Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1.... Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1...[r]
(1)PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất bản: a3 b3 a b Cho a, b > chứng minh: a b a2 b2 Chứng minh: a b a3 b3 Cho a + b chứng minh: a b a b a Cho a, b > Chứng minh: b 1 2 ab 1 b Chứng minh: Với a b 1: 1 a Chứng minh: Chứng minh: a2 b2 c2 a b c ; a,b,cR a2 b2 c d2 e2 a b c d e 2 Chứng minh: x y z xy yz zx abc ab bc ca ; a,b,c 0 3 a Chứng minh: a2 b2 c a b c 3 b Chứng minh: a b2 c2 ab ac 2bc 10 Chứng minh: 2 11 Chứng minh: a b ab a b 2 2 12 Chứng minh: x y z 2xy 2xz 2yz 4 2 13 Chứng minh: x y z 2xy(xy x z 1) a3 b3 14 Chứng minh: Nếu a + b thì: 15 Cho a, b, c là số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > (2) II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 2 2 Chứng minh: (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 Chứng minh: 1 a 1 b 1 c 1 abc m 1995 1995 a 1 Chứng minh: a m với a , b , c a b m1 1 b a Cho a, b > Chứng minh: , với m Z+ bc ca ab a b c ; a,b,c 0 b c Chứng minh: a x6 y9 3x2 y3 16 ; x,y 0 Chứng minh: 2a4 3a2 a Chứng minh: 2 Chứng minh: a 1 b ,a>0 b 1 c c2 1 a2 6abc a 2 b 2 c 1 1 1 2 a b c a c 2 b c 10 Cho a , b > Chứng minh: a b 11 Cho a , b , chứng minh: ab a b b a 12 Cho x, y, z > và x + y + z = Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 3 13 Cho a > b > c, Chứng minh: a a b b c c 14 Cho: a , b , c > và a + b + c = Chứng minh: a) b + c 16abc b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc 1 1 1 1 1 1 64 a b c c) x 3 x y y 15 Cho x > y > Chứng minh: 16 Chứng minh: x2 x8 2 6 x 1 x a) ,x R b) , x > c) ab bc ca a bc ; a, b, c 17 Chứng minh: a b b c c a a2 a2 4 (3) x2 y2 1 16y 18 Chứng minh: 1 16x , x , y R a b c 19 Chứng minh: b c a c a b ; a , b , c > 20 Cho a , b , c > C/m: 1 1 3 3 a b abc b c abc c a abc abc 21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a a b c d abcd với a , b , c , d b a b c 33 abc 3 với a , b , c , 22 Chứng minh: a b c a 2 bc b ac c (Côsi số) (Côsi số ) ab ; a , b , c > 23 Chứng minh: a b c 9 abc x 18 y x , x > Định x để y đạt GTNN 24 Cho x y ,x x 25 Cho Định x để y đạt GTNN 3x , x1 x 1 26 Cho Định x để y đạt GTNN x y ,x 2x Định x để y đạt GTNN 27 Cho x y x x , < x < Định x để y đạt GTNN 28 Cho y y 29 Cho x3 x2 , x > Định x để y đạt GTNN x2 4x f(x) x 30 Tìm GTNN , x > f(x) x2 x , x > 31 Tìm GTNN 32 Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33 Cho y = x(6 – x) , x Định x để y đạt GTLN 34 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x Định x để y đạt GTLN x 5 35 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , Định x để y đạt GTLN (4) x Định x để y đạt GTLN 36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , x y x Định x để y đạt GTLN 37 Cho x2 y x2 2 Định x để y đạt GTLN 38 Cho III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki Chứng minh: (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki sinx cos x Chứng minh: Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a2 + 4b2 725 2 Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a + 5b 47 2464 Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a2 + 11b2 137 Cho a + b = Chứng minh: a4 + b4 a2 b2 Cho a + b Chứng minh: Lời giải: I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất bản: a3 b3 a b (*) Cho a, b > chứng minh: a3 b3 a b 3 a b a b 0 2 (*) ĐPCM a b a b2 Chứng minh: () a + b , () luôn đúng a b a2 b2 2ab a2 b2 0 0 4 a + b > , () , đúng a b a b2 Vậy: a b a3 b3 a b a3 b3 2 Cho a + b chứng minh: (5) 2 b a a b b a a b 0 , ĐPCM a b a b a Cho a, b > Chứng minh: b () a a b b a b b a a b a a b b 0 () a a b b 0 a b a b 0 , ĐPCM 1 2 ab () 1 b Chứng minh: Với a b 1: 1 a ab a ab b2 1 0 2 1 b2 1 ab 1 b2 1 ab 1 ab 1 a 1 a 1 ab a b a b a b b a a b 0 0 2 ab 1 b 1 ab 1 b2 1 a 1 a 1 ab b a ab 1 0 2 2 ab a b , ĐPCM Vì : a b ab ab – a2 b2 c2 a b c Chứng minh: ; a,b,cR 2 a b c ĐPCM b a a ab2 b ba2 0 1 ab 1 a2 1 b2 a2 b2 c d2 e2 a b c d e Chứng minh: a2 a2 a2 a2 ab b2 ac c2 ad d2 ae e2 0 4 4 2 2 a a a a b c d e 0 ĐPCM 2 Chứng minh: x y z xy yz zx 2 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx x y x z y z 0 abc ab bc ca ; a,b,c 0 3 a Chứng minh: a2 b2 c ab bc ca a b2 c2 2ab 2bc 2ca ab bc ca a bc (6) abc ab bc ca 3 a2 b2 c2 a b c 3 b Chứng minh: a b2 c2 a b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c ab bc ca a b c 2 a2 b2 c a b c 3 a b2 c2 ab ac 2bc 10 Chứng minh: a a2 a b c b2 c2 2bc 0 b c 0 2 2 11 Chứng minh: a b ab a b 2 2a 2b 2ab 2a 2b 0 