Quá trình khuếch tán

1 Luận văn thạc só toán học LỜI CẢM ƠN Luận văn xin tạ ơn đến bậc sinh thành Đặc biệt, hết lòng biết ơn Tiến só Dương Tôn Đảm, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ chuyên môn, kinh nghiệm để hoàn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu quý thầy cô, cán công nhân viên trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên nói chung, thầy cô thuộc môn Xác Suất Thống Kê nói riêng, thầy Tiến só Tô Anh Dũng, PGS.TS Nguyễn Bác Văn, GS.TSKH Nguyễn Văn Thu tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian theo học trường thời gian thực luận văn Hơn hết, tỏ lòng biết ơn đến bạn Bùi Đăng Khoa, Nguyễn Đức Phương, Lê Công Huy, Tạ Diệu Hân luôn sẵn sàng giúp đỡ động viên tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn thời hạn quy định Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Tác giả Triệu Nguyên Hùng Luận văn thạc só toán học LỜI NÓI ĐẦU Trong luận văn này, nghiên cứu trình khuếch tán lý thuyết trình ngẫu nhiên; trình mô tả chuyển động hạt riêng lẻ trình khuếch tán vật lý (là trình lan rộng chất vào chất khác phân tử chúng chuyển động hỗn loạn) Chuyển động Brown trình Wiener ví dụ trình khuếch tán mà ta biết Luận văn gồm có chương Chương Là kiến thức sở cần cho luận văn bao gồm trình Markov, Martingale hai khái niệm quan trọng nghiên cứu trình ngẫu nhiên Ngoài có định lý hội tụ lý thuyết xác suất thống kê, định lý giúp tìm giới hạn biến ngẫu nhiên theo độ đo xác suất Vì lý không tương thích tích phân Itô tích phân giải tích cổ điển nên người ta thường sử dụng tích phân Stratonovitch có nhiều tính chất công thức tương tự tích phân giải tích cổ điển Chương Trình bày trình khuếch tán, có nhiều quan điểm khác trình khuếch tán, chẳng hạn theo lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng trình khuếch tán định nghóa theo tích phân hàm mật độ xác suất chuyển luận văn trình bày theo lý thuyết trình ngẫu nhiên nghóa trình khuếch tán định nghóa theo chuyển động Brown, hay gọi khuếch tán Itô Chương Chứng minh mối liên hệ trình khuếch tán phương trình vi phân đạo hàm riêng Sự liên hệ thể rõ, sử dụng hiểu biết phương trình vi phân đạo hàm riêng để nghiên cứu trình khuếch tán, hai Luận văn thạc só toán học sử dụng hiểu biết trình khuếch tán để có thêm thông tin nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng Cụ thể ta có mối liên hệ trình khuếch tán toán Cauchy Nghiệm tổng quát toán Cauchy kỳ vọng hàm xác định chuyển động Brown Phần cuối chương khái quát hóa trình khuếch tán không gian nhiều chiều để có thêm thông tin trình khuếch tán Chương Trình bày toán Dirichlet toán giá trị biên khác với toán Cauchy toán giá trị ban đầu, mối liên hệ trình khuếch tán toán Dirichlet cho ta nghiệm kỳ vọng thời gian trình lưu lại miền mà xét Từ giúp nghiên cứu toán tìm chi phí cực tiểu (cực đại) mà trình lưu trú miền xét Chương Trình bày điều khiển tối ưu cho trình khuếch tán Phương pháp