Tìm giá trị tham số của phương trình thõa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm[r]
(1)KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 CHỦ ĐỀ 1:( buổi ) CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Các phép biến đổi thức Hằng đẳng thức đáng nhớ a b a2 2ab b2 2 a b (a b) 2ab a b a2 2ab b2 a b a b a2 b2 a b a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 a b a2 ab b a b3 (a b)3 3ab.(a b) a3 b3 a b a ab b a b c a2 b2 c 2ab 2bc 2ca Một số phép biến đổi thức bậc hai - Đều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A - Các công thức biến đổi thức A2 A A A B B (A 0;B 0) AB A B (A 0;B 0) A 2B A B (B 0) A B A 2B (A 0;B 0) A B B C A B A 2B (A 0;B 0) A AB (AB 0;B 0) B A B (B 0) B C( A B) (A 0;A B2 ) A B A B C C( A B) (A 0;B 0;A B) A B A B Dạng 1: Tìm ĐKXĐ các biểu thức sau Phương pháp: Nếu biểu thức có Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác Chứa bậc chẵn ĐKXĐ: bi u thức dấu Chứa thức bậc chẵn mẫu ĐKXĐ: biểu thức dấu lớn Chứa thức bậc lẻ mẫu ĐKXĐ: biểu thức dấu khác không x 1 x 3 x x2 x x 5 x 2008 x 2008 x -5x (2) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 x 5 x 12 13 √ x −1 √ 3− 21 x 14 2−x 7x 10 x x 11 √ √ 15 x −1 x +5 x 3 7 x 16 7x 14 3 x 17 7x Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp: Thực theo các bước sau Bíc 1: Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bíc 3: §a mét biÓu thøc ngoµi dÊu c¨n Bíc 4: Rót gän biÓu thøc Dạng toán này phong phú vì học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm “mạch bài toán” và tìm hướng đúng đắn, tránh các phép tính quá phức tạp 18 32 50 - 48 + 27 - 45 √ 50− √18+ √200 − √162 √ 5+ √ 20 −3 √ 45 √ 3+ √ 48− √75 − √ 243 48 27 75 108 33 48 75 5 11 50 - 75 - 54 -3 3 √ 12 − √ 27+5 √ 48 10 15 15 + 11 √ 12+5 √ − √ 48 12 √ 32+ √ −5 √ 18 13 √ 20 − √ 45+ √ 14 24 54 150 15 √ 18 −7 √ 2+ √ 162 16 18 32 50 17 125 20 80 45 18 28 63 175 112 19 2 8 50 32 20 50 12 18 75 (3) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 21 75 12 27 22 √ 12+ √75 − √ 27 23 27 12 75 147 24 48 75 243 32 18 5 14 25 49 25 26 27 16 3 6 27 75 2 8 50 32 28 12 35 29 16 30 31 12 31 27 10 32 14 33 17 12 34 7 35 8 28 36 18 65 37 9 38 4 39 24 40 2 41 52 5 42 9 80 43 17 12 44 45 24 8 32 6 √ 8+2 √15 - √ −2 √15 46 17 32 17 32 47 62 6 48 11 11 (4) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 49 15 15 50 4 51 60 45 12 52 9 4 94 30 50 - 96 + 12 15 53 54 √ 4+ √ √ 2+ √2+ √2 √2 − √ 2+ √ 55 56 57 58 √ √3+5 √ 48 −10 √ 7+ √ 32 -2 √ 3+2 √2 − √ − √ √5 − √3 + √ 5+ √ − √ 5+1 √ 5+ √ √5 − √3 √5 −1 Dạng 3: Rút gọn biểu thức 1/ Phương pháp: Thực theo các bướcsau Bước 1: Tìm ĐKXĐ đề bài chưa cho Bước 2: Phân tích các đa thức tử thức và mẫu thức thành nhân tử Bước 3: Quy đồng mẫu thức Bước 4: Rút gọn 2/ ví dụ áp dụng a 3 a P a1 a 4 a a 2 Bµi 1: Cho biÓu thøc: a, Rót gän biÓu thøc P b, TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P a = a 3 a P a, Ta cã: a 3 Gi¶i: a1 a 4 a a 2 a1 a 2 a a a a 2 a 2 VËy P = a 2 a a a a a 3 a 2 a 6 a 2 a a 2 a 4 a 2 ( víi a > 0; a 4) a 8 a 2 a (5) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 b/ Thay a = vào biểu thức P ta đợc: 4 4 3 P= VËy a = th× P = a : a a a a 1 a Bµi 2: Cho biÓu thøc B= a/ Rót gän B b/ TÝnh gi¸ trÞ cña B a = 3+2 c/ TÝnh gi¸ trÞ cña B a = d/ Tìm giá trị a để B < Gi¶i: a/ §KX§: a> 0; a b/ a a 1 a : a ( a 1) a a B= a 3 2 2 1 a 1 32 2 1 5 1 5 B 9 9 2 3 c/ a= a a 0 B 0 a d/ a > a a B VËy B<0 < a< 3/Bài tập áp dụng Rút gọn biểu thức: a a 2 A 1 a a a a (với a 0, a 4 ) a 1 P : a a a a a với a và a 1 Rút gọn biểu thức y 1 Q : y y y y y với y 0; y 1 Cho biểu thức P a 2 a 3 a a Cho biÓu thøc : a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P < 2 a (6) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 x x 3 x 2 x 2 : x x x x x Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P < x2 x 1 x 1 1: x x x x x Cho biÓu thøc P = a) Rót gän P b) So s¸nh P víi 1 a a 1 a a a a 1 a 1 a Cho biÓu thøc : P = a) Rót gän P Tìm a để P < x x 3x x : x x x x Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P b) Tìm x để P < c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 15 x 11 x 2 x x 3 Cho biÓu thøc : P = x x x a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P= 2 c) Chøng minh P b) 10 a) b) 11 x 2 x x1 : x x x x 1 x Cho biÓu thøc : P = Rót gän P ∀ x 1 Chøng minh r»ng P > 1 a 1 a 2 : a1 a a a Cho biÓu thøc P = a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P > 1 1 a 3 a 12 Cho biÓu thøc : A = a a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Xác định a để biểu thức A > 1 (7) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 a 3 a1 a 4 a a 2 13 Cho biÓu thøc : A = a a) Rót gän biÓu thøc sau A b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = a a a a a a 14 Cho biÓu thøc : A = a) Rót gän biÓu thøc A b) Tìm giá trị a để N = -2010 1 A 1 1 a 1 a 15 Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tìm a để A x 2 A x x 1 16 Cho biểu thức: x x x x a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyen x cho A có giá trị nguyên a a a a 1 a : A a a a a a 17 Cho biểu thức a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên 1 x A x x x 18 Cho biểu thức: với x 0; x 1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên a+2 − +¿ √ a+3 a+ √ a −6 19 Cho biÓu thøc : P= √ a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P<1 A 20 Cho biểu thức: x 1 x x x 1 − √a với x 0, x 1 a) Rút gọn A b)Tính giá trị A x = −2 √ x A : x x x x 1 x 21.Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b)Tìm các giá trị x cho A<0 (x 0;x 1) (8) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 22 Cho biểu thức: Rút gọn A Tìm x để A< 23 Cho biÓu thøc: x x -4 + x -1 x +1 x -1 với x 0; x 1 A= E= ( √ x√−1x − x −1√ x ): ( √ x1+1 + x −2 ) a) Rót gän biÓu thøc E b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E x = 3+ √ 24 Cho biÓu thøc : a+2 − +¿ √ a+3 a+ √ a −6 P= √ c) Rót gän P d) Tìm giá trị a để P<1 − √a ( a−1√ a + √ a1−1 ): a −2√ a+1 √ a+1 25 Cho biểu thức: M = a) Tìm điều kiện a để M có nghĩa và rút gọn M b) So sánh M với 1 a+1 + : √ 26 Cho biểu thức: M = a− √ a √ a −1 a −2 √ a+1 ( ) a) Tìm điều kiện a để M có nghĩa và rút gọn M b) So sánh M với a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị Q y 3 2 x 1 : x x x1 27 Cho biÓu thøc: C= a/ t×m §KX§ cña C, vµ rót gän C x 2 x b/ TÝnh gi¸ trÞ cña C x= c/ TÝnh gi¸ trÞ cña x C= x 8x x : 2 x 4 x x x x 28: Cho biÓu thøc :P= a Tìm giá trị x để P xác định b Rót gän P c T×m x cho P >1 (9) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 CHỦ ĐỀ :( buổi ) HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ y ax Dạng 1:Hàm số bậc Hàm số bậc là hàm số cho công thức y = ax + b đó a Hàm số bậc xác với giá trị x R và có tính chất đồng biến a > 0; nghịch biến a < Đồ thị hàm số bậc là đường thẳng Cắt trục tung điểm B(0; b) b A ;0 Cắt trục hoành điểm a (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc) Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc Nếu gọi là góc hợp bới đường thẳng và tia Ox thì a = tg Nếu đường thẳng (d):y = ax + b (a 0) và đường thẳng (d’): y=a’x + b’ (a’ 0) (d) cắt (d’) a a’ a a' (d) trùng (d’) b b' a a' (d) song song (d’) b b' (d) (d’) a.a’ = -1 Bài 1: a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) b) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng trên với trục tung và trục hoành Bài 2: Cho hàm số y = (m – 2)x + m + a) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ c) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y= 2x – đồng quy Bài 3: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1; -4) c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Bài : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Tìm các giá trị m để đường thẳng y = (m – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Bài 5: Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) b) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định Bài : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1) Bài 