2 2 a 2ab b a 2a 1 b 2b 0 2 a b a 1 b 1 0 2 12 Chứng minh: x y z 2xy 2xz 2yz 2 x y z 2xy 2xz 2yz 0 (x – y + z)2 4 2 13 Chứng minh: x y z 2x(xy x z 1) 4 2 2 x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0 2 x z x 1 0 x y 14 Chứng minh: Nếu a + b thì: a + b b – a b3 = (1 – a)3 = – a + a2 – a3 a3 b3 1 1 3 a 3 2 4 a +b = 15 Cho a, b, c là số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 a b c , b a c , c a b 2 2 2 2 a b 2bc c , b a 2ac c , c a 2ab b a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (7) b abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) a a b c a a c b a b c c b2 b2 a c b2 b c a a b c c c a b c b c a a c b 2 2 2 a b c a b c a c b b c a abc a b c a c b b c a 2 2a b + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > đúng Vì a , b , c là ba cạnh tam giác c – a + b > , c + a – b > , a + b – c > , a + b + c > II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: a b ab , b c bc , a c ac 2 a b b c a c 8 a b c 8abc 2 2 Chứng minh: (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 2 2 2 a b c 3 abc , a b c 3 a b c 3 3 2 a b c a b c 9 a b c 9abc 3 Chứng minh: 1 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc a b c 33 abc , ab ac bc 3 a 2b2c 1 a 1 b 1 c 1 33 abc 33 a 2b2c abc 1 abc m a b 1 b a Cho a, b > Chứng minh: m a b 1 1 b a m m a b 1 1 b a 4m 2m m m 2m , với m Z+ b a 2 a b m (8) bc ca ab a b c ; a, b, c b c Chứng minh: a Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: bc ca abc bc ba b2ac 2 2c 2 2b a b ab c ac , a , ca ab a2bc 2 2a b c bc bc ca ab a b c b c a x6 y9 3x2 y3 16 ; x,y 0 Chứng minh: () 3 y3 43 12x2y3 () x y 64 12x y x Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: x2 y3 43 3x2 y3 12x2y3 2a4 Chứng minh: 1 a a a a 1 () 3a2 1 1 a () 4a2 a4 , a4 , a2 1, 1 a Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm: 1 a4 a4 a2 1 44 a4a4 a2 1 4a2 1 a 1 a2 1995 1995 a 1 () Chứng minh: a 1995 () a 1995 1995a 1995 a ,a>0 1995 1995a 1995 1995 a1995 1995 a1995 1994 a1995 1 1 1995 a 1995a 1994 soá 2 2 2 Chứng minh: a 1 b b 1 c c 1 a 6abc a2 1 b2 b2 1 c c 1 a a a 2b2 b2 b2c c c2a Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: a2 a2b2 b2 b2c2 c2 c2a2 6 a6b6c6 6abc (9) a 2 b 2 c 1 1 1 2 a b c a c 2 b c 10 Cho a , b > Chứng minh: a b a a b b c c 2 2 2 2ab 2b , b c 2bc 2c , a c 2ac 2a a b a b c 1 1 1 2 2 a b c b c a c Vậy: a b 11 Cho a , b , chứng minh: ab a b b a a a 1 a , b b 1 b ab 2b a , ab 2a b ab a b b a 12 Cho x, y, z > và x + y + z = C/m: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) x x 1 x 1 x y z x 1 x 1 y 1 z 1 44 x 1 y 1 z 1 2 y 44 x 1 y 1 z 1 z 44 x 1 y 1 z 1 Tương tự: ; xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 3 13 Cho a > b > c, Chứng minh: a a b b c c 3 a a b b c c 3 a b b c c 14 Cho: a , b , c > và a + b + c = Chứng minh: a) b + c 16abc b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) bc.2 ac.2 ab 8abc 1 1 1 1 1 1 64 a b c c) a a b c a2bc a a a 1 bc bc 1 a 16abc 16a bc 16a 4a 1 a 2 4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c 4 ab2c b b 1 1 1 1 1 1 64 a b c 1 4 abc2 c c (10) x 15 Cho x > y > Chứng minh: VT x y y 3 x y y x y y 33 3 x y y x y y 16 Chứng minh: x2 2 2 2 x a) x x x 1 x x 1 9 x8 x 1 2 x 6 x x x x b) = a2 4 2 2 a a a a c ab bc ca a bc ; a, b, c 17 Chứng minh: a b b c c a Vì : a b ab ab ab ab bc bc bc ac ac ac , b c bc , a c ac a b ab a b c ab bc ca , dựa vào: a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ac a b c a b bc ca 2 x2 y2 1 16y 18 Chứng minh: 1 16x , x , y R 2 x x x 2 1 16x 2.4x 1 4x 2 y y y2 2 1 16y 2.4y 1 4y x2 y2 4 1 16y 1 16x a b c 19 Chứng minh: b c a c a b ; a , b , c > Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b a + b + c = (X + Y + Z) (11) a YZ X ZX Y XY Z ,b ,c 2 a b c 1 Y X Z X Z Y 3 b c a c a b X Y X Z Y Z 3 2 Cách khác: a b c a b c 1 1 1 b c a c a b b c a c a b a b b c c a b c a c a b Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: a b b c c a 2 b c a c a b 20 Cho a , b , c > C/m: 1 1 3 3 abc a b abc b c abc c a abc a3 b3 a b a2 ab a2 a b ab 3 a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự b3 c3 abc b c bc abc bc a b c c3 a3 abc c a ca abc ca a b c 1 1 a bc ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc 21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a a b c d abcd với a , b , c , d (Côsi số) VT b a b ab , c d 2 cd a b cd ab cd 2 ab cd 44 abcd a b c 33 abc với a , b , c , abc a bc abc 4.4 abc 3 abc a bc abc 3 (Côsi số ) abc abc abc 3 abc abc 3 a b c 3 abc (12) 3 2 22 