tối ưu đưa phương pháp điều khiển trình khuếch tán theo nghóa tốt thay quan sát đơn trước đây, điều khiển tối ưu cho trình khuếch tán Chúng ta có toán tìm đường ngắn hay tốn chi phí để trình khuếch tán thoát khỏi miền xét MỤC LỤC Luận văn thạc só toán học Trang Lời cảm ơn Lời nói ñaàu Muïc luïc Bảng kí hiệu .7 Chương I Kiến Thức Cơ Sở §1.1 Quá trình Markov §1.1.1 Định nghóa §1.1.2 Quá trình Markov liên tục §1.1.3 Ví dụ §1.2 Martingale 10 §1.2.1 Định nghóa lọc 10 §1.2.2 Định nghóa martingale 10 §1.2.3 Ví dụ 11 §1.3 Các định lý hội tụ 13 §1.3.1 Định lý hội tụ đơn điệu 13 §1.3.2 Định lý hội tụ bị chaën 13 §1.3.3 Khái niệm thời điểm dừng 13 §1.3.4 Định lý thời điểm dừng 14 §1.4 Tích phân Stratonovitch 15 §1.4.1 Các định nghóa 15 §1.4.2 Ví dụ 17 §1.4.3 Sự liên hệ tích phân Stratonovitch tích phân Itô 17 Luận văn thạc só toán học Chương II Quá trình khuếch tán 19 §2.1 Định nghóa 19 §2.2 Sự liên hệ trình khuếch tán 20 phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovitch §2.3 Ví dụ 20 §2.4 Tính chất 22 §2.5 Ứng dụng toán tài 24 §2.6 Ứng dụng vật lý 28 Chương III Quá trình khuếch tán phương trình vi phân đạo hàm riêng 31 §3.1 Quá trình khuếch tán phương trình vi phân đạo hàm riêng 31 §3.2 Phương trình parabolic 34 §3.2.1 Khái nieäm 34 §3.2.2 Ví dụ 35 §3.2.3 Bài toán Cauchy 35 §3.3 Sự tồn nghiệm cho phương trình parabolic 39 §3.3.1 Định lý tồn nghiệm 40 §3.3.2 Định lý tính ngiệm trường hợp t0 ≤ T 43 §3.3.3 Định lý tính ngiệm trường hợp t0 < T 46 §3.4 Quá trình khuếch tán nhiều chiều 47 §3.4.1 Khái nieäm 47 §3.4.2 Ví dụ 50 §3.4.3 Ví dụ 51 Chương IV Bài toán Dirichlet 53 §4.1 Bài toán Dirichlet 53 Luận văn thạc só toán học §4.2 Định lý cho trường hợp riêng 55 §4.3 Định lý cho trường hợp tổng quát r 58 §4.4 Định lý cho trường hợp tổng quát miền G ∈ r 59 §4.5 Định lý cho trường hợp riêng 61 §4.6 Ví dụ 61 Chương V Điều khiển tối ưu cho trình khuếch tán 63 §5.1 Khái niệm điều khiển tối ưu 63 §5.2 Định lý tìm cực đại 65 §5.3 Định lý tìm cực tiểu 68 §5.4 Ví dụ 69 §5.5 Ví dụ 74 Tài liệu tham khaûo 82 Luận văn thạc só toán học BẢNG KÍ HIỆU Không gian Euclide r-chiều , với r = 1: r = FtW σ − trường sinh {Ws ,0 ≤ s ≤ t} Ft X σ − trường sinh { X s ,0 ≤ s ≤ t} ( X t trình ngẫu nhiên) t ∫ f (r,ω ) o dW Tích phân Stratonovitch τ Thời điểm dừng: {ω : τ (ω ) ≤ t} ∈ F t ∇ Toán tử gradient: ∇f =  r ∆  ∂f ∂f  , ,  ∂xn   ∂x1 Toán tử Laplace: ∆f = ∂2 f ∑ ∂x i i ο (t − t ) Hàm vô bé có bậc cao bậc (t − t0 ) X tt0 , x0 Quá trình khuếch tán X t bắt đầu thời điểm t0 điểm x0 Xt Quá trình khuếch tán nhiều chiều Lt f ( x) Toán tử vi phân cấp hai tác động lên hàm f ( x ) khả vi hai lần theo x ∈ với t cố định Chương I Luận văn thạc só toán học CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong phần trình bày hai khái niệm quan trọng nghiên cứu trình ngẫu nhiên trình Markov Martingale §1.1 QUÁ TRÌNH MARKOV ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Đặt X t , t ∈ T ⊆ trạng thái SΡ ⊆ r trình ngẫu nhiên xác định không gian (không gian Euclide r -chiều) X t trình Markov với C ⊆ SΡ µ X s || X u ,u ≤t (C ) = P { X s ∈ C || X u , u ≤ t} (1.1.1) hàm t , s, C , vaø X t : P { X s ∈ C || X u , u ≤ t} = µt , X t , s (C ) (1.1.2) CHÚ Ý: Theo ngôn ngữ xác suất có điều kiện P { • X u = xu , u ≤ t} : P { X s ∈ C X u = xu , u ≤ t} = µt , xt , s (C ) (1.1.3) Chương I Luận văn thạc só toán học Hàm µt , x, s (C ) t , s ∈ T , t < s, x ∈ SΡ , gọi hàm xác suất chuyển trình Markov, giá trị gọi xác suất chuyển từ điểm x thời điểm t tới tập C thời điểm s Trong trường hợp s = t theo (1.1.3) ta nhận 1, x ∈ C , 0, x ∉ C (1.1.4) µt , x , s (C ) =  phân phối tập trung điểm x 1.1.2 QUÁ TRÌNH MARKOV LIÊN TỤC Giả sử hàm phân phối µt , x, s (C ) trình Markov liên tục không gian SΡ ⊆ r ; mật độ xác suất chuyển p (t , x, s, y ) hàm t < s x, y ∈ SΡ thỏa ∫ µt , x , s (C ) = p (t , x, s, y )dy với C ⊆ SΡ (1.1.5) C VÍ DỤ 1.1.3 Biểu diễn trình Wiener Wt = Wtt0 , x0 , t ≥ t0 bắt đầu thời điểm t0 từ điểm x0 trình Markov với mật độ xác suất chuyển: p (t , x , s , y ) = e−( y − x) 2π ( s − t ) 2( s − t ) (1.1.6) 10 Chương I Luận văn thạc só toán học §1.2 MARTINGALE ĐỊNH NGHĨA 1.2.1 (BỘ LỌC) (i) Họ σ − trường F t ⊂ F gọi lọc thỏa điều kieän sau: F s ⊂ F t ∀ ≤ s ≤ t < ∞ (họ tăng) Ft = IF t +ε ∀ ε > (họ liên tục phải ) (1.2.1) (1.2.2) ε >0 Nếu A∈ F P( A) = ⇒ A ∈ F (Moïi tập P - bỏ qua chứa F ) (ii) Quá trình ngẫu nhiên { X t : t ≥ 0} gọi thích nghi với lọc {F t : t ≥ 0} với t ≥ 0, X t F t - đo ĐỊNH NGHĨA 1.2.2 ( MATINGALE ) Cho trình ngẫu nhiên { X t , t ≥ 0} thích nghi với lọc {F t : t ≥ 0} thỏa điều kiện sau: E X t < ∞ ∀t ≥ h.c E ( Xt F s ) = X s ∀0 ≤ s ≤ t < ∞ (1.2.3) (1.2.4) 71 Chương V Luận văn thạc só toán học + e2( x −C ) w( x) = − e2( x −C ) (5.33) − e2( x −C ) w( x) = + e2( x −C ) (5.34) Suy v′( x) = − e2( x −C ) e −( x −C ) − e( x −C ) − sinh( x − C ) = = = − tanh( x − C ) (5.35) + e2( x −C ) e−( x −C ) + e( x −C ) cosh( x − C ) x v( x) = ∫ x ( − tanh( y − C ) ) dy = − a ∫ a e − ( y −C ) − e( y − C ) dy e − ( y − C ) + e( y − C ) (5.36) Ta coù: c ∫ (5.37) v(c) = − tanh( x − C )dx = a Điều C điểm khoảng: C = (a + c) / Vì x ∫ v( x) = − tanh( y − a a+c )dy (5.38) ( Điều khiển tối ưu uˆ( x ) điểm u cực tiểu u v′′( x ) + 2uv′( x ) + + u tìm thấy tức ) 72 Chương V Luận văn thạc só toán học a + c e x − ( a + c ) / − e( a + c ) / − x ) = x −(a +c) / (a +c) / 2− x uˆ( x) = −v′( x) = tanh( x − e +e Cho G = (0,10) ta uˆ( x) = −v′( x) = tanh( x − 5) (5.39) (5.40) Hình minh họa Điều khiển tối ưu điểm khoảng không ±1 h.k.n; dương nửa phải âm nửa trái Chúng ta so sánh trình Wiener có điều khiển u với trình Wiener có điều khiển u = Kỳ vọng thời gian trình Wiener có điều khiển u = lưu trú khoảng (0,10) nghiệm toán giá trị biên v′′ + = 0, v(0) = v(10) = (5.41) 73 Chương V Ta tìm v( x) = Luận văn thạc só toán học x(10 − x) (5.42) Trước tiên ta so sánh biến điều khiển