Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p lµm tréi Lu ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu h¹n... dïng tam thøc bËc hai..[r]
(1)Chuyên đề chứng minh bất thức (Tham kh¶o cña nhiÒu t¸c gi¶) PhÇn I kiÕn thøc c¬ b¶n 1-§inhnghÜa A B A B 0 A B A B 0 2.Các tính chất bất đẳng thức: a> b , c> d ⇒ a+c >b+ d a> b , c< d ⇒ a− c >b − d a> b , c> 0⇒ ac> bc a> b , c< 0⇒ ac< bc a> b≥ , c >d ≥ 0⇒ ac> bd 10 n n a> b>0 ⇒ a > b a> b ⇔an > bn n ch½n |a|>|b|⇔ an >b n n ch½n m>n> , a>1⇒ an >b n a=1⇒ an=bn ; 0<a<1 ⇒ a n< bn 1 a> b ,ab >0 ⇒ < a b 3.Một số bất đẳng thức A ❑2 víi ∀ A ( dÊu = x¶y A =0) | A|≥ víi ∀ A (dÊu = x¶y A = 0) AB A B | A| < A = | A| ( dÊu = x¶y A.B > 0) | A − B|≤|A|−|B| A.B < 0) 4.Bất đẳng thức Cô-si: *ĐL:Trung bình cộng n số không âm lớn hoắc trung bình nhân n số đó a1 +a2 +a 3+ +an n ≥ √ a1 a2 a an ,( a1 a2 a3 an kh«ng ©m ) n Dấu đẳng thức xảy a1=a2=a3= =a n a+b a+b+ c *Dạng đơn giản: ≥ √ ab ; ≥ √ abc 3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki: *Cho n cÆp sè bÊt k× a1 , a2 , a3 , ,a n ; b , b , b3 , , bn , ta cã: a1 b1 +a b2 + a3 b , , a n b n ¿ ≤(a + a2 + a3 + + an )(b1 + b2 +b3 + + bn ) ¿ a1 a2 a3 an DÊu “=” x¶y = = = = b1 b b bn *Dạng đơn giản; a1 b1 +a b2 ¿ ≤(a1 +a )(b +b ) ¿ b+d ¿2 ¿ *BiÕn d¹ng: a+c ¿2 +¿ ¿ √¿ 2 2 2 4.Một số bất đẳng thức đợc áp dụng: 2 2 2 ( dÊu = x¶y (2) x √x− ≤ 11 +¿ a a > ; a , b , c ∈ z¿ a+b a+b+ c 1 1 + ≥ ; (a+ b+c ) + + ≥ a b a b c ab a+b ( a+b )2 ≥ ab ⇒ ≤ ; ≥ a+b ab ( a+b )2 a a2 +b2 a+ b ≤ = ; ≥ 2 1+ a a 2 a+b ≥ ab hay ( a+b )2 ≥ ab 2 a b ≥ + ≥2 ; a+b ≥ √ ab ⇔ b a √ ab a+ b a+b ≤ √ 2(a+ b) 2 = < =2( √ k − √k − 1) √ k √ k + √k √ k + √ k −1 ( (a+ b) ) ( ) ( ) ( ) a b + ≥ 2 1+ ab 1+ a 1+b 0< a≤ b ≤ c ≤ 1⇒ ab+1 ≤ ac+1 ≤ bc+1 a a ⇒ ≤ bc+1 ab+1 a+1+1 =2 a+1 √ a+1=√(4 a+ 1).1 ≤ 1 + ≥ 2 − x − y − xy a a+ b+c ≥ b+ c 2a 1 + ≥ ; a ,b ≥ a b a+ b √ x+ y ¿ ¿ ≥¿ x.y 2 = > =2( √ k +1 − √ k ) √ k √ k + √k √ k +1+ √ k PhÇn II Mét sè ph¬ng ph¸p c¬ b¶n Phơng pháp : dùng định nghĩa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A - B > Lu ý dùng bất đẳng thức M ❑2 víi M VÝ dô x, y, z chøng minh r»ng : a) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx b) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz c) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 (x + y + z) + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx = ( x ❑2 + y ❑2 + z Lêi gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x ❑2 ❑2 - xy – yz – zx) = y − z ¿2 x − z ¿2 +¿ ≥ = đúng với x;y;z R Vì (x-y)2 0 vớix ; y đó dấu xảy x=y x − y ¿ 2+ ¿ ¿ ¿ (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z (y-z)2 0 víi z; y, dÊu b»ng x¶y VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz +zx, dÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xét hiệu: x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ❑2 đúng với x;y;z Vậy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – R 2xz + 2yz đúng với x;y;z DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiÖu: x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 – 2( x+ y +z ) = x ❑2 - 2x + + y ❑2 -2y +1 + z ❑2 -2z +1 = (x-1) ❑2 + (y-1) ❑2 +(z-1) ❑2 Dêu (=) x¶y x = y = z = VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a) c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n a +b a+ b ≥ 2 ( ) ; b) 2 a +b +c a+ b+c ≥ 3 ( ) (3) a2 +b2 a+b = ( a2+ b2 ) a2+ 2ab+ b2 = ( a2 +2 b2 − a2 −b −2 ab ) − − 2 4 2 = ( a −b )2 ≥ VËy a +b ≥ a+ b ; DÊu b»ng x¶y a = b 2 2 2 2 b)Ta xÐt hiÖu: a +b +c − a+b+ c = ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ] ≥ VËy a +b +c ≥ a+ b+c [ 3 3 Lêi gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu: ( ) ( ) ( ) ( ) DÊu b»ng x¶y a = b =c 2 2 a1 +a2 + +an a1 +a2 + +an c)Tæng qu¸t ≥ n n Tóm lại các bớc để chứng minh A B tho định nghĩa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H= (C + D ) ❑2 H= (C + D ) ❑2 +….+ ( E + F ) ❑2 Bíc 3:KÕt luËn A B ( ) Chứng minh m,n,p,q ta có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m ( n + p + q + ) Lêi gi¶i: 2 2 m m m m 2 ⇔ − mn +n + − mp+ p + − mq +q + − m+1 ≥ 4 4 2 2 m m m m ⇔ − n + − p + − q + −1 ≥ (luôn đúng) 2 2 VÝ dô ( ( )( )( DÊu b»ng x¶y )( )( )( m −n=0 m − p=0 m −q=0 m −1=0 )( ) ) m m p= m q= m=2 { { ⇔ n= ⇔ {n=m=2 p=q=1 phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng Chú ý các đẳng thức sau: ( A + B )2= A2 +2 AB+B ( A + B+C )2=A +B 2+C +2 AB+2 AC+2 BC ( A + B )3= A3 +3 A B+3 AB2 + B3 VÝ dô 1: Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: a) a2 + b ≥ ab b) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) Lêi gi¶i: a) a2 + b ≥ ab ⇔ a2 +b ≥ ab ⇔ a2 − a+b ≥ này luôn đúng) Vậy a2 + b ≥ ab (dÊu b»ng x¶y a = b ) ⇔ ( a −b )2 ≥ (bất đẳng thức (4) ⇔ 2(a2 +b2 +1)> 2(ab+ a+b) b −1 ¿ ≥0 a −1 ¿ +¿ Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy 2 2 ⇔ a − 2ab+ b +a −2 a+1+b − 2b +1≥ a −b ¿ + ¿ ⇔¿ 2 DÊu b»ng x¶y a = b = a +b +1 ≥ ab+a+ b 2 2 c) a +b + c + d + e ≥ a ( b +c +d +e ) ⇔ (a 2+ b2+ c 2+ d 2+ e2 )≥ a ( b+c + d+ e ) ⇔ ( a − ab+ b 2) + ( a2 − ac+ c ) + ( a2 − ad + d ) + ( a − ac +4 c2 ) ≥ ⇔ ( a −2 b )2 + ( a− c )2 + ( a− d )2+ ( a− c )2 ≥ Bất đẳng thức đúng ta có điều phải chứng minh b) 2 a +b +1 ≥ ab+a+ b VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b )( a4 + b4 ) Lêi gi¶i: ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b )( a4 + b4 ) ⇔ a12 +a10 b2 +a b10 +b 12 ≥ a12+ a8 b4 + a4 b 8+ b12 ⇔ a2b2( a2 - b2 )2( a4+ ⇔ a8 b2 ( a − b2 ) +a2 b8 ( b − a2 ) ≥0 ⇔ a2 b2 ( a2 - b2) ( a6 - b6 ) a2b2+b4) Bất đẳng thức cuối đúng ta có điều phải chứng minh VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y 2 ;Chøng minh x2 + y2 x− y √2 Lêi gi¶i: x + y ⇒ x2+y2 √ v× :x y nªn x- y √ ( x-y) ⇒ x2+y2- √ x− y x+ √ y ⇔ x2+y2+2- √ x+ √ y -2 ⇔ x2+y2+( √ )2- √ x+ √ y -2xy v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh ⇒ (x-y- √ )2 VÝ dô 4: 1)CM: P(x,y)= x y + y − xy −2 y+ 1≥ ∀ x , y∈ R 2 2)CM: √ a +b +c ≤|a|+|b|+|c| (gîi ý :b×nh ph¬ng vÕ) 3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: x y z =1 1 + + < x+ y+ z x y z Chứng minh :có đúng ba số x,y,z lớn { Lêi gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + ¿>0 (v× + + < x+y+z theo gt) x y z x y z x y z → sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d¬ng NÕñ trêng hîp sau x¶y th× x, y, z >1 → x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z=1 b¾t buéc ph¶i x¶y trêng hîp trên tức là có đúng ba số x ,y ,z là số lớn Ph¬ng ph¸p 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc * số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x 2+ y ≥ xy b) x 2+ y ≥∨xy∨¿ dÊu ( = ) x = y = c) ( x+ y )2 ≥ xy a b d) + ≥2 b a a1 +a2 +a 3+ + an 2)Bất đẳng thức Cô sy: ≥ √ a1 a2 a3 an n Víi >0 (5) 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski +¿ n ¿ 2 x 1+ x + ¿ ( a1 x 1+ a2 x + +an x n ) ( a + a22+ + a2n ) ¿ 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: a≤ b ≤ c NÕu A ≤ B≤ C a ≤b ≤ c NÕu ⇒ A ≥ B ≥C aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C ≥ 3 aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C DÊu b»ng x¶y ≤ 3 { { ⇒ a=b=c {A=B=C VÝ dô Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8abc Lêi gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x+ y )2 ≥ xy Tacó ; ( a+b )2 ≥ ab ; ( b+ c )2 ≥ bc 2 2 ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) ( c +a )2 ≥ ac ⇒ ( a+b )2 ( b+ c )2 ( c +a )2 64 a b c =( abc ) 8abc DÊu “=” x¶y a = b = c 1 VÝ dô 1)Cho a,b,c > vµ a + b + c = CMR: + + ≥9 a b c 2)Cho x, y,z > vµ x +y + z = CMR: x + 2y + z (1 − x)(1 − y )(1 − z) a b c 3)Cho a > , b > 0, c> CMR: + + ≥ b+c c +a a+b 4)Cho x ,y tháa m·n √ x − √ y=1 ;CMR: x +y a b3 c3 2 a +b + c =1 b c a c a b VÝ dô 3: Cho a>b>c>0 vµ chøng minh r»ng Lêi gi¶i: a ≥ b2 ≥c Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c ⇒ a b c ≥ ≥ b+ c a+ c a+ b ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã 2 a b c a + b +c a b c 2 = = a +b +c ≥ + + 2 b+ c a+ c a+ b b+ c a+c a+ b 3 a b c VËy DÊu b»ng x¶y a=b=c= + + ≥ b+c a+ c a+b √3 { ( ) VÝ dô 4: Cho a, b, c, d > vµ abcd =1 Chøng minh r»ng : a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 Lêi gi¶i: 2 2 a +b ≥ ab ; c + d ≥ cd ; abcd =1 nªn cd = Ta cã ab (dïng 1 ) x+ ≥ x )≥ (1) ab MÆt kh¸c: a ( b+ c )+ b ( c+ d )+ d ( c+ a ) =( ab + cd ) + ( ac + bd ) + ( bc + ad ) 1 = ab+ + ac+ + bc+ ≥ 2+ 2+ VËy a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 ab ac bc Ta cã a2 +b 2+ c ≥ 2(ab+cd )=2(ab+ ( VÝ dô 5: )( )( ) Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (6) b+d ¿ ¿ a+c ¿2 +¿ ¿ √¿ Lời giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Ta cã ac+bd √ a2 +b2 √c +d mµ ( a+ c )2 + ( b+ d )2=a 2+ b2+ ( ac + bd ) + c2 +d ( a 2+b ) +2 √ a2+ b2 √ c 2+ d 2+ c 2+ d b+d ¿2 ¿ ⇒ a+ c ¿2 +¿ ¿ √¿ VÝ dô 6: Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ac Lời giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã ( 12 +12+12 ) (a2 +b 2+ c2 )≥ ( a+ b+1 c )2 ⇒ ( a 2+b 2+ c ) ≥ a2 +b 2+ c 2+2 ( ab+ bc+ ac ) §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y a=b=c ⇒ a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ac Ph¬ng ph¸p 4: Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu Lu ý: A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x ❑2 <x vÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: a −c >d >0 Tacã a>c +d ⇒ b>c +d b −d >c >0 ( a – c ) ( b – d ) > cd ⇒ ⇔ ab – ad – bc + cd > cd (®iÒu ph¶i chøng minh) ⇔ ab > ad + bc vÝ dô 2: Cho a,b,c > tháa m·n a2 +b 2+ c 2= 1 1 Chøng minh + + < a b c abc Gi¶i: { { Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab - ac - bc) ¿ ⇒ ac+bc-ab ¿ ¿ ¿ 1 1 + − ¿ a b c abc ¿ ( a2+b2+c2) ⇒ ac+bc-ab ¿ ¿ Chia hai vÕ cho abc > ta cã ¿ vÝ dô Cho < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1 - a).