Chứng minh: a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > a3 abc 2a2 bc , b3 abc 2b2 ac , c3 abc 2c2 ab a3 b3 c3 3abc a bc b2 ac c ab 2 3 3 a b c 2 a bc b ac c ab , 3 vì : a b c 3abc Vậy: a3 b3 c3 a2 bc b2 ac c2 ab 23 Chứng minh: a b c 9 abc Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: VT a a b b b c c c c 99 abc x 18 y x , x > Định x để y đạt GTNN 24 Cho x 18 x 18 y 2 6 x x Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: x 18 x2 36 x 6 Dấu “ = ” xảy x , chọn x = Vậy: Khi x = thì y đạt GTNN x y ,x x 25 Cho Định x để y đạt GTNN x y x x , x 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm x x y 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 4 x x 1(loại) Dấu “ = ” xảy Vậy: Khi x = thì y đạt GTNN 3x y , x1 x 1 26 Cho Định x để y đạt GTNN 3(x 1) y x 1 (13) x 1 , x 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm x 1 3 x 1 3 2 6 x 1 2 x 1 2 Dấu “ = ” xảy 1 x x 1 2 x 1 x 1 1(loại ) x x 1 6 Vậy: Khi thì y đạt GTNN y x y ,x 2x Định x để y đạt GTNN 27 Cho 2x y 2x 2x , 2x : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 2x 2x 30 y 2 2x 2x 3 Dấu “ = ” xảy 30 x 2x 2 2x 1 30 2x 30 (loại ) x 30 30 x Vậy: Khi thì y đạt GTNN y x 1 x x , < x < Định x để y đạt GTNN 28 Cho x 1 x 5x x x x 1 x f(x) 5 2 2 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x 5 x 5 5 x x 1 x Dấu “ = ‘ xảy 1 x (0 < x < 1) 5 x Vậy: GTNN y là (14) y 29 Cho x3 x2 , x > Định x để y đạt GTNN x 1 x x xx x 33 3 2 2 x 22x x x x x Dấu “ = ‘ xảy 2 x x 3 Vậy: GTNN y là x x2 4x f(x) x 30 Tìm GTNN , x > x 4x 4 x x 8 x x x x x = (x > 0) Dấu “ = ‘ xảy Vậy: GTNN y là x = 2 f(x) x2 x , x > 31 Tìm GTNN x x2 x3 x2 x2 x2 x2 1 55 5 3 x x 27 x x2 x 5 3 x Dấu “ = ‘ xảy x = (x > 0) 5 Vậy: GTNN y là 27 x 32 Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 11x 11 1 10 x2 10 x 10 20 40 40 f(x) = –10x + 11x – = 11 x 20 Dấu “ = “ xảy 11 20 thì y đạt GTLN 40 Vậy: Khi 33 Cho y = x(6 – x) , x Định x để y đạt GTLN Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm x và – x (vì x 6): x x x x x(6 – x) Dấu “ = “ xảy x = – x x = x (15) Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN 34 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x Định x để y đạt GTLN y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 5 x 2 : Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + và – 2x , 121 11 2x 2x 2x 2x (2x + 6)(5 – 2x) x Dấu “ = “ xảy 2x + = – 2x 121 x thì y đạt GTLN Vậy: Khi x 5 35 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , Định x để y đạt GTLN y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) x 5 : Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , 10 – 2x , 625 2x 10 2x 2 2x 10 2x (2x + 5)(10 – 2x) x Dấu “ = “ xảy 2x + = 10 – 2x 625 x thì y đạt GTLN Vậy: Khi 36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , y = 3(2x + 1)(5 – 2x) x Định x để y đạt GTLN 5 x 2 : Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , – 2x , 2x 1 2x 2x 1 2x (2x + 1)(5 – 2x) Dấu “ = “ xảy 2x + = – 2x x = Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN x y x Định x để y đạt GTLN 37 Cho (16) 2 x y x 2x 2x 2 Dấu “ = “ xảy x và x > x= 2x 2 Vậy: Khi x thì y đạt GTLN 2 x2 y x2 2 Định x để y đạt GTLN 38 Cho 2 x2 2 27x2 x x 1 x 1.1 Dấu “ = “ xảy x 1 x 1 x2 x 2 27 x Vậy: Khi thì y đạt GTLN 27 III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki Chứng minh: (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki 2 2 2 2 2 2 () a b 2abcd c d a b a d c b c d 2 2 a d c b 2abcd 0 ad cb 0 sinx cos x Chứng minh: Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , sinx , , cosx : sinx cos x sinx cosx 12 12 sin2 x cos2 x Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a2 + 4b2 , 3a , , 4b Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số : 3a 4b 3a 4b 3a2 4b2 3a2 + 4b2 725 2 Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a + 5b 47 2a 3b 3a 5b Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số 3a 3 , 3a , , 5b : 9 735 b 3a2 5b2 3a2 + 5b2 47 (17) 2464 Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a2 + 11b2 137 3a 5b 7a 11b 11 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , 7a , a b 1 1 a b2 a2 + b2 a b2 1 1 a b4 a4 + b4 2 2 11 , 11b : 25 2 2464 11b 7a 11b 11 11 2 7a + 11b 137 4 Cho a + b = Chứng minh: a + b Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 7a 5 Cho a + b 1 a b Chứng minh: a2 b2 12 12 a2 b2 a b2 (18) PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC (CĐGT II 2003 dự bị) x2 xy y2 x2 xz+z2 y2 yz+z2 Cho số bất kì x, y, z CMR: (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > và xyz = Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 x + y + z (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho số dương x, y, z thoả x + y + z Tìm giá trị nhỏ biểu 1 x y z thức: A=x+y+z+ (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x 4y (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức: a b c d a bc bc d c da da b < (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) x 1 2 x 16 Chứng minh x > thì (x + 1) (CĐKTKTCN1 khối A 2006) a bc abc abc 9 a b c Cho số dương a, b, c Ch minh rằng: (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y 0; x2 + x = y + 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyz 10 (Học viện BCVT 2001) Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 1 b c a b c 3 a b c a 3 3 3 thì: 11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh: a b c 3 2 2 b c c a a b 12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) (19) a2 b2 c2 ab bc ca 1 Cho các số a, b, c thoả: 4 4 4 a ; b ; c 3 3 3 Chứng minh: 13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 p a p b p c a b c 14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: y x z 1 2 2 2 x y y z z x x y z 15 (ĐH PCCC khối A 2001) Ch minh với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ thì: logbc a logc a b logab c 16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch minh với x ≥ và với > ta luôn có: x + – ≥ x Từ đó chứng minh với số dương a, b, c bất kì thì: a3 b3 c3 a b c b c a b c a 17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b b a ab (*) 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 3 Cho a, b, c là số dương và a + b = c Ch minh rằng: a b c 20 (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21 (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng b2 2a2 c2 2b2 a2 2c2 ab bc ca minh rằng: 22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) a3 b3 a b Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ Ch minh rằng: 23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT: (20) a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho số dương a, b, c thoả điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ bc ca ab 2 2 biểu thức: P = a b a c b c b a c a c b 25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh với số dương a, b, c ta có: 1 abc (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 26 (ĐH Y HN 2000) 6 Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện x y Tìm giá trị nhỏ tổng x + y 27 (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ Chứng minh: ac + + bc + ≥ ab(ac – + bc – 1) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz CMR với x, y, z dương và x + y + z = thì xy + yz + zx > xyz 29 (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: nn + > (n + 1)n 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Cho số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = a b 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với số thực x, y, z bất kì 1 2 2 y z x y z2 khác không: x BĐT cuối cùng luôn đúng BĐT cần chứng minh đúng 32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999) a2 b2 c2 a b c b2 c2 a2 b c a Cho số a, b, c khác Chứng minh: 33 (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ và x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x y z 1 1 x y z 2 x y z 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ (*) 35 (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền ABC có góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: (21) a2 b2 c2 2R (a, b, c là các cạnh ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy nào? 36 (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x 4y x y z 37 (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50 a c b2 b 50 50b Chứng minh bất đẳng thức: b d và tìm giá trị nhỏ a c biểu thức: S = b d 38 (Đại học 2002 dự bị 6) Cho tam giác ABC có diện tích Gọi a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: 1 1 1 a b c h h h 3 a b c 39 (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là số dương và x + y + z Chứng minh rằng: 1 x2 y2 z2 82 x y z 40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: y = sin5x + 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc tam giác ABC, biết rằng: (1) 4p(p a) bc A B C 3 (2) sin sin sin 2 abc đó BC = a, CA = b, AB = c, p = 42 (Đại học khối A 2005) 1 4 x y z Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : cosx (22) 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z Chứng minh rằng: 43 (Đại học khối B 2005) Chứng minh với x R, ta có: x x x 12 15 20 x x x 3 Khi nào đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng: 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho số x, y, z thoả x + y + z = CMR: 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) 4x 4y 4z y 1 x 1 1 x y Chứng minh với x, y > ta có: 256 Đẳng thức xảy nào? 