b,c>0 tháa m·n a +b + c = Chøng minh 1 1 + + < a b c abc Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) ⇒ ¿ ac+bc-ab ¿ ⇒ ac+bc-ab ¿ Gi¶i: ( a2+b2+c2) ¿ ¿ Chia hai vÕ cho abc > ta cã ¿ 1 + − a b c ví dụ Cho < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 (1) ⇒ (1-a).(1-b) > 1-a-b Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd ¿ ¿ ¿ abc (8) ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) ví dụ 1- Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng 3 2 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a Gi¶i : Do a < ⇒ a <1 vµ Ta cã ( 1− a2 ) ( 1− b ) <0 ⇒ 1-b- a2 + a2 b > ⇒ 1+ a2 b2 > a2 + b 3 mµ 0< a,b <1 ⇒ a > a , b > b Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1+ a2 b2 > a3 + b3 3 VËy < 1+ a2 b2 a + b T¬ng tù b3 + c 1+b2 c c ❑3 + a3 1+c a Cộng các bất đẳng thức ta có : a3 +2 b3 +2 c ≤ 3+a2 b+b c+ c2 a b)Chøng minh r»ng : NÕu a2 +b 2=c +d 2=1998 th× ac+bd =1998 (Chuyªn Anh –98 – 99) Gi¶i: Ta cã (ac + bd) ❑2 + (ad – bc ) ❑2 = a ❑2 c ❑2 + b ❑2 d +2 abcd+ a2 d +b2 c 2 abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rá rµng (ac+bd)2 ( ac+ bd )2 + ( ad − bc )2=19982 ⇒ |ac+ bd|≤1998 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 c høng minh r»ng : a ❑12 + a22 +a 23+ + a22003 2003- 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c tháa m·n :a+b+c=1(?) Chøng minh r»ng: ( b – NÕu a >1 b a <1 b th× th× dùng tính chất tỷ số a a+ c > b b+ c a a+ c < b b+ c 2)NÕu b,d >0 th× tõ a c a a+c c < ⇒ < < b d b b+ d d ` ví dụ : Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng 1< ( đề thi vào chuyên nga pháp 1 −1 ¿ ( − 1).( −1)≥ a b c Phương pháp 5: Kiến thức 1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th× a – NÕu 2003 a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a a+ d <1 ⇒ < a+b+ c a+b+c a+b+ c+ d a a MÆt kh¸c : > a+b+ c a+b+ c+ d (1) (2) (9) Tõ (1) vµ (2) ta cã a a+b+ c+ d a a+d < a+b+ c a+b+ c+ d < (3) T¬ng tù ta cã b b b+ a < < a+b+ c+ d b+c +d a+b+ c+ d c c b +c < < a+b+ c+d c +d +a a+b+ c+ d d d d+ c < < a+b+ c+ d d +a+b a+ b+c +d (4) (5) (6) céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã 1< a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b ®iÒu ph¶i chøng minh ví dụ : ab+cd c a c a < vµ b,d > Chøng minh r»ng < 2< b d b b +d d ab cd ab ab+cd cd c a c ⇒ 2< < < = Tõ < ⇒ b d b d b2 b 2+ d d d ab+cd c a < 2< ®iÒu ph¶i chøng minh b b +d d Cho: Gi¶i: VËy ví dụ 3: Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña a b + c d giải: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : a ≤1 c a c b d Tõ : a c b d a a+b b ⇒ ≤ ≤ c c+ d d v× a+b = c+d a b 999 + c d a b 999 b, NÕu: b=998 th× a=1 ⇒ = + §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt d= 1; c=999 + c d c d a b VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña = 999+ a=d=1; c=b=999 + c d 999 a, NÕu :b 998 th× b d 998 ⇒ Phương pháp 6: Phương pháplàm trội Lưu ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn hoÆc tÝch h÷u h¹n (*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 +u2 + + un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u ❑k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk =ak −a k+1 Khi đó : S = ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) + + ( an − an+1 ) =a1 −a n+1 (*) Ph¬ng ph¸p chung vÒ tÝnh tÝch h÷u h¹n P = u1 u .u n Biến đổi các số hạng uk thơng hai số hạng liên tiếp nhau: uk = ak ak+ (10) Khi đó P = a1 a a a n = a2 a an+1 an +1 Ví dụ : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 < + + + < n+1 n+2 n+ n Gi¶i: 1 víi k = 1,2,3,…,n-1 > = n+k n+ n 2n 1 1 n + + + > + + = = n+1 n+2 2n 2n n 2n Ta cã Do đó: Ví dụ : Chøng minh r»ng: 1+ Gi¶i : Ta cã 1 + + + >2 ( √ n+ 1− ) √2 √ √n Víi n lµ sè nguyªn 2 = > =2 ( √ k +1 − √ k ) √k √ k √ k + √k + Khi cho k chạy từ đến n ta có > ( √ 2− ) >2 ( √ − √2 ) √2 ……………… >2 ( √ n+1− √ n ) √n Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có 1+ 1 + + + >2 ( √ n+ 1− ) √2 √ √n Ví dụ : n Chøng minh r»ng ∑ k12 < ∀ n∈ Z k=1 Gi¶i: Ta cã 1 1 < = − k k ( k −1 ) k −1 k Cho k chạy từ đến n ta có 1 <1 − 2 1 < − 32 1 < − n n −1 n 1 ⇒ + + + <1 n n VËy ∑ k12 < k=1 Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức tam giác Lưu ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> (11) Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i a)V× a,b,c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0<a< b+c 0<b< a+c 0<c <a+ b { a2 <a(b+c ) b2 <b(a+c ) c < c (a+b) { Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta cã a > b-c b > a-c c > a-b b−c¿ >0 2 a >a − ¿ c −a ¿ >0 2 b >b − ¿ ¿ 2> a −b 2 c >c − ¿ Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc ⇒ a b2 c > [ a2 − ( b − c )2 ][ b − ( c − a )2 ] [ c − ( a −b )2 ] 2 ⇒ a b c > ( a+b − c ) ( b +c − a ) ( c +a −b ) ⇒ abc> ( a+b − c ) ( b+c −a ) ( c +a −b ) Ví dụ2: (404 – 1001) 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab+ bc+ ca< a2 +b2 +c <2(ab+ bc+ ca) 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2 2 Chøng minh r»ng a +b + c +2 abc< Phương pháp 8: Ví dụ1: Cho a,b,c > Chøng minh r»ng đổi biến số a b c + + ≥ (1) b+c c +a a+b Gi¶i : y+z − x z+x − y ; b= 2 y + z − x z + x − y x+ y − z ta cã (1) ⇔ + + 2x 2y 2z y z x z x y + − 1+ + −1+ + −1 ≥3 ⇔ x x y y z z y x z x z y + ¿+( + )+( + )≥ ⇔ ( x y x z y z y x z x Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2; + ≥2 ; x y x z §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= chøng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 1 + + ≥9 a +2 bc b +2 ac c +2 ab Gi¶i: (1) ;c= x+ y −z z y + ≥ nªn ta cã ®iÒu ph¶i y z (12) §Æt x = a2 +2 bc ; y = b2 +2 ac Ta cã x+ y+ z=( a+b +c )2< 1 1 ⇔ + + ≥9 x y z (1) ; z = c 2+ 2ab Víi x+y+z < vµ x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có x+ y+ z ≥ √3 xyz 1 + + ≥ x y z xyz 1 ( x+ y+ z ) + + ≥ x y z √ ( ⇒ ) Mµ x+y+z < 1 1 + + ≥9 x y z VËy (®pcm) Ví dụ3: Cho x Gîi ý: §Æt √ x=u Bµi tËp ,y , tháa m·n CMR x+ y ≥ √ x − √ y=1 ⇒ 2u-v =1 vµ S = x+y = u2 +v √ y=v 1) Cho a > , b > , c > CMR: ⇒ v = 2u-1 thay vµo tÝnh S 25 a 16 b c + + >8 b+c c +a a+b 2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc + + ≥ ( √ m+ √ n+ √ p ) − ( m+n+ p ) b+c c +a a+b