Đang tải... (xem toàn văn)
Đặc biệt nếu M và N đối xứng nhau Simson của M và N bằng nửa số đo cung MN qua tâm O, thì các đường thẳng Simson của chúng vuông góc với nhau tại một điểm trên đường tròn Euler.. Cho đườ[r]
(1)Chuyên đề ĐƯỜNG THẲNG SIMSON Robert Simson là nhà toán học người Scotland, giáo sư toán học đại học Glasgow Ông sinh 14 tháng 10 năm 1687tại West Kilbride và ngày tháng 10 năm 1768 Glasgow Đường thẳng Simson Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) M là điểm tùy ý trên ( O ), gọi D, E, H là hình chiếu trên BC, CA, AB Chứng minh D, E, H thẳng hàng Giải: Không tính tổng quát giả sử M thuộc cung BC MD BC , ME AC MDEC nội tiếp A EDC (1) EMC MH AB, MD BC MHBD nội tiếp HDB (2) HMB O B H E D C MCA ABMC nội tiếp MBH M HMB MCA EMC 900 EMC HMB (3) MBH EDC H, D, E thẳng hàng Từ (1), (2), (3) HDB Đường thẳng qua D, H, E có tên đường thẳng Simson tam giác ABC ứng với điểm M (hay đường thẳng Wallace, để khỏi trùng với nhà toán học người Anh thomas Simpson 1710-1761) Bài toán 2: Cho tam giác ABC, M là điểm mặt phẳng chứa tam giác ABC Gọi D, E, H là hình chiếu M trên các cạnh BC, CA, AB và D, E, H thẳng hàng Chứng minh M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải: Theo giả thiết MD BC , MH CA, ME AB và A D, H, E thẳng hàng EDB (chắn cung tứ giác MDBE nội tiếp EMB ), EDB HDC (đối đỉnh), HDC HMC (chắn EB H D cung HC ) EMB HMC B C Tứ giác AEMH nội tiếp A EMH 180 E A EMB BMH M A EMH A EMB BMH BMH 1800 A HMC A BMC tứ giác ABMC là tứ giác nội tiếp M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC Từ hai bài toán trên tới kết luận: “ Cho tam giác ABC, M là điểm mặt phẳng chứa tam giác và không trùng với các đỉnh, gọi D, E, H là hình chiếu M trên ba cạnh tam giác ABC Điều kiện (2) cần và đủ điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, H thẳng hàng” (phần chứng minh dành cho bạn đoc) Như với điểm M có đường thẳng Simson tam giác ABC cho trước Sau này bài toán đường thẳng Simson công cụ giúp chúng ta chứng minh ba điểm thẳng hàng Ví dụ minh họa Ví dụ Đường thẳng Simson đỉnh A tam giác là đường cao hạ từ đỉnh đó, và đường thẳng Simson điểm A D đối xứng với đỉnh A qua tâm O là cạnh BC tam giác Giải: Đối với đỉnh A đường thẳng Simson trùng với đường O cao AH K H B D là điểm đối xứng A qua tâm O AD là đường kính C DB AB, DC AC đường thẳng Simson chính là D đường thẳng BC Ví dụ Nếu M và N là các điểm thuộc (O), thì các góc hai đường thẳng Đặc biệt M và N đối xứng Simson M và N nửa số đo cung MN qua tâm O, thì các đường thẳng Simson chúng vuông góc với điểm trên đường tròn Euler (1) Giải: AEMH nội tiếp AEH AMH 900 MAC E BNK 900 CBN (2) BFNK nội tiếp BFK M A Cộng (1) và (2) AEH BFK 180 MAC CBN H CBN 1800 ( ) EPF MAC AEH BFK O P I K B đường thẳng ED và đường thẳng FI tạo với C D F nửa số đo cung MN N (Trường hợp đặc biệt bạn đọc tự chứng minh lấy) Ví dụ Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm trên đường tròn Đường phân giác góc ACB cắt đường tròn (O) M, gọi H và K là hình chiếu M trên BC và CA Chứng minh O, K, H thẳng hàng MB Giải: CM phân giác góc ACB MA C MO AB , theo giả thiết MH BC , MK CA H Theo bài toán H, O, K thẳng hàng A O K M B (3) Ví dụ Cho tam giác ABC, M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi K, P, Q là các điểm đối xứng M qua BC, CA, AD Chứng minh P, K, Q nằm trên đường thẳng và luôn qua điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Olimpia Japan 1996) Giải: Gọi D, E, F là giao điểm A I MK, MP, MQ với BC, CA, AB P MD BC , ME AC , MQ AB D, E, F J thẳng hàng, mặt khác H K MD DK , ME EP, MF FQ E Q C B EF là đường trung bình MPQ D F EF//PQ và P, K, Q thẳng hàng M Gọi H là trực tâm ABC và I, J là điểm đối xứng H qua AC và AB I, J thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC MHIP, MHJQ là hình thang cân MIH MAB MJH MAC , tương tự PHI QHJ PHI IHJ MAC MAB IHJ A IHJ 1800 P, Q, H thẳng hàng QHJ đường thẳng PQ luôn qua trực tâm ABC, đường thẳng này có tên Steiner không chứa đỉnh A Gọi D, Ví dụ Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cung BC E, H là hình chiếu M trên các cạnh BC, CA, AB BC CA AB Chứng minh (Vô địch Mĩ năm 1979) MD ME MH Giải: Theo bài toán 1 H, D, E thẳng hàng, các tứ giác MCB (chắn cung MHBD, MDEC nội tiếp MEH A ), MBC MHE BM MEH đồng dạng MCB, kẻ MI HE BC HE (1) MD MI (do tỉ số các đường tương ứng nhau) MBC MAC , MDH MBH MCA MHD MHD D B H I M AC HD (2) ME MI MCB MAB , MDE MCA 1800 MBA MCA MDE MBA MED đồng dạng với MAC E C (4) AB ED (2), MH MI AC AB HD DE HE cộng hai vế (1) và (2) , ME MH MI MI BC CA AB kết hợp (1) MD ME MH 1 Đặc biệt ABC (Thi học sinh giỏi VN) ME MH MD không chứa đỉnh A Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC, M là điểm thuộc cung BC Gọi D, H là hình chiếu M trên các cạnh AC, AB Xác định vị trí M để DH ngắn A Giải: hạ HE BC D, E, H thẳng hàng DHM , tứ giác MCDE Tứ giác MHBE nội tiếp CBM MED đồng dạng với MAB HDM HDM và BCM đồng dạng D nội tiếp BCM E B C HD HM MH HD , MH MB 1 1 H BC BM MB BC M HD BC HD lớn HD = BC MH = MB MB AB AM là đường kính M đối xứng A qua tâm O Ví dụ Cho góc xOy , lấy điểm A cố định thuộc phân giác xOy Dựng đường tròn tâm (I) qua O và A cắt Ox, Oy B và C, và hình bình hành OBMC Chứng minh M thuộc đường thẳng cố định Giải: A trên phân giác góc xOy y AC AB IA BC , kẻ AH Ox, AK Oy K K, H cố định và K, E, H thẳng hàng đường thẳng Simson A đường tròn (I) cố định E cố định Hình bình hành OBMC có OM 2OE M cố định M thuộc đường tròn d song song với đường thẳng Simson và cách O khoảng không đổi C M A E O d I H B (5) Ví dụ Cho ba điểm A, B, C thuộc đường thẳng và M không thuộc đường thẳng đó Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB, MBC, MCA và M thuộc đường tròn Giải: Gọi O1 , O2 , O3 là tâm đường tròn ngoại M O1 tiếp các tam giác MAB, MBC, MCA và D, E, F hình chiếu M trên các cạnh E D F MF O1O2 , MD O2O3 , ME O3O1 O3 O2 Theo bài toán D, E, F thẳng hàng theo bài toán A C B ngược lại O1 , O2 , O3 , M nằm trên đường tròn Ví dụ Cho tam giác ABC và đường phân giác AD Gọi P, Q là hình chiếu D trên AB, AC, từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt PQ M Chứng minh M thuộc trung tuyến kẻ từ A tam giác ABC Giải: Gọi I là giao điểm đường phân giác AD với đường tròn ngoại tiếp ABC A Từ I kẻ IK AB, IH AC , nối I với O cắt BC E EB EC và IE BC theo Bài toán 1 K, E, H Q M thẳng hàng O P H AP AD AQ AD B C DP//IK và DQ//IH và D E AK AI AH AI K AP AQ PQ//KH AK AH I MD BC , IE BC DM//IE A, M, E thẳng hàng M thuộc trung tuyến AE Ví dụ 10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, d A , d B , d C , d D là các đường thẳng Simson A, B, C, D tương ứng các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh d A , d B , d C , d D đồng quy H3 H2 Giải: Gọi H1 , H , H , H là trực tâm các