tối ưu uˆ( x ) hai trình Wiener uˆ( x) = −v′( x) = tanh( x − 5) (5.43) uˆ( x) = −v′( x) = x − (5.44) Hình minh họa Ta tiếp tục so sánh hàm kỳ vọng thời gian hai trình Wiener lưu trú khoảng (0,10) x ∫ v( x) = − tanh( y − 5)dy (5.45) v( x) = x(10 − x) (5.46) 74 Chương V Luận văn thạc só toán học Hình minh họa VÍ DỤ 5.4 Cho r = 1, G = (0, c ), vaø U = {0,1} ; Hệ số khuếch tán a ( x, u ) ≡ Và hệ số dịch chuyển b( x, u ) = u Đây bước thời gian sử dụng điều khiển u = , trình điều khiển trình Wiener tiêu chuẩn với u = trình Wiener cộng chuyển động với vận tốc Chúng ta muốn cực đại thời gian mà trình trải qua khoảng G trước thời điểm thoát khỏi miền G , trừ chi phí điều khiển mà tỉ lệ 1/ đơn vị thời gian cho điều khiển u = , cho điều khiển u = Nghóa hàm mục tiêu cho sau: 75 Chương V Luận văn thạc só toán học x ,u  τ (0,  c)     x, u E 1 − u (t ; X s ,0 ≤ s ≤ t )  dt  = max       ∫ (5.47) Chúng ta xem toán tử vi phân không tuyến tính L có dạng: 1   f ′′( x) + f ′( x) +  L f ( x) = max  f ′′( x) + 1, 2   (5.48)  ′′ ′ f x f x ( ) ( ) + ≤ neá u 2  = 1 1  f ′′( x) + f ′( x) + f ′( x) ≥ 2 2 Chúng ta xác định điều khiển tối ưu cách giải toán giá trị biên L v( x) = 0, < x < c, v(0) = v(c) = (5.49) Điều khiển tối ưu u = phần trái (0, d ) khoảng (0, c ) u = cho điểm nằm bên phải điểm d : không nên hướng trình tới phải nằm xa cuối phải (vì có điều kiện ràng buộc d để trình không nằm xa cuối phải) Hai phần đặc trưng v′( x) ≥ 1/ cho x ≤ d vaø v′( x) ≤ 1/ cho x ≥ d (tại điểm d ta v′(d ) = 1/ ) Vì bắt đầu tìm hàm v ( x ),0 ≤ x ≤ c thỏa phương trình v′′( x) + v′( x) + 1/ = (5.50) 76 Chương V phần trái khoảng từ x = đến d với v′( x ) ≥ Và hàm thỏa phương trình Luận văn thạc só toán hoïc v′′( x) + = (5.51) khoảng từ d tới c với v′( x ) ≤ 1/ Thêm vào v ( x ) phải thỏa điều kiện biên v(0) = v(c) = (5.52) Và điều kiện kết dính điểm d : giới hạn trái, phải hàm đạo hàm trái, phải hàm phải trùng nhau: v(d − ) = v(d + ), v′(d − ) = v′(d + ) (5.53) để nghiệm phương trình (5.50) phương trình (5.51) kết dính Tại không kể đến đẳng thức v′′(d − ) = v′′(d + ) yêu cầu hàm v ( x ) nên có đạo hàm cấp hai liên tục ? Đó khoảng (0, d ) đạo hàm v′( x ) ≥ 1/ (d , c ) đạo hàm v′( x) ≤ 1/ , có giá trị chung v′(d ) = v′(d − ) = v′(d + ) = 1/ (5.54) từ phương trình (5.50), (5.51) ta nhận: v′′(d − ) = −2v′(d − ) − = −2 = v′′(d + ) (5.55) 77 Chương V Luận văn thạc só toán học điều tự động thỏa đẳng thức thứ hai (5.53) Vì có năm số để xác định: điểm chia d , hai số xác định nghiệm (5.50) hai nghiệm (5.51) Khi có năm phương trình cho chúng: hai điều kiện biên (5.52) vaø ba : v(d − ) = v(d + ), v′(d − ) = v′(d + ) = 1/ (5.56) Hệ ta không tuyến tính: d chưa biết nằm hàm v không tuyến tính Chúng ta cố gắng loại trừ hai biến chưa biết Cho ≤ x ≤ d ta có: x v( x) = − + C1 + C2e−2 x (5.57) C1 C2 số tùy ý Và phần phải khoảng từ điểm d tới cuối phải ta có: v( x) = − x + C3 + C4 x (5.58) C3 C4 số tùy ý Sử dụng