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d) Tìm giá trị m và n để đồ thị (d) hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4) b) Cắt đường thẳng -2y + x – = c) Song song vối đường thẳng 3x + 2y = Bài 8: Tìm giá trị a để ba đường thẳng : (d1):y = 2x – 5; (d2):y = x + 2; (d3): (10) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 y = ax - 12 đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ Bài 9: CMR m thay đổi thì (d) 2x + (m - 1)y = luôn qua điểm cố định Bài 10: Cho hàm số y = mx + 2q -3 (d) a) Tìm m, q để (d) cắt hai trục Ox và Oy các điểm -2 và b) Tìm m để góc (d) với Ox 300 c) Tìm m để góc (d) với Ox 1350 Bài11:Cho hàm số: y=(m-2)x+n (d).Tìm các giá trị m và n để đồ thị (d) hàm số: a Đi qua điểm A(-1;2) và B(3;-4) b Cắt trục tung điểm có tung độ 1 và cắt trục hoành điểm có hoành độ c Cắt đường thẳng -2y+x-3=0 d Song song với đường thẳng 3x+2y=1 Bài 12: Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10 a) b) c) d) e) f) g) h) Với giỏ trị nào m thỡ y là hàm số bậc Với giỏ trị nào m thì hàm số đồng biến Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ Tìm m để đồ thị qua điểm có hoành độ 10 trên trục hoành Tìmm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìmm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn Bài 13 Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để: a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5 c) Đường thẳng d tạo với Ox góc nhọn d) Đường thẳng d tạo với Ox góc tù e) Đường thẳng d cắt Ox điểm có hoành độ f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – điểm có hoành độ là g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y = Đường thẳng d qua giao điểm hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1 Bài 14: Cho hàm số y = (m -2)x + m + a)Tìm điều kiện m để hàm số luôn luôn nghịch biến b)Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + đồng quy Bài 15: Cho ba đường thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = và (d3): nx - y = n - 1; n là tham số a) Tìm tọa độ giao điểm N hai đường thẳng (d1) và (d2) b) Tìm n để đường thẳng (d3) qua N Bài 16 : Xác định hàm số bậc y = ax + b trường hợp sau: a) a = - và đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ – b) a = và đồ thị hàm số qua điểm A(2; 5) c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y x và qua điểm B(1; ) d) Đồ thị hàm số qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3) (11) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 e) Đồ thị hàm số qua M(2;- 3) và vuông góc với đường thẳng y = x – Bài 17: Với điều kiện nào k và m thì hai đường thẳng : y = (k – 2)x + m – và y = (6 – 2k)x + – 2m a) Trùng b) Song song c) Cắt Bài 18: Cho hàm số y = (a - 1)x + a a) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ - b) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ c) Vẽ đồ thị hai hàm số ứng với giá trị a tìm các câu a và b trên cùng hệ trục toạ độ Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng vừa vẽ Bài 19: Cho hai đường thẳng: y = (k – 3)x – 3k + (d1) và y = (2k + 1)x + k + (d2) Tìm các giá trị k để: a (d1) và (d2) cắt b (d1) và (d2) cắt điểm trên trục tung c (d1) và (d2) song song với d (d1) và (d2) vuông góc với e (d1) và (d2) trùng Bài 59: Cho hàm số : y = ax +b a/ Xác định hàm số biết đồ thị nó song song với y = 2x +3 và qua điểm A(1,-2) b/ Tìm giá trị m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 Dạng 2: Hàm số y ax a/ Hàm số có tính chất: Nếu a > thì hàm số nghịch biến x<0 và đồng biến x> Nếu a < thì hàm số đồng biến x < và nghịch biến x > b/ Đồ thị hàm số là Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng +Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp đồ thị +Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hoành, O là điểm cao đồ thị Dạng 3: Các dạng toán Dạng 1: Xác định hàm số bậc (phương trình đường thẳng) Phương pháp:Dựa vào các điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b thì ax0 + b = y0 Các kết đã nêu phần lý thuyết trên Dạng 2: Xác định hàm số y = ax2 (a 0) Phương pháp:Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x 0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax thì ax02 = y0 Dạng 3: Tìm giao điểm hai đồ thị Phương pháp:Lập phương trình hoành độ giao điểm Giải phương trình, từ đó tìm toạ độ các giao điểm Dạng 4: Tương giao đường thẳng và Parabol Phương pháp:Cho đường thẳng có phương trình y = ax + b (a 0) và Parabol y = ax (a 0) Xét phương trình hoành độ giao điểm Ax = ax + b (1) Ta có số giao điểm hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm phương trình này - Đường thẳng cắt Parabol và phương trình (1) có nghiệm - Đường thẳng không cắt Parabol và phương trình (1) vô nghiệm (12) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 - Đường thẳng tiếp xúc Parabol và phương trình (1) có nghiệm kép y x2 và đường thẳng (d) y = a.x + b Xác định a và b để đường thẳng Bài : Cho (P) (d) qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P) Bài : Cho (P) y x và đường thẳng (d) y=2x + m a) Vẽ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bài 3: Xác định giá trị m để hai đường thẳng có phương trình x y m mx y 1 (d1 ) (d ) cắt điểm trên (P) y 2x Bài 4: Cho (P) y 2x a) Vẽ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x = và điểm B có hoành độ x=2 Xác định các giá trị m và n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bài 5: Cho (P) y x a) Vẽ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -1 và Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) x2 x y y 2 và đường thẳng (d) Bài 6: Cho (P) a) Vẽ (P) và (d) b) Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đó đường tiếp tuyến (P) song song với (d) y x2 ;1 và đường thẳng (d) qua điểm I( ) có hệ số góc là m Bài7 : Cho (P) a) Vẽ (P) và viết phương trình (d) b) Tìm m cho (d) tiếp xúc (P) c) Tìm m cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt y x Bài 8: Cho (P) và điểm I(0;-2) Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m.Vẽ (P) CMR (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B m R a) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 9: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y x và y mx 2m a) Vẽ (P) b) Tìm m cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định đường thẳng (d) (13) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 Bài 10: Cho hàm số y x (P) a) Vẽ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -1 và Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 11: Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng ( d1 ) y=-2(x+1) a) Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì ? b) Tìm a để hàm số y a.x (P) qua A c) Xác định phương trình đường thẳng ( d ) qua A và vuông góc với ( d1 ) d) Gọi A và B là giao điểm (P) và ( d ) ; C là giao điểm ( d1 ) với trục tung Tìm toạ độ B và C Tính diện tích tam giác ABC y x2 và (d) y = x+m Bài 12: Cho (P) a) Vẽ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B c) Xác định pt đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) điẻm có tung độ -4 Bài 13: Cho (P) y x và đường thẳng (d) y = 2x + m a) Vẽ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) y x2 và (d) y = x + m Bài 14: Cho (P) a) Vẽ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B c) Xác định đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) điẻm có tung độ -4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và qua giao điểm (d') và (P) Bài 15: Cho hàm số y x (P) và hàm số y = x + m (d) a) Tìm m cho (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) Thiết lập công thức tính khoảng cách hai điểm bất kì áp dụng Tìm m Bài 16 : x y x2 y a) Vẽ đồ thị (P) hàm số và đường thẳng (D) : trên cùng hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ các giao điểm (P) và (D) câu trên phép tính (14) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 (15) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 Dạng 4: Các dạng toán HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I