Đáp án HSG Toán học lớp 9 cấp huyện TP Hải Dương, tỉnh Hải Dương 2014-2015 vòng 2 - Học Toàn Tập

Chứng minh tương tự ta được: KC là phân giác của góc IKA.. Vậy tam giác IPQ là tam giác cân tại I.[r]

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Ngày thi 03 tháng 03 năm 2015

Câu Ý Nội dung Điểm

TP

Tổng điểm

1

a

Phân tích A=   

6 11 7

n  n  n  n  n  n n  n 0.25

1 Với n=0 A =-7 khơng số ngun tố 0.25 VớinN n, 1 2

0n   n n 5n7 Để A số nguyên tố thì:

2 1( )

1 ( 1)( 2)

2( )

n tm

n n n n n n

n ktm                   0.25

Khi n=1 A=13 số nguyên tố Vậy n=1 0.25

b

 

1 3

4

2 2

x     

  0.25

1

Suy ra: 2x22x 1 0.25

 

 

2015 2014 2014

2

4 2 (2 1)

2 2 1

2 1

2 3

1

x x x x x x x x

M

x x x x x

x x x                           0.25

2 1

2 3

1

x

x x



      

   VậyM  3 0.25

2

a

ĐK:

3 x

  

Với điều kiện phương trình tương tương với: 0.25

1

 

2

( 4) (1 ) 14

3 16

( 5)(3 1)

3

3

5

3

x x x x

x x x x x x x x x x                                       0.25

3 1

5

3

3

5

x Do x x

x x x                       0.25 KL: Phương trình có nghiệm x=5 0.25

b

2

5

(2 1) (4 3)

x y y

x y x y x y x y

   

 

       

 ĐKXĐ:

2 x y x y        0.25

Hệ phương trình tương đương với:

2

5 (1)

[2( ) 1] [2(2 1) 1] (2)

x y y

x y x y x y x y

Đặt 2 =b

x y a

x y

   

 



 phương trình (2) trở thành:

a b 2ab 1

Mà 2ab 1 nên a b 2ab   1 a b

0.25

Suy x=3y+1 Khi phương trình (1) trở thành:

1

2 1

2

y

y y

y

  

    

  

Với y=1 x=4 (Thoả mãn) Với y=

2 

x= 

(Không thoả mãn) Vậy hệ có nghiệm (x=4; y=1)

0.25

3

a

Xét

3x171 y : Với x=1 suy

174

y  (Không thoả mãn với y nguyên dương) 0.25

1 Với x2 Đặt x-2=n Ta có: 2

9.3n 171 3n 19

y k

     (1) với y

k  0.25 *Nếu n2m từ (1) suy ra: (k3 )(m k3 ) 19m 

Suy 19 10

2

3

m m

k k

m k

    

 

  

 

 



Suy n=4, y=30, x=6

0.25

*Nếu n lẻ 3n19chia dư 2, k2chia dư (vơ lí)

Vậy x=6, y=30 0.25

b

Giả sử đa giác M có số cạnh a , đa giác N có số cạnh b ,

a bN a b, 3

Mỗi góc M là: (a 2)1800

a



Mỗi góc N là: (b 2)1800

b



0.25

1 Ta có:

( 2)

9 ( 2) ( 2)

( 2)

7

9 63

9

7

b a

b a a b

a b

ab a b

b a

b b

     



  

   

 

0.25

Do a b số tự nhiên lớn nên ta tìm b=14 b=56

Suy a=6 a=8 0.25

*Với a=6 đa giác M có số đường chéo là: 6(6-3):2=9 b=14 đa giác N có số đường chéo là: 14(14-3):2=77 *Với a=8 đa giác M có số đường chéo là: 8(8-3):2=20 b=56 đa giác N có số đường chéo là: 56(56-3):2=1484

4

1 a

0.25

1 Gọi N giao điểm thứ hai MA với (O’)

Chứng minh:

MD MA MC 0.25

Suy

MD MA MC MC

MA MB  MA MB  MB 0.25

Chứng minh hai tam giác MBN OBO’ đồng dạng suy ra: OO'

MC

MB  OB (không đổi)

0.25

1 b

0.25

1 Có CK // EF => góc ICK = góc IEF

Mà góc IEF = góc KCA => Góc ICK = góc KCA => CK phân giác góc ICA

Chứng minh tương tự ta được: KC phân giác góc IKA => Hai điểm I K đối xứng qua CK

=> IA vng góc với EF

Mà EF // CK => IA vng góc với CK

0.25

Gọi giao điểm AB với CK H

Do CK tiếp tuyến (O) (O/) nên ta chứng minh

HC2 = HA.HB HK2 = HA.HB Suy HC = HK

0.25

Do CK // EF nên CK // PQ => HC HK

AP  AQ ( hệ định lí Ta- let)

Từ suy ra: AQ = AP

Vậy tam giác IPQ tam giác cân I

2

Ta có: gócMCD = góc MAK suy ra: tam giác MCD, MAK đồng dạng suy MD MC MC MA MD (1)

MK  MA  MK

Tương tự tam giác MBD, MAH đồng dạng suy

(2)

MD MB MA MD

MB

MH  MA  MH

0.25

1

Chứng minh được: MA.BC=AB.MC+AC.MB 0.25

Suy ra: MA BC AB.MA MD AC.MA MD

MK MH

 

Suy ra: BC AC AB MD MH MK

Từ BC AC AB 2.BC MDMH MK  MD(*)

Lại có BC=R Suy BC AC AB 2R MDMH MK  MD

0.25

Để BC AC AB

MDMH MK nhỏ MD lớn

MD lớn M điểm cung BC Khi

2 R MD

Vậy BC AC AB 2R

MDMH MK  MD 

Dấu đẳng thức xảy M điểm cung BC

0.25

5

Do < x, y, z < Mà xyyzxz1

Suy ta chứng minh được: x  y z (1) Và x(1-x) ; y(1-y) ; z(1-z) > ; x;1 y;1 z

x y z

   

0.25

1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cặp số dương ta có:

2 (1 )

(1 ) (1 )

y y

y y x y

y



   

2 (1 )

(1 ) (1 )

x z

z z y z

z



   

2 (1 )

(1 ) (1 )

z x

x x z x

x



   

Cộng vế ba bất đẳng thức ta được:

2( ) 2( )

S   x y z x  y z xyyzzx

=> S   x y z ( 2) ( Doxyyzxz1) Từ (1) (2) suy S  32

0.25

Đẳng thức xảy 3

x  y z (thoả mãn ĐK)

Vậy giá trị nhỏ biểu thức S  32 3 x  y z

0.25

* Chú ý: Học sinh làm cách khác, cho điểm tối đa