( toán trung học phổ thông)( góc trong không gian (câu hỏi và đáp án) )

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 HHKG - GĨC TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+ Dạng Góc đường thẳng với đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng d1 , d không gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm d1 hai đường thẳng) d'1 O d'2 d2 Từ O dựng đường thẳng d1' , d 2' song song ( tròng O nằm hai đường thẳng) với d1 d Góc hai đường thẳng d1' , d 2' góc hai đường thẳng d1 , d Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí côsin tam giác b2  c2  a2 cos A  2bc   Cách Tìm hai vec tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1 , d   u1.u2 Khi góc hai đường thẳng d1 , d xác định cos  d1 , d     u1 u2       Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a, b, c khơng đồng phẳng mà tính độ dài góc      chúng,sau biểu thị vec tơ u1 , u2 qua vec tơ a, b, c thực tính toán Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA  OB  OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng OM AB A 450 Câu C 300 D 600 ABCD (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện với   DAB   600 , CD  AD Gọi  góc hai đường thẳng AB CD Chọn AC  AD, CAB khẳng định góc  A cos   Câu B 900 B 300 C 600 D cos   (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D , biết đáy ABCD hình vng Tính góc AC BD Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 90 B 30 C 60 D 45 Câu (Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết MN  a , góc hai đường thẳng AB CD A 450 B 900 C 600 D 300 Câu (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD ABC D ; gọi M trung điểm B C  Góc hai đường thẳng AM BC  A 45 B 90 C 30 D 60 Câu (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho hình chóp S ABC có độ dài SA  SB  SC  AB  AC  a BC  a Góc hai đường thẳng AB SC là? A 45 B 90 C 60 D 30 Câu (Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  a AA  a Góc hai đường thẳng AB BC  A 60 Câu B 45 C 90 cạnh D 30 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a ,  ABC  45 Tính góc hai đường thẳng AB DC A 60 B 120 C 90 D 30 (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Cho hình lập phương ABCD ABCD Gọi M , N trung điểm AD , BB Cosin góc hợp MN AC ' A B C D 3 Câu 10 (Cụm Trường Chun - ĐBSH - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a , BC  a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 600 Tính cosin góc hai đường thẳng SB AC 2 2 A B C D 35 Câu Câu 11 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng MN BD A 90 B 60 C 45 D 75 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm AD SD Số đo góc hai đường thẳng MN SC A 45 B 60 C 30 D 90 Câu 13 (Sở Quảng Nam - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng A , AB  a , AC  a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H Câu 12 BC , AH  a Gọi  góc hai đường thẳng AB BC Tính cos  A cos   Câu 14 B cos   C cos   D cos   (Sở Yên Bái - 2018) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Tính giá trị cos  AB, DM  A B C D Câu 15 (Sở Nam Định - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh a , tam giác ABC nằm mặt phẳng vng góc với  ABC  M trung điểm cạnh CC  Tính cosin góc  hai đường thẳng AA BM 22 33 11 22 A cos  B cos  C cos  D cos  11 11 11 11 Câu 16 (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC MNP có tất cạnh Gọi I trung điểm cạnh AC Cơsin góc hai đường thẳng NC BI 15 10 A B C D Câu 17 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  A Câu 18 B C D (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng Cho tam giác SAB vng S góc SBA 300 Mặt phẳng  SAB  vng góc mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm AB, BC Tìm cosin góc tạo hai đường thẳng  SM , DN  A B C D Dạng Góc đường thẳng với mặt phẳng Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc d hình chiếu mặt phẳng (P) Gọi  góc d mặt phẳng (P) 0    90 Đầu tiên tìm giao điểm d (P) gọi điểm A Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vng góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P)  Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó q ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)), ta sử dụng cơng thức sau Gọi  góc d (P) suy ra: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 sin   d  M ,  P  AM Ta phải chọn điểm M d, mà tính khoảng cách đến mặt phẳng (P) Cịn A giao điểm d mặt phẳng (P) Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Góc SC mặt phẳng (ABCD ) A 450 Câu B 600 C 300 D 900 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  a 2, tam giác ABC vuông cân B AC  2a (minh họa nhứ hình bên) Góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABC  A 30 Câu B 45 C 60  D 90  (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB  a , BC  2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  15a (tham khảo hình bên) S C A B Câu Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy A 45 B 30 C 60 D 90 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B , AB  3a, BC  3a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a (tham khảo hình vẽ) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy A 60 B 450 C 300 Câu D 900 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB  a, BC  3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  30a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SC mặt đáy A 45 B 90 C 60 D 30 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , AB  a ; BC  a ; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc đường thẳng SC đáy A 900 B 450 C 600 D 300 Câu (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  BC  a, AA  6a (tham khảo hình dưới) Góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABCD  bằng: Câu A 60 B 90 C 30 D 45 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a , AD  2a , AA '  3a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng A ' C mặt phẳng  ABCD  A 45 B 90 C 60 D 30 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD , có AB  AA  a , AD  a (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABCD  A 30 B 45 C 90 Câu 10 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp AB  a, AD  3a, AA  3a (tham khảo hình vẽ) chữ D 60 nhật ABCD A BC  D có Góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABCD  A 45 B 30 C 60 D 90 Câu 11 (Mã 103 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C , AC  a , BC  2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 60 B 90 C 30 D 45 Câu 12 (Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam giác ABC vuông B , AB  a BC  3a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  A 30 Câu 13 B 60 C 45 D 90 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho khối chóp S ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông B , AC  2a , BC  a , SB  2a Tính góc SA mặt phẳng  SBC  A 45 Câu 14 B 30 C 60 D 90 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vng 1và B AB  BC  a, AD  2a Biết SA vng góc với đáy ( ABCD ) SA  a Gọi M , N trung điểm SB, CD Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SAC ) A 5 B 55 10 C 10 D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 15 (Mã 102 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy A 45 B 60 C 30 D 90 Câu 16 (Mã 101 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SB  2a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 45 B 60 C 90 D 30 Câu 17 (Mã 101 - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam giác ABC vuông B, AB  a BC  a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  bằng: A 450 Câu 18 C 600 D 900 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng  ABCD A Câu 19 B 300 2 B 3 C D (Mã 104 - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam giác ABC vuông cân B AB  a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  A 30o Câu 20 B 90o C 60o D 45o (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh 2a Gọi M trung điểm SD Tính tan góc đường thẳng BM mặt phẳng  ABCD  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A B C D Câu 21 