Bất đẳng thức liên quan đến mũ và logarit (phần 1)

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT 1.[r]

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT Sử dụng tính đồng biến , nghịch biến hàm số mũ và logarit Ví dụ : So sánh : ,3 Giải : Ta có     23  (2 ) =>  Ví dụ : So sánh : log34 , log1011 Giải : Ta có log34 = log916> log911= log11 1   log1011 Mà log1110>log119>0=> log11 log1110 Nên log34> log1011 Ví dụ 3: So sánh : log316, log16729 Giải : Ta có log316.log16729=log3729=6 Mặt khác =>Suy log 3 6 3 6.25   243  256  16  log 16 Khi đó : log 16  , log16 729  => log316> log16729 Ví dụ : Chứng minh : 3(a.2a+b.2b+c.2c )  (a+b+c)( 2a+2b+2c),  a,b,c Giải : Ta có hàm số y=2x đồng biến trên R Khi đó : (2a-2b)(a-b)  0=> a.2a+b.2b  a.2b+b.2a ,  a,b (2b-2c)(b-c)  0=> b.2b+c.2c  b.2c+c.2b ,  b,c (2c-2a)(c-a)  0=> c.2c+a.2a  c.2a+a.2c ,  c,a  2(a.2a+b.2b+c.2c )  (a.2b+b.2a)+ (b.2c+c.2b)+ (c.2a+a.2c)  3(a.2a+b.2b+c.2c )  (a.2b+b.2a)+ (b.2c+c.2b)+ (c.2a+a.2c)+ (a.2a+b.2b+c.2c)  3(a.2a+b.2b+c.2c )  (a+b+c)(2a+2b+2c) (đpcm) a b  c Ví dụ : Chứng ming : a a bb c c  abc ,  a,b,c>0 Giải : Hàm số y=lnx đồng biến trên (0,+oo) Ta có (lna-lnb)(a-b)  0=> a.lna+b.lnb  a.lnb+b.lna ,  a,b>0 (lnb-lnc)(b-c)  0=> b.lnb+c.lnc  b.lnc+c.lnb ,  b,c>0 (lnc-lna)(c-a)  0=> c.lnc+a.lna  c.lna+a.lnc ,  c,a>0  2(a.lna+b.lnb+c.lnc )  (a.lnb+b.lna)+ (b.lnc+c.lnb)+ (c.lna+a.lnc)  3(a.lna+b.lnb+c.lnc )  (a+b+c)(lna+lnb+lnc)  3lnaabbcc  lnabca+b+c a b  c  a a bb c c  abc (đpcm) Ví dụ : Chứng minh : log (1  4a )  log (2a  9a ) , với a>0 Giải : Ta có : log (1  4a )  a  log (1  4 a )  a  , log1 4 a log1 4 a  log1 4 a a 9 Nên log (1  )  a  log (1  )  log 9 (1  )  log (9    ) 4 a a a  log (1  )  log (9  ) (đpcm) a a a a a Ví dụ : Chứng minh : log a b  log a  c (b  c), a, b, c;1  a  b, c  Giải : a, b, c;1  a  b, c  Đặt : A=logab => b=Aa>A>1 Lop12.net  log (1  4 a ) A ac c c aA  c ac Ta có         a a aA aA  a  =>  a  c   a A  c  b  c A => A> log a  c (b  c) => log a b  log a  c (b  c), a, b, c;1  a  b, c  (đpcm) Ví dụ : Chứng minh : log b  c a  log c  a b  log a b c  , a, b, c   2,  Giải : Đặt A= logb+ca => (b+c)A = a>  22 Mà 1<b+c<4 nên (b+c)A<4A=22A=> 22A> 2 => 2A>  logb+ca > 1 => A> 4 1 Tương tự : logc+ab > , logb+ac > 4   , a, b, c  2, ( đpcm) 1 1  Ví dụ : Chứng minh : log a (b  )  log b (c  )  log c (a  )  , a, b, c   ,1 4 4  Giải : 1 1  Ta có : ( x  )  x  x    x   x   4  1 1  => log y x  log y ( x  )  log y x  log y ( x  ), x, y   ,1 4 4  Khi đó : 1 1  2(log a b  log b c  log c a )  log a (b  )  log b (c  )  log c (a  ), a, b, c   ,1 4 4  Mặt khác : logab,logbc,logca>0 => log a b  log b c  log c a  3 log a b.log b c.log c a  Suy : log b  c a  log c  a b  log a b c  1 1  => log a (b  )  log b (c  )  log c (a  )  , a, b, c   ,1 (đpcm) 4 4  Dầu xảy  a=b=c=1/2 Lop12.net