Hai tia phân giác của hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo bằng 450 Thông thường khi gặp bài toán tính số đo góc ta nghĩ đến việc xét số đo góc đó trong mối liên hệ với các góc của một [r]
(1)I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đầu chương trình Toán cấp THCS, học sinh bắt đầu tiếp xúc với môn môn hình học Đây là môn học có tính hệ thống và logic cao, yêu cầu việc học phải nắm thật các kiến thức bản, các mối liên quan các kiến thức đồng thời luyện tập cách vận dụng chúng vào việc giải toán Đối với học sinh lớp 7, các em thật tiếp xúc với chương trình hình học cho nên đứng trước bài tập hình, để có hướng giải phù hợp cho việc tìm tòi lời giải thật là việc quá khó Thông thưòng bài toán chứng minh thì mệnh đề cần chứng minh đã nêu rõ ràng kết luận bài toán, học sinh phân tích, tìm tòi các mối liên quan các kiện bài toán để suy luận từ giả thiết và điều kiện đã biết để khẳng định kết luận Đây là việc thật chẳng dễ dàng học sinh Còn bài tính số đo góc, nó thuộc loại phải tìm tòi, cái giá trị cần tìm là chưa biết, chứng minh các dự đoán xác định số đo cần tìm, cho nên loại này càng khó các em Đứng trước thực trạng nêu trên, với tinh thần yêu thích môn, muốn đóng góp phần nào để gỡ rối cho học sinh, chúng tôi viết bài này trao đổi suy nghĩ định hướng cho việc giải bài toán “ Tính số đo góc” hình học lớp II PHẠM VI ĐỀ TÀI: Trong đề tài này, chúng tôi xin đề cập đến vấn đề : “Rèn luyện cho học sinh phương pháp giải dạng toán tính số đo góc hình học lớp 7” Đề tài này có thể áp dụng cho hội đồng môn cho tất giáo viên dạy toán cấp THCS III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN: - Đề tài áp dụng học sinh lớp trường THCS An Thạnh Trung năm học 2004 -2005; 2005 -2006; 2006 -2007 mặt học sinh đây học còn yếu, điều kiện học tập gặp nhiều khó khăn, trình độ dân trí, kinh tế địa phương thấp - Đề tài thực các luyện tập, ôn tập trên lớp Đánh giá hiệu đề tài thông qua tỷ lệ học sinh hiểu bài và kết các bài kiểm tra B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I NHẬN XÉT CHUNG: - Hiện trạng chưa thực đề tài: * Về học sinh: Một số em còn ngán ngại và sợ học môn hình học, học chờ có bài giải mẫu để chép, ít chiäu suy nghĩ, tìm tòi lời giải, thường giải bài tập xong là xong, đưa bài toán “ khai thác “ thì ít học sinh làm * Đối với giáo viên khó khăn bài tập quá đa dạng, phong phú , không có thời gian và phương pháp lựa chọn thích hợp thì dễ bị phiến diện, bài tập dễ quá khó quá, không đủ thời gian làm dễ gây cho học sinh tâm lý “ sợ toán” chán nản và từ đó chú ý vào thủ thuâït giải mà quên luyện phương thức tư - Kết thực đề tài : Học sinh yêu thích môn hình học, vẽ hình chuẩn và chính xác hơn, thích suy nghĩ và tìm tòi lời giải Trong quá trình giải toán đưa bài tập tương tự bài đã làm, thay đổi cấu trúc bài toán thì học sinh làm tốt - Những biện pháp tác động giáo dục : (2) * Học sinh có kiến thức tổng hợp * Hướng dẫn học sinh “ nhìn thấy” cấu trúc logic bài toán, đặc biệt nhìn thấy “ tương đương” các mệnh đề toán học * Tổ chức cho học sinh hoạt động ngôn ngữ thông qua sử dụng các hệ thống khái niệm khác * Hướng dẫn học sinh “ nhận ra” thống cấu trúc logic bài toán có biểu tượng trực quan hình học ứng với các hệ thống khái niệm khác đó - Những giải pháp khoa học tiến hành : * Rèn luyện kỹ vẽ hình * Từ bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích giả thiết và kết luận * Từ bài toán điển hình hướng dẫn học sinh vẽ thêm đương phụ, điểm phụ * Từ bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích để quy từ lạ quen II BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: PHẦN NHỮNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT Trong tam giác, tổng số đo góc 1800 Như vậy: a Trong tam giác , biết góc thì tính góc còn lại b Trong tam giác cân, biết góc thì tính góc Trong tam giác