x=a x=b Với trường hợp α : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay choã gaõy.. Với trường hợp β : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng cá[r]
(1)IVIV- TÍCH PHAÂN Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là nguyên hàm f ⇔ f là đạo hàm F Hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f : ∫ f (x)dx = F(x) + C * α ∫ du = u + C ; ∫ u du = (C ∈ R) uα+1 +C, α ≠ – α +1 b * b a = F(b) − F(a) a du u u u u ∫ u = ln u + C; ∫ e du = e + C; ∫ a du = a / ln a + C ∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cos udu = sin u + C * a b a c b c ∫a = ; ∫a = − ∫b , ∫a = ∫a + ∫b b b b b b a a a a a ∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k ∫ f 2 ∫ du / sin u = − cot gu + C ; ∫ du / cos u = tgu + C Tích phân phần : udv = uv − vdu ∫ ∫ f(x)dx = F(x) ∫ Thường dùng tính tích phân các hàm hỗn hợp a ∫ x n e x , ∫ x n sin x ; ∫ x n cos x : u = x n b ∫ x n ln x : u = ln x c ∫e x sin x , ∫ e x cos x : u = e x hay dv = e x dx phần lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ Các dạng thường gặp : a ∫ sin m x cos n +1 x : u = sinx e f g h i n +1 : u = cosx ∫ cos x.sin x 2m 2n : haï baäc veà baäc ∫ sin x cos x ∫ R(sin x, cos x) , R : hàm hữu tỷ m d b ∫ tg x / cos x 2m 2n ∫ cot g x / sin x 2m 2n ∫ ∫ ∫ : u = tgx (n ≥ 0) : u = cotgx (n ≥ 0) chứa a2 – u2 : u = asint chứa u2 – a2 R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx chứa a2 + u2 R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx π π/ x π R ñôn giaûn : u = tg ∫ : thử đặt u = − x ∫ : thử đặt u = π − x : u = a/cost : u = atgt c ∫ x (a + bx ) , (m + 1) / n ∈ Z : u = a + bx m n p/ q m +1 p + + ∈ Z : u q x n = a + bx n x ( a bx ) , ∫ n q ∫ dx /[( hx + k) ax2 + bx + c : hx + k = u ∫ R(x, (ax + b) /(cx + d) , R là hàm hữu tỷ : u = (ax + b) /(cx + d) k m/n n k ∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx Tích phân hàm số hữu tỷ : ∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q n m n p/ q q n * Ñöa Q veà daïng tích cuûa x + a, (x + a) , ax + bx + c (∆ < 0) * Đưa P/Q dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số Q : An A A2 A , ( x + a) n → + x+a→ + + x+a x + a ( x + a) (x + a)n ax + bx + c(∆ < 0) → A(2ax + b) B dx + (∆ < 0) = ∫ du /( u2 + a2 ) : ñaët u = atgt ∫ 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c (2) b Tính dieän tích hình phaúng : SD = ∫ f (x ) dx a D giới hạn x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : a f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] đường tròn lượng giác b b D giới hạn x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : SD = ∫ f (x ) − g(x ) dx a Xét dấu f(x) – g(x) trường hợp a/ c D giới hạn (C1) : f1(x, y) = , (C2) : f2 (x, y) = f(x) b g(y) α / SD = ∫ f(x) − g(x) dx g(x) b y=b f(y) y=a a β/ SD = ∫ f(y) − g(y) dy a x=a x=b Với trường hợp α) : biên trên hay biên bị gãy, ta cắt D các đường thẳng đứng choã gaõy Với trường hợp β) : biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D các đường ngang ngaychỗ gãy Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = và biết chọn + hay − (y = + : treân, y = − : dưới, x = + : phaûi, x = − Tính theå tích vaät theå troøn xoay : a D nhö 5.a/ xoay