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a a Tính góc SC  ABCD  SA   ABCD  Biết SA  A 30 B 60 C 75 D 45 Câu 22 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA  a Gọi  góc SD  SAC  Giá trị sin  A Câu 23 B C D (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác cạnh a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 , gọi M trung điểm BC Gọi  góc đường thẳng SM mặt phẳng  ABC  Tính cos  A cos   Câu 24 B cos   3 10 C cos   D cos   10 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB  a , O trung điểm AC SO  b Gọi    đường thẳng qua C ,    chứa mặt phẳng a 14 Giá trị lượng giác cos   SA ,     2a 2a a a A B C D 4b  a a  4b a  4b 4b  a Câu 25 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Cosin góc đường thẳng SD mặt phẳng  SBC   ABCD  A Câu 26 khoảng cách từ O đến    13 B C 5 D (Sở Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C , CH vng góc với ASB  90 AB H , I trung điểm đoạn HC Biết SI vng góc với mặt phẳng đáy,  Gọi O trung điểm đoạn AB , O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI Góc tạo đường thẳng OO mặt phẳng  ABC  B 30 A 60 Câu 27 C 90 D 45 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a  ABC  60 Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm tam giác ABC , gọi  góc đường thẳng SB mặt phẳng  SCD  , tính sin  biết SB  a A sin   Câu 28 B sin   C sin   D sin   (Sở Bình Phước - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA   ABCD  , SA  x Xác định x để hai mặt phẳng  SBC   SCD  hợp với góc 60 A x  2a B x  a C x  3a D x  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 29 (Sở Lào Cai - 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B , cạnh bên SA vuông   600 SA  a Góc đường thẳng SB mặt phẳng góc với mặt đáy, AB  2a , BAC ( SAC ) A 450 B 600 C 300 D 900 Câu 30 (Chun Hạ Long - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a Gọi M , N hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB , SD Góc mặt phẳng  AMN  đường thẳng SB A 45o B 90o C 120o D 60o Câu 31 (Sở Bắc Giang - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , BC  a , SA  a SA vng góc với đáy ABCD Tính sin  , với  góc tạo đường thẳng BD mặt phẳng  SBC  A sin   Câu 32 B sin   2 C sin   D sin   (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B , cạnh bên SA   600 SA  a Góc đường thẳng SB vng góc với mặt phẳng đáy, AB  2a , BAC mặt phẳng  SAC  A 300 Câu 33 B 450 C 600 D 900 (Chun Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN  ABCD  600 , cosin góc MN mặt phẳng  SBD  bằng: A Câu 34 41 41 B C D 41 41 (Chuyên Vinh -2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB  2a , BC  a ,  ABC  120 Cạnh bên SD  a SD vng góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên) Tính sin góc tạo SB mặt phẳng  SAC  S C D A A Câu 35 B B C D (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a , tứ giác ABCD hình vng, BD  a (minh họa hình bên) Góc đường thẳng SB mặt phẳng  SAD  A 0 B 30 C 45 D 60 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 36 (Chun Thái Bình - 2020) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng tâm O , cạnh a Gọi M , N trung điểm SA BC Góc đường thẳng MN mặt phẳng  ABCD  60 Tính cos góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  A Câu 37 41 B C D 41 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN  ABCD  60 , cơsin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  bằng: A Câu 38 B 41 41 C D 41 41 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có AB  AC  a, BAC  120 Gọi M , N trung điểm BC  CC  Biết thể tích khối lăng trụ ABC ABC  3a3 Gọi  góc mặt phẳng  AMN  mặt phẳng  ABC  Khi A cos   Câu 39 B cos   C cos   13 D cos   (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Tam giác SAB cân S  SAB    ABCD  Biết thể tích khối chóp 4a Gọi  góc SC  ABCD  Tính tan  5 A tan   B tan   C tan   5 S ABCD Câu 40 D tan   (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho tứ diện SABC cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB, SC Tính tan góc đường thẳng MN