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: a 3b b 3c c 3a 3 Khi nào đẳng thức xảy ra? 48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh y x thì Đẳng thức xảy nào? 49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) x y y x x2 y2 z2 Cho x, y, z là số dương và xyz = CMR: 1 y 1 z 1 x 50 (Đại học khối A 2006) Cho số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi và thoả mãn điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 – xy 1 3 y Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x 51 (Đại học khối B 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (23) A= x 1 y2 x 1 y2 y LỜI GIẢI (CĐGT II 2003 dự bị) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm: y 3 y z z y z x ; 0; ;0 2 2 , B , C 2 A Ta có: AB = y x y x2 xy y2 2 AC = z x z x2 xz z2 2 2 y z 2 2 (y z) y yz+z BC = Với điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC x xy y2 x xz+z2 y2 yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) x3 + y3 + z3 3 x3 y3 z3 2(x3 + y3 + z3) x3 + + x x3 + 3x Tương tự: y3 + + 3 y 3 3 y3 + 3y (1) (2) z3 + + z z3 + 3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy bất đẳng thức cần chứng minh (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cách 1: xyz Theo BĐT Côsi: 1x+y+z3 >0 1 x y z xyz Từ đó: Đặt: t = A 3 xyz + xyz xyz , điều kiện: < t (24) Xét hàm số f(t) = 3t + t với < t 3 3(t 1) f(t) = – t Bảng biến thiên: = t 1 0; < 0, t Từ bảng biến thiên ta suy ra: A 10 Dấu "=" xảy x = y = z = 3 Vậy Amin = 10 đạt x = y = z = Cách 2: Từ đó: A= 10 3 > xyz 9z z+ 1 1 1 1 x 9x y 9y z 9z x y z Theo BĐT Côsi: x + y + z 2 x + 9x , y + 9y , xyz + xyz 1 Dấu "=" xảy x = y = z = Vậy Amin = 10 đạt x = y = z = (CĐSPHCM khối ABT 2006) Ta có: x + y = 4x + 4y – = 4 4y 4x+ 4y 4x 4y x 4y x 4y A= = A2 x +2 –5 A5 4 x 4x 4y 4y x 1 x y y x,y Dấu "=" xảy Vậy Amin = (25) (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > nên ta luôn có: a c a c 1 a bc cda a c a c b d b d 1 bcd dab bd bd Cộng vế theo vế các BĐT trên ta đpcm (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) 1 x 16 (1) (x + 1)2 x 16 Ta có: (x + 1)2 x 1 1 (x + 1) x (do x > 0) (x + 1)2 4x (x – 1)2 (2) (2) luôn đúng nên (1) chứng minh (CĐKTKTCN1 khối A 2006) b c a c a b 1 a a b b c c Xét vế trái BĐT đã cho: VT = b a c a c b = + a b a c b c Do a, b, c > nên theo BĐT Côsi ta có: b a b a b c b c c a c a 2 2 2 2 2 2 a b a b c b c b a c a c ; ; Khi đó: VT + + + = (đpcm) (CĐKTYTế1 2006) y 0, x2 + x = y + 12 x2 + x – 12 – x y = x2 + x – 12 A = x3 + 3x2 – 9x – Đặt f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – với – x f(x) = 3x2 + 6x – ; f(x) = x = x = – f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10) (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) xyz xyz Ta có: x + y + z xyz (xyz)2 27 xyz 3 Dấu "=" xảy x = y = z = Vậy minA = 3 10 (Học viện BCVT 2001) x Ta có hàm số f(x) = là hàm nghịch biến nên: 1 a b ≤ 0, a, b (a – b) (26) a a b b Tương tự: c 3c a a b b c 3c a 3a b b a b 3c a 3c c c a 3b , a, b c (1) 3b (2) c 3a a b c a 3 a b c 3 3 a b b (3) c 3 3 3c Mặt khác: (4) Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: b c 1 a a b c (a b c) a b c 3 3 3 3 Hay b 1 a b c 3 (vì a + b + c = 1) Dấu “=” xảy a = b = c = 11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) a a a2 2 1 a2 a(1 a2 ) (1) Do a2 + b2 + c2 = nên b c 3 2a2 (1 a2 ) (1 a2 ) 2 3 Mà 2a2.(1 – a2)2 ≤ a2.(1 – a2)2 ≤ 27 a(1 – a2) ≤ 3 (2) a 2 3 a Từ (1), (2) suy ra: b c a b c 3 3 (a b2 c ) 2 2 2 c a a b Do đó: b c 2 2a 1 a 2 2b 1 b 2 2c 1 c Dấu “=” xảy a=b=c= 12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) a2 b2 c2 2 (a b)2 2ab c2 ab bc ca 1 c(a b) ab 1 Ta có: (27) a b S ab P Ta xem đây là hệ phương trình a, b và đặt (S2 – 4P ≥ 0) S2 2P c2 (1) (2) cS+P =1 Ta hệ: Từ (2) P = – cS, thay vào (1) ta được: S c S c S2 – 2(1 – cS) = – c2 S2 + 2cS + c2 – = Với S = – c – P = + c(c + 2) = c2 + 2c + BĐT: S2 – 4P ≥ (–c – 2)2 – 4(c2 + 2c + 1) ≥ c 0 –3c – 4c ≥ (3) Với S = –c + P = – c(–c + 2) = c – 2c + BĐT: S2 – 4P ≥ (–c + 2)2 – 4(c2 – 2c + 1) ≥ c –3c + 4c ≥ (4) Từ (3), (4) ta được: 4 c 3 4 a,b,c Tương tự ta chứng minh được: 