D A tam giác BCD, CDA, DAB, ABC đường Steiner điểm A, B, C, D các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC qua H1 , H , H , H d A , d B , dC , d D M E qua trung điểm AH1 , BH , CH , DH Gọi M là trung điểm AB CH 2OM O B H4 H1 C (6) DH 2OM CDH H là hình bình hành DH , CH cắt trung điểm đường, tương tự AH1 , BH cắt trung điểm đường d A , d B , dC , d D đồng quy Ví dụ 11 Cho tứ giác ABCD nôi tiếp đường tròn Gọi H, K là hình chiếu B trên AC và CD, M, N là trung điểm AD và HK Chứng minh tam giác BMN là tam giác vuông Giải: Từ B kẻ BE AD , theo bài toán đỉnh B với D M tam giác ADC có BH AC, BK BD E, H, K thẳng A E EKB , H hàng Tứ giác BEDK nội tiếp EDB BCD 1800 tứ giác BHKC nội tiếp BHK BHK BCD 1800 BAD B mặt khác BAD BHK và BAD đồng dạng, MA = MD và NH = NK BNK và BMD đồng dạng MBD tương tự BNK: BNE NKB NBK Xét BMD: AMB MDB N K C tứ giác BEMN nội tiếp, BE AD BN MN AMB BNE BMN là tam giác vuông Ví dụ 12 Gọi AD, BE, CK là đường cao tam giác ABC P, Q là hình chiếu E trên BC và CK Chứng minh PQ qua trung điểm KE Giải: từ E hạ EH AB , theo giả thiết A EP BC , EQ CK , tứ giác BKEC nội H (Bài toán 1) P, Q, H thẳng hàng E HKQ KQE 90 Tứ giác KHEQ có: EHK K KHEQ là hình chữ nhật, KE và HQ là đường chéo Q cắt trung điểm đường PQ C B D P qua trung điểm KE (7) Ví dụ 13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi P, Q, R là hình chiếu D trên BC, CA, AB Chứng minh PQ QR và đường phân giác ABC và ADC cắt trên AC Giải: Theo kết bài toán Simson P, Q, R thẳng hàng DPR , tương tự DAC DRP DPCQ là tứ giác nội tiếp DCA A DA DR DCA và DPR đồng dạng (1) DC DP R DR DB DRQ và DBC đồng dạng QR BC Q DB.QR DR (2) B BC C DP DB DB.QP DQP và DAB đồng dạng DP (3) QP AB AB DA QR AB thay (2) và (3) vào (1) , DC PQ.BC DA AB đường phân giác PQ QR ABC và ADC cắt trên AC DC BC Ví dụ 14 Cho hai đường tròn ( O1 ), ( O2 ) cắt A và B Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt ( O1 ), ( O2 ) C, D (A nằm C và D) Tiếp tuyến C ( O1 ) và D ( O2 ) cắt M Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc B xuống hai tiếp tuyến Chứng minh PQ tiếp xúc với đường tròn cố định Giải: MC, MD là tiếp tuyến ( O1 ), ( O2 ) M ABC MCA , ABD MDA MCD MDC 1800 CMD CBD CMD 1800 tứ giác MCBD nội tiếp CBD Hạ BH CD , B tam giác MCD P, H, Q thẳng hàng, A, B cố định H nằm trên đường tròn đường kính AB PQ luôn tiếp xúc với đường tròn đường kính AB Q H C P A O1 O2 B D D P (8) Ví dụ 15 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròng (O) có trực tâm là H, D là điểm trên cung nhỏ BC, lấy E cho CE song song và AD, và K là trực tâm tam giác ACE Gọi P, Q là hình chiếu của K trên BC và AC Chứng minh PQ qua trung điểm HK (VMO2004) Giải: Theo giả thiết ADCE là hình bình hành , K là trực tâm AEC EK AC N E ADC AEC AKC AEC 1800 AKC ADC 1800 tứ giác ADCK nội tiếp K (O), EK cắt AC I P, Q, I thẳng hàng (Simson) AH cắt (O) M và cắt PQ N MN//KP, KQ AB, KP BC BQKP là tứ giác nội tiếp MPKN tứ giác nội tiếp QBK AMK QPK Q K A I H B P C MPKN là hình thang cân KN PM , mặt khác M D PH PM PH KN HPKN là hình bình hành NP cắt HK trung điểm PQ qua trung điểm HK Bài tập áp dụng Cho đường tròn (O) và ba dây cung tùy ý AB, AC, AD Các đường tròn đường kính AB, AC, AD cắt đôi M, N, E Chứng minh M, N, E thẳng hàng Nếu hai tam giác cùng nột tiếp đường tròn (O), thì góc hai đường thẳng Simson điểm M trên (O) hai tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí