T×m ®iÓm M thuéc d sao cho đạt giá trị nhá nhÊt Bµi 46 đ Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp... 1 Gọi A’ là điểm sao cho AA’ là đờng[r]
(1)Së gd-®t BÁC GIANG trêng thpt CHUYÊN §Ò thi chän häc sinh giái líp 10 M«n To¸n NĂM HỌC 2011-2012 Thời gian làm bài:180 phót (kh«ng kể thời gian giao ®ề) Bµi1(8®) x (x +1)(x + 2)(x + 3) = 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi 2(3®) 16 x + y + xy = 2 x y + xy = x + 3xy - y 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P = x + xy + y Bµi 3(2®) Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đờng thẳng d : uuu r uuur uuur MA + 2MB - 3MC x – 2y – = T×m ®iÓm M thuéc d cho đạt giá trị nhá nhÊt Bµi 4(6 đ) Cho tam giác ABC có góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA 2) Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C Bµi 5(1 ®) a b c + + ³ b + c a + c b + a Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng: HÕt _ (2) C©u Câu 1: NỘI DUNG x (x + 1)(x + 2)(x + 3) = ĐIỂM 16 (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: * §Æt t = x(x+3) (1) trë thµnh t(t+2) =9/16 é ê=t ê ê ê êt = ë 9 * víi t = ta cã x(x+3) = - x2 + 3x + = 0 x = - é -3 + 10 êx = ê ê ê -3 - 10 1 êx = ê * víi t = ta cã x(x+3) = x2 + 3x - = 0 ë é êx =ê ê ê - + 10 êx = ê ê ê + 10 êx =2 ë * VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ê 1 1 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x + y + xy = 2 x y + xy = (2) (2) ìïï ( x + y) + xy = í ïïî xy(x+y) = đặt S = x+ y; P = xy ìïï S + P = í ïïî SP = Ta đợc hệ Khi đó S, P là nghiệm Phơng trình t2 - 4t + = ìïï S =1 ìïï S = í í ïïî P = ï P =1 hoÆc ïî ïìï S =1 í ï P =3 * ïî x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh u2 – u + = (3) Ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm ìïï S = í ï P =1 * ïî x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh u2 – 3u + = ìï ìï ïï x = + ïï x = - ïï ïï 2 í í ïï ïï 3- 3+ ïï y = ïï y = 2 ïî hoÆc ïî V©y hÖ cã nghiÖm ìï ïï x = + ïï í ïï 3- ïï y = ïî vµ ìï ïï x = - ïï í ïï 3+ ïï y = ïî x + 3xy - y 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P = x + xy + y C©u * y = th× P = 1 t + 3t - * y th× P = t + t +1 víi t = x/y gäi P lµ mét gi¸ trÞ bÊt kú cña nã đó phơng trình sau ẩn t phải có nghiệm P(t2 +t +1) = t2 + 3t - 1(1- P)t2 + (3 -P)t – (1+ P ) = cã nghiÖm hay éP =1 ê êΔ = (3 - P) + 4(1 - P ) ³ (*) ë (*) -3P2 – 6P +13 - (1+ ) P - 1 0,5 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = C©u VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = - (1+ ) Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đờng thẳng d : x – 2y – = T×m ®iÓm M thuéc d cho uuu r uuur uuur MA + 2MB - 3MC Q= đạt giá trị nhỏ uuu r uuur uuur MA + MB MC Gọi M(2y+3 ; y) d Khi đó = (2y – ; y+21) uuu r uuur uuur 2 MA + 2MB - 3MC = (2 y - 5) + ( y + 21) = y + 22 y + 466 Q đạt giá trị nhỏ y = 11 (4) 11 VËy M( ; ) Cho tam giác ABC có góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA 2) Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C - C©u4 A O H B D C A' 1) Gọi A’ là điểm cho AA’ là đờng kính dễ có BHCA’ là hình bình hành Do đó AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA 2) 1 cos A + cos B + cos C = (cos A + cos B + cos B + cos C + cos C + cos A) C A- B A B- C B C- A = sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 A- B cos £1 Ta cã v× C nhän nªn C C A- B C 00 < < 600 Þ 2cos >1 Þ cos < 2cos 2 2 B- C A cos < 2cos 2 C- A B cos < 2cos 2 T¬ng tù ta cã VËy cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C (5) C©u5 Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng: a b c + + ³ b+c a+c b+a a a 2a = ³ b +c a (b + c) a + b + c b b 2b = ³ a +c b( a + c) a + b + c c c 2c = ³ b +a c(b + a) a + b + c ] Cộng bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh (6)