Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, khoa học, kỹthuật và sản xuất đòi hỏi ở con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng, ý thức để có thể vận dụng những thành tựu của toán học tro
Trang 1MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU 1
1.1 Lý do chọn đề tài 1
1.2 Mục đích nghiên cứu 2
1.3 Đối tượng nghiên cứu 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu 2
2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3
2.1 Cơ sở lý luận 3
2.2 Thực trạng vấn đề 3
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3
Dạng 1: Bài toán liên hệ với diện tích và thể tích 7
Dạng 2: Bài toán liên hệ với vật lí 10
Dạng 3: Bài toán liên hệ với quãng đường 12
Dạng 4: Bài toán liên hệ với hóa – sinh 13
Dạng 5: Bài toán liên hệ với kinh tế 14
Bài tập tự luyện 16
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 18
3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18
3.1 Kết luận 18
3.2 Kiến nghị 19
3.3 Lời kết 19
MỘT SỐ TỪ VIẾT TẮT
HS: Học sinh
GV: Giáo viên
THPT: Trung học phổ thông
GDCD: Giáo dục công dân
PP: Phương pháp
BĐT: Bất đẳng thức
HSG: Học sinh giỏi
Trang 21 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài.
Giải toán là một hoạt động chủ yếu trong toán học Các bài toán là một
phương tiện hữu hiệu để học sinh có thể áp dụng tri thức toán học vào cuộc sống
từ đó góp phần nâng cao các kỹ năng cuộc sống thông qua các tri thức lĩnh hội ởtrường phổ thông Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới mộtnền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thếgiới với bốn tiêu chí: ‘’ Học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học đểkhẳng định mình’’ Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tiễntrong dạy học toán là không thể không đề cập đến
Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện
ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất
và đời sống xã hội Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, khoa học, kỹthuật và sản xuất đòi hỏi ở con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng, ý thức
để có thể vận dụng những thành tựu của toán học trong những điều kiện cụ thểmang lại hiệu quả lao động thiết thực, muốn vậy thì ngay từ bây giờ khi đangcòn ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức toàn diện để học sinhvận dụng được các kiến thức tổng thể như: Vật lý, Hóa học, Sinh học, Côngnghệ thông tin,… vào học Toán để tạo ra những con người lao động tự chủ,năng động, sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được nhu cầu phát triển của đấtnước, của nền kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc Chính vì thế, dạyhọc toán ở trường THPT phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống, vớiviệc vận dụng các kiến thức liên môn để tạo hứng thú nội dung bài học để cho rađời những sản phẩm thiết thực, toàn diện hơn
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tậptrung rèn luyện cho học sinh vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán làchủ yếu Còn kỹ năng vận dụng kiến thức liên môn trong Toán học vào đời sống
thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên Những bài toán có nội dung thực tiễn liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn đang được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông Tuy nhiên các bài toán này lại xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi THPT quốc gia, như trong đề thi THPT quốc gia môn toán năm 2017 mã đề 101 có hai câu là câu 35 và câu 41, còn năm 2018 trong mã đề 101 có ba câu là câu
27, câu 31 và câu 32 Chính vì vậy mà khi giải các bài toán có nội dung thực
tiễn học sinh nói chung và học sinh lớp 12 nói riêng đang còn lúng túng và gặpkhó khăn trong việc phân tích đề bài, xác định dạng bài và những kiến thức cóliên quan đến bài toán, dẫn đến cách giải dài dòng, thậm chí không giải được.Việc tìm ra một phương pháp giải bài tập nhanh, độc đáo sẽ gây được hứng thúhọc tập, kích thích trí tò mò tìm hiểu của học sinh, đặc biệt là những phươngpháp có tính vận dụng liên môn
Nhận thấy việc sử dụng đạo hàm trong việc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất,tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số rất hữu hiệu Thông qua việc dạy học kiếnthức này, ta có thể giúp học sinh giải tốt những bài toán thực tiễn khá hấp dẫn và
mang nhiều ý nghĩa Vì vậy mà tôi chọn đề tài “Sử dụng đạo hàm để giúp học
Trang 3sinh lớp 12 giải tốt một số bài toán cực trị có nội dung thực tiễn với việc vận dụng kiến thức liên môn”