mặt phẳng  ABC  A B C D Dạng Góc mặt với mặt Để tìm góc hai mặt phẳng, tìm giao tuyến hai mặt phẳng Sau tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vừa tìm Những trường hợp đặc biệt đề hay ra: Trường hợp 1: Hai tam giác cân ACD BCD có chung cạnh đáy CD Gọi H trung điểm CD, góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc  AHB Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  SBC  Câu 13   có vtpt n   2;0;1 ,  SAB  có vtpt m  0; 2; 1  cos       1  3 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có AB  AC  a , góc   120 , AA  a Gọi M , N trung điểm BC  CC  Số đo góc mặt BAC phẳng  AMN  mặt phẳng  ABC  A 60 B 30 C arcsin D arccos Lời giải Gọi H trung điểm BC , BC  a , AH  a  a   a  a  ;  , C  0;  ;0  , Chọn hệ trục tọa độ H  0;0;0  , A  ;0;0  , B  0; 2 2       a a M  0;0; a  , N  0;  ;  Gọi  góc mặt phẳng  AMN  mặt phẳng  ABC  2    AMN  có vtpt  1     ; ; n   AM , AN      4    n.HM     ABC  có vtpt HM   0;0;1 , từ cos    n HM 1.1 Câu 14 (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  2a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SBC  A B 2 Lời giải C D Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn hệ trục tọa độ chuẩn hóa cho a  cho A  0; 0;0  , B  0;1;  , D 1; 0;0  , S  0; 0;  1  Ta có M trung điểm SD  M  ;0;1 , C 1;1;  2        1    AM   ;0;1 , AC  1;1;0  ,  AM , AC    1;1;    AMC  có vtpt n   2; 2;1 2 2        SB   0;1; 2  , SC  1;1; 2  ,  SB, SC    0; 2;1   SBC  có vtpt k   0; 2;1  n.k Gọi  góc hai mặt phẳng  AMC   SBC  cos      n.n Do tan   nên tan   Câu 15 (Sở Thanh Hóa 1  cos  2018) Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  BD  a , CD  x ,  ACD    BCD  Tìm giá trị x để  ABC    ABD  ? A x  a B x  a C x  a D x  a Lời giải : Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  AE  CD Gọi E ; F trung điểm CD AB   (Tính chất tứ diện đều)  BE  CD   90 Đồng thời  BCD    ACD   CD   BCD  ,  ACD   BEA   CF  AB   AB   CFD     Ta có  ABC  ,  ABD     CF , FD  DF  AB     trung tuyến FE tam giác CFD , FD  90  CFD Vậy để  ABC    ABD  CF   nửa cạnh huyền  FE  CD Ta có EAB vng cân E  EF  Vậy x  Câu 16 AE  AC  CE  a2  x2 a2  x2 a  x2 a2  x2   x2   xa 3 (Chun Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC , SD (tham khảo hình vẽ bên) Tính cơsin góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  A 39 39 B C 39 13 D 13 13 Lời giải Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi  3  a  a  a   a  S  0;0;  ; A  ;0;0  ; B  ; 0;0  ; C  ; a;0  ; D  ; a;0     2  2      a a a 3  a a a 3 a 3 suy G  0;0;  ; M  ; ;  ; N   ; ;    4   4   Ta có mặt phẳng  ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0;0;1 , mặt phẳng  GMN  có vectơ pháp a a     ;  tuyến n  GM ; GN    0;  24   Gọi  góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  , ta có  n.k 39 cos      13 39 n.k 24 Câu 17 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hình lập phương ABCD AB C D  có cạnh a Số đo góc  BAC   DAC  : A 90 B 60 C 30 Lời giải D 45 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có:  BAC    DAC   AC Kẻ BI  AC Do BAC  DAC nên DI  AC  BAC  ,  DAC    BI , DI Do đó:      Tam giác BID có BD  a , BI  DI  a BI  DI  BD      BI , DI  120 cos BI , DI  2.BI DI BAC  ,  DAC    60 Vậy     Câu 18    (Chun Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , AB  AD  2a , CD  a Gọi I trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng  SBI  ,  SCI  vng góc với đáy thể tích khối chóp S ABCD hai mặt phẳng  SBC  ,  ABCD  A 30 B 36 C 45 Lời giải D 60 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 15a Tính góc TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Diện tích hình thang S ABCD Độ dài đường cao SI  1  AD  AB  CD   2a.3a  3a , CB  AC  a 2 3VS ABCD  S ABCD 3 15a 3 15a  3a Vẽ IH  CB H  BC   SIH   BC  SH   , SH  SHI SBC  ,  ABCD   IH Ta có      S ICB  S ABCD  S IDC  S AIB  3a  3a a2 3a  IH CB  3a  IH   a2  2 3a 15 SI    60 tan SHI    SHI IH 3a 5 Câu 19 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có AA  AB  AC    