Phương pháp 9: dùng tam thức bậc hai Lưu ý : Cho tam thøc bËc hai f ( x )=ax + bx+ c NÕu Δ< th× a f ( x )> ∀ x∈R NÕu Δ=0 th× a f ( x )> NÕu Δ> th× a f ( x )> a f ( x )< ∀ x≠− b a víi x< x1 hoÆc víi x 1< x < x Ví dụ1: Chøng minh r»ng 2 f ( x , y ) =x +5 y −4 xy +2 x −6 y +3> Gi¶i: Ta cã (1) ⇔ x −2 x ( y −1 ) +5 y − y+ 3>0 ' 2 Δ =( y −1 ) −5 y + y − ¿ y2 − y +1− y 2+ y − − ( y −1 ) − 1< VËy f ( x , y ) > víi mäi x, y Ví dụ2: Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x y +2 ( x +2 ) y +4 xy + x 2> xy Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với x y +2 ( x +2 ) y + xy + x − xy 3> (1) x> x2 ( x 2> x ) (13) y 2+1¿ x2 + y (1 − y )2 x+ y >0 ⇔¿ ' Ta cã Δ =4 y ( 1− y )2 − y ( y +1 )2=− 16 y 2< V× a = ( y +1 )2 >0 vËy f ( x , y ) > (®pcm) Phương pháp 10: dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n ta thực các bớc sau : – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy n¹p ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) – kết luận BĐT đúng với n>n Ví dụ1: Chøng minh r»ng 1 1 + + + <2 − n n Gi¶i : Víi n =2 ta cã 1+ <2 − ∀ n∈ N ;n>1 (1) (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 ThËt vËy n =k+1 th× (1) ⇔ k +1¿ ¿ ¿ 1 1 + + + + ¿ 2 k Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ⇔ k +1¿ ¿ ¿ 1 1 + + + + 2 k ¿ k + 1¿ ¿ ¿ ⇔ 1 + + ¿ k +1 ¿2 ¿ k +1 ¿2 ⇔ ⇔ k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng Vậy bất đẳng thức (1)đợc chứng ¿ k +1+1 ¿ minh Ví dụ2: Cho n∈N Chøng minh r»ng vµ a+b> a+b n ( ) Gi¶i Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 an +bn (1) (14) Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 ThËt vËy víi n = k+1 ta cã a+b k+1 ak+ 1+b k+1 2 k k+ a+b a+b a +b k+1 (2) ⇔ 2 ak +b k a+ b ak+ 1+ abk +a k b+ bk +1 a k+1 +bk +1 ⇔ VÕ tr¸i (2) = ≤ 2 ak+ 1+b k+1 ak+1 +ab k +ak b+ bk+1 ⇔ − ≥0 (3) ⇔ ( a k − bk ) ( a −b ) ≥ (1) ⇔ ( ) ( ) Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sö a b vµ gi¶ thiÕt cho a -b ⇔ a |b| k k k k k ⇔ ⇒ ( a − b ) ( a −b ) ≥ a ≥|b| ≥ b k (+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - a<b ⇔ |a| <bk ⇔ ak <b k Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) Phương pháp 11: ⇔ ( a k − bk ) ( a −b ) ≥ Chứng minh phản chứng Lưu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy điều vô lý, điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết, có thể là điều trái ngợc nhau.Từ đó suy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K” phép toán mệnh đề cho ta : Nh để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận nó Ta thêng dïng h×nh thøc chøng minh ph¶n chøng sau : −− −− A - Dùng mệnh đề phản đảo : K ⇒ G B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định suy trái với điều đúng D – Phủ định suy điều trái ngợc E – Phủ định suy kết luận : Ví dụ 1: Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c > Gi¶i : Gi¶ sö a th× tõ abc > ⇒ a đó a < Mµ abc > vµ a < ⇒ cb < Tõ ab+bc+ca > ⇒ a(b+c) > -bc > V× a < mµ a(b +c) > ⇒ b + c < a < vµ b +c < ⇒ a + b +c < tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > VËy a > t¬ng tù ta cã b > , c > Ví dụ 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac 2.