Chứng minh tương tự ta được: KC là phân giác của góc IKA.. Vậy tam giác IPQ là tam giác cân tại I.[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Ngày thi 03 tháng 03 năm 2015
Câu Ý Nội dung Điểm
TP
Tổng điểm
1
a
Phân tích A=
6 11 7
n n n n n n n n 0.25
1 Với n=0 A =-7 khơng số ngun tố 0.25 VớinN n, 1 2
0n n n 5n7 Để A số nguyên tố thì:
2 1( )
1 ( 1)( 2)
2( )
n tm
n n n n n n
n ktm 0.25
Khi n=1 A=13 số nguyên tố Vậy n=1 0.25
b
1 3
4
2 2
x
0.25
1
Suy ra: 2x22x 1 0.25
2015 2014 2014
2
4 2 (2 1)
2 2 1
2 1
2 3
1
x x x x x x x x
M
x x x x x
x x x 0.25
2 1
2 3
1
x
x x
VậyM 3 0.25
2
a
ĐK:
3 x
Với điều kiện phương trình tương tương với: 0.25
1
2
( 4) (1 ) 14
3 16
( 5)(3 1)
3
3
5
3
x x x x
x x x x x x x x x x 0.25
3 1
5
3
3
5
x Do x x
x x x 0.25 KL: Phương trình có nghiệm x=5 0.25
b
2
5
(2 1) (4 3)
x y y
x y x y x y x y
ĐKXĐ:
2 x y x y 0.25
Hệ phương trình tương đương với:
2
5 (1)
[2( ) 1] [2(2 1) 1] (2)
x y y
x y x y x y x y
(2)Đặt 2 =b
x y a
x y
phương trình (2) trở thành:
a b 2ab 1
Mà 2ab 1 nên a b 2ab 1 a b
0.25
Suy x=3y+1 Khi phương trình (1) trở thành:
1
2 1
2
y
y y
y
Với y=1 x=4 (Thoả mãn) Với y=
2
x=
(Không thoả mãn) Vậy hệ có nghiệm (x=4; y=1)
0.25
3
a
Xét
3x171 y : Với x=1 suy
174
y (Không thoả mãn với y nguyên dương) 0.25
1 Với x2 Đặt x-2=n Ta có: 2
9.3n 171 3n 19
y k
(1) với y
k 0.25 *Nếu n2m từ (1) suy ra: (k3 )(m k3 ) 19m
Suy 19 10
2
3
m m
k k
m k
Suy n=4, y=30, x=6
0.25
*Nếu n lẻ 3n19chia dư 2, k2chia dư (vơ lí)
Vậy x=6, y=30 0.25
b
Giả sử đa giác M có số cạnh a , đa giác N có số cạnh b ,
a bN a b, 3
Mỗi góc M là: (a 2)1800
a
Mỗi góc N là: (b 2)1800
b
0.25
1 Ta có:
( 2)
9 ( 2) ( 2)
( 2)
7
9 63
9
7
b a
b a a b
a b
ab a b
b a
b b
0.25
Do a b số tự nhiên lớn nên ta tìm b=14 b=56
Suy a=6 a=8 0.25
*Với a=6 đa giác M có số đường chéo là: 6(6-3):2=9 b=14 đa giác N có số đường chéo là: 14(14-3):2=77 *Với a=8 đa giác M có số đường chéo là: 8(8-3):2=20 b=56 đa giác N có số đường chéo là: 56(56-3):2=1484
(3)4
1 a
0.25
1 Gọi N giao điểm thứ hai MA với (O’)
Chứng minh:
MD MA MC 0.25
Suy
MD MA MC MC
MA MB MA MB MB 0.25
Chứng minh hai tam giác MBN OBO’ đồng dạng suy ra: OO'
MC
MB OB (không đổi)
0.25
1 b
0.25
1 Có CK // EF => góc ICK = góc IEF
Mà góc IEF = góc KCA => Góc ICK = góc KCA => CK phân giác góc ICA
Chứng minh tương tự ta được: KC phân giác góc IKA => Hai điểm I K đối xứng qua CK
=> IA vng góc với EF
Mà EF // CK => IA vng góc với CK
0.25
Gọi giao điểm AB với CK H
Do CK tiếp tuyến (O) (O/) nên ta chứng minh
HC2 = HA.HB HK2 = HA.HB Suy HC = HK
0.25
Do CK // EF nên CK // PQ => HC HK
AP AQ ( hệ định lí Ta- let)
Từ suy ra: AQ = AP
Vậy tam giác IPQ tam giác cân I
(4)2
Ta có: gócMCD = góc MAK suy ra: tam giác MCD, MAK đồng dạng suy MD MC MC MA MD (1)
MK MA MK
Tương tự tam giác MBD, MAH đồng dạng suy
(2)
MD MB MA MD
MB
MH MA MH
0.25
1
Chứng minh được: MA.BC=AB.MC+AC.MB 0.25
Suy ra: MA BC AB.MA MD AC.MA MD
MK MH
Suy ra: BC AC AB MD MH MK
Từ BC AC AB 2.BC MDMH MK MD(*)
Lại có BC=R Suy BC AC AB 2R MDMH MK MD
0.25
Để BC AC AB
MDMH MK nhỏ MD lớn
MD lớn M điểm cung BC Khi
2 R MD
Vậy BC AC AB 2R
MDMH MK MD
Dấu đẳng thức xảy M điểm cung BC
0.25
5
Do < x, y, z < Mà xyyzxz1
Suy ta chứng minh được: x y z (1) Và x(1-x) ; y(1-y) ; z(1-z) > ; x;1 y;1 z
x y z
0.25
1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cặp số dương ta có:
2 (1 )
(1 ) (1 )
y y
y y x y
y
2 (1 )
(1 ) (1 )
x z
z z y z
z
(5)2 (1 )
(1 ) (1 )
z x
x x z x
x
Cộng vế ba bất đẳng thức ta được:
2( ) 2( )
S x y z x y z xyyzzx
=> S x y z ( 2) ( Doxyyzxz1) Từ (1) (2) suy S 32
0.25
Đẳng thức xảy 3
x y z (thoả mãn ĐK)
Vậy giá trị nhỏ biểu thức S 32 3 x y z
0.25
* Chú ý: Học sinh làm cách khác, cho điểm tối đa