13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Trước hết, ta dễ dàng chứng minh x, y > thì: 1 x y x y (1) Dấu “=” xảy x = y Áp dụng (1) ta được: 1 4 p a p b p a p b c 1 4 p b p c p bp c a 1 4 p c p a p cp a b Cộng BĐT trên vế theo vế, ta được: 1 1 1 2 4 p a p b p c a b c đpcm Dấu “=” xảy a = b = c 14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương x3, y2 ta có: (28) x 3 x xy 2xy x x y 1 , 2 Áp dụng BĐT Côsi cho số dương x y ta có: 1 1 x 1 1 xy x 2 x y x y y Tương tự ta có: y 1 1 z 1 1 2 2 y y z z z3 x2 z2 x2 ; y x z 1 2 2 2 y z z x x y z Suy ra: x y x3 y2 y3 z2 z3 x2 vaø vaø x y y z z x Dấu “=” xảy x=y=z=1 15 (ĐH PCCC khối A 2001) Trước hết chú ý a > 1, x > thì hàm số y = loga x là đồng biến x3 + y2 ≥ x y 2xy x và dương loga x Do đó hàm số y = logxa = là nghịch biến Vì vai trò a, b, c là nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được: VT= logbc a logca b loga b c loga b a loga b b loga b c loga b abc Vì a, b, c ≥ nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Xét f(x) = x – x + – (x ≥ 0) f(x) = (x – – 1); f(x) = x = Vậy với x ≥ và > thì f(x) ≥ hay x + – ≥ x BĐT cần chứng minh: 3 a 2 b2 c 2 a b c b c a b c a (29) Áp dụng BĐT đã chứng minh với = , ta có: 3 a 2 a b2 b b 2.b c 2.c ; ; Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có: 3 3 a 2 b c 2 b c a c 2 c a 2.a Cộng BĐT trên, vế theo vế, ta có: 3 3 a 2 b2 c 2 3 a b c b 2 b c a c a 3 a 2 b2 c 2 a b c c a b c a Suy ra: b 17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) a b b a 1 ab ab BĐT (*) Theo BĐT Côsi ta có: 1 1 1 1 1 1 1 b b a a 1 1 1 1 b b 1 b b 2 1 1 1 a a 1 a a 2 Cộng BĐT lại ta BĐT cần chứng minh 1 1 b 1 b 1 a a = b = Dấu “=” xảy a 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Ta có: – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > Do đó theo BĐT Côsi ta có: 2a 2b 2c =1 (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 (1) (30) 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy – 2a = – 2b = – 2c a = b = c = 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 a 3 b3 a b a b a b , c c c Từ giả thiết ta có: c c = < c c < c =1 2 3 Từ đó suy ra: a b c 20 (ĐHQG HN khối A 2000) Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c thì x, y, z > Đ.kiện a + b + c = xyz = 2a+b+c = 1, đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ Mặt khác: x3 + + ≥ 3x x3 ≥ 3x – Tương tự: y3 ≥ 3y – 2; z3 ≥ 3z – x3 + y3 + z3 ≥ 3(x + y + z) – = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21 (ĐHQG HN khối D 2000) Ta có: b2 2a2 b2 2a2 1 2 2 ab a b a b 1 Đặt x = a ; y = b ; z = c thì a,b,c x,y,z ab bc ca abc x y z 1 giả thiết x2 2y2 y2 2z2 z2 2x2 và đpcm Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2 x2 2y2 (x 2y) Viết BĐT tương tự, cộng lại, ta có: x2 2y y 2z2 z2 2x (3x 3y 3z) 3 Đẳng thức xảy x = y = z = a = b = c = 22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) a3 b3 a b 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 Ta có: (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ (a + b)(a – b)2 ≥ BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng (31) Đẳng thức xảy a = b 23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) a) a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Đẳng thức xảy a = b = c b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) bc bc a 2 a b a c a (b c) a2 b c b c Ta có: 1 a b c Đặt x = ; y = ; z = thì a, b, c > x,y,z x2 y2 z2 abc = xyz=1 giả thiết và P = y z z x x y Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: x y z z x x y y z yz zx x y (y + z + z + x + x + y).P ≥ 1 3 xyz 2 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) P ≥ (x + y + z) ≥ P≥ Nếu P = thì x = y = z = a = b = c = 3 Đảo lại, a = b = c = thì P = Vậy minP = 25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) (a + 1).(b + 1).(c + 1) = + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ 2 1 abc ≥ + abc a b c + abc = Đẳng thức xảy a = b = c > 26 (ĐH Y HN 2000) 2 x+y≥ 3 x y (x y) x y x y = 6(x + y) 2 2 (32) : x : y 2( 3) y x x 2 2 2 3( 3) x y y 6 Giá trị đạt 52 6 Vậy min(x + y) = 27 (ĐH An Giang khối D 2000) Giả sử a ≥ b ≥ ac(a – b) ≥ bc(a – b) ac + + bc + ≥ ab(ac – + bc – 1) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: xyz 2=x+y+z+x+y+z≥6 (1) 2 x y z và xy + yz + zx ≥ (2) Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > (4) Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được: 18xyz (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz xy + yz + zx > xyz (vì +xyz > 0) 29 (ĐH An Ninh khối A 