1200 Gọi I trung điểm cạnh CC  Côsin góc hai mặt phẳng  ABC   ABI  BAC A 370 20 B 70 10 30 20 Lời giải C D 30 10 Chọn D Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABI  AB  , AI  BC  AB  AC  AB AC.cos A   BC  BC   13 Vì AB 2  AI  BI  AB I vuông điểm A BI  BC 2  C I  10 S ABI  AI AB  AB AC sin A  4 Hình chiếu vng góc ABI lên mặt phẳng  ABC  ABC S ABC  Ta có S ABC  S ABI cos   cos   S ABC 30  S ABI 10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 20 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , độ dài cạnh AC  a , tam giác SAB, SCB vuông A C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) a Giá trị cosin góc hai mặt phẳng ( SAB) (SCB) A 2 B Lời giải C D Chọn C + Gọi O, I trung điểm AC , SB có O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác SAB, SCB vng A C nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC OI  ( ABC ) + Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) ta có SD / / OI SD  2OI suy O trung điểm BD Từ ta có ABCD hình vng cạnh 2a  a SD  a + Gọi H , K hình chiếu D lên SC , SA ta có SD  ( ABCD)  SD  BC đồng thời ABCD hình vng nên BC  DC từ hai ý ta có BC  ( SCD)  BC  DH , từ suy DH  ( SCB) Chứng minh tương tự ta có DK  ( SAB) + Vì góc hai mặt phẳng ( SCB) ( SAB) góc hai đường thẳng DK DH + Xét tam giác vuông SAD, SCD ta có hai đường cao DK  DH  + Trong tam giác SAC ta có  cos HDK Câu 21 a HK SH SD 2a , tam giác DHK có     HK  AC SC SC 3 DH  KD  KH 2  DH KD (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a,  ABC  1200 , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  600 , A SA  a B SA  a C SA  a D SA  Lời giải Chọn A Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi O giao điểm AC , BD Gọi H hình chiếu vng góc O SC Khi SC   HBD  SC  BD, SC  OH Vậy góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  góc hai đường thẳng HB, HD Vì SCD  SBC  HB  HD Đặt SA  x  x   Ta có cos600  HB  HD  BD 2 HB.HD  HB  BD   HB  HB  BD   BD 2 HB   Ta có CHO  CSA  OH CS  CO.SA 1 Trong tam giác ABC ta có AC  a 3, OB  a  BD  a TH1 : HB  BD  a  OH  HB  OB  a Thay vào (1) ta có x  x  3a (vô nghiệm) TH2 : HB  BD a a   OH  HB  OB  3 Thay vào (1) ta có Câu 22 a2 3a 2 a x  3a  x x 12 4   (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác cân đỉnh A   ABC  30o , cạnh bên AA  a Gọi M điểm thỏa mãn 2CM  3CC  Gọi Biết BC  a   góc tạo hai mặt phẳng  ABC   ABM  , sin  có giá trị A 66 22 B 481 22 C 22 D 418 22 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Cách 1: Gọi O trung điểm BC o Ta có: BO  AB.cos30  AB  BO a a   a  AC AO  AB.sin30o  o cos30 2 Theo đề bài:          a 2CM  3CC   CM  CC   CC  C M  CC   C M  CC  CM  2 2 Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABM  Theo cơng thức diện tích hình chiếu ta có: SABC  SABC cos  cos  SABC SABC 1 a a2 Ta có SABC  AH BC  a  ; AB  AB  BB2  a  a  a ; 2 a BM  CM  BC 2     a 2   2  a 13 a 13  3a  ; AM  AC  CM  a     2   a 13 a 13 a 2  AB  BM  AM 2  a  a 13  Khi p  2 Áp dụng cơng thức Hê-rơng vào ABM ta có: SABM  p  p  AB  p  BM  p  AM   Vậy cos  SABC SABC a 22 a2 3 19 418  24   sin   cos 2   22 22 22 a 22 Cách 2: Gọi O trung điểm BC o Ta có: BO  AB.cos30  AB  BO a a   a  AC AO  AB.sin30o  o cos30 2 Theo đề bài:          a 2CM  3CC   CM  CC   CC  C M  CC   C M  CC  CM  2 2 Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Coi a        ;0;0  , C   ;0;0  , Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O  0;0;0  , A  0; ;0  , B           3 B  ;0;1 , M   ;0;  2     Khi  ABC    Oxy  : z    ABC  có véc-tơ pháp tuyến k   0;0;1         3 ;  ;1 , AM    ;  ;   n ABM    AB, AM   1;5 3; Ta có: AB    2     Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABM    k.n ABM  3 19 418   sin   cos2   Vậy cos     22 22 22 k n ABM  1.2 22 Câu 23 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA a vng góc với mặt phẳng  ABC  SA  Góc mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABC  A 45 B 90 C 30 D 60 Lời giải Chọn C Gọi I trung điểm BC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có