1.2 Mục đích nghiên cứu.
- Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăngcường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học việc vận dụngcác kiến thức liên môn để giải quyết
- Phân tích và xây dựng các bài toán có nhiều nội dung thể hiện mối liên hệ giữatoán học và thực tiễn, các bài toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy cho họcsinh ở THPT Qua đó chúng ta thấy được ý nghĩa “Học đi đôi với hành”
- Biết vận dụng thực tế cuộc sống vào dạy học toán
- Góp phần nâng cao tính thực tế, hứng thú học tập cho học sinh tạo nên chấtlượng dạy học bộ môn toán ở trường THPT
- Giúp học sinh giải tốt một số bài toán cực trị có nội dung thực tiễn trong đề thiTHPT Quốc Gia
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Với mục đích nghiên cứu đã nêu trên đối tượng nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu về tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học
- Toán học liên hệ với thực tiễn thể hiện như thế nào trong nội dung phần ứngdụng đạo hàm để giải toán
- Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán ở chương trình THPT và vấn đề tăngcường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào để giảng dạy cùng vớiviệc vận dụng các kiến thức liên môn
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lý luận và phương phápgiảng dạy môn toán đã học tôi tập trung vào các phương pháp sau:
- Nghiên cứu lý luận
- Điều tra quan sát thực tiễn
- Thực nghiệm sư phạm: Phân tích kết quả học tập và lấy ý kiến của học sinh
Trang 4
2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1 Cơ sở lí luận
- Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền
giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giớivới bốn tiêu chí: học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳngđịnh mình Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạyhọc toán là không thể không đề cập đến
- Những bài toán có nội dung thực tiễn liên hệ trực tiếp với đời sống lao độngsản xuất còn đang được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổthông Tuy nhiên các bài toán này lại xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thiTHPT quốc gia, như trong đề thi THPT quốc gia môn toán năm 2017 mã đề 101
có hai câu là câu 35 và câu 41, còn năm 2018 trong mã đề 101 có ba câu là câu
27, câu 31 và câu 32
- Các vấn đề lý thuyết của Toán học từ đại số, giải tích, hình học đều xuấtphát từ nhu cầu tự nhiên của thực tiễn cũng như các môn học khác Việc tìm ramột phương pháp giải bài tập nhanh, độc đáo sẽ gây được hứng thú học tập, kíchthích trí tò mò tìm hiểu của học sinh, đặc biệt là những phương pháp có tính vậndụng liên môn
12 cơ bản có 3 ví dụ …chiếm rất ít trong tổng thể các bài tập
- Nhiều học sinh nắm rất vững kiến thức toán học về mặt lý thuyết nhưng khigiải các bài toán có nội dung thực tiễn thì lại lúng túng và gặp khó khăn trongviệc phân tích đề bài , xác định dạng bài và những kiến thức có liên quan đến bàitoán, dẫn đến cách giải dài dòng, thậm trí không giải được
- Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài toán có nộidung thực tiễn là rất nhiều mà để giải quyết chính xác các bài toán đó thì đòi hỏihọc sinh ngoài việc thành thạo các công thức toán học mà phải hiểu biết thêm vềvật lí , công nghệ thông tin, hóa học…kinh nghiệm để có thể suy luận giải quyếtcác bài toán thực tiễn một cách đầy đủ và chính xác
Trước thực trạng nói trên tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào đểgiúp học sinh khi đứng trước những bài toán có nội dung thực tiễn có thể giảiquyết được một cách nhanh chóng và chính xác bằng kỹ năng toán học và bằngvốn thực tế hiểu biết cuộc sống của mình
2 3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Hệ thống, bổ sung những kiến thức cơ bản về toán học
*Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Trang 5( )
f x m với mọi x thuộc D và tồn tại xo D sao cho f x( )o m
b) Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
c) Hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng
mà nó xác định
* Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
a) Cho hàm số y f x( ) xác định trên K ( K là khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn )
+ Hàm số y f x( ) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x x1 , 2 thuộc K mà
b) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên K
+ Nếu f x ' ( ) 0 với mọi x thuộc K và f x ' ( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y f x( ) đồng biến trên K
+ Nếu f x ' ( ) 0 với mọi x thuộc K và f x ' ( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y f x( ) nghịch biến trên K
* Một số công thức cơ bản được sử dụng :
+ Định lí pitago: Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: BC 2 = AB 2 + AC 2
B
A
h b' c'
c
a b
+ Đạo hàm của các hàm số sơ cấp và hàm hợp:
+ Thể tích của hình lăng trụ: V = h Sday
+ Thể tích của hình trụ tròn xoay: V = h Sday
+ Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:
a) Vận tốc tức thời – gia tốc tức thời:
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), và s = s(t) là một
hàm số có đạo hàm
- Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to là đạo hàm của hàm số
s = s(t) tại thời điểm to:
v(t) = s’(t o )
- gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to là đạo hàm cấp hai của hàm
số s = s(t) tại thời điểm t o :
a(t) = v’(t) = s’’(t o ).