vuông, góc nhọn phụ Như vậy: a Trong tam giác vuông, biết góc nhọn thì tính góc nhọn b Trong tam giác vuông cân góc nhọn 450 Trong tam giác đều, góc luôn 600 Nửa tam giác đều: Ta có thể hiểu “Nửa tam giác đều” là tam giác vuông có cạnh góc vuông nủa cạnh huyền Trong nửa tam giác các góc đối diện với cạnh góc vuông bé, cạnh góc vuông lớn và cạnh huyền theo thứ tự là 300; 600 và 900 Hai tia phân giác hai góc kề bù tạo thành góc vuông Hai tia phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo 450 Thông thường gặp bài toán tính số đo góc ta nghĩ đến việc xét số đo góc đó mối liên hệ với các góc các hình nêu trên để thông qua đó xác định số đo góc cần tìm nhiều phải chứng minh tam giác để từ đó rút các góc tương ứng Nhưng thực tế giải toán, không phải lúc nào đề bài cho sẳn yếu tố tam giác cân, tam giác đều, nửa tam giác để ta vận dụng, Như vấn đề đặt là có cách nào để tạo các hình đó cách thích hợp để vận dụng Nghĩ giúp ta có hướng vẽ thêm đường phụ thích hợp để tìm lời giải bài toán PHẦN II CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI (3) DẠNG I : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN “ NỬA TAM GIÁC ĐỀU” BÀI TOÁN 1: Tính số đo các góc D ABC biết đường cao AH, trung tuyến AD chia góc BAC thành 3góc băng A *Tìm tòi: sau vẽ hình tương đối chính xác Ta thấy V ABC có dạng giống “nửa tam giác đều” K từ đó gợi ý ta có thể vận dụng điều này Xét thấy BD CD = cần làm xuất đoạn thẳng HD = HB = H B D C HD và tạo với CD thành tam giác vuông, từ đó ta nghĩ đến việc kẻ DK ^ AC K Lúc này chứng minh D CDK là nửa D và bài toán giải Giải tóm tắt: Vẽ DK ^ AC k Dễ thấy AH là trung tuyến D ABD Þ HD = 1/2 BD = 1/2 DC D thuộc phân giác góc HAC Þ DH = DK Þ DK = DC Þ µ C = 300 µ Từ đó tính được: = 900 và B = 60 BÀI TOÁN 2: Cho D ABC có góc ACB = 300 D CDK là nửa D µ A A D Đường cao AH nửa cạnh BC D là trung điểm AB Tính góc BCD *Tìm tòi: Theo giả thiết AH = BC hay BC = AH ? B C H Ta tìm xem có đoạn nào AH Để ý đến giả µ thiết C = 300 , ta thấy D AHC là nửa D Þ AC = 2AH Như D ACB cân C trung · tuyến CD là phân giác Từ đó tính BCD Giải tóm tắt: Theo giả thiết: AH = BC Þ BC = AH D AHC là nửa D Þ AC = AH · BCD Þ BC = AC Þ D ABC cân C, trung tuyến CD là phân giác Vậy = 15 BÀI TOÁN 3: Cho D ABC có góc C = 300 và BC = 2AB Tính các góc A,B * Tìm tòi: A H 30 B C (4) Vẽ hình chính xác, ta dự đoán D ABC là nửa D µ Chứng minh điều này là xong Đã có C = 30 nên vẽ BH ^ AC K thì D HBC là nửa D đều, cần chứng minh H º A là xong Giải tóm tắt: Þ BH = BC = AB µ Hạ BC ^ AC H D HBC là nửa D , C = 30 Như vậy: H º A vì không thì D ABH cân B Þ H º A µ 0 Þ Aµ B D D Vậy ABC là nửa = 90 ; = 60 BÀI TOÁN 4: Cho D ABC miền ngoài D vẽ các D ABE và ACF Gọi H là trực tâm D ABE I là trung điểm BC Tính các góc D FIH *Tìm tòi: Nhìn hình vẽ ta dự đoán D FIH là nửa D từ đó ta nghĩ đến việc vẽ D cạnh FH từ đó ta nghĩ đến việc lấy K trên tia đối tia IH cho: IK = IH Như cần F chứng minh D FHK Muốn ta xét D A tương ứng chứa FH và FK Chứng minh D E nàybằng nhau, ta giải bài toán H Giải tóm tắt: Trên tia đối tia IH lấy điểm K cho IK=IH Nối KF dễ thấy D BHI= D CKI ( cgc) Þ CK = BH Xét D HAF và D KCF có : C B I AH = CK ( vì cùng BH) AF = CF ( cạnh tam giác đều) · · µ Và chứng minh HAF = KCF = A + 90 K Þ D AHF = D KCF (cgc) Þ HF = KF (1) · 0 , · · · · · · và AFH = CFK mà AFH + HFC = 60 Þ CFK + HFC = 60 hay HFH = 60 (2) (1) và (2) Þ D HFK Þ FI là phân giác và là đường cao $ µ µ Vậy các góc D FIH là : I = 90 ; H = 60 ; F = 30 BÀI TOÁN 5: Cho D nhọn ABC, miền ngoài D K C1 ta vẽ các D ACB1 và ABC1 Gọi K và L, thứ tự là trung điểm AC1 và CB1, điểm M thuộc cạnh BC cho BM = 3MC Tính các góc D KLM *tìm tòi: B Vẽ hình tương đối chính xác, ta thấy D KLM có dạng nửa D Để dễ xét 0 B1 A L I N M P C (5) ta vẽ D KLP với P là điểm trên tia đối tia ML cho MP = ML và tìm cách chứng minh tam