Dap an HSG quoc gia 2013

Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào [r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 Môn:Toán Thời gian:180 phút Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013 Bài 1(5,0 điểm):  1 20 y  cos2 y    sin x  2 x y sin x cos y   1 20 x  2  sin y  sin y  cos x  cos2 x  x  y Giải hệ phương trình sau:  Bài 2(5,0 điểm): a 1   an1 3   an  , n 1 2an Cho dãy số xác định sau: Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác không cân ABC Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và D,E,F là các tiếp điểm (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) L khác F Gọi J là trung điểm KL a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng là các giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC P,Q Chứng minh đường trung trực PQ luôn qua điểm cố định Bài 4(5,0 điểm): Cho trước số số tự nhiên viết trên đường thẳng Ta thực các bước điền số lên đường thẳng sau: bước, trước tiên xác định tất các cặp số kề có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào cặp số bẳng tổng hai số thuộc cặp đó Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất bao nhiêu lần trên đường thẳng các trường hợp sau: a) Các số cho trước là: và 1000? b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 và xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải Môn:Toán Thời gian:180 phút Ngày thi thứ hai: 12/01/2013 Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013 và  x  y f f  x  f f  y  f  x   f  y  f  x  f  y          đúng với x, y  R, đó f2(x)=(f(x))2 Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng  thay đổi luôn qua trực tâm H tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH và tam giác ACH M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí đường thẳng  để diện tích tam giác AMN lớn b)Kí hiệu d1 là đường thẳng qua M vuông góc DB, d2 là đường thẳng qua N vuông góc DC Chứng minh giao điểm P d1 và d2 luôn thuộc đường tròn cố định Bài 7: (6,0 điểm) Tìm tất thứ tự (a, b, c, a′, b′, c′) thỏa mãn  ab  a ' b ' 1 mod 15 1    ac  a ' c ' 1 mod 15  bc  b ' c ' 1 mod 15      2  3 Với a, b, c, a′, b′, c′  {0,1 14} LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2013 Bài 1(5,0 điểm):  1 20 y  cos2 y    sin x  2 x y sin x cos y   1 20 x  2 sin y   cos x   2  x y sin y cos x Giải hệ phương trình sau:  Cách 1: Cách 2: Bài 2(5,0 điểm): a 1   an1 3   an  , n 1 2an Cho dãy số xác định sau: Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác không cân ABC Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và D,E,F là các tiếp điểm (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) L khác F Gọi J là trung điểm KL a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng là các giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC P,Q Chứng minh đường trung trực PQ luôn qua điểm cố định Giải: a) b) Bài 4(5,0 điểm): Cho trước số số tự nhiên viết trên đường thẳng Ta thực các bước điền số lên đường thẳng sau: bước, trước tiên xác định tất các cặp số kề có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào cặp số bẳng tổng hai số thuộc cặp đó Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất bao nhiêu lần trên đường thẳng các trường hợp sau: a) Các số cho trước là: và 1000? b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 và xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải Giải: a) Ta cần quan tâm đến các số ≤2013, tức là các số đầu hàng, còn các số >2013 không cần quan tâm: Đầu tiên ta viết 1000 Sau bước đầu là 1001 1000 Sau bước là 1002 1001 2001 1000 Sau bước là 1003 1002 2003 Sau bước là 1004 1003 2005 1002 Sau bước là 1005 1004 2007 1003 Sau bước là 1006 1005 2009 Sau bước là 1007 1006 2011 Sau bước là 1008 1007 2013 Lúc này đã xuất số 2013, ta làm tiếp đến bước 1013 dãy trở thành: 2013 2012 4023 Sau đó toàn số hạng xuất tr0ng dãy > 2013 và không còn số 2013 nào xuất thêm ! Vậy có lần xuất b) Xét cặp số bất kì n và n + Khi đó thực thao tác ta có số 2n + Số này có thể tiếp tục thao tác với n n+1 Do đó các số tạo thao tác có dạng an + b(n + 1) hay là xn n + yn, xn, yn∈N*,xn − ≥ yn Khi đó, số số 2013 xuất trên đường thẳng là tổng số các nghiệm (xn,yn) pt xn n + yn = 2013 với n chạy từ đến 999 Vì giá trị xn thoả mãn điều kiện trên tương ứng với giá trị yn nên ta cần tìm số giá trị có thể nhận xn Xét pt xn n + yn = 2013 Ta có Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013 và  x  y f f  x  f f  y  f  x   f  y  f  x  f  y        đúng với x, y  R, đó f2(x)=(f(x))2   Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng  thay đổi luôn qua trực tâm H tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH và tam giác ACH M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí đường thẳng  để diện tích tam giác AMN lớn b)Kí hiệu d1 là đường thẳng qua M vuông góc DB, d2 là đường thẳng qua N vuông góc DC Chứng minh giao điểm P d1 và d2 luôn thuộc đường tròn cố định