b) Cường độ tức thời: Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của
thời gian Q = Q(t) (Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời
của dòng điện tại thời điểm to là đạo hàm của hàm số Q = Q(t) tại t o :
Trang 6Hệ quả:
bc
a c b CosA
2
2 2
ac
b c a CosB
2
2 2
ab
c b a CosC
2
2 2
+ Các kiến thức về lĩnh vực kinh tế: bài toán lãi suất, bài toán kinh doanh,…
2.3.3 Đổi mới phương pháp dạy học
- Sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứngthú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho bài giảng sinh độnghơn, bớt khô khan và học sinh không thấy nhàm chán
2.3.4 Vài nét về phương pháp dạy học tích hợp liên môn
- Dạy học theo hướng tích hợp liên môn là lồng ghép các nội dung cần thiết
vào những nội dung vốn có của một môn học
- Dạy học theo hướng tích hợp liên môn có tính thực tiễn nên sinh động, hấp
dẫn đối với học sinh Có ưu thế trong việc tạo ra động cơ, hứng thú học tập Họccác chủ đề tích hợp liên môn học sinh được tăng cường vận dụng kiến thức tổnghợp vào giải quyết các tình huống thực tiễn
- Dạy học theo hướng tích hợp liên môn giáo viên có thể tích hợp các nội
dung ở các môn học khác nhau, hoặc các kiến thức khác nhau liên quan đến bàigiảng để truyền tải đến cho học sinh những chủ đề giáo dục lồng ghép thông qua
đó không những truyền đạt kiến thức cho học sinh mà còn rèn luyện kỹ năngsống, giá trị sống cho học sinh
- Dạy học theo hướng tích hợp liên môn không phải là tích hợp đa môn
Ví dụ: Khi đưa ra số liệu là tích hợp được môn toán, trình chiếu bài giảng trên
máy tính là tích hợp môn tin học, dùng các từ khoá Tiếng Anh là tích hợp mônNgoại Ngữ, thông tin cảnh báo là tích hợp môn GDCD,…
- Dạy học theo hướng tích hợp liên môn không phải bài nào cũng dạy được
mà nó phải được dạy theo từng nội dung giảng dạy cần thiết và phải trả lời được
Trang 7câu hỏi học để làm gì ? (Học để biết, Học để hiểu, Học để làm, Học để chungsống, Học để làm người)
2.3.5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải
Việc phân loại các dạng bài tập cùng với phương pháp giải là vô cùng cầnthiết, sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán nó sẽ giúphọc sinh nắm vững phương pháp giải các bài tập cơ bản, trên cơ sở đó việc tìm
ra một phương pháp giải bài tập nhanh, độc đáo sẽ gây được hứng thú học tập,
kích thích trí tò mò tìm hiểu của học sinh
Tuy nhiên cách giải quyết bài toán theo cách 2 sau đây khá dễ hiểu và ngay cảmột học sinh có lực học trung bình khá cũng có thể giải tốt bài toán và hơn thếnữa phương pháp này có thể giải quyết tốt nhiều bài toán thực tiễn ở các dạngkhác nhau
Cách 2 : sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
Xét hàm số
f(x) = 2.x 1 x 2 trên khoảng 0;1
Trang 82 2 ( ) 2
f(x)
Max y = 1 vậy S ABCD lớn nhất = 1
Dạng 1: Bài toán liên hệ với diện tích và thể tích.