(b+d) Chứng minh có ít các bất đẳng thức sau là sai: 2 , a <4 b c <4 d Gi¶i : Giả sử bất đẳng thức : a2 < b , c 2< d đúng đó cộng các vế ta đợc (1) a2 +c <4 (b +d) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) 2ac (2) 2 Tõ (1) vµ (2) ⇒ hay ( a − c )2 <0 (v« lý) a +c <2 ac 2 Vậy bất đẳng thức a < b và c < d có ít các bất đẳng thức sai Ví dụ 3: (15) Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng 1 + + x y z NÕu x+y+z > th× cã mét ba sè nµy lín h¬n Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – ( theo gi¶ thiÕt x+y +z > 1 + + ) v× xyz = x y z 1 + + x y z nªn (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d¬ng th× x,y,z > ⇒ xyz > (tr¸i gi¶ thiÕt) Còn số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) VËy cã mét vµ chØ mét ba sè x , y,z lín h¬n Phần iii : các bài tập nâng cao 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = vµ a Chøng minh r»ng +¿ b2+c2> ab+bc+ac a >36 3 Gi¶i Ta cã hiÖu: VËy : a +¿ b2+c2- ab- bc – ac a2 = a +¿ +¿ b2+c2- ab- bc – ac 12 2 = ( a +¿ b2+c2- ab– ac+ 2bc) + a − 3bc 12 a =( -b- c)2 + a − 36 abc 12 a a =( -b- c)2 + a − 36 abc >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn 12 a a2 +¿ b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 2) Chøng minh r»ng a) x + y + z +1 ≥2 x (xy − x + z +1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã 2 a +5 b − ab+2 a − b+3>0 2 a +2 b −2 ab+2 a − b+2 ≥ c) Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x + y + z +1 −2 x y 2+ x − xz − x = ( x − y 2) 2+ ( x − z )2 + ( x −1 )2 H ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −2 b+1 )2 + ( b − )2+1 ⇒ H > ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −b +1 )2+ ( b −1 )2 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ⇒ H II / Dùng biến đổi tương đương a >0 ) (16) ( x2 + y ) 1) Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng Gi¶i : Ta cã ( x − y )2 x 2+ y =( x − y )2 +2 xy =( x − y )2 +2 ( x 2+ y 2) =( x − y )4 +4 ( x − y )2 +4 ⇒ ≥8 (v× xy = 1) Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( x − y )4 +4 ( x − y )2 + ≥ ( x − y )2 ( x − y )4 −4 ( x − y )2 + ≥ ⇔ ⇔ [ ( x − y )2 − ] ≥ BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy Chøng minh r»ng 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y 1+ xy Gi¶i : 1 + ≥ 2 1+ xy 1+ x 1+ y 1 1 − + − ≥0 2 1+ xy 1+ x 1+ y 1+ y xy − x xy − y + ≥0 ( 1+ x ) (1+ xy ) ( 1+ y ) ( 1+ xy ) x(y −x) y(x− y) + ≥0 ( 1+ x ) (1+ xy ) ( 1+ y ) ( 1+ xy ) ( y − x )2 ( xy −1 ) ≥0 ( 1+ x ) ( 1+ y 2) ( 1+xy ) Ta cã ⇔ ( ⇔ ⇔ ⇔ )( ) BĐT cuối này đúng xy > Vậy ta có điều phải chứng minh III / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 Chøng minh r»ng Gi¶i : Ta cã a2 +b 2+ c ≥ ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ( a+1 b+1 c )2 ≤ ( 1+1+1 ) ( a2 +b2 +c ) ⇔ ( a+b +c )2 ≤ ( a2 +b2 +c ) (v× a+b+c =1 ) (®pcm) a2 +b 2+ c ≥ ⇔ 2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh r»ng ( a+b +c ) ( 1a + 1b + 1c )≥ Gi¶i : a a b b c c 1+ + + +1+ + + +1≥ b c a c a a a b a c b c 3+ + + + + + ≥ ⇔ b a