kiến thức cần ghi nhớ ax by 0 ' ' Hệ phương trình bậc ẩn: a x b y 0 (1) (2) Cách giải 2.1: Phương pháp thế: Bước 1: Từ hai phương trình hệ, biểu thị ẩn theo ẩn vào phương trình còn lại ta phương trình bậc ẩn Bước 2: Giải phương trình ẩn vừa tìm được, từ đó suy nghiệm hệ 2.2: Phương pháp cộng đại số: Bước 1: Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho các hệ số ẩn nào đó hai phương trình đối Bước 2: áp dụng quy tắc cộng đại số ta phương trình bậc ẩn Bước 3: Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ 2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa - Đặt ẩn phụ và điều kiện ẩn phụ (nếu có) - Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt - Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm hệ Một số dạng toán liên quan đến hệ phương trình bậc hai ẩn Dạng 1: Giải và biện luận HPT - Từ HPT đã cho, biến đổi để phương trình dạng ax = b b - Biện luận: + Nếu a thì x = a , từ đó tìm y và suy nghiệm hệ + Nếu a = 0, ta có 0x = b Nếu b = thì hệ VSN, b thì hệ vô nghiệm Dạng 2: Xác định tham số m nguyên để hệ có nghiệm (x; y) nguyên - Tìm nghiệm (x; y) hệ theo tham số m - Viết x, y hệ dạng: n + k f (m) với n, k nguyên - Tìm m nguyên để f(m) là ước k Dạng 3: Hệ gồm ba phương trình hai ẩn - Chọn phương trình hệ, giải tìm nghiệm hệ phương trình này - Nếu nghiệm (x; y) vừa tìm thoả mãn phương trình thứ thì (x; y) là nghiệm hệ đã cho, nghiệm (x; y) vừa tìm không thoả mãn phương trình thứ thì (x; y) không là nghiệm hệ đã cho Dạng 4: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm a, B - Lần lượt thay toạ độ A và B vào y = ax + b ta hệ phương trình hai ẩn a và b - Giải HPT này ta tìm a và b II.Bài mẫu Bài 1: Giải hệ phương trình sau phương trình phương pháp 2 x y 3 3x y 7 x y 3 Giải 3 x y 7 y 2 x 3 x x 7 y 2 x x 2 x 2 5 x 10 y 2.2 y 1 (16) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 x 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: y 1 Bài 2: Giải hệ phương trình sau phương trình phương pháp cộng đại số x y a/ 5 x y 6 x y 3 5 x 10 x 2 x 2 3 x y 7 3.2 y 7 y 1 Giải 3 x y 7 x 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: y 1 b/ Để giải loại hệ phương trình này ta thường sử dụng PP cộng cho thuận lợi x y 10 x 15 y 10 5 x y 6 10 x y 12 11 y 22 5 x y 6 y 5 x 2.( 6) x 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: y x 2 y Bài 3: Giải hệ phương trình sau phương trình phương pháp đặt ẩn phụ x y x y Cách 1: Sử dụng phương pháp cộng đại số (ĐK: x 1, y 0 ) x y x y 2 y 2 1 x y y 1 1 x 1 y 1 x 1 x x 2 y 1 y 1 x y 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ (ĐK: x 1, y 0 ) 1 b a y x Đặt ; Hệ phương trỡnh đó cho trở thành: x 2a 3b 2a 5b 1 2a 5.1 1 a 1 y 2a 5b 1 2b 2 b 1 b 1 x y 1 (TMĐK) (17) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 x y 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: Lưu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho hệ phương trình dạng này - Có thể thử lại nghiệm hệ phương trình vừa giải III.Bµi tËp Dạng 1: Giải các hệ phương trình Bài 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau b»ng ph¬ng tr×nh ph¬ng ph¸p thÕ x y 2 x y 1 a) 3 x y 5 d) 2 x y 18 2 x y 1 x y 2 b) x y 5 e) 2 x y x y 7 g) 2 x y 4 ¿ x+ y=7 x − y =1 ¿{ h) ¿ x y 1 x y 2 c) x y 4 f) 6 x y i) ¿ x+ y =3 x −2 y=1 ¿{ ¿ (1) (2) Bài 2: Giải hệ phơng trình sau phơng trình phơng pháp cộng đại số 2 x y 9 x y 4 a) x y 1 2 5 x y 3 2 x y 3 x y 6 b) d) e) 3 x y 3 x y 7 g) x y 6 x y 4 h) 3x y 7 2 x y 3 x y 1 k) 2 x y ¿ (1+ √ 2) x+(1 − √ 2) y=5 (1+ √ 2) x +(1+ √2) y=3 ¿{ ¿ l) c) f) x y 3 3x y 2 ¿ x √ 2− y =1 x + y √ 2=−2 ¿{ ¿ 3 x y 10 x y 3 3 i) 5 x y 2 x y 2 m) Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: a) y=8 {23xx+3− y=1 2 x y 4 d) 3x y 1 3 x y 0 g) x y 0 b) y=17 {67xx+5−5y=− x y 1 e) 3 x y 3 0, x y 2 h) x 15 y 10 c) y=−5 {129 xx−5+7y=− 14 x y 5 f ) 3x y 1 ; x 3 y i) 2 x y 2007 (18) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 2 x y 6 5 x y 5 m) y x 5 x y 6 l) 3 x y 2 k) y x 6 Dạng 2: Giải các hệ phương trình cách đặt ẩn phụ Bài 4: Giải hệ phơng trình sau phơng pháp đặt ẩn phụ a) ¿ 1 − =1 x y + =5 x y ¿{ ¿ b) x 2y y 2x 3 d) 1 x 2y y 2x ¿ 1 + =2 x−2 y−1 − =1 x −2 y −1 ¿{ ¿ ¿ x 2+ y 2=5 x −3 y 2=1 ¿{ ¿ c) 3x x y 4 e) ; 2x 9 x y x 1 3y x y 7 g) 4 x y Dạng 3: Giải bài toán cách lập hệ phương trình Bài : Một ô tô và xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đờng dài 156 km sau thì gặp Nếu cùng chiều và xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km TÝnh vËn tèc mçi xe HDẫn giải Vôtô = 40km/h; Vxe đạp = 12km/h Bµi 9: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ c¹n níc, sau ®Çu chØ më vßi thø nhÊt, sau giê më vßi thø hai th× sau giê th× ®Çy bÓ NÕu lóc giê n÷a míi ®Çy bÓ NÕu mét m×nh vßi thø ch¶y bao l©u sÏ ®Çy bÓ §S: giê Bài 10 Nhà Lan có mảnh vờn trồng rau cải bắp Vờn đợc đánh thành nhiều luống, mçi luèng trång cïng mét sè c©y c¶i b¾p Lan tÝnh r»ng: NÕu t¨ng thªm luèng rau, nhng mçi luèng trång Ýt ®i c©y th× sè c©y toµn vên Ýt ®i 54 c©y NÕu gi¶m ®i luèng, nhng mçi luèng trång t¨ng thªm c©y th× sè rau toµn vên sÏ t¨ng thªm 32 c©y Hái vên nhµ Lan trång bao nhiªu c©y c¶i b¾p (sè c©y c¸c luèng nh nhau) ¿ (x+ 8)( y − 3)=xy −54 HDÉn gi¶i HPT cÇn lËp: ( x − 4)( y +2)=xy+32 ⇒ x=50 ; y=15 ¿{ ¿ Bµi 6:(197/24 – 500 BT chän läc ) Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm và ngời thứ hai làm thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm công việc đó thì xong Gi¶i: Gäi x , y lÇn lît lµ sè giê ngêi thø nhÊt ngêi thø hai mét m×nh lµm xong c«ng viÖc đó ( x > , y > ) (19) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 Ta cã hÖ pt ¿ 1 + = x y 16 + = x y ⇔ ¿ x=24 y=28 ¿{ ¿ Bµi : ( 198/24 – 500 BT chän läc ) Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng chøa níc th× sau giê ®Çy bÓ NÕu vßi thứ chảy , vòi thứ chảy thì đợc bể Hỏi vòi ch¶y mét m×nh bao l©u th× ®Çy bÓ ? Gi¶i : Gọi x , y lần lợt là số vòi thứ , vòi thứ hai chảy đày bể mình ( x > , y>0) Ta cã hÖ pt ¿ 1 + = x y + = x y ⇔ 3 ¿ + = x y 2 + = x y ⇔ ¿ x=10 y=15 ¿{ ¿ x = 10 , y = 15 tho¶ m·n ®k cña Èn VËy vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh mÊt 10 giê , vßi thø hai ch¶y mét m×nh mÊt 15 giê Bµi tËp ( 199/24 - 500 BT chän läc ) Hai ngời dự định làm công việc 12 thì xong Họ làm với đợc giê th× ngêi thø nhÊt nghØ , cßn ngêi thø hai vÉn tiÕp tôc lµm Do cè g¾ng t¨ng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai đã làm xong công việc còn lại 3giờ 20phút Hỏi ngời thợ làm mình với suất dự định ban đầu thì bao l©u míi xong c«ng viÖc nãi trªn ? ( §Ò thi chuyªn to¸n vßng tØnh Kh¸nh hoµ n¨m 2000 – 2001 ) Gi¶i: Gäi x , y lÇn lît lµ thêi gian ngêi thî thø nhÊt vµ ngêi thî thø hai lµm xong c«ng việc với suất dự định ban đầu (c«ng viÖc ) Một ngời thứ làm đợc x (c«ng viÖc ) Một ngời thứ hai làm đợc y Một hai ngời làm đợc (công việc ) 12 (20) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 Nªn ta cã pt : + = x y 12 (1) = (c«ng viÖc ) 12 C«ng viÖc cßn l¹i lµ - = ( c«ng viÖc ) 3 N¨ng suÊt cña ngêi thø hai lµm mét m×nh lµ = (C«ng viÖc ) y y Mµ thêi gian ngêi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc cßn l¹i lµ 10 (giê) nªn ta cã pt 10 y 10 : = hay = (2) y hai ngời làm đợc Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt : x y = + = y 10 12 ¿ x =30 y=20 ¿{ ¿ Vậy theo dự định ngời thứ làm xong công việc hết 30giờ và ngời thứ hai hết 20 giê Bài : Một ô tô và xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đờng, sau thì hai xe gặp Nếu cùng chiều và xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe đạp và ô tô HD : Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc ô tô là y (km/h) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ x+3 y =156 y − x=28 ⇔ ¿ x=12 y =40 ¿{ ¿ Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc ô tô là 40 (km/h) Bài : Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB và thời gian dự định từ A đến B HD : Gọi quãng đờng AB là x(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B là y (giờ) (x > ; y > 1) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ x −2= y 35 x y − =1 50 ⇒ ¿ x =350 y =8 ¿{ ¿ Vậy quãng đờng AB là 350(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B là (giờ) (21) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 Bài : Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách 85 km và ngợc chiều Sau giê 40 phót th× gÆp TÝnh vËn tèc thËt cña mçi ca n«, biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ngîc dßng lµ km/h vµ vËn tèc dßng níc lµ 3km/h HD : Gäi vËn tèc thËt cña ca n« ®i xu«i dßng lµ x(km/h), vËn tèc ca n« ®i ngîc dßng lµ y (km/h) (x,y > 3) Theo bµi ta cã ph¬ng tr×nh : ¿ x+ 3−( y −3)=9 5 ( x +3)+ ( y −3)=85 3 ⇒ ¿ x=27 y =24 ¿{ ¿ VËy vËn tèc thËt cña ca n« ®i xu«i dßng lµ 27(km/h), vËn tèc ca n« ®i ngîc dßng lµ 24 (km/h) Bài : Hai đội công nhân cùng làm công việc 16 ngày thì xong Nếu đội thứ làm ngày, đội thứ hai làm ngày thì hoàn thành đợc công việc Hỏi làm mình thì đội hoàn thành công việc đó bao lâu ? HD : Gọi thời gian đội thứ hoàn thành công việc mình là x ( ngày) Thời gian đội thứ hai hoàn thành công việc mình là y ( ngày) ⇒ 1 + = x y 16 + = x y Vậy thời gian đội thứ hoàn thành công việc mình là 24 ⇒ ¿ x=24 y =48 ¿{ ( ngày) Thời gian đội thứ hai hoàn thành công việc mình là 48 ( ngày) Bµi : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau giê 20 phót ®Çy bÓ NÕu mở vòi thứ 10 phút, vòi thứ hai 12 phút thì đợc bể nớc Hỏi 15 nÕu ch¶y mét m×nh th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ ? HD : Gäi thêi gian vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x (phót), thêi gian vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ y (phót) ⇒ 80 80 + =1 x y 10 12 + = x y 15 VËy thêi gian vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ 120 (phót), thêi gian ⇒ ¿ x=120 y=240 ¿{ vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ 240 (phót) (22) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 Bµi : Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng ng¾n h¬n chiÒu dµi 45 m TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng, biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m ®i lÇn vµ chiÒu réng t¨ng lªn lần thì chu vi ruộng không thay đổi HD : Gäi chiÒu réng cña thöa ruéng lµ x (m), chiÒu dµi cña thöa ruéng lµ y (m) ( x> 0, y > 0) ⇒ y − x=45 y 2( x + y)=2(3 x+ ) ⇒ ¿ x=15 y=60 ¿{ ⇒ DiÖn tÝch cña thöa ruéng lµ : 900 m2 Bµi : T×m hai sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng 11, nÕu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho thì nó tăng thêm 27 đơn vị HD : Gäi sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè lµ ab ( 0< a≤ 9,0 ≤ b ≤ ) ⇒ a+b=11 ba − ab=27 ⇒ VËy sè cÇn t×m lµ 47 ¿ a=4 b=7 ¿{ (23) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 CHỦ ĐỀ 4: ( buổi ) PHƯƠNG TRÌN BẬC HAI I kiến thức cần ghi nhớ Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax bx c 0 (a 0) (1) 2 Công thức nghiệm: Ta có b 4ac - Nếu > thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt - Nếu = thì phương trình (1) có nghiệm kép - Nếu < thì phương trình (1) vô nghiệm x1,2 x1 b b x2 2a ; 2a b 2a x1 x b c x1.x a ;P= a Hệ thức Viet: Nếu phương trình (1) có nghiệm x1; x2 thì S = Giả sử x1; x2 là hai nghiệm phương trình ax bx c 0 (a 0) Ta có thể sử dụng định lí Viet để tính các biểu thức x1, x2 theo a, b, c S1 = x12 x 22 x1 x 2x1x b2 2ac a2 S2 = x13 x 23 x1 x 3x1x x1 x x1 x2 x1 x2 x1 x2 3abc b a3 4x1x b2 4ac a2 S3 = Ứng dụng hệ thức Viet a) Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax bx c 0 (a 0) - Nếu a + b + c = x1 = 1; x2 c a x c a - Nếu a - b + c = x1 = -1; b) Tìm hai số biết tổng và tích: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm phương trình bậc hai X2 - SX + P = c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax bx c 0 ( a ) có hai nghiệm x1; 1 x2 thì d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phương trình ax bx c 0 (a 0) (1) ax bx c a x x x x c 0 - Nếu a thì phương trình có hai nghiệm trái dấu c 0 - Nếu a thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (24) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 c 0 a b 0 - Nếu a thì phương trình có hai nghiệm dương c 0 a b a Nếu thì phương trình có hai nghiệm âm e) Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: S x1 x2 P x1 x2 Dấu nghiệm x1 x2 Trái dấu P<0 Cùng dấu, P>0 Cùng dương + + S>0 P>0 Cùng âm S<0 P>0 0 0 0 0 Điều kiện chung ; P < 0 ;P>0 0 ;P>0;S>0 ; P > ; S < Các dạng toán bản: Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Phương pháp: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là b 4ac c 0 a Trong trường hợp cần chứng minh có ít hai phương trình ax bx c 0 ; a' x b' x c ' 0 có nghiệm người ta thường làm theo hai cách sau: Cách 1: Chứng minh 1 0 Cách 2: 1. 0 Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích Phương pháp: Bước 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm phương trình bậc hai X2 - SX + P = Bước 2: Giải phương trình X2 - SX + P = Bước 3: Kết luận Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1 x b c x1.x a ;P= a , theo m Bước 2: Tính S = Bước 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P 1 S 1 S2 2P 2 2 x x S S 3P x x x x S 2P P x x2 P2 2 với chú ý ; ; ; 3 Dạng 4: Hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Tính S = x1 x b c x1.x a ;P= a , theo m (25) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 Bước 3: Khử m để lập hệ thức S và P, từ đó suy hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc tham số m Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với hệ thức cho trước Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1 x b c x1.x a ;P= a , theo m Bước 2: Tính S = Bước 3: Giải phương trình với ẩn số m, so sánh điều kiện Bước 4: Kết luận Phương trình quy phương trình bậc (bậc hai) Phương trình chứa ẩn mẫu số: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Qui đồng mẫu số để đưa phương trình bậc (bậc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc (bậc hai) trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đưa phương trình bậc (bậc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc (bậc hai) trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm Phương trình trùng phương: ax bx c 0 (a 0) Phương pháp: Bước 1: Đặt x2 = t Bước 2: Biến đổi đưa phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm Phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + d = b + c Phương pháp:Bước 1: Đặt t = x + (a + d)x + k = x + (b + c)x + k với k = ad bc Bước 2: Biến đổi đưa phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x Phương trình hồi qui a) Dạng 1: Phương trình có dạng ax bx cx bx a 0 (a 0) Phương pháp: Bước 1: Chia hai vế phương trình cho x2 t x x với điều kiện t 2 và đưa phương trình bậc hai ẩn t Bước 2: Đặt Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x b) Dạng 2: Phương trình có dạng ax bx cx bx a 0 (a 0) Phương pháp: Bước 1: Chia hai vế phương trình cho x2 t x x và đưa phương trình bậc hai ẩn t Bước 2: Đặt Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x (26) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 e d Phương trình có dạng ax bx cx dx e 0 với a b ; e Phương pháp: 2 d d d d d d t x t x x x t bx bx b bx b bx Bước 1: Đặt Bước 2: Đưa phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm x a x b Phương trình có dạng x c a b a b a b x a t ;x b t 2 Phương pháp: Bước 1: Đặt t = Bước 2: Đưa phương trình trùng phương ẩn t Bước 3: Giải phương trình trùng phương trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm II Bài mẫu: VD : Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – = m Giải phương trình với Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 x 1 10 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 và x2 phương trình không phụ thuộc vào m x1 x 11 Tìm GTNN 2 2 1 12 Tìm GTLN 13 Khi phương trình có hai nghiệm x1 và x2 , chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m x x x 4x B x1 x x1x 22 x x12 Giải : 1/ Giải phương trình