(1 - b) ( 1- c).(1- d) > 1- a – b – c - d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 ⇒ (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 1- Cho < a, b, c <1 Chøng minh r»ng 3 2 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a Gi¶i : (7) 2 Do a < ⇒ ⇒ 1-b- a2 + a2 b > ⇒ 1+ a2 a <1 vµ Ta cã ( 1− a ) ( 1− b ) <0 b2 > a2 + b 3 2 3 mµ 0< a,b <1 ⇒ a > a , b > b ; Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1+ a b > a + b ; VËy a3 + b3 < 1+ a2 b2 T¬ng tù b3 + c 1+b2 c c ❑3 + a3 1+c a Cộng các bất đẳng thức ta có : 3 2 2 a +2 b +2 c ≤ 3+a b+b c+ c a b)Chøng minh r»ng : NÕu a2 +b 2=c +d 2=1998 th× ac+bd =1998 Gi¶i: Ta cã (ac + bd) ❑2 + (ad – bc ) ❑2 = a ❑2 c ❑2 + b ❑2 d +2 abcd+ a2 d +b2 c - abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982, rá rµng (ac+bd)2 ( ac+ bd )2 + ( ad − bc )2=19982 ⇒ |ac+ bd|≤1998 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 c høng minh r»ng : a ❑12 + a22 +a 23+ + a22003 ( đề thi vào chuyên nga pháp 20032003 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c tháa m·n :a + b + c = (?) 1 Chøng minh r»ng: ( −1 ¿ ( − 1).( −1)≥ a b c Ph¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊt cña tû sè KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th× a a a+ c a – NÕu >1 th× > b b b+ c a c a a+c c 2)NÕu b,d >0 th× tõ < ⇒ < < b d b b+ d d ` vÝ dô : Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng 1< b – NÕu a <1 b th× a a+ c < b b+ c a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a a+ d a a (1) MÆt kh¸c : <1 ⇒ < > a+b+ c a+b+ c a+b+ c+d a+b+ c a+b+ c+ d Tõ (1) vµ (2) ta cã a a a+d < < (3) a+b+ c+ d a+b+ c a+b+ c+ d b b b+ a c c b +c T¬ng tù ta cã (4) < < < < a+b+ c+ d b+c +d a+b+ c+ d a+b+ c+d c +d +a a+b+ c+ d d d d+ c (6) céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã < < a+b+ c+ d d +a+b a+ b+c +d a b c d 1< + + + <2 ®iÒu ph¶i chøng minh a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b ab+cd c a c a < vµ b,d > Chøng minh r»ng < 2< b d b b +d d ab cd ab ab+cd cd c ab+cd c a c a ⇒ 2< < 2 < 2= Gi¶i: Tõ < VËy < 2< ⇒ b d b b d b b +d d d b +d d ph¶i chøng minh (2) (5) vÝ dô : Cho: ®iÒu (8) vÝ dô : Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : = c+d b d Tõ : a c b d a a+b b ⇒ ≤ ≤ c c+ d d a ≤1 c v× a+b a b 999 + c d a b 999 b, NÕu: b=998 th× a=1 ⇒ = + §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt d= 1; c=999 + c d c d a b VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña =999+ a=d=1; c=b=999 + c d 999 a, NÕu :b 998 th× b d a c a b + c d 998 ⇒ Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p lµm tréi Lu ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu h¹n (*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 +u2 + + un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u ❑k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk =ak −a k+1 Khi đó : S = ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) + + ( an − an+1 ) =a1 −a n+1 (*) Ph¬ng ph¸p chung vÒ tÝnh tÝch h÷u h¹n P = u1 u .u n Biến đổi các số hạng uk thơng hai số hạng liên tiếp nhau: ak a1 a a a Khi đó P = uk = n = ak+ a2 a an+1 an +1 VÝ dô : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 < + + + < n+1 n+2 n+ n Gi¶i: 1 Ta cã víi k = 1,2,3,…,n-1 > = n+k n+ n 2n 1 1 n Do đó: + + + > + + = = n+1 n+2 2n 2n n 2n VÝ dô : Chøng minh r»ng: 1+ 1 + + + >2 ( √ n+ 1− ) √2 √ √n 2 = > =2 ( √ k +1 − √ k ) √k √ k √ k + √k + 1 > ( √ 2− ) >2 ( √ − √2 ) √2 >2 ( √ n+1− √ n ) √n Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 1+ + + + >2 ( √ n+ 1− ) √2 √ √n Gi¶i : Ta cã Víi n lµ sè nguyªn Khi cho k chạy từ đến n ta có (9) n VÝ dô : Chøng minh r»ng ∑ k12 < ∀ n∈ Z k=1 1 1 < = − k −1 k k k ( k −1 ) Cho k chạy từ đến n ta có 1 <1 − 2 1 < − 32 1 < − n −1 n n 1 ⇒ + + + <1 n Gi¶i: Ta cã n VËy ∑ k12 < k=1 Ph¬ng ph¸p 7: Dùng bất đẳng thức tam giác Lu ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i a)V× a,b,c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã a2 <a(b+c ) 0<a< b+c 0<b< a+c b2 <b(a+c ) 0<c <a+ b c 2< c (a+b) Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta cã a > b-c b2 − c2 ¿ >0 a >a − ¿ c −a ¿ > b > a-c b2 >b − ¿ ¿ 2> c > a-b a −b c >c − ¿ Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc ⇒ a b2 c > [ a2 − ( b − c )2 ][ b − ( c − a )2 ][ c − ( a −b )2 ] 2 ⇒ a b c > ( a+b − c ) ( b +c − a ) ( c +a −b ) ⇒ abc> ( a+b − c ) ( b+c −a ) ( c +a −b ) { { VÝ dô2: 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab+ bc+ ca< a2 +b2 +c <2(ab+ bc+ ca) 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2 2 Chøng minh r»ng a +b + c +2 abc< Ph¬ng ph¸p 8: đổi biến số (10) VÝ dô1 Cho a,b,c > Chøng minh r»ng a b c (1) + + ≥ b+c c +a a+b Gi¶i : y+z − x z+x − y x+ y −z ; b= ;c= 2 y + z − x z +x − y x+ y − z y z x z x y ta cã (1) ⇔ + + + − 1+ + −1+ + −1 ≥3 ⇔ 2x 2y 2z x x y y z z y x z x z y + ¿+( + )+( + )≥ ⇔ ( x y x z y z y x z x z y Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2; + ≥2 ; + ≥ nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng x y x z y z minh VÝ dô2: Cho a, b, c > vµ a + b + c < 1 1 + + ≥9 Chøng minh r»ng (1) a +2 bc b +2 ac c +2 ab §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= Gi¶i: §Æt x = a2 +2 bc ; y = b2 +2 ac ; z = c 2+ 2ab Ta cã x+ y+ z=( a+b +c )2< 1 1 (1) ⇔ + + ≥ Với x+y+z < và x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có x y z 1 1 1 + + ≥ ; ⇒ ( x+ y+ z ) + + ≥ Mµ x+y+z < x+ y+ z ≥ √3 xyz ; x y z x y z xyz √ VËy VÝ dô3: 1 + + ≥9 x y z Cho x Gîi ý: §Æt ( ) (®pcm) ,y tháa m·n √ x=u , √ y=v √ x − √ y=1 CMR x+ y ≥ ⇒ 2u-v =1 vµ S = x+y = u2 +v Bµi tËp 1) Cho a > , b > , c > CMR: ⇒ v = 2u-1 thay vµo tÝnh S 25 a 16 b c + + >8 b+c c +a a+b 2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 ma nb pc CMR + + ≥ ( √m+ √ n+ √ p ) − ( m+n+ p ) b+c c +a a+b Ph¬ng ph¸p 9: dïng tam thøc bËc hai Lu ý : Cho tam thøc bËc hai f ( x )=ax + bx+ c NÕu Δ< th× a f ( x )> NÕu Δ=0 th× NÕu Δ> th× a f ( x )> a f ( x )< ∀ x∈R ∀ x ≠− a f ( x )> víi víi b a x< x1 hoÆc x 1< x < x VÝ dô1: Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x 2+5 y −4 xy +2 x −6 y +3> Gi¶i: Ta cã (1) ⇔ x −2 x ( y −1 ) +5 y − y+ 3>0 Δ ' =( y −1 )2 −5 y 2+ y − 2 ¿ y − y +1− y + y − − ( y −1 ) − 1<0 x> x2 ( x 2> x ) (1) (11) f ( x , y )>0 VËy víi mäi x, y VÝ dô2: Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x y +2 ( x +2 ) y +4 xy + x 2> xy Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với y 2+ 1¿ x2 + y (1 − y )2 x+ y >0 ⇔¿ 2 ' 2 2 2 V× a = Δ =4 y ( 1− y ) − y ( y +1 ) =− 16 y < ( y +1 ) >0 vËy x y +2 ( x +2 ) y + xy + x − xy 3> Ta cã f ( x , y )> (®pcm) Ph¬ng ph¸p 10: dïng quy n¹p to¸n häc Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n ta thực các bớc sau : – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) – kết luận BĐT đúng với n>n 1 1 + + + <2 − (1) ∀ n∈ N ; n>1 n n 1 Gi¶i :Víi n =2 ta cã 1+ <2 − (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 ThËt vËy n =k+1 th× k +1¿ ¿ ¿ (1) ⇔ 1 1 + + + + 2 k ¿ Theo gi¶ thiÕt quy n¹p k +1¿ ¿ ¿ ⇔ 1 1 + + + + ¿ 2 k k + 1¿ ¿ ¿ ⇔ 1 + + ¿ VÝ dô1:Chøng minh r»ng ⇔ VÝ dô2: Cho k +1 ¿2 ¿ k +1 ¿2 ¿ k +1+1 ¿ n∈N ⇔ k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng Vậy bất đẳng thức (1)đợc chứng minh vµ a+b> Chøng minh r»ng a+b n ( ) n n a +b Gi¶i Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 ThËt vËy víi n = k+1 ta cã (1) (12) a+b k a+b ak+ 1+b k+1 ak+ 1+b k+1 (2) ⇔ 2 2 ak +b k a+ b ak+ 1+ abk +a k b+ bk +1 a k+1 +bk +1 ⇔ VÕ tr¸i (2) ⇔ = ≤ 2 ak+ 1+b k+1 ak+1 +ab k +ak b+ bk+1 − ≥0 (3) ⇔ ( a k − bk ) ( a −b ) ≥ Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sö a b vµ gi¶ thiÕt cho a -b ⇔ a ⇔ |b| k k k k k ⇒ ( a − b ) ( a −b ) ≥ a ≥|b| ≥ b k (+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - a<b ⇔ ⇔ ( a k − bk ) ( a −b ) ≥ |a| <bk ⇔ ak <b k Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) (1) ⇔ a+b k+1 ( ) Ph¬ng ph¸p 11: ( ) Chøng minh ph¶n chøng Lu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc Từ đó suy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K” phép toán mệnh đề cho ta : Nh để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận nó Ta thêng dïng h×nh thøc chøng minh ph¶n chøng sau : −− −− A - Dùng mệnh đề phản đảo : K ⇒ G B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định suy trái với điều đúng D – Phủ định suy điều trái ngợc E – Phủ định suy kết luận : VÝ dô 1: Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c > Gi¶i : Gi¶ sö a th× tõ abc > ⇒ a đó a < 0, Mà abc > và a < ⇒ cb < Tõ ab+bc+ca > ⇒ a(b+c) > -bc > 0, V× a < mµ a(b +c) > ⇒ b + c < a < vµ b +c < ⇒ a + b +c < tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > 0, VËy a > t¬ng tù ta cã b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac 2.(b+d) Chứng minh có ít các bất đẳng thức sau là sai: 2 , a <4 b c <4 d Gi¶i : Giả sử bất đẳng thức : a2 < b , c 2< d đúng đó cộng các vế ta đợc, a2 +c <4 (b +d) (1) 2 Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) 2ac (2), Tõ (1) vµ (2) ⇒ (v« a +c <2 ac hay ( a − c ) <0 lý) Vậy bất đẳng thức a2 < b và c 2< d có ít các bất đẳng thức sai VÝ dô Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng 1 NÕu x+y+z > th× cã mét ba sè nµy lín h¬n + + x y z Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – ( 1 nªn (x-1).