Ví dụ 1: (Đề minh họa 2017)
Có một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm
đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm( )rồi gấp tấmnhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hìnhhộp nhận được có thể tích lớn nhất
Giải
Độ dài cạnh đáy của cái hộp: 12 2 x
Diện tích đáy của cái hộp: (12 2 ) x2
Cho V x'( ) 0 , giải và chọn nghiệm x 2.
Lập bảng biến thiên ta được Vmax 128 khi x 2.
Ví dụ 2 :
Ông A dự định sự dụng hết 6,5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hìnhhộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?
Giải
Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể cá lần lượt là x, 2x, y ( x, y > 0)
Diện tích phần lắp kính là:
1
Trang 92x.x + 2xy + 2.2x.y = 2x 2 + 6xy = 6,5 6,5 2 2 0 6,5 13
Ví dụ 3: Từ một khúc gỗ hình trụ, cần xẻ thành một chếc xà có tiết diện ngang là
hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ Hãy xác định kích thước của các miếngphụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất ?
Giải:
Gọi x, y là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ như hình vẽ Gọi d là đường kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là: d2 và
13 39 54
0
0
Trang 10miếng phụ như hình vẽ Gọi d là đường
kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện
ngang của thanh xà có cạnh là: d2 và
Áp dụng đạo hàm vào hàm
S = S(x) = 12 .x d2 8x2 4 2x , với 0 < x < (2 2)
, 4
Ta có S lớn nhất khi và chỉ khi 34 3 2
16
Ví d ụ 4 :Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước
dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện
ngang của mương là S, là độ dài đường biên giới
hạn của tiết diện này,- đặc trưng cho khả năng thấm
nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ
động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất) Cần xác định các kích thước củamương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học ? (nếu mương dẫn nước
có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
Trang 11Ví dụ 5:(Trích đề minh họa HSG Phú Thọ 2016 – 2017)
Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mồi tấm dài a (m) và muốn rào một
mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (bờ sông là
đường DC không phải rào) Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m 2 ?
Trang 12Áp dụng công thức: P = R.I 2 với I E
Giải:
Vận tốc của con cá khi bơi ngược dòng: v - 6 (km / h),(v 6).
Theo thời gian con cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản: t = 300 ( )
f(r) 0 x
f'(x)
Trang 133 0 9
6
v
v v
Lập bảng biến thiên của hàm số y = E’(v) trên khoảng 6;
Ta có E min đạt được tại v = 9 Vậy vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng v = 9 (km / h).
sẽ chọn được v = 6 km / h đó là lựa chọn sai vì vận tốc v trong biểu thức
E(v) = cv3t là vận tốc thực của con cá khi di chuyển, còn t là thời gian con cábơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản ứng với vận tốc của con cá đã trừ đi vậntốc dòng nước
Dạng 3: Bài toán liên hệ với quãng đường
Ví dụ 1
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB 5km.Trên bờbiển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km.Người canh hải đăng cóthể chèo đò từA đến M trên bờ biểnvới vận tốc 4km h/ rồi đi bộ đến C với vậntốc 6km h/ Vị trí của điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đếnkho nhanh nhất?
Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét
so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình) Để nhìn rõ
nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất
Hãy xác định vị trí đó ? (BOC gọi là góc nhìn)
Giải
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất.
Đặt OA = x (m) với x > 0,
ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) = 1tantanAOC AOCtan.tanAOB AOB
O A
C
B 1,4
1,8