với m x x 0 3x2 7x 0 ta có phương trình : 3 Với m 4.3.2 49 24 25 0; 5 x1 7 75 ; x2 2 6 phương trình có hai nghiệm phân biệt : (27) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 m vµ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Vậy với 2/ Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - b 4ac [- 2m 1 ]2 4.1 m 1 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2m 1 Vì 2 0 víi mäi m 2m 1 1 1 víi mäi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m 3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Phương trình có hai nghiệm trái dấu Vậy với m<1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu 4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ac m m m 0 2m 1 0( lu«n dóng ) m m m 10 ac0 Vậy với m > thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu 5/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Phương trình có hai nghiệm cùng dương 0 ac b a 2m 0 m 10 m 1 2m 2m m m m Vậy với m > thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương 6/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - Phương trình có hai nghiệm cùng âm 0 ac b a 2m 0 m 10 m 1 2m 2m m m v« nghiÖm Vậy không có giá trị nào m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng âm 7/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2 2m 1 4.1 m 1 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2m 1 Vì 2 0 víi mäi m 2m 1 1 1 víi mäi m hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với m c m Theo định lí Viet ta có x1.x2 = a nên phương trình luôn có (28) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 Phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo x1.x2 = m 1 m 2 Vậy với m = thì phương trình đã cho có hai nghiệm là hai số nghịch đảo 8/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1 2 2m 1 4.1 m 1 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2m 1 Vì 2 0 víi mäi m 2m 1 1 1 víi mäi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với m (*) x x 2m x x m Theo định lí Viet ta có : 1 2 (1) (2) x1 x2 2m x x2 2x 5x (3) Theo đề bài ta có kết hợp với (2) ta có hệ pt 10m x1 4m x (4) (1) (3) Thay (4) vào (2) ta phương trình : 10m 4m m 10m 4m 9 m 1 10m 40m 16m 9m 3 40m 17m 0 17 4.40 1089 0; 33 17 33 17 33 m1 ; m2 (TM*) 80 80 m hoÆc m thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề Vậy với bài 2 9/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 x 1 2 2m 1 4.1 m 1 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2 Vì hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với m 2m 0 víi mäi m 2m 1 1 víi mäi m x x 2m x x m Theo định lí Viet ta có : 1 2 nên phương trình luôn có (1) (2) x12 x 22 1 x12 x 22 2x1x 2x1x 1 x1 x 2x1x 1 (3) Theo đề bài : Thay (1) và (2) vào (3) ta có (2m – 1)2 – 2(m – 1) = (2m - 1)2 - 2(m - 1) = 4m 4m 2m 1 4m 6m 0 2m 3m 0 c Phương trình có dạng a + b + c = nên có hai nghiệm là m1 = ; m2 = a ( TM *) m 1 hoÆc m thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề Vậy với bài 10/ Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 và x2 phương trình không phụ thuộc vào m (29) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 2 2m 1 4.1 m 1 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2m 1 Vì 2 0 víi mäi m 2m 1 1 1 víi mäi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với m Theo định lí Viet ta có : x1 x m x x2 x1 x x1 x 2x1 x 1 x1 x m Vậy hệ thức cần tìm là x1 x 2x1.x 1 x1 x 2m x1 x m x x 11/ Tìm GTNN Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2 2m 1 4.1 m 1 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2m 1 Vì 2 0 víi mäi m 2m 1 1 1 víi mäi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với m x x 2m x x m Theo định lí Viet ta có : 1 (1) (2) 2 2 x x 0 A x1 x x1 x x12 2x1x x 22 x1 x 4x1x Đặt A = Thay (1) và (2) vào ta có 2 A 2m 1 m 1 4m 4m 4m 4m 8m 2m 1 với m (3) Mà A 0 nª n tõ (3) A 1víi mäi m Dấu xảy (2m - 2)2 = m 1 Vậy GTNN A x1 x là xảy m = 12/ Tìm GTLN Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - x x 22 x 22 4x12 2 2m 1 4.1 m 1 4m 4m 4m 4m 8m 2m 2m 1 Vì 2 0 víi mäi m 2m 1 1 1 víi mäi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với m x x 2m x x m Theo định lí Viet ta có : 1 (1) (2) 2 A x12 x 22 x 22 4x12 x12 x 22 5x12x 22 x1 x 2x1x x1 x Ta có Thay (1) và (2) vào (3) ta : 2 (3) A 2m 1 m 1 m 1 4m 4m 5m 10m 2m m 4m 2 m 4m 2 m Vì Dấu xảy (m – 2)2 = hay m = m 2 0 víi mäi m A 2 m 2 víi mäi m A x12 x 22 x 22 4x12 Vậy GTLN là m = 13/ Khi phương trình có hai nghiệm x1 và x2 , (30) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 B x1 x x1x 22 x x12 chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m : Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = ; b = 2m - ; c = m - 2 2m 1 4.1 m 1 4m 4m 4m 4m 8m 2m Vì 2m 1 2 0 víi mäi m 2m 1 1 1 víi mäi m nên phương trình luôn có x x 2m x x m hai nghiệm phân biệt x và x với m Theo định lí Viet ta có : 1 2 x12 x 22 x1 x x1 x x1 1 x1 x 1 x Ta cã: B x1x 22 x x12 x12 x 22 x12 x 22 2 x1 x x1 x 2x1x 2m 1 2m 1 m 1 x12 x 22 m 1 4m 4m 2m 2m m 1 4m 8m m 1 m 1 m 1 2 4 Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị m III.Bài tập Dạng 1: Giải phương trình bậc hai x2 - 11x + 30 = 12 x2 - 16x + 84 = x2 - 10x + 21 = 13 x2 + 2x - = x2 - 12x + 27 = 14 5x2 + 8x + = 5x2 - 17x + 12 = 15 3x2 - 2x - = 3x - 19x - 22 = 16 11x2 + 13x - 24 = 17 x2 - 11x + 30 = x2 - (1+ )x + = 10 x2 - 14x + 33 = 6x2 - 13x - 48 = 3x2 + 5x + 61 = 18 19 20 21 x2 - 13x + 42 = 11x2 - 13x - 24 = x2 - 13x + 40 = 3x2 + 5x - = x2 - x - - = 11 x2 - 24x + 70 = 22 5x2 + 7x - = Dạng 2: Dạng tổng hợp phương trỡnh bậc hai – Phương trình chứa tham số Bài 1: Cho phương trình : m x2 2mx m 0 (x là ẩn ) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 2 c) Tính x1 x theo m Bài 3: Cho phương trình : (x là ẩn ) a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m x m x m 0 c) Chứng minh biểu thức M = Bài 4: Tìm m để phương trình x1 x x x không phụ thuộc vào m a) x x 2 m 1 0 có hai nghiệm dương phân biệt b) 4x 2x m 0 có hai nghiệm âm phân biệt (1) (2) (31) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 m 1 x c) m 1 x 2m 0 có hai nghiệm trái dấu Bài 5: Cho phương trình : a) Chứng minh phương trình trên có nghiệm tráI dấu với a 2 x a x a a 0 2 b) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2 Tìm giá trị a để x1 x đạt giá trị nhỏ trình Bài 9: Cho phương trình bậc hai tham số m : x 4x m 0 a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm 2 b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x 1và x2 thoả mãn điều kiện x1 x = 10 Bài 11: Cho phương trình (với m là tham số ) a) Giải và biện luận số nghiệm phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 1; x2 hãy tìm hệ thức liên hệ x1; x2 mà không phụ thuộc vào m x m x 2m 10 0 2 c) Tìm giá trị m để 10x1x x1 x đạt giá trị nhỏ Bài 12: Cho phương trình với m là tham số a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1 b) Xác định giá trị m dể phương trình có tích hai nghiệm 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm phương trình c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m m x 2mx m 0 x1 x 0 x x1 2 d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: Bài 13: Cho phương trình: x mx m 0 (m là tham số) a) Chứng tỏ phươnh trình có nghiệm x 1; x2 với m; tính nghiệm kép ( có) phương trình và giá trị m tương ứng 2 b) Đặt A x1 x 6x1x Chứng minh A m 8m c) Tìm m để A = và tìm giá trị nhỏ A và giá trị m tương ứng d) Tìm m cho phương trình có nghiệm này hai lần nghiệm Bài 14: Cho phương trình: a) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm b) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương c) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối và trái dấu x m x m2 4m 0 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm có phương trình Tính x1 x theo m Bài 15: Cho phương trình x m x m 0 a) Giải phương trình m = b) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình Tìm m để : x1(1 2x ) x (1 2x1 ) m Bài 16: Cho phương trình x mx n 0 (1) (n , m là tham