giác này Về cạnh , ta có KL là cạnh D AKL trước hết ta xét KP và LP Chúng không là cạnh D nào tương ứng D AKL Ta tìm D chứa cạnh cạnh LP mà D này có thể D AKL Gọi N là trung điểm BC, I là trung điểm AC Như cần chứng minh D AKL = D NIB1 và NB1 = LP D KLP cân L cần chứng minh góc 600 · · · · · · Xét D KLP Muốn có KLI + ILM = 60 Cần chứng minh KLI = MLC , MLC = MPN Cần chứng minh D IKL = D NPL và là bài toán giải * Giải tóm tắt: Gọi N là trung điểm BC , gọi I là trung điểm AC Ta có MN = NC Trên tia đối tia ML lấy điểm P cho MP = ML Þ D NMP = D CML (cgc) · · MPN = MLC Þ NP // CB1 và NP = CL = LB Þ D D Chứng minh: NLP = LNB1 (cgc) LP = NB1 (1) Þ · · Chứng minh : D AKL = D INB1 (cgc) ( Vì AK = IN, AL = IB1 , KAL = NIB1 ) Þ LK = NB1 (2) Từ (1) và (2) Þ LK = LP Þ D LKP cân L (3) Dễ thấy D AC1 C = D ABB1 (cgc) Þ CC1 = BB1 CC1 BB1 = ) D IKL và NPL có IK = NL ( vì cùng IL = NP ( cùng LC) ; KL = LP (cmt) Þ D IKL = D NPL (ccc) 0 · · · · · · · Þ KLI = MLC mà MLC + ILM = 60 Þ KLI + ILM = 60 Þ KLP = 60 (4) Từ (3) và (4) Þ D KLP Þ Trung tuyến KM là đường cao ¶ µ µ Vậy các góc D KLM là : M = 90 ; L = 60 ; K = 30 DẠNG II: TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN TAM GIÁC VUÔNG CÂN BÀI TOÁN 1: Cho D ABC vuông cân đỉnh A lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC, kẻ tia Ax vuông góc B với BM Gọi H là giao điểm Ax với BC và K là điểm thuộc tia đối tia HC cho HK = HC kẻ tia Ky vuông góc với BM Gọi I là giao điểm Ky với AB Tính góc AIM K *Tìm tòi: Theo hình vẽ ta nghĩ đến AML vuông I H cân A Chưa có thể chứng minh AM = AI Ta 0 A L M C (6) cần tìm đoạn thứ ba làm trung gian Trên tia đối tia AB lấy L cho AL = AM Chỉ cần chứng minh AI = AL Giải tóm tắt: Trên tia đối tia AB lấy điểm L cho AL = AM (1) Nối LC D ABM = D ACL (cgc) · · · Þ ACL = ·ABM mà ACL + ALC = 1v · · Þ ABM + ALC = 1v Þ BM ^ CL Þ LC // AH // IK , có CH = HK Þ AI = AL (2) Từ (1) và (2) Þ AM = AI Þ D AMI vuông cân A · Vậy AIM = 45 BÀI TOÁN 2: Cho D ABC có góc B = 450; Góc C = 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho · CD = CB Tính ADB ¶ ¶ A *tìm tòi: Với giả thiết cho C1 = 120 Þ C2 = 60 Khi có góc 600, ta nghĩ đến việc vận dụng nửa D ( D đều) Từ đó gợi ý 0 H ¶ cho ta hạ DH ^ AC Có D1 = 30 Chỉ ¶ ¶ cần tìm D2 , D2 là góc nhọn D vuông 450 B C D phải D ADH vuông cân ? Muốn khẳng định điểu này , ta cần so sánh HA và HD Dựa vào các góc đã biết, ta dễ dàng xác định D HAB và HBD cân H và cuối cùng HA = HD Giải tóm tắt: Hạ DH ^ AC D CHD là nửa tam giác cạnh CD Þ CD = CH Kết hợp với giả thiết CD = 2BC, ta có CH = CB ¶ D BCH cân C, có C1 = 120 Þ HD = HB (1) Þ ¶ · HBC = 300 có D1 = 30 Þ D BHD cân H · BAC = 180 - 1200 + 450 ) ( Dễ thấy ABH = 15 mà Þ D ABH cân H Þ HB = HA (2) · · hay BAC = 150 ¶ Từ (1) và (2) Þ HD = HA Þ D AHD vuông cân H Þ D2 = 45 0 · Vậy ADB = 30 + 45 = 75 BÀI TOÁN 3: Cho D ABC , có Aµ = 900 AC = 3AB Trên cạnh AC lấy điểm D cho · · DA = DC Tính ADB + ACB (7) *tìm tòi: x K ¶ · · · Dễ tính tổng ADB + ACB , ta đặt ACx = D1 F và tính góc BCx Dựa vào hình vẽ ta dự đoán góc BCx 450, đó là góc nhọn E D C A D vuông cân Ta cần tìm D vuông cân chứa góc này nghĩ vậy, từ trung điểm E AD Vẽ đường thẳng vuông góc AC cắt Cx F lợi dụng D nhau, chứng minh B D BEC vuông cân là xong Giải tóm tắt: Trên nửa mặt phẳng đối nửa mặt phẳng bờ AC có chứa B vẽ tia Cx cho · ACx = ·ADB Từ trung điểm E AD vẽ đường vuông góc với AC cắt Cx F, nối AC BF Dễ thấy D FEC = D BAD (gcg) Þ EF = AB = Hạ FK ^ AB chứng minh D FKB = D FEC (cgc) µ =F µ Þ F µ +F µ =F µ +F µ = 90 Þ BFC · F = 900 Þ FB = FC và 3 · · · Vậy D BFC vuông cân F Þ BCF = 45 ADB + ACB = 450 BÀI TOÁN 4: Cho D ABC, vẽ phía ngoài D dựng các D vuông cân đỉnh A ADB và ACE Gọi P, Q, M thứ tự là trung điểm BD, CE và BC Tính các góc D PQM tìm tòi: Trước hết ta nhận xét D PQM có E thể vuông cân M, từ đó ta nghĩ đến chứng minh MP = MQ (*) Thường bài toán D có nhiều trung điểm ta nghĩ đến việc vận dụng đường trung bình tam giác dễ thấy A dễ có (*) cần chứng minh BE = CD đó chính Q là hai cạnh tương ứng hai tam giác I ADC và ABE Cuối cùng muốn có P ^ ^ MP MQ cần chứng minh CD BE là xong Giải tóm tắt: Ta có D ABE = D ADC (cgc) Þ BE = CD Gọi I là giao điểm BE và DC Dễ dàng C B M ·IDB + IBD · = 90 Þ BE ^ CD chứng minh 1 DC; MQ = BE Mà MP = (theo t/c đường trung bình D ) Þ MP = MQ và MP ^ MQ Þ D PMQ vuông cân M Vậy các góc D PMQ lần µ =Q µ = 450 ; M ¶ = 90 P lượt là BÀI TOÁN 5: (8) Cho D ABC , biết các đường cao hạ từ A và B ,xuống các cạnh đối diện không nhỏ các cạnh đối diện Hãy tính các góc D ABC *Tìm tòi: Gọi đường cao là AH và BK có AH ³ BC; BK ³ AC Ta phải tính góc A ,B,C A Xét vài trường hợp hình vẽ, chiều cao lớn cạnh tương ứng thì chiều cao bé cạnh tương ứng từ đó ta nghĩ đến trường hợp hai chiều cao cạnh đối diện tương ứng D vuông cân và chứng minh D ABC vuông cân C K Giải tóm tắt: Có AH ³ BC ( giả thiết) Lại có BC ³ BK ( tính chất đường xiên) B H C Þ AH ³ BC ³ BK (1) Tương tự : BK ³ AC ³ AH (2) Từ (1) và (2) Þ AH ³ BC ³ BK ³ AC ³ AH Þ AH = BC = BK = AC Þ µ =B µ = 450 ; C µ = 90 D ABC vuông cân C Vậy A BÀI TOÁN : Cho D ABC đường cao AH, đường phân giác BD và góc AHD = 450 Tính góc ADB *Tìm tòi: Vẽ hình tương đối chính xác, ta dự đoán góc K ADB = 450, từ đó nghĩ đến việc tạo tam A giác vuông cân cách hạ BK ^ AC Ta cần chứng minh D KBD vuông cân K D Để ý tính chất: Trong D đường phân giác 1 góc và hai phân giác ngoài µ ¶ hai góc còn lại đồng qui ta có A1 = A2 lợi dụng góc ngoài D và góc có cạnh tương ứng ¶ B H · vuông góc ta chứng minh D1 = KDB Giải tóm tắt: Vẽ BK ^ AC K Xét D ABH có BD là phân giác HD là phân giác ngoài đỉnh H Þ AD là phân giác ngoài đỉnh A Þ Aµ1 = A¶ µ · ¶ · ¶ ¶ µ Mà A1 = KBH Þ A2 = KBH Trong D ABD góc ngoài A2 = D1 + B1 ¶ =A ¶ - B µ Þ D ¶ = KBH · µ = KBH · ¶ = KBD · Þ D - B - B 1 C (9) · Vậy D KBD vuông cân K và đó ADB = 45 DẠNG III : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN RA TAM GIÁC ĐỀU BÀI TOÁN 1: Cho D ABC vuông A , có góc B = 750 Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho BH = AC Tính góc BHC H *Tìm tòi: Từ giả thiết BH = AC Muốn vận dụng giả thiết này ta gọi E là trung điểm BH và có BE = EH = AC Có BC là cạnh µ D ABC có C =150 và để ý 75 -150 = 600 ta nghĩ đến việc dựng D BDC Lúc này E D µ Þ D D E có ABC = EBD (cgc) = 1V ·DHB = DBH · = 15 và A · · Cuối cùng chứng minh DHB = DHC Giaiû tóm tắt: C B Gọi E là trung điểm BH Dựng D BDC ( D và A thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ BC) ¶ D EDB = D ABC (cgc) Þ E1 = IV · · · Þ D BDH cân D Þ DHB = DBH = 150 và HDB = 1500 ¶ ¶ · = 300 D HDB = D HDC (cgc) Þ H = H1 = 15 Vậy BHC A BÀI TOÁN 2: Cho D ABC cân A Có góc A = 400 Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia D Bx cho góc CBx = 10 Trên Bx lấy điểm E cho BE = BA Tính góc BEC *Tìm tòi: Ta thấy góc BEC là góc D BCE Ta cần tìm D D này Để ý C B · · CBE = 100 và ABC = 700 = 100 + 600 Ta vẽ D BDC lúc này AD là trung trực BC chính là phân giác góc E · · · · Þ BAD BAC = 200 Chỉ cần chứng minh CEB = BAD nhờ D Giải tóm tắt: Vẽ D BDC ( D và A cùng nửa mp bờB BC) Chứng minh · · = BAD Dễ thấy AD là trung trực BC nên D CEB= D DAB (cgc) Þ BEC · · D ABC, AD là phân giác Þ BAD =200 Vậy BEC = 200 BÀI TOÁN 3: Cho D ABC vuông cân A Điểm E nằm D · · · D cho EAC = ECA = 15 Tính AEB x E A C (10) *tìm tòi: 0 · · Có EAC = 15 Þ EAB = 75 , để ý 750 = 150 + 600 · nên vẽ D ADE Chỉ cần tìm DEB · · = DAB Muốn ta chứng minh DEB nhờ hai tam Giải tóm tắt: Vẽ tam giác AED ( D và B trên cùng mp bờ AE) ta có D ADB = D AEC (cgc) Þ · · · = DBA = 150 Þ ADB = 1500 D ADB cân D Þ DAB · EDB = 3600 - (1500 + 600) = 1500 · · = DEB = 150 D ADB = D EDB (cgc) Þ DAB A · Vậy AEB = 75 BÀI TOÁN 4: Cho D cân ABC có góc đỉnh A 200 Các điểm