M trên (O) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) Gọi D là điểm đối xứng A qua BC, E là điểm đối xứng B qua AC, F là điểm đối xứng C qua AB Giả sử H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh D, E, F thẳng hàng và OH R (Đề thi Anh 1990) Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O) Điểm M thay đổi trên d từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) Gọi H là hình chiếu O trên d và E, F lần (9) lượt là hình chiếu H trên MA, MB Chứng minh AB luôn qua điểm cố định từ đó suy EF qua điểm cố định Cho tam giác ABC nột tiếp đường tròn (O) P và Q thuộc đường tròn (O) cho Chứng minh CQ vuông CP, CQ đối xứng với qua phân giác góc BCA góc với với đường thẳng Simson P tam giác ABC Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz , điểm M cố định trên Oz (M khác O) dựng đường tròn tâm (I) qua O và M cắt Ox, Oy A và B Gọi I là trung điểm AB, dựng hình vuông OCID Tìm quỹ tích điểm C đường tròn (I) thay đổi qua O và M Tam giác ABC không đều, P là hình chiếu A trên BC Gọi D, E, F là trung điểm BC, CA, AB Gọi la là đường thẳng qua chân hai đường cao từ P xuống DE, DF Tương tự cho lb , lc Chứng minh la , lb , lc đồng qui Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), M là điểm trên đường tròn đó Gọi a, b, c, d là đường thẳng Simson M các tam giác ABC, BCD, CDA, và ABC, gọi A1 , B1 , C1 , D1 là hình chiếu M lên các đường thẳng a, b, c, d Chứng minh A1 , B1 , C1 , D1 thẳng hàng Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) MN là dây cung chuyển động trên đường tròn có độ dài không đổi, Chứng minh đường thẳng Simson M và N tam giác ABC hợp với góc không đổi Hướng dẫn trả lời AB, AC, AD là đường kính , E là giao điểm B đường tròn kính AB và đường tròn đường kính AC E thẳng hàng E, B, C thẳng hàng AEB AEC A M AE BC , tương tự C, D, N thẳng hàng E, M, N thuộc đường thẳng Simson M C BCD D Tương tự Ví dụ N A Q P E E O K A P R G H B D M C B I C D N R F F M H (10) D, E, F là các điểm đối xứng A, B, C qua BC, CA, AB Gọi H, G là trực tâm, trọng tâm ABC, Qua A, B, C dựn các đường thẳng song với BC, CA, AB cắt M, N, P A, B, C là trung điểm NP, PM, MN G, H là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp MNP Gọi I, K, R là hình chiếu O trên PM, MN, NK, ABC đồng dạng MNP I, R K thẳng hàng O thuộc đường tròn ngoại tiếp MNP OH R OA OM , OB MB, OH MH năm điểm O, A, M, H, B nằm trên đường tròn đường kính A O MO AB cắt OH I J OM AB, JA JB OI OH OJ OM R I I cố định Kẻ HK AB E, F, K nằm trên B K đường thẳng Simson H AMB D E F IKD là tam giác cân D là trung điểm IH d D cố định EF đí qua điểm cố định M H Kẻ PD BC , PE AC , PH AB E, D, H thẳng hàng CP, CQ đối xứng qua phân giác góc ACB ACQ , DE cắt CQ K, PDEC là tứ PB AQ BCP CPD CEK ACQ 900 giác nội tiếp CEK DE CQ Q A K B H E D C P Phần thuận: Kẻ MH OA, MK OB , Oz là phân giác MB , MO cắt AB I MI AB theo đường MA thẳng Simson K, I, H thẳng hàng Gọi E là giao điểm OM và HK OM HK điểm O, C, E, I, D nằm 450 trên đường tròn đường kính OI, E cố định, CIO C nằm trên đường phân giác góc OIH Phần giới hạn và phần đảo bạn đọc tự làm 10 x H C O A M z E O I K D B y (11) Cách giải Ví dụ 10 Tham khảo Ví dụ 10 và Ví dụ 14 Từ M kẻ MP AB, MQ BC và NK AC , NH BC , PQ và HK cắt E 900 MQP 900 MBA 900 MA EQC 90 Tương tự EHB AN EHB 1800 ( MA AN ) 1800 MN EQC 2 MN QEH 11 E A N M P B Q K H C (12)