(y-1).(z-1) > + + x y z Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d¬ng th× x,y,z > ⇒ xyz > (tr¸i gi¶ thiÕt) Còn số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) theo gi¶ thiÕt x+y +z > 1 + + ) v× xyz = x y z (13) VËy cã mét vµ chØ mét ba sè x , y,z lín h¬n PhÇn II Bµi tËp ¸p dông Bµi tËp (Sö dông ph¬ng ph¸p lµm tréi) a b c + + <2 a+b b+c c +a a a b b c c , cộng vế ví vế ta đợc; < ; < ; < a+b+ c a+b a+b+ c b+c a+b +c c +a Cho a,b,c lµ sè d¬ng chøng minh r»ng: 1< HD *Ta lu«n cã: a b c a b c a+b +c + + > + + = =1 a+b b+c c + a a+ b+c a+ b+c a+b+c a+b +c a a a+c b b+a c c+ b *Ta l¹i cã: , <1 ⇒ < ; t¬ng tù ta cã: < ; < a+b a+b a+b+ c b+c a+ b+c c +a a+b+ c 2(a+ b+c ) a b c a+c b+a c +b Cộng vế với vế ta đợc: + + < + + = =2 a+b b+c c + a a+ b+c a+ b+c a+b+c a+ b+c Bµi tËp (Sö dông ph¬ng ph¸p lµm tréi) 1 1 + + + + + <1 Chøng minh r»ng víi mäi n > th× 2 n 1 1 < = − HD Víi n > ta cã , nªn ta cã: n − n ( n− 1) n n 1 1 1 1 1 1 1 1 n− + + + + + < − + − + − + − + + − =1− = <1 n −1 n n n n 2 3 4 Bµi tËp (Sö dông ph¬ng ph¸p lµm tréi) Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên 1 1 + + + .+ <1 ; a) 2 3 (n −1) n 1 1 1 + + + + + <2 − (n>1); b) n n 1 1 + + + + + < c) 2 n HD a) 1 1 1 1 1 1 1 n− + + + .+ = − + − + − + − + + − =1− = <1 2 3 n−1 n n n (n −1) n 2 3 4 n− n− Víi n > th× <1 , víi n = th× <1 Vậy BĐT luôn đúng với n là số tự nhiên n n 1 1 < = − b) Víi n > ta cã , nªn ta cã: n (n− 1) n n − n 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + < − + − + − + − + + − =1− <2 − ; 2 3 4 n −1 n n n n 1 1 < = − c)Víi n = th× < Víi n > 1ta cã: , nªn ta cã: n (n− 1) n n − n 1 1 1 1 1 1 1 1 n− + + + + + < − + − + − + − + + − =1− = 2 3 4 n −1 n n n n n− n −3 n Ta ®i chøng minh < ⇔ < ⇔5 n − n>−3 ⇔ n>− 3,(n>1) , n 3n 3n 1 1 + + + + + < víi n lµ sè tù nhiªn VËy 12 22 n Bµi tËp (Sö dông tÝnh chÊt hai biÓu thøc cã tö thøc b»ng BT nµo cã MT lín h¬n th× nhá h¬n) (14) 2 a)Cho a > b > Chøng minh r»ng: a− b < a 2− b2 ; a+ b a +b từ đó áp dụng so sánh giá trị các phân thức: 2 b) 2000 −1999 < 20002 −19992 ; 2000+1999 2000 +1999 2 c) 1997 −1996 < 1997 − 19962 1997+1996 1997 + 1996 a+b ¿2 ¿ ¿ HD a) v× a>b>1 vµ ( a+b )2> a2 +b 2 a− b ( a −b)(a+ b) a − b = = ¿ a+ b (a+ b)(a+b) 2000+1999 ¿ ¿ ¿ 2000− 1999 (2000− 1999)( 2000+ 1999) 20002 −19992 VT = = = ¿ 2000+1999 (2000+1999)(2000+1999) 2 V× hai BT cã tö thøc b»ng vµ 2000+1999 ¿ >2000 +1999 ¿ c)T¬ng tù c©u a b) Bµi tËp 5.( Sö dông B§T C« Si) Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ca ; b) (a+ b)(b+c )(c +a)≥8 abc , víi a,b,c d¬ng; c) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b d)Víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ta lu«n cã: ( a+b +c ) ( 1a + b1 + 1c ) ≥ ; a b c + + ≥ b+c c +a a+b HD a) a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ca ⇔2 a2 +2 b2 +2 c ≥ ab+2 bc+ 2ca c − a ¿2 ≥ c −a ¿ ≥ b − c ¿ +¿ v× b − c ¿ ≥ ; ¿ víi mäi a,b,c a −b ¿ 2+ ¿ a −b ¿ ≥ ; ¿ ⇔¿ ¿ b)Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có: (a+ b)(b+c )(c +a)≥2 √ ab √ bc √ ca=8 √ a2 b2 c2 =8 abc c) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b ⇔2 a2 +2 b2 +2 ≥2 ab+2 a+ 2b ⇔ a2 −2 ab+b 2+ a2 − a+1+b2 −2 b+1 ≥ b −1 ¿2 ≥0 b − 1¿2 ≥ a −1 ¿ +¿ v× a − 1¿ ≥ ; ¿ víi mäi a,b a −b ¿ 2+ ¿ a −b ¿ ≥ ; ¿ ⇔¿ ¿ d) Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có: 1 1 1 1 3 1 a+b +c ≥ √ abc , + + ≥ ⇒ ( a+ b+c ) + + ≥ √ abc =9 a b c a b c a b c a b c e)§Æt A=a+b , B=b+ c ,C=c +a , ta cã A + B+C=2(a+ b+c )⇒ a+b+ c= ( A+ B+C ) , a b c a b c a+ b+c a+b+ c a+b+ c + + = +1+ +1+ +1 −3= + + −3 b+c c +a a+b b +c c +a a+b b+ c c +a a+ b ta cã: 1 1 1 ¿(a+ b+c ) + + −3= ( A+ B+C) + + −3 b+c c +a a+ b A B C e) Víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ta lu«n cã: √ ( ( ) √ ) ( ) (15) ta cã ( A+B+C) ( 1A + B1 + C1 ) ≥ nªn a b c + + ≥ −3= b+c c +a a+b 2 Bµi tËp 6.( Sö dông B§T C« Si) b) Cho 1 ; + ≥ x y x+ y x ≥ , y ≥ , Chøng minh: x √ y −1+ y √ x −1 ≤ xy ; c) Cho x ≥ , y ≥ , z ≥2 , Chøng minh: a) Cho x , y >0 , Chøng minh: √ x+ √ y −1+ √ z − 2≤ ( x + y + z) x+ y ¿ ≥ xy HD a)Víi x , y >0 ta cã x − y ¿ ≥ ⇔ x − xy+ y ≥ ⇔ x − xy+ xy+ y ≥ xy ⇔ ¿ ¿ x+ y x y 1 ⇔ (x+ y) ( x+ y ) ≥ xy ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ xy x + y xy xy x+ y x y x+ y b) Víi x ≥ , y ≥ ta cã: x √ y −1+ y √ x −1 ≤ xy ⇔ x √ y −1 + y √ x −1 ≤1 ⇔ √ y −1 + √ x −1 ≤ , xy xy y x 1+ x − x 1+ y −1 y ¸p dông B§T C« Si ta cã: √ x −1 ≤ ,nªn ta cã: = ; √ y −1 ≤ = 2 2 √ x − + √ y − ≤ x + y = + =1 ;VËy x y −1+ y x −1 ≤ xy √ √ y y x y 2 c) Víi x ≥ , y ≥ , z ≥2 , nªn ta cã: √ x+ √ y −1+ √ z − 2≤ (x + y + z) ⇔ ⇔ x + y + z − √ x − √ y −1 −2 √ z −2 ≥ ⇔ x − √ x +1+ y − 1− √ y −1+1+ z − 2− √ z − 2+1≥ ( √ x −1 )2 + ( √ y −1 −1 )2 + ( √ z − 2− )2 ≥ v× ( √ x −1 )2 ≥ 0, ( √ y −1 −1 )2 ≥0, ( √ z − 2− )2 ≥ Bµi tËp 7.