2000) Ta có: 34 = 81, 43 = 64 34 > 43 BĐT cần chứng minh đúng với n = n n 1 n 1 n 1 n <n Với n > 3, đpcm n > n n 1 Ckn nk 1 n = k 0 Ta có: = n n(n 1) n(n 1) (n n 1) n 2! n2 n! n =1+ n 1 1 1 1 n n! 1 2! =1+1+ 1 2! n! <1+1+ <1+1+ 1 n 1 1 1 n n n < 1 n 2 < 1 1 n 1 2 +…=1+ =3 <1+1+ n 1 1 n < < n (1) (1) (33) 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a 1, b ), ta có: (1 1)(a 1 b 1) A = a b ≤ mà a + b = nên A ≤ a b Dấu “=” xảy a=ba=b= ( a + b = 1) Vậy maxA = a = b = 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) y2 z2 x2 z2 x2 y2 1 1 1 x x y y z z ≥9 BĐT cần chứng minh y2 z2 x2 z2 x2 y2 x x y y z z 3+ ≥9 32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Côsi ta có: a2 * b2 a * b b2 c2 12 a 2 a2 33 a2 b2 c2 3 b2 c2 a2 a b; b c a2 b2 c 2 b c; c a (1) 2 c a a b c 2 b c a c a b Kết hợp (1) và (2) ta được: a2 b2 c2 a b c 2 2 b b c a c a b c2 c2 a b c b c a c a b 33 (ĐH Hàng hải 1999) (2) 2x Do (x – 1) ≥ nên x + ≥ 2x 1 x ≤ 2y 2z 1 y ≤ 1; 1 z2 ≤ Tương tự ta có: 2y 2x 2z 2 1 x + y + 1 z ≤ Do đó: 2 (34) x y z 1 y 1 z Hay: 1 x (1) Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm ta có: 1 1 1 x y z 3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z) 1 (1 x) (1 y) (1 z) x y z ≤ ≤2 1 1 x 1 y z (2) Kết hợp (1) và (2) ta BĐT cần chứng minh 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999) Vì ≤ x, y, z ≤ nên x2 ≥ x3; y2 ≥ y3; z2 ≥ z3 Suy ra: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) Do đó ta chứng minh được: 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ (1) thì (*) đúng Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥ x2 + y2 – x2y – ≤ (2) y 1 x 1 y 0 Dấu “=” (2) xảy Tương tự ta có: x2 + z2 – z2x – ≤ (3) y2 + z2 – y2z – ≤ (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ Vậy (1) đúng (*) đúng (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1) Nhận xét: Dấu “=” (*) xảy (x; y; z) 35 (Đại học 2002 dự bị 1) x y z a ax b by ≤ 1 1 a b c 2S = ≤ a2 b2 c2 2R Dấu “=” xảy a b c x y z c cz ≤ 1 1 a b c (ax+by+cz) 1 abc a b c 2R = ab bc ca 2R ABC M trùng với trọng tâm G ABC (35) 36 (Đại học 2002 dự bị 3) 1 1 5.5 x x x x 4y x.x.x.x.4y x x x x 4y = Cách 1: S = ≥ 1 x 4y x 4y x 1 x y y minS = x 4x Cách 2: S = = f(x), 0<x< x2 (5 4x)2 4 2 0 x x (5 4x) f(x) = ; f(x) = x=1 Lập bảng xét dấu f(x), suy minS = x y x y x 4y x y ≤ Cách 3: + (3) x x y y x y Dấu “=” (3) xảy x 4y x y x 1 y 4 5 x 4y x 4y ≥ (3) Vậy minS = 37 (Đại học 2002 dự bị 5) Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b N) nên c ≥ b + thành thử: a c b b2 b 50 50b S = b d ≥ b 50 = Vậy BĐT đề đã chứng minh a 1 d 50 c b Dấu “=” xảy b2 b 50 b 1 50b Để tìm minS, ta đặt = 50 b 50 và xét hàm số có biến số liên tục x: (36) x 1 f(x) = 50 x 50 (2 ≤ x ≤ 48) 1 x2 50 50x2 ; f(x) = 50 x Bảng biến thiên: x2 50 2 x 48 f(x) = x 5 b2 b 50 50b Chuyển biểu thức f(b) = (2 ≤ b ≤ 48, b N) Từ BBT suy b biến thiên từ đến 7, f(b) giảm chuyển sang tăng b biến thiên từ đến 48 Suy minf(b) = min[f(7); f(8)] 49 57 53 64 58 61 53 175 ; 200 175 Ta có f(7) = 350 f(8) = 400 a 1 b c d 50 53 Vậy minS = 175 38 (Đại học 2002 dự bị 6) 1 aha bhb chc 2 Ta có diện tích tam giác: S = 2S 2S 2S a b = ; hb = ; hc = c 1 1 (a b c) hb hc 2S 1 1 1 1 1 a b c h h h 2S (a b c) a b c a b c 1 1 Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) a b c ≥ 1 1 1 a b c h h h 3 a b c và vì S = , nên ta có: 39 (Đại học khối A 2003) u v u v u,v Với ta có: (*) (37) 1 1 a x; ; b y; ; c z; x z y Đặt a b c ab c abc Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: x2 Vậy P = Cách 1: x2 y2 y2 1 1 (x y z) x y z Ta có: P z2 z2 2 1 1 (x y z)2 x y z 33 xyz 2 33 9t xyz t = x y z 3 với t = ( xyz) < t 1 1 0; 0; Q(t) giảm trên Đặt Q(t) = 9t + t Q(t) = – t < 0, t 1 Q(t) 82 Q(t) Q = 82 Vậy P Dấu "=" xảy x = y = z = Cách 2: Ta có: (x + y + z)2 + 1 1 x y z 1 1 x y z = 81(x + y + z)2 + – 80(x + y + z)2 1 1 x y z 18(x + y + z) – 80(x + y + z)2 162 – 80 = 82 Vậy P 82 Dấu "=" xảy x = y = z = 40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm max: y = sin5x + cosx ≤ sin4x + cosx sin4x + cosx ≤ , x R (1) Ta chứng minh: (2) 2 3 (1 – cosx) – sin x ≥ (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ (1 – cosx). – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ≥ (3) Theo BĐT Côsi ta có: (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ (38) 1 32 27 ≤ 2 3 Vậy BĐT (3) đúng (2) đúng y ≤ , x Dấu “=” xảy cosx = x = k2 Vậy maxy = Tìm min: Ta có y = sin5x + cosx ≥ – sin4x + cosx Tương tự trên, ta miny = – , đạt x = + k2 