điều kiện biên (5.52), ta nhận C1 = −C2 , C3 = c − C4c Điều kiện v′(d − ) = −1/ − 2C2e−2 d = 1/ (5.59) Ta C2 = − e d / (5.60) Điều kiện v′(d + ) = −2d + C4 = 1/ (5.61) Chương V Ta 78 Luận văn thạc só toán học C4 = 2d + 1/ (5.62) Vì tất biến chưa biết biểu biễn số hạng biến chưa biết d Sử dụng đẳng thức (5.53) để biểu diễn số hạng d −d / − 1/ + e2 d / = (c − d ) + (d − c) / 2, (5.63) e2 d − 2(c − d )2 − 2d + c − = (5.64) Hàm d phía bên trái tăng dần từ giá trị −2c + c d = tới e 2c + c − > taïi d = c Do nghiệm d c tồn (và nhất) −2c + c ≤ ⇒ c ≥ 1/ Chúng ta giải nghiệm phương trình không tuyến tính (5.64) Sử dụng hàm fsolve Maple10 giải (5.64) với c = 10 ta tính d = 2.361 hàm v ( x ) có công thức sau:  x e4.722 − x e4.722 + − − 2  v( x) =   − x + 5.222 x + 47.78  Hình minh họa hàm v ( x ) < x ≤ 2.361 (5.65) neáu 2.361 ≤ x ≤ 10 79 Chương V Luận văn thạc só toán học Điều khiển tối ưu hướng trình tới phải thêm vào hệ dịch chuyển để tới bên trái điểm 2.361, rời khỏi điểm trình trình Wiener tiêu chuẩn để tới bên phải Chúng ta so sánh trình Wiener có điều khiển u với trình Wiener tiêu chuẩn ( có điều khiển u = ) Kỳ vọng thời gian trình Wiener tiêu chuẩn lưu trú khoảng (0,10) nghiệm toán giá trị biên Ta tìm v′′ + = 0, v(0) = v(10) = (5.66) v( x) = x(10 − x) (5.67) Trước tiên ta so sánh biến điều khiển tối ưu uˆ( x ) hai trình Wiener 80 Chương V  4.722 − x − + e  uˆ( x) = v′( x) =  −2 x + 5.222   Luận văn thạc só toán học ≤ x ≤ 2.361 (5.68) neáu 2.361 ≤ x ≤ 10 uˆ( x) = v′( x) = −2 x + 10 Hình minh họa Ta tiếp tục so sánh hàm kỳ vọng thời gian hai trình Wiener lưu trú khoảng (0,10) (5.69) 81 Chương V  x e4.722 − x e4.722 + − − 2  v( x) =   − x + 5.222 x + 47.78  v( x) = x(10 − x) Luận văn thạc só toán học < x ≤ 2.361 (5.70) neáu 2.361 ≤ x ≤ 10 (5.71) Hình minh họa CHÚ Ý Với c ≤ 1/ : điều khiển tối ưu u ≡ (nghóa trình điều khiển tối ưu trình Wiener tiêu chuẩn): không tốn dịch chuyển trình nhanh chóng rời khỏi khoảng nhỏ (0, c ) sớm; hàm kỳ vọng thời gian cực đại tìm thấy công thức (5.67) 82 Chương V TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1V] A.D Ventxel Giáo trình lý thuyết trình ngẫu nhiên NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội 1987 [2V] Nguyễn Duy Tiến Các mô hình xác suất ứng dụng NXB Đại học Quốc gia Hà Nội-2001 [3V] Dương Tôn Đảm Quá trình ngẫu nhiên Phần I Tích phân phương trình vi phân ngẫu nhiên NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh-2007 [4V] Trần Hùng Thao Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên NXB Khoa học Kỹ thuật-Hà Nội 2000 [5V] Phan Huy Thiện Phương trình Toán Lý NXB Giáo dục-2006 Luận văn thạc só toán học Chương V 83 Luận văn thạc só toán học [6V] Trần Đức Vân Phương trình vi phân đạo hàm riêng Tập I-Bộ sách Cao học-Viện Toán Học NXB Đại học Quốc gia Hà Nội-2000 TIẾNG ANH [1A] Avner Friedman Stochastic Differential Equations and Applications Dover Publications, Inc Mineola,New York-2004 [2A] Bernt Oksendal Stochastic Differential Equations-An introduction with Application 6th edition,Springer,2005 [3A] Alexander Wentzell Lecture notes about stochastic differential equations Department of Mathematics-Tulane University-New Orleans-LA 70118 [4A] Desmond J.Higham1, and Peter E Kloeden2 Lecture notes about Maple and Mathlab for stochastic differential equations in finance Univesity of Strathclyde, Glasgow G1 1XH,Scotland Johann Wolfgang Goethe Universitat, D-60054 Frankfurt am Main,Germany [5A]R S Lipster and A N Shiryaev Stochastics of Random Processes, General Theory, Chương V 84 Luận văn thạc só toán học 2nd edition,Springer,2001 [6A] X Mao Stochastic Differential Equations and their Applications Horwood Publishing, 1997 [7A] Rogers, L C G and Williams, D Diffusion, Markov Processes and Martingales: Volume Two: Itoâ Calculus Cambridge University Press, 2nd edition ,2000 [8A] Musiela, M and Rutkowski, M Martingale Methods in Financial Modelling Springer, 2nd edition,2005 [9A] D Kannan-V Lakshmikantham Handbook of stochastic analysis and applications Marcel Dekker, Inc-2002 [10A] G Da Prato Kolmogorov equations for stochastic PDEs Advanced Courses in Mathematics- CRM Barcelona, Birkhaeuser, Basel, 2004 [11A] G Da Prato, M Rockner, B L Rozovskii, and F Wang Strong solutions of stochastic generalized porous media equtions: existence, uniqueness and ergodicity 2004, to appear in Comm PDE 85 Chương V Luận văn thạc só toán học [12A] J Zabczyk Parabolic equations on Hilbert spaces, Stochastic PDEs and Kolmogorov Equations in Infinite Dimensions (Giuseppe Da Prato, ed.) Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag,1998 [13A] N V Krylov On Kolmogorov’s equations for finite-dimensional diffusions, Stochastic PDE’s and Kolmogorov equations in infinite dimensional(Cetraro,1998) Lecture Notes in Math., vol 1715, Springer, Berlin,1999 MR MR1731794 (2000k:60155) [14A] K Frieler and C Knoche Solutions of stochastic differential equations in infinite dimensional Hilbert spaces and their dependence on initial data Diploma Thesis, Bielefeld University, BiBoS-Preprint E02-04-083,2001 [15A] D Gilbarg and N.S Trudinger Elliptic partial differential equations of second order, second ed Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], MR737190(86c:35035) vol 224, Springer-Verlag, Berlin,1983 MR ... só toán học CHƯƠNG III QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG §3.1 QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG Giả sử X t trình khuếch tán: dX t = b(t , X t... luận văn trình bày theo lý thuyết trình ngẫu nhiên nghóa trình khuếch tán định nghóa theo chuyển động Brown, hay gọi khuếch tán Itô Chương Chứng minh mối liên hệ trình khuếch tán phương trình vi... 28 Chương III Quá trình khuếch tán phương trình vi phân đạo hàm riêng 31 §3.1 Quá trình khuếch tán phương trình vi phân đạo hàm riêng 31 §3.2 Phương trình parabolic