( Sö dông B§T C« Si) Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n: a+b +c=1 Chøng minh: a) √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ 3,5 ; b) √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √ HD.a)Ta nhìn tổng a + dới tích 1.( a + ) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si âm ta đợc: √ a+1= √1 (a+1)≤ √ xy ≤ 1+ a+1 a 1+b+ b = +1, √ b+ 1=√ 1.( b+1) ≤ = +1 , 2 2 1+ c+1 c = +1 ,cộng vế ba bất đẳng thức ta đợc: 2 a b c a+b+ c +3 √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ + + + ⇔ √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ 2 2 ⇔ √ a+1+ √b+ 1+ √ c+1 ≤ + ⇔ √ a+1+ √ b+1+ √ c +1 ≤ 2 b) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki với hai ba số ta đợc: √ c +a ¿ √ b+ c ¿2 +¿ ¿ ⇒ √ a+b + √ b+c + √ c +a ≤3 (a+ b+b+ c+c+a)=3 2( a+b+c)=6 √ a+b ¿ 2+¿ ¿ ¿ √ a+b +1 √ b+c +1 √c +a ≤(1+1+1)¿ √ c+ 1=√ 1.(c+1)≤ Bµi tËp 8.( Sö dông H§T) Cho a , b , c ≥ ,Chøng minh r»ng: 1 1 1 + + ≥ + + a b c √ ab √ bc √ ca x+ y víi x,y kh«ng (16) 1 1 1 2 2 2 + + ≥ + + ⇔ + + − − − ≥0 a b c √ ab √ bc √ ca a b c √ ab √ bc √ ca 1 1 1 1 1 1 − + − + − ≥ v× − ≥ 0, − ≥ 0, − ≥0 √a √b √b √ c √c √a √a √b √b √ c √c √a HD Víi a , b , c ≥ , ta cã: ( ) ( )( ) ( Bµi tËp Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tuú ý.Chøng minh r»ng: ) ( ) ( ab bc ca a+ b+c + + ≤ a+b b+c c + a a+b ¿ ≥ ab ⇔(a+b)(a+b)≥ ab HD.Ta cã a −b ¿2 ≥ ⇔ a2 −2 ab+b ≥ ⇔¿ ¿ a+b 2ab b+c bc c+ a ca ,t¬ng tù ta cã: , cộng vế với vế ta đợc: ⇔ ≥ ≥ , ≥ a+b b +c c+ a a+b b+c c + a 2ab bc ca 2(a+ b+c) ab bc ca + + ≥ + + ⇔ ≥ + + 2 a+ b b +c c +a a+ b b+ c c+ a ab bc ca ab bc ca a+ b+c ⇔2 + + ≤ a+b+ c ⇔ + + ≤ a+ b b+ c c+ a a+b b +c c +a ( ) Bµi tËp 10 ( Sö dông B§T C«-Si) Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức: 2 a) a + b + c ≥ a+ b+c b+c c +a a+b 2 2 a b c a+ b+c ; b) + + ≥ a+b b+c c + a 2 2 a b c d a+b+ c+ d c) + + + ≥ ,(d> 0) a+b b+c c +d d+ a HD a)áp dụng bất đẳng thức Cô-si: x+ y ≥ √ xy , x , y ≥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: a2 b+ c a2 b+ c a a2 b+c + ≥2 =2 =a⇒ ≥a− ; b+ c b+ c b+ c b2 c +a b2 c+ a b b2 c +a + ≥2 =2 =b ⇒ ≥b− ;; c+ a c+ a c+ a 2 c a+b c a+b c c a+b + ≥2 =2 =c ⇒ ≥c − a+b a+b a+b 2 a b c b+ c c +a a+b Cộng vế với vế ta đợc: + + ≥ a+b+ c − − − b+c c +a a+b 4 2 2 a b c a+ b+c a+b+ c vËy a b c2 a+ b+c + + ≥ a+b+ c − = + + ≥ b+c c +a a+b 2 b+c c +a a+b b)T¬ng tù c©u a) ta cã: a2 a+b a2 a+b a a2 a+b + ≥2 =2 =a ⇒ ≥a − ; a+b a+b a+b b2 b+c b2 b+c b b2 b+ c + ≥2 =2 =b ⇒ ≥b − ; b+ c b+ c b+ c √ √ √ √ √ √ c c +a c c+ a c c2 c+ a + ≥2 =2 =c ⇒ ≥c − ; c+ a c+ a c+ a a2 b2 c2 b+ c c +a a+b Cộng vế với vế ta đợc: + + ≥ a+b+ c − − − a+b b+c c + a 4 2 2 a b c a+ b+c a+b+ c vËy a b c a+ b+c + + ≥ a+b+ c − = + + ≥ a+b b+c c + a 2 a+b b+c c + a ) (17) c) Lµm t¬ng tù c©u a, b Bµi tËp 11 ( Sö dông B§T C«-Si) Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức: a b c + + >2 b+ c a+c a+ b HD áp dụng bất đẳng thức Cô-si: x+ y ≥ √ xy , x , y ≥ ta có: b+ c b+ c a+ b+c a 2a ≤ +1 :2= ⇒ ≥ a a 2a b+ c a+b +c b 2b c 2c T¬ng tù ta cã: , cộng vế với vế ta đợc: ≥ ; ≥ a+ c a+ b+c a+b a+ b+c 2(a+b+ c) a b c 2a 2b 2c + + ≥ + + = =2 b+ c a+c a+ b a+b+ c a+b+ c a+b+ c a+b+ c a=b+c Dấu (=) xảy và khi: b=a+c ⇒ a+b +c=0 , trái với giả thiết a,b,c là ba số dơng.Vậy đẳng thức c=a+ b √ √ √ √ ( ) √ √ √ √ √ √ { kh«ng x¶y ra.VËy a b c + + >2 b+ c a+c a+ b √ √ √ Bµi tËp 12 ( Sö dông B§T C«-Si) Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác.Chứng minh rằng: a) ab+ bc+ ca ≤ a2 +b2 +c <2(ab + bc+ca) ; b) abc>(a+ b −c )(a+ c −b)(b+c −a) ; a b c c) + + <2 ; b+c c +a a+b d) a2 b2 +2 b2 c2 +2 c a2 −(a +b +c )>0 ; 3 a −b ¿ + abc ≥a + b +c c − a¿ + c ¿ e) ; b − c ¿ +b ¿ a¿ f) a b(a −b)+b2 c (b − c)+c a( c − a)≥ ; g) a3 +b 3+ c 3+ abc ≥ a(b 2+ c 2)+b(c 2+ a2)+ c(a2 +b2 )>a3 +b 3+ c 3+2 ab HD a) * a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ca ⇔ a2 +2 b2 +2 c ≥ ab+2 bc+ 2ca c−a¿ ≥0 c −a ¿ ≥ b − c ¿ +¿ v× b − c ¿ ≥ ; ¿ víi mäi a,b,c a −b ¿ + ¿ a −b ¿ ≥ ; ¿ ⇔¿ ¿ * a2 +b 2+ c 2<2(ab+ bc+ca ); Ta cã: a+b − c >0 ⇒c (a+ b −c )>0 ⇒ ac+ bc >c b+c −a> 0⇒ a( b+c − a)>0 ⇒ab+ ac> a2 a+b − c >0 ⇒b (c+ a −b)>0 ⇒ bc+ ab>b Cộng vế với vế ta đợc: a2 +b 2+ c 2<2( ab+ bc+ca ) Bài tập 13 ( Bài tập dùng định nghĩa) HD 1) Cho abc = vµ a2 +¿ b2+c2> ab+bc+ac a3 >36 Chøng minh r»ng (18) 2 2 a a a a +¿ b2+c2- ab- bc – ac = +¿ +¿ b2+c2- ab- bc – ac = ( +¿ b2+c23 12 3 a a ab– ac+ 2bc) + a − 3bc =( -b- c)2 + a − 36 abc =( -b- c)2 + a − 36 abc >0 (v× abc=1 2 12 12 a 12 a vµ a3 > 36 nªn a >0 ) VËy : a +¿ b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 2) Chøng minh r»ng a) x + y + z +1 ≥2 x ( xy − x + z +1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã a2 +5 b2 − ab+2 a − b+3>0 2 c) a +2 b −2 ab+2 a − b+2 ≥ Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x + y + z +1 −2 x y 2+ x − xz − x = ( x − y 2) 2+ ( x − z )2 + ( x −1 )2 H ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −2 b+1 )2 + ( b − )2+1 ⇒ H > ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −b +1 )2+ ( b −1 )2 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ⇒ H Ta cã hiÖu: Bài tập 14 ( Bài tập dùng biến đổi tơng đơng) ( x2 + y ) HD 1) Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng ≥8 (x− y) Gi¶i : 2 2 Ta cã x + y =( x − y ) +2 xy =( x − y ) +2 Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với ⇔ chøng minh ( x − y )4 −4 ( x − y )2 + ≥ ⇔ (v× xy = 1) ⇒ ( x 2+ y 2) =( x − y )4 +4 ( x − y )2 +4 ( x − y )4 +4 ( x − y )2 + ≥ ( x − y )2 [ ( x − y )2 − ] ≥ BĐT cuối đúng nên ta có điều phải 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y 1+ xy 1 1 1 − + − ≥0 + ≥ Gi¶i : Ta cã ⇔ 2 2 1+ xy 1+ xy 1+ x 1+ y 1+ y 1+ x 1+ y 2 x(y −x) y(x− y) xy − x xy − y + ≥0 + ≥0 ⇔ ⇔ 2 ( 1+ x ) (1+ xy ) ( 1+ y ) ( 1+ xy ) ( 1+ x ) (1+ xy ) ( 1+ y ) ( 1+ xy ) ( y − x )2 ( xy −1 ) ≥ BĐT cuối này đúng xy > Vậy ta có điều phải chứng minh ⇔ ( 1+ x ) ( 1+ y 2) ( 1+xy ) 2) Cho xy Chøng minh r»ng: ( )( ) Bài tập 15 ( Bài tập dùng bất đẳng thức phụ ) HD 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b + c = 1Chøng minh r»ng 2 a +b + c ≥ Gi¶i ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã ( a+1 b+1 c )2 ≤ ( 1+1+1 ) ( a2 +b2 +c ) ⇔ ( a+b +c )2 ≤ ( a2 +b2 +c ) (v× a+b+c =1 ) (®pcm) a2 +b 2+ c ≥ ⇔ 1 2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng : Chøng minh r»ng ( a+b +c ) + + ≥ (1) a b c a a b b c c a b a c b c Gi¶i : (1) ⇔ 1+ + + +1+ + + +1≥ ⇔ 3+ + + + + + ≥ b c a c a a b a c a c b x y ¸p dông B§T phô Với x,y > Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng + ≥2 y x 1 VËy ( a+b +c ) + + ≥ (®pcm) a b c ( ( ( ) ) )( )( ) (19) Bµi tËp 16 ( Bµi tËp dïng Ph¬ng ph¸p b¾c cÇu) HD 1) Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng : a3 +2 b3 +2 c 3<3+ a2 b+b c +c a Gi¶i Do a <1 ⇒ a2 <1 vµ b <1, nªn ( 1− a2 ) ( 1− b2 ) >0 ⇒1+ a2 b − a2 −b> 3 hay 1+a2 b> a2+ b (1) MÆt kh¸c <a,b <1 ⇒ ; a >a b>b ⇒ 1+a2 >a 3+ b3 VËy a3 +b 3< 1+ a2 b 3 3 2 T¬ng tù ta cã b3 +c <1+b2 c (®pcm) ⇒ a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a a +c <1+c a 2) So s¸nh 31 ❑11 vµ 17 ❑14 11 11 3211 25 255 256 256 2 4.14 24 Gi¶i :Ta thÊy 31 < , MÆt kh¸c VËy 31 ❑11 < 17 ❑14 (®pcm) 14 1614 1714 Bµi tËp 17 ( Bµi tËp dïng tÝnh chÊt tØ sè) 2 a b b c cd d a 3 a b c b c d c d a d a b HD 1) Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng Gi¶i :V× a ,b ,c ,d > nªn ta cã: a b a b a b d b c bc bc a a b c d a b c a b c d (1) a b c d b c d a b c d (2) d a d a d a c a b c d d a b a b c d (3 Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có : a b b c cd d a 2 3 a b c b c d c d a d a b (®pcm) a b c 2 b c c a a b 2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c, Chøng minh r»ng Gi¶i :V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > 0, Vµ a < b +c ; b <a+c ; c < a+b a a a 2a a a b c a b c a b c MÆt kh¸c b c a b c Tõ (1) a a 2a b b 2b VËy ta cã a b c b c a b c T¬ng tù ta cã a b c a c a b c c c 2c a b c b a a b c Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có : a b c 1 2 b c c a a b (®pcm) 1 Bµi tËp 18 ( Bµi tËp ¸p dông ph¬ng ph¸p lµm tréi) HD 1) Chøng minh B§T sau : 1 1 (2n 1).(2n 1) ; a) 1.3 3.5 1 1 2 1.2 1.2.3 1.2.3 n b) k (2 k 1) 1 1 1 2n 1 2n 1 (2k 1).(2k 1) 2k 2k 1 Gi¶i : a) Ta cã Cho n chạy từ đến k Sau đó cộng lại ta có 1 1 1.3 3.5 (2n 1).(2 n 1) n 1 (®pcm) (20) 1 1 1 1 1 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 n b) Ta cã 1 1 1 1 2 2 n 2 3 n n < (®pcm) Bài tập 19 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị) HD dùng bất đẳng thức để tìm cc trị Lu ý - NÕu f(x) A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A - NÕu f(x) B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i :Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = x x x x x x 1 Vµ VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y x 4 (2) DÊu b»ng x¶y x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x 3 (1) (2) VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > vµ x+y+z =1 1 xyz xyz 3 xyz 27 Gi¶i : V× x,y,z > ,¸p dông B§T C«si ta cã x+ y + z 3 x y y z z x áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 8 DÊu b»ng x¶y x=y=z= , VËy S 27 27 729 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 