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) (a b c)(b c a) 2bc(1 cos A) (b c)2 a 1 1 1 bc bc bc (1) A A A A sin2 sin 2 (do < 2 ) (3) Biến đổi vế trái (2) sau: A B C A B-C B+C A A sin sin sin sin cos cos sin 1 sin 2 2 2 2 ≤ 2 2 = 2 A 1 1 1 A A 1 A 1 sin sin sin sin 2 2 = – 2 = – 2 = 2 cos2 sin Do (3) suy ra: A B C 1 1 sin sin 2 2 1 (4 3) 8 = 3 = B-C cos 1 A 1200 sin A B C 30 2 Dấu “=” xảy 42 (Đại học khối A 2005) Với a, b > ta có: 1 1 a b a b ab 4ab a b 4ab (a + b) Dấu "=" xảy và a = b Áp dụng kết trên ta có: 1 1 1 1 1 1 1 2x y z 2x+y+z 2x y z = x 2y 2z Tương tự: (1) (39) 1 1 1 1 1 1 1 x 2y z 2y x z 2y x z y 2z 2x = (2) 1 1 1 1 1 1 1 2z x y x y 2z 2z x y = z 2x 2y (3) 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z x yz Vậy: =1 Ta thấy các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy và x = y = z Vậy đẳng thức xảy và x = y = z = 43 (Đại học khối B 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: x x x 12 15 12 15 Tương tự ta có: x x x x 12 15 2.3x x x (1) x 12 20 15 20 x 2.4 2.5x (3) (2) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia vế bất đẳng thức nhận cho ta có đpcm Đẳng thức xảy (1), (2), (3) là các đẳng thức x = 44 (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: + x3 + y3 Tương tự: 1.x3 y3 1 x3 y3 xy xy = 3xy y z3 yz yz 33 z3 x 3 zx zx (2); (1) 3 xy yz zx xy yz zx Mặt khác 3 3 yz zx xy (4) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm Đẳng thức xảy (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức x = y = z = 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Ta có: x + 4x = + + + x 4 (3) (40) 4x x 8 4y 4y ; Tương tự: Vậy 4x 4z 4z 4x 4y 4z 38 4x.4y.4z 4x 4y 4z 6 24 4x y z = 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1+x=1+ x x x x3 44 3 3 y y y y3 y 44 3 3x 3x 3x x 1+ x =1+ y =1+ 1+ y y y 44 33 y3 36 1 164 y y y x3 y3 36 1 x 1 1 x y 33 33 x3 y3 Vậy: 256 = 256 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cách 1: (a 3b).1.1 a 3b 1 (a 3b 2) 3 Ta có: (b 3c).1.1 b 3c 1 (b 3c 2) 3 c 3a 1 (c 3a).1.1 (c 3a 2) 3 1 6 a 3b b 3c c 3a 4(a b c) 6 =3 Suy ra: 3 a b c a 3b b 3c c 3a=1 Dấu "=" xảy a = b = c = Cách 2: Đặt x = z= 3 a 3b x3 = a + 3b; c 3a z3 = c + 3a y= b 3c y3 = b + 3c; x + y + z = 4(a + b + c) = 4 = BĐT cần ch minh x + y + z 3 3 (41) 3 3 y 1.1 Ta có: x3 + + x 1.1 = 3x; y3 + + = 3y; 3 z3 + + z 1.1 = 3z 3(x + y + z) (vì x3 + y3 + z3 = 3) Vậy x + y + z x3 y3 z3 1 a 3b b 3c c 3a=1 a+b+c= a b c 4 Dấu "=" xảy a = b = c = 48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Ta có: x x x2 x y y x 1 x y y x (1) y x 1 1 yx2 yx2 x y x y y x 4 4 Theo BĐT Côsi ta có: 0 y x 1 x x yx2 Dấu "=" xảy x 1 y 49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Ta có: x2 1 y x 1 y 2 x 1 y 1 y y 1 z y 1 z 2 y 1 z 1 z z2 1 x z 1 x 2 z 1 x 1 x Cộng bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có: x2 1 y y 1 z z2 1 x x y z 1 z 1 x 1 y x2 y2 z2 xyz 3(x y z) xyz 1 y 1 z 1 x 4 4 3 3 4 (vì x + y + z xyz = 3) (42) x2 y2 z2 y z x Vậy: 50 (Đại học khối A 2006) Cách 1: 1 1 2 2 x y x xy y Từ giả thiết suy ra: 1 y x Đặt = a, = b, ta có: a + b = a2 + b2 – ab (1) A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab a b (a b)2 nên a + b ≥ (a + b) – Vì ab ≤ (a + b)2 – 4(a + b) ≤ ≤ a + b ≤ Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16 Với x = y = thì A = 16 Vậy giá trị lớn A là 16 Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với S2 – 4P Từ giả thiết S, P 0 S2 Ta có: SP = S2 – 3P P = S x3 y (x y)(x2 y2 xy) (x y)2 xy (x y)2 y3 = x3 y3 = x3 y3 x3 y3 = x y A= x = S2 S S A= P S 1 4S2 S S3 S (vì S0) Đk: S2 – 4P S2 – S S2 S S 1 (*) 3 S3 Đặt h = f(S) = S h= S < 0, S thoả (*) Từ bảng biến thiên, ta có: < h và h 1, S thoả (*) (43) 1 Mà A = h MaxA = 16 x = y = (S = 1, P = ) Cách 3: 1 xy y 3y2 x xy > 2 >0 x y (x + y)xy = A= x x3 y y = 3 x y = 1 x y 1 A x y a3 b3 a b Dễ chứng minh được: (với a + b > 0) dấu "=" xảy a = b 1 y x Áp dụng với a = , b = , ta có: 3 1 1 1 x y x y 2 3 A A 2 A 16 1 2 Dấu "=" xảy x y Vậy Max A = 16 Cách 4: S2 S 3S A 2 P S SP A = P , suy P 1 P S2 SP 1 S 2 3 S – 4P S – 0 S (chia cho S2) S2 Nên: A = P 16 Vậy Max A = 16 (khi x = y = ) 51 (Đại học khối B 2006) Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y) Do OM + ON ≥ MN nên: x 1 y2 x 1 y2 Do đó: A ≥ 1 y y Với y ≤ f(y) = 1 y 4y2 1 y2 = f(y) + – y f(y) = 2y y2 –1 (44) 1 y y 0 2 4y 1 y f(y) = 2y = Do đó ta có bảng biến thiên trên y= 1 y Với y ≥ f(y) ≥ ≥2 >2+ Vậy A ≥ + với số thực x, y Khi x = và y = thì A = + Nên giá trị nhỏ A là + 3 3 (45)