c a c b x y ¸p dông B§T phô Víi x,y > + ≥2 y x (1) ⇔ ( )( )( ) Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng (1) (17) ( a+b +c ) VËy ( 1a + 1b + 1c )≥ (®pcm) Iv / dùng phương pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng : Gi¶i : 3 2 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a Do a <1 ⇒ a2 <1 vµ b <1 Nªn ( 1− a2 ) ( 1− b2 ) >0 ⇒1+ a2 b − a2 −b> Hay 1+a2 b> a2+ b (1) 3 MÆt kh¸c <a,b <1 ⇒ ; a >a b>b ⇒ 3 1+a >a + b a3 +b 3< 1+ a2 b VËy T¬ng tù ta cã b3 +c <1+b c a3 +c <1+c a a3 +2 b3 +2 c 3<3+ a2 b+b c +c a ⇒ 2) So s¸nh 31 ❑11 Gi¶i : vµ 17 ❑14 11 31 Ta thÊy (®pcm) < 3211 25 256 24.14 24 14 11 255 256 1614 1714 MÆt kh¸c Vëy 31 ❑11 < 17 ❑14 (®pcm) V/ dùng tính chất tỉ số 1) Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng : 2 Gi¶i : a b b c cd d a 3 a b c b c d c d a d a b V× a ,b ,c ,d > nªn ta cã a b a b a b d a b c d a b c a b c d b c bc b c a a b c d b c d a b c d d a d a d a c a b c d d a b a b c d Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có : 2 (1) (2) (3) a b b c cd d a 3 a b c b c d c d a d a b (®pcm) 2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng 1 a b c 2 b c c a a b Gi¶i : V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > Vµ a < b +c ; b <a+c ; c < a+b Tõ (1) a a a 2a b c a b c a b c (18) a a MÆt kh¸c b c a b c a a 2a VËy ta cã a b c b c a b c T¬ng tù ta cã b b 2b a b c a c a b c c c 2c a b c b a a b c Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có : 1 a b c 2 b c c a a b (®pcm) VI/ phương pháp làm trội : 1) Chøng minh B§T sau : Gi¶i : 1 1 (2n 1).(2n 1) a) 1.3 3.5 1 1 2 1.2.3 n b) 1.2 1.2.3 a) Ta cã 1 2k 1 (2k 1) 1 2n 1 2n 1 (2k 1).(2k 1) 2k 2k Cho n chạy từ đến k Sau đó cộng lại ta có 1 1 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) n 1 (®pcm) b) Ta cã 1 1 1 1 1 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 n 1 1 1 1 2 n n n < 2 3 (®pcm) (19) Phần iv : ứng dụng bất đẳng thức 1/ dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị Lưu ý - NÕu f(x) A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A - NÕu f(x) B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i : Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = x x x x x x 1 Vµ VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y x 4 (2) DÊu b»ng x¶y x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x 3 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > vµ x+y+z =1 Gi¶i : V× x,y,z > ,¸p dông B§T C«si ta cã x+ y + z 3 xyz 1 xyz xyz 27 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có x y y z z x 3 x y y z x z 3 x y y z z x DÊu b»ng x¶y x=y=z= 8 VËy S 27 27 729 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 729 x=y=z= VÝ dô : Cho xy+yz+zx = 4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z Gi¶i : Áp dông B§T Bunhiacèpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z) Ta cã xy yz zx x2 y z x2 y z 2 (1) 2 Ap dông B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) ( x y z )2 (12 12 12 )( x y z ) Ta cã ( x y z ) 3( x y z ) 4 Tõ (1) vµ (2) 3( x y z ) (1) (2) (20) x4 y z 3 VËy x y z cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x=y=z= 4 VÝ dô : Trong tam gi¸c vu«ng cã cïng c¹nh huyÒn, tam gi¸c vu«ng nµo cã diÖn tÝch lín nhÊt Gi¶i : Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a §êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h H×nh chiÕu c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn c¹nh huyÒn lµ x,y x y h a.h a h a xy Ta cã S = Vì a không đổi mà x+y = 2a VËy S lín nhÊt x.y lín nhÊt x y VËy c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín nhÊt II/ dùng b.đ.t để giải phương trình và hệ phương trình VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau x x 19 x 10 x 14 4 x x Gi¶i : 2 Ta cã 3x x 19 3.( x x 1) 16 3.( x 1) 16 16 x 10 x 14 5 x 1 9 2 VËy 3x x 19 x 10 x 14 2 5 DÊu ( = ) x¶y x+1 = x = -1 2 VËy x x 19 x 10 x 14 4 x x VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = -1 VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x = -1 x x 4 y y Gi¶i :¸p dông B§T BunhiaCèpski ta cã : x x 12 12 x x 2 2 DÊu (=) x¶y x = MÆt kh¸c y y y 1 2 DÊu (=) x¶y y = - 2 VËy x x 4 y y 2 x =1 vµ y =- x 1 y VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ VÝ dô : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x y z 1 4 x y z xyz (21) Gi¶i : ¸p dông B§T C«si ta cã x4 y y z z x4 x2 y y z z x 2 2 x2 y y z z y2 z z x2 z y x2 2 2 2 y xz z xy x yz xyz.( x y z ) 4 V× x+y+z = Nªn x y z xyz DÊu (=) x¶y x = y = z = x y z 1 4 x y z xyz VËy cã nghiÖm x = y = z = x4 y4 z4 VÝ dô : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau xy 8 y xy 2 x (1) (2) y 0 hay y x x y 2 x Tõ ph¬ng tr×nh (1) Tõ ph¬ng tr×nh (2) x 2 x 22 0 (x 2) 0 x x NÕu x = th× y = 2 NÕu x = - th× y = -2 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x y vµ x 2 y 2 Iii/ dùng B.Đ.t để giải phương trình nghiệm nguyên 1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x y z xy y z Gi¶i : V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn x y z xy y z x y z xy y z 0 y2 3y2 x xy y z z 0 2 2 y y x 1 z 1 0 2 2 y y x 1 z 1 0 2 2 Mµ (*) x, y R (22) y x 3 2 y x 0 y 0 2 z 0 y 1 z 1 0 x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 1 2 x y z Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x y z 1 z 3 x y z z Ta cã Mµ z nguyªn d¬ng vËy z = Thay z = vào phơng trình ta đợc 1 1 x y 1 y y 2 mµ y nguyªn d¬ng Theo gi¶ sö x y nªn = x y Nªn y = hoÆc y = Víi y = kh«ng thÝch hîp Víi y = ta cã x = VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm phơng trình lµ (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) VÝ dô : T×m c¸c cÆp sè nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x x y (*) Gi¶i : (*) Víi x < , y < th× ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghÜa (*) Víi x > , y > Ta cã x y2 x §Æt Ta cã Nhng x x y x x y2 x k (k nguyªn d¬ng v× x nguyªn d¬ng ) k (k 1) y k k k 1 k 1 k y k 1 Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn d¬ng nµo c¶ Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d¬ng nµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (23) x 0 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt lµ : y 0 (24)