729 x=y=z= 4 VÝ dô : Cho xy+yz+zx = 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z Gi¶i : ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z) xy yz zx Ta cã x2 y2 z2 2 x2 y z (1) Ap dông B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) ( x y z )2 (12 12 12 )( x y z ) Ta cã ( x y z ) 3( x y z ) 4 Tõ (1) vµ (2) 3( x y z ) x4 y z 3 VËy x y z cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x=y=z= VÝ dô :Trong tam gi¸c vu«ng cã cïng c¹nh huyÒn , tam gi¸c vu«ng nµo cã diÖn tÝch lín nhÊt Gi¶i : Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a §êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h H×nh chiÕu c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn c¹nh huyÒn lµ x x y h a.h a h a xy Ta cã S = Vì a không đổi mà x+y = 2a x y VËy S lín nhÊt x.y lín nhÊt VËy c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín nhÊt 4 (21) Bài tập 20 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để giải PT, HPT 2 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau x x 19 x 10 x 14 4 x x 2 Gi¶i :Ta cã 3x x 19 3.( x x 1) 16 3.( x 1) 16 16 x 10 x 14 5 x 1 9 2 VËy x x 19 x 10 x 14 2 5 DÊu ( = ) x¶y x+1 = x = -1 2 VËy x x 19 x 10 x 14 4 x x VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = -1 x = -1 2 VÝ dô :Gi¶i ph¬ng tr×nh x x 4 y y Gi¶i :¸p dông B§T BunhiaCèpski ta cã : x x 12 12 x x 2 2 y y y 1 2 DÊu (=) x¶y x = , MÆt kh¸c , DÊu (=) x¶y y = - x 1 1 y 2 VËy x x 4 y y 2 x =1 vµ y =- , VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 2 x y z 1 4 VÝ dô :Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x y z xyz Gi¶i : ¸p dông B§T C«si ta cã x4 y y z z x4 x4 y4 z4 2 2 2 2 x y y z z x x2 y y z z y2 z z x2 z y x2 2 2 2 y xz z xy x yz xyz.( x y z ) V× x+y+z = 1, Nªn x y z xyz , DÊu (=) x¶y x = y = z = x y z 1 4 VËy x y z xyz cã nghiÖm x = y = z = 4 xy 8 y xy 2 x VÝ dô : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau Tõ ph¬ng tr×nh (1) y 0 hay y (1) (2) (22) x 2 x 22 0 (x 2) 0 x 2 x x y 2 x x Tõ ph¬ng tr×nh (2) NÕu x = th× y = 2 NÕu x = - th× y = -2 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x y vµ x 2 y 2 Bài tập 20 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên 2 1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x y z xy y z 2 Gi¶i :V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn x y z xy y z x y z xy y z 0 y2 3y x xy y z z 0 2 2 y y 2 y y x 1 z 1 0 x 1 z 1 0 2 2 2 2 (*) Mµ x 1 2 y 2 y y x 1 z 1 0 z 1 2 2 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ 1 2 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x y z x, y R 1 z 3 x y z z Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x y z Ta cã 1 1 Mà z nguyên dơng z = 1, Thay z = vào phơng trình ta đợc x y 1 y y 2 mµ y nguyªn d¬ng Theo gi¶ sö x y nªn = x y Nªn y = hoÆc y = Víi y = kh«ng thÝch hîp Víi y = ta cã x = VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm phơng trình là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) VÝ dô : T×m c¸c cÆp sè nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x x y (*) Gi¶i : (*) Víi x < , y < th× ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghÜa (*) Víi x > , y > Ta cã x x y x y2 x k k k 1 k 1 k y k 1 §Æt x k (k nguyªn d¬ng v× x nguyªn d¬ng Ta cãNhng Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn d¬ng nµo c¶ Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d¬ng nµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (23) x 0 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt lµ : y 0 Bµi tËp 21 CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2 ( B§T Bunhiac«pxki cho bé sè a, b, c vµ x, y, z) Gi¶I XÐt hiÖu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2 =a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-2abxy-2acxz-2bcyz =(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2) =(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ a b c DÊu “=” x¶y = = x y z B»ng c¸ch lµm t¬ng tù ta cã thÓ ph¸t triÓn bµi to¸n B§T Bunhiac«pxki tæng qu¸t: (a21 + a22 +…+ a2n)(x21 + x22 +…+ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 +…+ anxn )2 a1 a2 an DÊu “=” x¶y = = = x1 x2 xn Để ý a và x là số nghịch đảo thì ax = (x = ) a Từ bài toán ta có thể đặt bài toán: 1 Bµi tËp 22 Cho ba sè a, b, c lµ sè d¬ng Chøng minh r»ng: (a + b + c)( + + )≥9 a b c Gi¶I Theo bµi to¸n (B§T Bunhiac«pxki): (a + b + c)( 1 1 1 +√ b + √c ) (a + b + c)( + + ) ≥ (√ a a b c √a √b √c 1 + + )≥ a b c 32 = Dấu “=” xảy a = b = c.Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)( 1 + + )≥ x y z 1 + + )≥ a+b b+c c+ a a b c + + ≥ b+c a+c b+a Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta đợc BĐT: 2(a + b + c)( ( a b c + + +3) ≥ b+c a+c b+a (24)