M,N theo thứ tự trên AB AC · · cho BCM = 500; CBN = 600 Tính góc BNM *Tìm tòi: · P N Đề bài cho có CBN = 600, ta tìm cách vận dụng D Để thực ý đồ đó, ta lấy M · Q điểm P trên AB cho BCP = 600 và có D BQC, D NQP Từ hình vẽ, ta dự đoán góc MNB băng 300 Nghĩ ta chứng minh NM là phân giác góc BNP Từ đó tính góc BNM B C Giải tóm tắt: Qua N vẽ đường thẳng song song BC cắt AB P Gọi Q là giao điểm PC và BN µ Chứng minh D BCQ và PNQ Trong D MBC có Bµ = 800, CA= 500 ¶ Þ M = 500 Þ D BMC cân B Þ BM = BQ ( cùng BC) Þ D MBQ cân B, ¶ · có góc B2 = 200 Þ BQM = 80 12 · · · MQP = 1800 - ( 800 + 600) = 400 Þ D PMQ cân M ( vì MQP = MPQ = 40 ) Þ MP = MQ D Þ Theo chứng minh NP = NQ MN là trung trực PQ nên MN chính là phân · giác góc PNQ Vậy MNB = 300 BÀI TOÁN 5: µ Cho D ABC cân A , có A = 20 trên cạnh · AB lấy điểm D cho AD = BC Tính ACD E ? B C (11) Tìm tòi: · · Cần tìm ACD ACD thuộc D ACD có Aµ = 200 và cạnh AC ta cần tìm D D nói trên Để ý Bµ = 800 và 800 - 600 = 200 ta nghĩ đến việc vẽ D BCE ( E và A cùng phía BC ) Nối AE lúc này D ACD = D BAE µ ( cgc ) Chỉ cần tính A1 Giải tóm tắt : Vẽ D BCE ( E và A cùng nửa mp bờ µ BC ) Có B1 = 200 Dễ thấy : ¶ µ D ACD= D BAE (cgc ) => C? = A1 µ ¶ D ABE = D AE (cgc ) => A1 = A2 = 10 · Vậy ACD = 100 E BÀI TOÁN 6: Cho D cân ABC ( AB =AC ) có Aµ = 800 Gọi D là điểm D cho : A ·DBC · DCB =10 , =30 Tính góc BAD *Tìm tòi : µ µ µ D ABC cân A , A = 800 => B = C =500 Dự đoán D ABD cân B nên ta nghĩ đến việc chứng minh BA = BD Để ý D ? 600 - 500 = 100, để tạo D D BCD ta vẽ D BEC và cần 10 30 chứng minh D BCD = D BEA là xong B C Giải tóm tắt: Vẽ D BEC ( E và A cùng nửa mp bờ BC) AB = AC và EB = EC Þ AE là đường trung trực đoạn BC Tam giác BEC nên trung trực EA là phân · giác Þ AEB = 30 và dễ dàng chứng minh D BCD = ABEA (cgc) Þ BA = BD · Þ D ABD cân B, có Bµ = 400 Vậy BDC = 700 BÀI TOÁN 7: A Cho D ABD và D CBD ( A và C thuộc nửa mặt phẳng đối bờ BD) Biết góc BAC = 500, góc ABD = 600, góc CBD = 200, góc CDB = 300 Tính 50 góc DAC và góc ADB *tìm tòi: Nhận xét góc DAC và góc E ADB cần tính góc thì suy µ µ góc D BCD có B = 200, D = 300 nên lấy B 60 20 C 30 D (12) · · E cho EBD = 200, EDB = 300 ta có D BED= D BCD và D CDE dễ dàng tính góc C1 nên cần chứng minh D ACE cân tính góc A1 Từ đó tính A2 Giải tóm tắt: Trên nửa mặt phẳng bờ BD có chứa A lấy · · điểm E cho EBD = 200, EDB = 300 Nối EA EC D ECD cân có góc 600 nên là tam ¶ 0 · · giác Dễ dàng tính BCE = 70 , BCA = 50 Þ C1 = 20 0 ¶ µ · D ABE = D CBE (cgc) Þ EA = EC và C1 = A1 = 20 Þ AEC = 140 0 ¶ ¶ · = 3600 -(1400 +600) = 1600 Þ A2 = D3 = 10 D AED cân E có AED · · Vậy DAC = 20 + 100 = 300 Và ADB = 30 + 100= 400 DẠNG IV : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN TAM GIÁC CÂN BIẾT MỘT GÓC BÀI TOÁN 1: Cho D ABC có góc A = 600, các phân giác BD và CE cắt I Tính các góc D DIE *Tìm tòi: · Theo đề ta dễ dàng tìm góc BIC =1200 Theo hình vẽ ta dự đoán D DIE cân I, nên để tìm góc còn lại ta cần chứng minh dự đoán này Muốn ta so sánh ID và IE với đoạn thứ ba Để lợi dụng D ta vẽ phân giác IK D BIC và giải bài toán Giải tóm tắt: µ +C µ µ B 180 - A · · DIE = BIC = 180 = 1800 = 1200 2 A 60 Vẽ phân giác IK D BIC ta có : D Iµ1 = Iµ2 = Iµ3 = Iµ4 = 600 E I Þ D BIE = D BIK (gcg) Þ IE = IK chứng minh tương tự có : ID = IK Þ IE = ID Þ D ADI cân I, có 1 0 $ µ µ B I = 120 Þ E = D = 30 C K BÀI TOÁN 2: D ABC có góc B = 600, góc C = 300 Lấy D trên cạnh AC, E trên cạnh AB cho góc A ABD = 200, góc ACE = 100 Gọi I là giao điểm BD và CE Tính các góc D IDE D E *Tìm tòi: I 0 0 · · Dễ thấy EID = BIC = 180 - (40 + 20 ) = 120 K B C (13) Dự đoán ID = IE Ta cần tìm đoạn trung gian Để xuất D nhau, ta vẽ phân giác D IBC cắt K cần chứng minh: ID = IE = IK là xong Giải tóm tắt: µ Trong D IBC, tính Bµ = 400, C = 200 · · = BIC = 180 - (400 + 200 ) = 120 Þ EID µ µ µ µ Vẽ phân giác D BIC cắt K Tính I1 = I = I = I = 60 D BIE = D BIK (gcg) Þ IE = IK Chứng minh tương tự có : ID = IK µ =E µ = 300 Þ IE = ID Þ D DIE cân I Vậy các góc D IDE là : $I = 1200 ; D BÀI TOÁN 3: Cho D ABC có góc A = 500 , góc B = 200 C Trên đường phân giác BE D lấy trung ? ·FAB = 200 điểm F cho Gọi I là trung E M F điểm AE EI cắt AB K I Tính góc KCB 10 30 10 20 *Tìm tòi: B A Vẽ chính xác ta nghĩ đến D CBK cân B chứngKminh dự đoán này ta giải bài toán Giải tóm tắt: · · Gọi M là giao điểm CK và BE Chứng minh EAF = EFA = 30 Þ D AEF cân E Þ trung tuyến IE là phân giác Như E¶ = E¶ = E¶ = 60 µ = 20 Þ BCK · = 80 D CEB = D KEB (gcg) Þ BC = BK Þ D BCK cân B, có B BÀI TOÁN 4: 0 µ = 1000 · · D ABC cân A, có A Điểm M nằm D cho MBC = 10 ; MCB = 20 Tính góc AMB D *Tìm tòi: Với ý tưởng tìm góc góc AMB và có thể tính số đo noÙ Trên tia CA lấy A D D cho : CD = CB BCD cân C, · biết ACB = 40 Þ biết góc ADB Như cần chứng minh góc AMB góc ? M 20 ADB là xong 30 10 20 Giải tóm tắt: B C Trên tia CA lấy điểm D cho CD = CB · · = 400 Þ CDB = 70 D BCD cân C, có ACB (14) · · Chứng minh D MCB = D MCD (cgc) Þ MB = MD và CDM = CBM = 10 · MDB = 70 - 100 = 600 Þ D MBD · · Chứng minh D ABM = D ABD (cgc) Þ AMB = ADB = 70 BÀI TOÁN 5: Cho D ABC cân A có góc A = 80 0, I là điểm thuộc miền D ABC · · cho : IBC = 10 , ICB = 20 Tính góc AIB A *Tìm tòi: Rõ ràng không thể tính số đo góc AIB, ta nghĩ đến việc tìm D cân chứa góc này và tìm cách xác định số đo góc nào đó N tam giác đó Kẻ đường cao AH D ABC cắt BI O và dự đoán D AOI cân A J Nghĩ kẻ đường cao AK D AOI cắt I O đường thẳng CI J và chứng minh AK là K 20 10 đường trung trực đoạn OI H C B Giải tóm tắt: Kẻ đường cao AH D ABC cắt BI O Kẻ đường cao AK D AOI cắt đường thẳng CI J Đường cao AH D ABC là trung trực BC · · · Þ OB = OC Þ D BOC cân O Þ OCB = 10 D AOC có OAC = OCA = 400 nên cân O Þ OA = OC (1) · · Lại có HAK = IBC = 10 ( cặp góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) · · Xét D AJC tính JAC = JCA = 30 nên là D cân J Þ JA = JC (2) Từ (1) và (2) Þ OJ là trung trực AC, chính là phân giác góc AOC 0 · · Trong D cân AOC tính AOC = 100 Þ JOC = 50 0 · Góc IOC là góc ngoài D OBC Þ IOC = 10 +10 = 20 0 · Tính JOI = 50 - 20 = 30 (3) · Góc JIO là góc ngoài D IOC Þ JIO = 200 + 100 = 300 (4) Từ (3) và (4) Þ D OJI cân J Þ JK là trung trực OI Do điểm A Î JK Þ AO = AI Þ D AOI cân A 0 0 · · · · Trong đó AOI = AOC - IOC = 100 - 20 = 80 Vậy AIB = 80 BÀI TOÁN 6: Trong D cân ABC có góc đỉnh C 1000, ta kẻ tia Ax tạo với AB góc 300, tia này cắt tia phân giác góc B M Tính góc ACM C x *Tìm tòi: Góc ACB = 100 nên biết góc BCM ta suy góc ACM Góc BCM · I D BCM đã biết góc CBM = 20 nên 0 M 30 A 20 B (15) cần chứng minh D này cân Ta cần tìm tam giác tương ứng chứa BC và BM Nghĩ ta vẽ đường phân giác góc CBM cắt Ax I Ta cần chứng minh D BIC = D BIM để giải bài toán Giải tóm tắt: Vẽ phân giác góc CBM cắt Ax I Chứng minh D AIB cân I Þ IA = IB Lại có CA = CB (gt) Þ CI là trung trực AB , ¶ D ACB cân C nên trung trực CI là phân giác góc ACB Þ C1 = 50 ¶ ¶ M là góc ngoài D AMB nên M1 = 300 + 200 = 500 µ ¶ · · = BIC D BIC = D BIM ( IB chung; B1 = B2 = 10 , BIM =1800 – ( 100 + 500) = 1200 ) Þ BC = BM Þ D BCM cân B · · · · · 0 Lại có CBM = 20 Þ MCB = 80 Vậy ACM = ACB - MCB = 100 - 80 = 20 BÀI TOÁN 7: Cho D ABC, có Aµ = 800, AB < AC Trên AC lấy điểm D cho CD = AB Qua các trung điểm K AD và N BC ta kẻ đường thẳng cắt AB kéo dài M Tính góc BMN *Tìm tòi: E Bài toán cho có nhiều trung điểm đoạn thẳng M nên ta nghĩ đến việc vận dụng đường trung A bình D Từ suy nghĩ này trên tia đối tia K AC lấy điểm E cho AE = DC Lúc này D KN là đường trung bình D CBE Þ MN// BE ¶ =B µ Þ M 1 Tính góc B D ABE là xong 1 Giải tóm tắt: Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho B C N D AE = DC Dễ thấy KN là đường trung bình CBE ¶ =B µ Þ MN// BE Þ M 1 D ABE có AB = AE ( vì cùng DC) nên là D cân A M C µ = 180 - 800 = 1000 Þ B µ = 400 ¶ = 400 A A M Ta có Vậy DẠNG V : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA CÁC MỐI LIÊN HỆ KHÁC GIỮA CÁC GÓC K BÀI TOÁN 1: Cho D AOB vuông cân O Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với OA, qua B vẽ đường thẳng vuông góc với OB, hai đường thẳng này cắt C, từ điểm M trên N ·AMD = OMN · đoạn AC vẽ đường thẳng cắt đoạn BC N cho Tính góc MON 12 O B (16) *Tìm tòi: · Vẽ hình chính xác ta dự đoán MON = 450 Để ý tính chất phân giác góc kề phụ tạo thành góc có số đo 450 , ta tìm góc kề phụ đó Với suy nghĩ này gợi ý ta kẻ OK ^ MN ¶ ¶ ¶ ¶ và cần chứng minh: góc O1 = O2 ; O3 = O4 Giải tóm tắt: Hạ OK ^ MN K Có D AOM = D KOM ¶ =O ¶ Þ O Þ OK = OA = OB ¶ ¶ Có D KON = D BON Þ O3 = O4 · OM và ON là phân giác góc kề phụ Vậy MON = 45 BÀI TOÁN 2: Cho D ABC vuông A, vẽ đường cao AH Qua C vẽ tia Cx song song với tia AB (Tia Cx và tia AB cùng thuộc nửa mp bờ AC) Trên tia Ox lấy điểm K cho : CK = AB Gọi M là trung điểm BH Tính góc AMK *Tìm tòi: · Theo hình vẽ ta dự đoán góc AMK = 90 Từ giả thiết CK//AB và CK = AB , để vận dụng giả thiết này ta nghĩ đến việc vẽ đường trung bình MN D ABH Lúc đó MN// CK và MN= CK Dễ thấy MK// NC Như cần chứng minh CN ^ AM Giải tóm tắt: Vẽ đường trung bình MN D ABM x B M H MN//AB và MN= AB K N Þ MN// CK và MN=CK ¶ ¶ D MNC = D CMK (cgc) Þ C1 = M1 A Þ MK// NC Trong D AMC ta có AH ^ MC và MN ^ AC ( vì MN// ABAvà AC ^ AB) · Nên N chính là giao điểm đường cao Þ CN ^ AM Vậy AMK = 90 BÀI TOÁN 3: E D Cho nhọn ABC có đường cao AD và CE cắt H, các phân giác góc BAD và góc BCE cắt O Tính góc AOC H O *Tìm tòi: C M N1 C D B (17) Dự đoán góc AOC 900, AO đã là phân giác góc BAD Gọi M, N thứ tự là giao điểm OC với AB và AD, ta nghĩ đến việc chứng minh D AMN cân A Giải tóm tắt: Gọi M,N thứ tự là giao điểm OC với AB và AD · · ¶ = 1v - ECB ; N ¶ =N ¶ = 1v - ECB Þ M ¶ =N ¶ Þ M 1 1 2 D AMN cân A · Þ AOC Phân giác AO là đường cao Vậy = 90 BÀI TOÁN 4: µ Cho D ABC có Bµ > C Phân giác ngoài cùa góc A hợp với BC góc 300 µ µ Tính B - C Tìm tòi: A Đề bài cho phân giác ngoài góc A và góc DAB 300 dễ xét ta nghĩ 12 đến việc vẽ phân giác AD D ABC Từ đó tính góc B, góc C và từ đó suy µ µ B - C 120 30 Giải tóm tắt: D D B Vẽ phân giác A cắt BC D1 C 0 · · Tính AD1C = 120 Þ AD1B = 60 · C = 1200 AD là góc ngoài D ACD1 µ µ Nên B1 = 120 - A1 · ¶ ¶ µ ¶ µ ¶ Lại có BD1 A = 600 là góc ngoài D ACD1 nên C1 = 60 - A2 mà A1 = A2 Þ B1 - C1 = 60 BÀI TOÁN 5: Tính các góc tam giác cân biết phân giác ứng với đáy nửa phân giác ứng với cạnh bên 0 µ ,B µ ,C µ A A D ( ABC cân A AD và BE là phân giác AD = BE Tính ) *Tìm tòi: E Để vận dụng giả thiết AD = BE Đã có D là trung điểm BC Gợi cho ta vẽ đường trung bình DF D BCE Lúc này tam giác ADF cân Lợi dụng liên hệ các góc ta tìm các góc A,B,C Giải tóm tắt: Vẽ đường trung bình DF D BCE ta có B F D C (18) D ADF cân D µ ¶ µ µ ¶ ¶ Đặt B1 = B2 = a Ta có B = C = 2a , D1 = B2 = a µ =A ¶ =F µ = 2a + a = 3a Þ A µ = 6a µ µ µ A Trong D ABC: A + B +C = 6a + 2a + 2a = 10a 10a = 1800 Þ a = 180 µ = 1080 ; B µ =C µ = 36 A Vậy BÀI TOÁN 6: Cho D ABC có AB < AC Các phân giác BD và CE cắt G thoả mãn điều kiện GD = GE Tính góc BAC A *Tìm tòi: · · Dự đoán BAC = 60 , BGC = 120 Để ý các góc ngoài D EBC, D ABD µ µ B ¶ = EGB · ¶ = A+ B E + ; D 1 2 ) ( E 1 F D G Nên để chứng minh góc A 600 ta phải chứng minh góc E1 góc D1 2 1 Nhận xét AE < AD Để chứng B C minh góc E1 góc D1 ta cần tìm góc trung gian thuộc tam giác D AGE cách lấy F trên tia AD cho: AE = AF Chứng minh D AFG = D AEG và D DGF cân thì có góc D1= E1 (cùng góc F1) Giải tóm tắt: µ µ Ta có AB < AC Þ B > C Hai D AGD và AGE có AG chung GD = GE (1) µ µ µA C µ ·AGD = A + B · AGE = + 2 ( Vì là góc ngoài D AGB ) và 2 ( Vì là góc ngoài Lại có : · · D AGC ) Þ AGD > AGE (2) Từ (1) va ø(2) Þ AD > AE Trên đoạn AD lấy điểm F cho AF = AE ¶ µ Ta có D AGE = D AGF (ccc) Þ E1 = F1 (3) và GE = GF = GD ¶ =F µ Þ D DGF cân G Þ D 1 (4) ¶ ¶ Từ (3) và (4) Suy D1 = E1 µ µ µ µ µ µ +B =B µ +C Þ A µ = B +C = 180 - A Þ A µ = 1800 - A µÞ A µ = 60 A 2 2 hay · BAC = 600 Vậy BÀI TOÁN 7: (19) Cho D nhọn ABC, phia ngoài D dựng các D ABD, BCE,ACF Gọi I,K,L thứ tự là tâm D này Tính các góc D IKL *Tìm tòi: Dự đoán D IKL Để phân tích, giả sử ta có điều này Vẽ AH, BP,CQ theo thứ tự vuông góc xuống IL,IK,KL ta thấy chúng đồng qui O Dự đoán IL, IK, KL thứ tự là trung trực OA, OB,OC Từ đó gợi ý cho ta vẽ thêm để tìm lời giải Hạ AH ^ IL Trên tia đối tia AH lấy O cho HO = AH Dễ thấy IB = IO, suy I · thuộc trung trực BO.Vẽ trung trực IP D cân BIO Sẽ có HIP = 60 · Tương tự vẽ trung trực LQ D cân CLO có HLQ = 60 Gọi K1 là giao điểm IP và LQ Suy D ILK1 Cuối cùng cần chứng minh K1 º K là xong Giải tóm tắt: Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IL H, trên tia đối A tia HA lấy điểm O cho HO = AH Nối OI, OL, D ta co ù: IO = IB ( cùng IA) và LO = LC ( cùng LA) I 12 H Vẽ trung trực IP D cân OIB 43 O và trung trực LQ D cân OLC P Hai trung trực này cắt K1 µ µ µ µ Xét các góc đỉnh I có I1 = I ; I = I · Và AIB = 120 nên dễ chứng minh · · 0 B Q C K K1 ILK1 = 60 (2) Từ (1) và (2) Þ D ILK1 · L Þ IK = 600 Xét các góc đỉnh K1 có L 12 LIK1 = 60 (1) Xét các góc đỉnh L, chứng minh ¶ =K · ;K ¶ =K · · ¶ · C= K BK 11 12 13 14 mà K12 + K13 = 60 Þ 1200 · · Trong tam giác cân CK B Þ CBK1 = BCK1 = 30 Þ BK F E và CK1 là phân giác D BCE Þ K1 chính là trọng tâm D BCE Þ K1 º K $ µ µ Vậy D IKL là D đó các góc cần tìm là I = K = L = 60 III Kết thực hiện: (20) 1/ Đối với học sinh : Qua năm thực ( 2004 – 2005 ; 2005 – 2006 ; 2006-2007) kết khảo sát cho thấy các nhược điểm học sinh nêu trên đã giảm nhiều Tỉ lệ học sinh hiểu bài, làm bài tăng lên rõ rệt, các em hứng thú và tích cực học tập, yêu thích môn nhiều thêm 2/.Đối với giáo viên : Qua việc áp dụng đề tài , thân tôi đã rút số kinh nghiệm định Đó là Giáo viên phải luôn bám sát học sinh , tìm hiểu thông tin ngược từ phía học sinh để có phương pháp giảng dạy dễ hiểu Thực tế cho thấy có vấn đề chủ quan Giáo viên cho là đơn giản thì nhiều học sinh tiếp thu lại khó khăn Giáo viên cần kiên trì , bền bỉ, gần gũi học sinh, nhiệt tình giảng dạy Từ đó cảm hóa các em giúp các em mạnh dạn trao đổi ý kiến với Giáo viên , hứng thú , tích cực học tập và kính trọng biết ơn Thầy Cô Giáo Sau đây là bảng thống kê kết các bài kiểm tra Năm học Aùp dụng đề tài Giỏi 1% 4% 6% 10% Kết các bài kiểm tra Khá T.bình Yếu 14% 40% 40% 20% 51% 23% 22% 52% 20% 28% 49% 13% Kém 5% 2% 0% 0% 2003 -2004 Chưa áp dụng 2004 -2005 Đã áp dụng 2005 -2006 Đã áp dụng 2006 - 2007 Đã áp dụng C – KẾT LUẬN Trên đây là nội dung mà qua quá trình giảng dạy, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi , thân chúng tôi đã tổng hợp Thật đây là điều quen thuộc , ta có thể gặp số bài rải rác các sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, tạp ch1 toán học, đề thi v.v Có điều chúng tôi muốn nhấn mạnh là phương pháp tìm tòi , định hướng cho suy nghĩ học sinh đứng trước bài toán tính số đo góc Việc xác định hướng suy xét phù hợp góp phần lớn để giải bài toán Việc phân chia các dạng tài liệu này có tính tương đối dễ xét Trong bài toán , tuỳ theo cách nhìn ta có hướng giải tương ứng và dù theo hướng nào các kiến thức cần vận dụng phong phú và đa dạng Để có cái nhìn thật linh hoạt cho bài toán cụ thể biện pháp chủ lực trước sau là dạy cho học sinh nắm thật kiến thức và thường xuyên vận dụng rèn kỹ giải bài tập, tìm tòi giải pháp hay sáng tạo , trau dồi lòng yêu thích môn say sưa hứng thú giải bài toán hay.Với suy nghĩ chúng tôi tin tưởng chúng ta có thể vượt qua điều rắc rối, hóc búa toán hình học nói chung và loại toán “ Tính số đo góc” hình học lớp nói riêng Rất mong góp ý chân thành các Thầy Cô giáo và các bạn đồng nghiệp (21) (22)