quanh (Ox) : : traùi ) f(x) b V = π ∫ [f (x )]2 dx a b a b b b a V = π ∫ [f (y)] dy f(x) f(y) g(x a ) a b c V = π ∫ [f (x ) − g (x)]dx b a b b d V = π ∫ [f (y) − g (y)]dy 2 a g(y) f(y) a f(x) e f c b a c V = π ∫ f (x )dx + π ∫ g (x )dx c b a c V = π ∫ g2 (y)dy + π ∫ f (y)dy a f(x) -g(x) b b g(x 0) Chuù yù : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy a c b c f(y) -g(y) (3) PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 Các quy tắc tính đạo hàm (u ± v)0 = u0 ± v (uv)0 = u0 v + uv (ku)0 = ku0 0 u = u v−uv v v2 v0 = − v2 v yx = yu0 u0x Bảng đạo hàm các hàm số thường gặp Đạo hàm hàm số y = f (x) c0 = x0 (xα )0 x (c = const) =1 = αxα−1 = − x12 √ ( x) = (sin x)0 (x 6= 0) √ x (x > 0) (tan x)0 = (cos u)0 = −u0 sin u cos2 x (cot x)0 = − sin12 x 10 (ex )0 = ex (cos x 6= 0) 11 (ax )0 = ax ln a (0 < a 6= 1) (ln x)0 13 (loga = x)0 x = (sin x 6= 0) (x > 0) x ln a (uα )0 = αuα−1 u0 = − uu2 (u 6= 0) u √ u0 (u > 0) ( u) = 2√ u (sin u)0 = u0 cos u = cos x (cos x)0 = − sin x 12 Đạo hàm hàm số y = f [u(x)] (0 < a 6= 1, x > 0) (tan u)0 = (cot u)0 = (eu )0 eu = u0 cos2 u − sinu2 u (au )0 = u0 au ln a (ln u)0 (loga = u)0 u0 u = (cos u 6= 0) (sin u 6= 0) (0 < a 6= 1) (u > 0) u0 u ln a (0 < a 6= 1, u > 0) Bảng nguyên hàm mở rộng dx = a1 arctan xa + C a2 +x2 a+x a2 −x dx = 2a ln a−x + C √ R √x21+a2 dx = ln x + x2 + a2 + C R x √a21−x2 dx = arcsin |a| +C R x x√x12 −a2 dx = a1 arccos |a| +C √ R +a2 x a+ 1 x√x2 +a2 dx = − a ln +C x √ √ R√ a2 + x2 dx = x2 a2 + x2 + a2 ln x + x2 + √ R√ a2 − x2 dx = x2 a2 − x2 + a2 arcsin xa + C R ax eax sin bxdx = a2e+b2 (a sin bx − b cos bx) + C R ax 10 eax cos bxdx = a2e+b2 (a cos bx + b sin bx) + C R R a2 + C Lưu ý Bảng này dùng để tra cứu không sử dụng chương trình phổ thông (4) PHỤ LỤC Bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt π π π π π α 00 300 1800 cos α 1 tan α √2 √2 3 600 √ 2 900 sin α 450 √ √2 2 || 3 || cot α || √ 1 √ √ Đẳng thức lượng giác sin2 α + cos2 α = 1 + tan2 α = cos2 α + cot2 α = sin2 α tan α cot α = sin α tan α = cos α cos α cot α = sin α Công thức lượng giác Công thức cộng Công thức biến đổi tích thành tổng cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b 10 cos a cos b = cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b 11 sin a sin b = sin (a − b) = sin a cos b − cos a sin b 12 sin a cos b = sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a − tan b tan (a − b) = + tan a tan b tan a + tan b tan (a + b) = − tan a tan b Công thức nhân đôi cos 2a = cos2 a − sin2 a Công thức biến đổi tổng thành tích u−v u+v cos 13 cos u + cos v = cos 2 u+v u−v 14 cos u − cos v = −2 sin sin 2 u+v u−v 15 sin u + sin v = sin cos 2 u−v u+v sin 16 sin u − sin v = cos 2 Công thức nhân ba 8a cos 2a = 2cos2 a − 17 sin 3a = sin a − 4sin3 a 8b cos 2a = − 2sin2 a tan a tan 2a = − tan2 a Công thức hạ bậc + cos 2a 8c cos2 a = − cos 2a 8d sin2 a = − cos 2a 8e tan2 a = + cos 2a 18 cos 3a = 4cos3 a − cos a sin 2a = sin a cos a [cos (a − b) + cos (a + b)] [cos (a − b) − cos (a + b)] [sin (a − b) + sin (a + b)] Công thức khác 19 sin x + cos x = 20 sin x − cos x = √ √ sin x + sin x − π π 21 sin4 x + cos4 x = − 12 sin2 2x 22 sin6 x + cos6 x = − 34 sin2 2x (5)