AI  BC (tam giác ABC đều) (1) Lại có SA  BC  SA   ABC   Suy BC   SAI   BC  SI (2) BC   SBC    ABC  (3) Từ (1), (2) (3) suy    SBC  ,  ABC     SI , AI   SIA a SA  Xét tam giác SAI vng A ta có tan SIA   AI a 3   30 Suy SIA Vậy Câu 24   SBC  ,  ABC    30 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB  2a , SA vng góc với mặt đáy góc SB mặt đáy 60 Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  Giá trị cos A 15 B C D Lời giải Chọn C Gọi M trung điểm BC  AM  BC (1) BC  SA  BC  SM (2) Có BC  AM    Từ (1) (2) suy   SBC , ABC   SMA   60 Do SA   ABC   SA  AB AB hình chiếu vng góc SB lên  ABC   SBA   2a.tan60  3a SAB có SA  AB.tan SBA 2 1 ABC có AM  BC  AB  AC   2a    2a   a 2 SAM vng A có cos  Câu 25 AM AM   SM SA  AM a 2 2 3a  a   (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB SD Tính sin  với  góc hợp  AMN   SBD  A B 2 C D Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn: A  O, B  a;0;0  , D  0; a;0  , S  0;0; a  (như minh họa hình a a  a a vẽ), suy M  ;0;  N  0; ;  2 2  2   a a    a a  Ta có AM   ;0;  , AN   0; ;  nên mặt phẳng 2 2  2     a a a  n1   AM , AN     ;  ;  4     SB   a; 0;  a  , SD   0; a;  a  nên    n2   SB, SD    a ; a ; a    n1.n2 Khi cos      n1 n2 Câu 26  mặt a4  a4  a4  SBD  phẳng a4 a4 a4   4 4 a a a   16 16 16  AMN   có có vectơ pháp tuyến vectơ pháp tuyến 2  sin    cos   3 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có   120o cạnh bên BB '  a Gọi I đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a góc BAC trung điểm CC ' Tính cosin góc hai mặt phẳng  ABC   AB ' I  A 10 B 30 10 30 30 Lời giải C D 10 30 Chọn B  Trong  BCB ' C ' , B ' I  BC   D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 65 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Trong  ABC  , dựng AH  AD H Vì AD  CH nên AD  IH Do đó:   90   AB ' I  ,  ABC     IH , CH   IHC   120  ABC   ABC cân A , BAC ACB  30   ACD  150  Áp dụng định lý Cosin ABC :   a  a  2.a a cos120o  3a BC  AB  AC  AB AC.cos BAC  BC  B ' C '  CD  a  Tương tự ACD : AD  AC  CD  AC CD cos  ACD  a  3a  a a 3.cos150o  7a  AD  a   CH AD  Ta có S ACD  CA CD sin ACD 2 CA CD sin  ACD a a sin150o a 21  CH    AD 14 a  ICH vuông C  IH  IC  CH   cos IHC  a 3a a 70   28 14 CH 30  IH 10  Vậy cos   AB ' I  , ( ABC )   30 10 Cách 2:  Gọi O trung điểm BC Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ a a ; OA  AB cos 60  2  1         B 0;  ; C 0; ; 0 , A ; 0;  Giả sử a  suy   ,   ,    2       Ta có: OB  AB sin 60        I 0; ;  , B  0;  ;1  2                    3 ;  ;   Ta có: n1  AB, AC   0; 0;   n2  AB , AI           4  Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   n1.n2 30   Gọi  góc ABC  AB I  Suy ra: cos      10 10 n1 n2 Câu 27 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho hình lập phương ABCD ABC D Cosin góc hai mặt phẳng  ABC   ABC   A B C D Lời giải Chọn D Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABC   Gọi O  AC  AC Gọi H hình chiếu A lên BO , AH  BO  CH  BO  ABC    ABC    BO      ABC  ;  ABC      AH , CH  Ta có  AH  BO CH  BO  Xét tam giác vuông ABC có BO  Ta có S BCH  a AC  2 1 a2 S ABC  a 2.a  2 a2 a a  CH BO   CH   a 2 Mặt khác S BCH Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 a 6 a 6      a 2 2    AH  CH  AC   Xét tam giác AHC có cos AHC   2 AH CH a 6     cos   cos  AHD     BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... vuông góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P)  Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó ( không chọn điểm B để dựng BH vuông góc với (P )) , ta sử dụng cơng thức sau Gọi  góc. .. vng góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P)  Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó q ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P )) , ta sử dụng cơng thức sau Gọi  góc. .. EK  M I  MN  ( SAC )  NC  AC Ta có:   NC  ( SAC ) hay E hình chiếu vng góc N lên ( SAC )  NC  SA Từ ta có được, góc MN ( SAC ) góc MN CI Suy ra, gọi Q góc MN ( SAC ) sin   NC  a