số) (32) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 a) Cho n = CMR phương trình luôn có nghiệm với m b) Tìm m và n để hai nghiệm x 1; x2 phương trình (1) thoả mãn hệ : x1 x 1 2 x1 x 7 Bài 20: Cho phương trình: ( k là tham số) a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình Tìm giá trị k cho x k x 2k 0 x12 x 22 18 Bài 21: Cho phương trình (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Giải phương trình (1) m bất kì c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm m Bài 23: Cho phương trình x 2mx 2m 0 a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1; x2 với m 2m x 4mx 0 2 b) Đặt A = 2(x1 x ) 5x1x CMR A = 8m 18m Tìm m cho A = 27 c) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai nghiệm Bài 24: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = Bài 25: Giải và biện luận phương trình: (m - 3) x2 – 2mx + m – = Bài 37: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = a) Giải phương trình với m = b) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2 Tìm các giá trị m thoả mãn 5x1 + x2 = Bài 38/ Cho phương trình: x2 – 4x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = -20 b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó Bài 2/ Cho phương trình: x2 – (m - 2)x + m – = 0.(x: là ẩn, m: là tham số) a/ Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m b/ Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài 3/ Cho phương trình: (m – 1)x2 – 5x + = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Định giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó b/ Định giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài 4/ Cho phương trình: (m – 4)x2 – 6x + = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình m = Bài 5/ Cho phương trình: x2 – (m – 4)x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m Bài 6/ Cho phương trình: x2 – (m – 3)x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m c/ Định giá trị m để phương trình có nghiệm này gấp ba nghiệm Bài 7/ Cho phương trình: 5x2 – 2x + m = (x: là ẩn, m: là tham số) (33) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 a/ Giải phương trình m = -16 b/ Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó c/ Tính giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dương Bài 8/ Cho phương trình: x2 – (m – 2)x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m b/ Tìm giá trị m để phương trình có hai nhiệm đối Bài 10/ Cho phương trình: x2 – 9x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = -9 b/ Tính giá trị m để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm Bài 11/ Cho phương trình: mx2 – 4x + = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó Bài 12/ Cho phương trình: x2 – (m – 5)x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m c/ Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dương Bài 13/ Cho phương trình: (m – 1)x2 – (2m + 1)x + = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = b/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m c/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại Bài 14/ Cho phương trình: x2 – 5x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = 2; m = b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó c/Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm này gấp bốn nghiệm Bài 15/ Cho phương trình: x2 – 8x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm 10 Tính nghiệm còn lại b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm này gấp ba nghiệm Bài 16/ Cho phương trình: x2 – (m – 1)x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại c/ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m Bài 17/ Cho phương trình: x2 – 4x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = -3 b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại c/Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm d/Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm này gấp bốn nghiệm Bài 18/ Cho phương trình: x2 – 3x + m – = (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = -7 (34) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 b/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 x2 + = x2 x1 Bài 19/ Cho phương trình: x2 – 2mx – 4m – 11 = 0; (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trình m = b/ Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 x2 + =− x −1 x − Dạng 3: Định lí Viet Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 3 ; x2 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên S x1 x2 5 P x1 x2 6 Theo hệ thức VI-ÉT ta có x1 ; x2 là nghiệm phương trình có dạng: x Sx P 0 x x 0 Bài tập: Lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm sau x1 = x2 = -3 x1 = 36 x2 = -104 x1 = x1=2 x1=-5 x1=-4 x2 = x1 , x2 x2=5 x2=7 x2=-9 Dạng Tìm giá trị tham số phương trình thõa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Đối với các bài toán dạng này, ta làm sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và 0) Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số) Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ: Cho phương trình : mx m 1 x m 3 0 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 và x2 l à : Tìm giá trị tham số m để (35) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 m 0 ' m 21 9(m 3)m 0 m 0 2 ' 9 m 2m 1 9m 27 0 m 0 m 0 ' 9 m 1 0 m 6(m 1) x1 x2 m x x 9(m 3) m Theo hệ thức VI- ÉT ta có: và từ giả thiết: x1 x2 x1 x2 Suy ra: 6( m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 6m 9m 27 3m 21 m 7 m m ậy với m = thì phương trình đã cho có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : V x1 x2 x1.x2 Bài tập áp dụng 1.Cho pt x - 6x + m = TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: a) x12 + x22 = 36 b) 1 + =3 x1 x2 c) d) 1 + = x12 x22 x1 - x2 = 2.Cho pt x - 8x + m = Tìm các giá trị m để pt có hai nghiệm x 1; x2 thoả các hÖ thøc sau: a) b) c) d) x12 + x22 = 50 x1 = 7x2 2x1 + 3x2 = 26 x1 - x2 = x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = Cho pt Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm pt? a) Tìm k để pt: b) Tìm m để pt: c) Tìm k để pt: x2 + (k - 2)x + k - = x2 - 2(m - 2)x - = Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - = x12 + x22 = 10 x12 + x22 = 18 cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 x1 = 2x2 (36) KẾ HOACH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2013-2014 5x + 2x2 = d) Tìm m để pt: 5x + mx - 28 = có hai nghiệm x1; x2 thoả Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm kh¸c cña pt: 1 + =x1 x2 6.Cho phương trình : mx2 + (m - 1)x + 3(m - 1) = mx m x m 0 Chøng minh: Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 0 Cho phương trình : x m 1 x 5m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 1 8.Cho phương trình : thức : 3x1 x2 6 3x 3m x 3m 1 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ (37) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 CHỦ ĐỀ 5: ( buổi ) CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ MỘT SỐ C ÂU LIÊN QUAN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cùng cách điểm -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù -Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm còn lại hai góc -Chứng minh tổng góc ngoài đỉnh với góc đối diện bù -Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp (Trong đó ) -Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp (Trong đó ) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; … Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc đường tròn ta có thể chứng minh điểm lúc Song cần chú ý tính chất “Qua điểm không thẳng hàng xác định đường tròn” B BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H và cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chøng minh r»ng: Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H và M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 900 CF là đờng cao => CF AB => BFC = 900 Nh E và F cùng nhìn BC dới góc 900 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: AEH = ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung => AEH ADC => => AE.AC = AH.AD * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung => BEC ADC => => AD.BC = BE.AC Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 = C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB HM => CHM c©n t¹i C => CB là đơng trung trực HM H và M đối xứng qua BC Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED Chứng minh tơng tự ta có FC là tia phân giác góc DFE mà BE và CF cắt H đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao) Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đờng tròn Chøng minh ED = BC Chứng minh DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (38) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1) Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + => CEH + CDH = 180 E3 = 900 = OED => DE OE t¹i E Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Vậy DE là tiếp tuyến đờng tròn Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp (O) t¹i E Theo gi¶ thiÕt: BE là đờng cao => BE AC => Theo gi¶ thiÕt AH = Cm => OH = OE = BEA = 90 cm.; DH = Cm => OD = cm ¸p dông AD là đờng cao => AD BC => định lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i BDA = 90 Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 900 => E vµ D E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đờng Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By Qua trßn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD là đờng cao điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn lît ë C nên là đờng trung tuyến => D là trung điểm BC Theo trên ta có BEC = và D Các đờng thẳng AD và BC cắt t¹i N 900 1.Chøng minh AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: DB = DM; l¹i 2.Chøng minh COD = 900 cã OM = OB =R => OD lµ 3.Chøng minh AC BD = AB trung trùc cña BM => BM OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC 4.Chøng minh OC // BM // BM ( V× cïng vu«ng gãc 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính CD víi OD) 5.Chøng minh MN AB Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta 6.Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ có I là tâm đờng tròn ngoại nhÊt tiếp tam giác COD đờng kính Lêi gi¶i: CD cã IO lµ b¸n kÝnh Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC AB; BD AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung điểm AB => IO là đờng trung b×nh cña h×nh thang ACDB IO // AC , mµ AC AB => IO AB t¹i O => AB lµ tiÕp 1.Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = tuyến O đờng tròn đờng DM => AC + BD = CM + DM kÝnh CD Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo trªn AC // BD => 2.Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c CN AC cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ , mµ CA = CM; DB = BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900 BN BD 3.Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM CN CM = DM nªn suy = CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ) BN DM áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao tam giác vuông ta => MN // BD mµ BD AB cã OM2 = CM DM, => MN AB Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R => AC BD = ( HD): Ta cã chu vi tø AB gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ Theo trªn COD = 900 nªn OC OD (1) AB không đổi nên chu vi tứ giác Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (39) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 ACDB nhá nhÊt CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt CD lµ kho¶ng tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB ®iÓm) KÎ AC MB, BD MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d là giao điểm OM và AB với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đờng tròn Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển trên đờng thẳng d Lêi gi¶i: (HS tù lµm) Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính Vµ d©y cung) => OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900 nh vËy K, A, B cùng nhìn OM dới góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đờng tròn Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM AB t¹i I Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI là đờng cao áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM = IA2 Ta cã OB MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi => OH AB; còng theo trªn OM AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O có đờng thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động trên d thì H di động nhng luôn cách A cố định khoảng R Do đó quỹ tích điểm H M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chøng minh BM // OP §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t t¹i J Chøng minh I, J, K th¼ng hµng Lêi gi¶i: (HS tù lµm) 2.Ta cã ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; AOM lµ gãc ë t©m AOM ch¾n cung AM => ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ) => AOM AOP = (2) Tõ (1) vµ (2) => ABM = AOP (3) Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (40) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) 3.XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB) => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và nhau) Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON AB => ON PJ Ta còng cã PM OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8) Từ (7) và (8) => IPO cân I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK PO (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Lêi gi¶i: Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => KMF + KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối tứ giác EFMK đó EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM IB ( theo trªn) áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao => AI2 = IM IB Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ ……) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE AF hay BE là đờng cao tam giác ABF (2) Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n t¹i B BAF là tam giác cân B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung ®iÓm cña AF (3) Tõ BE AF => AF HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (41) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung ®iÓm cña HK (6) Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng) (HD) Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn thì AKFI phải là hình thang cân AKFI lµ h×nh thang c©n M lµ trung ®iÓm cña cung AB ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ) (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 (8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M là trung điểm cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng trßn C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E) Chứng minh AC AE không đổi Chøng minh ABD = DFB Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: 1.C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông B có BC là đờng cao => AC AE = AB2 (hệ thức cạnh và đờng cao ), mà AB là đờng kính nên AB = 2R không đổi đó AC AE không đổi 2. ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ) => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) 3.Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD) Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD và EFD là hai góc đối tứ giác CDFE đó tứ giác CEFD là tø gi¸c néi tiÕp Bài 10 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O) CM c¾t (O) t¹i N §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn N đờng tròn P Chứng minh : Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh CM CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào Lêi gi¶i: Ta cã OMP = 900 ( v× PM AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ) Nh M và N cùng nhìn OP dới góc 900 => M và N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM = ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (42) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 => OPM = OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD AB; PM AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C là góc chung => OMC NDC CM CO => CD CN => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đờng thẳng cố định vuông góc víi CD t¹i D V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Lêi gi¶i: Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) IE = EH => IEH c©n t¹i I => => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) (1) E1 = H1 CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2 EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F EF VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung hai nửa đờng tròn Bµi 12 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đợc đờng tròn cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB các nửa đờng tròn có đ=>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (O1) và (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 t©m theo thø tù lµ O, I, K => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµêng trßn (O) t¹i E Gäi M N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, hai góc đối tứ giác BEFC đó BEFC là tứ giác nội tiếp EB= với các nửa đờng tròn (I), (K) XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE 1.Chøng minh EC = MN ABC ( theo Chøng minh trªn) 2.Ch/minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña AE AF c¸c nöa ®/trßn (I), (K) 3.TÝnh MN => AEF ACB => AC AB => AE AB = AF AC diện tích hình đợc giới hạn * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE AB => AH = AE.AB4.TÝnh ba nöa đờng tròn (*) Lêi gi¶i: Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF AC => AH = AF.AC Ta cã: BNC= 900( néi tiÕp ch¾n (**) nửa đờng tròn tâm K) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (43) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật ) Theo giả thiết EC AB C nên EC là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, Vậy MN là tiếp tuyến chung các nửa đờng tròn (I), (K) Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn là S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A và B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chøng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy Lêi gi¶i: XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB CAB Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 900 nh F và A cùng nhìn BC dới góc 900 nên A và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đờng cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài 14 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C vµ D Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (44) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp Lêi gi¶i: Ta có : ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => MCI + MDI = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MCID nên MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trên Ta có BC MA; AD MB nên BC và AD là hai đờng cao tam giác MAB mà BC và AD cắt I nên I là trực tâm tam giác MAB Theo giả thiết thì MH AB nên MH là đờng cao tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy I OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 Mµ A1 + M1 = 900 ( tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai góc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp Bài 15 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M là trung ®iÓm cña ®o¹n AB Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Lêi gi¶i: BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BID = 900 (vì là hai góc kề bù); DE AB M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ đờng kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1) Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đờng thẳng song song với AD mà thôi.) I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O) Bài 16 : Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho AI = 2/3 AO KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi AC c¾t MN t¹i E Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chøng minh AM2 = AE.AC Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (45) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 Chøng minh AE AC - AI.IB = AI2 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME lµ nhá nhÊt Lêi gi¶i: Theo giả thiết MN AB I => EIB = 900; ACB nội tiếp chắn nửa đờng tròn nên ACB = 900 hay ECB = 900 => EIB + ECB = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp Theo gi¶ thiÕt MN AB => A lµ trung ®iÓm cña cung MN => AMN = ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) hay AME = ACM L¹i thÊy CAM lµ gãc chung cña hai tam gi¸c AME và AMC đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM AM AE Theo trªn AME ACM => AC AM => AM2 = AE.AC AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ); MN AB I => AMB vuông M có MI là đờng cao => MI2 = AI.BI ( hệ thức cạnh và đờng cao tam giác vuông) áp dụng định lí Pitago tam giác AIM vuông I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI Theo trên AMN = ACM => AM là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp ECM; Nối MB ta có AMB = 900 , đó tâm O1 đờng tròn ngoại tiếp ECM phải nằm trên BM Ta thấy NO1 nhỏ NO1 là khoảng cách từ N đến BM => NO1 BM Gọi O1 là chân đờng vuông góc kẻ từ N đến BM ta đợc O1 là tâm đờng tròn ngoại tiếp ECM có bán kính là O1M Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ thì C phải là giao điểm đờng tròn tâm O1 bán kính O1M với đờng tròn (O) đó O1 là hình chiếu vu«ng gãc cña N trªn BM Bài 17 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN c¾t (O) t¹i C Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp N Chøng minh NE AB Gọi F là điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA là tiếp tuyến F _ / M cña (O) Chứng minh FN là tiếp tuyến đờng tròn (B; BA) C / _ Lêi gi¶i: (HS tù lµm) E (HD) DÔ thÊy E lµ trùc t©m cña tam gi¸c NAB => NE AB B 3.Theo giả thiết A và N đối xứng qua M nên M là trung điểm AN; F A O H vµ E xøng qua M nªn M lµ trung ®iÓm cña EF => AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FA // NE mµ NE AB => FA AB t¹i A => FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A Theo trªn tø gi¸c AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FN // AE hay FN // AC mµ AC BN => FN BN t¹i N BAN có BM là đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến ( M là trung điểm AN) nên BAN cân B => BA = BN => BN là bán kính đờng tròn (B; BA) => FN là tiếp tuyến N cña (B; BA) Bài 18 Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm) KÎ AC MB, BD MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB 1.Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp 5.Chøng minh ba ®iÓm O, H, M 2.Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®th¼ng hµng êng trßn 6.T×m quü tÝch cña ®iÓm H M 3.Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 di chuyển trên đờng thẳng d 4.Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi Lêi gi¶i: Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (46) KẾ HOẠCH «n thi vµo líp 10 n¨m häc 2012-2013 1.(HS tù lµm) 2.Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính Gv: trÇn V¨n thu©n Trêng thcs qu¶ng th¸i -Qu¶NG x¬ng –Thanh ho¸ (47) Vµ d©y cung) => OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900 nh K, A, B cùng nhìn OM dới góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kÝnh OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đờng tròn Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM AB t¹i I Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ đờng cao áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM = IA2 Ta cã OB MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi => OH AB; còng theo trªn OM AB => O, H, M th¼ng hàng( Vì qua O có đờng thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động trên d thì H di động nhng luôn cách A cố định khoảng R Do đó quỹ tích điểm H M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bµi tËp luyÖn gi¶i Bài : Cho đờng tròn (O) và điểm A bên ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn (O) M là điểm tuỳ ý trên dây BC (M≠B ; M≠ C) đờng thẳng vu«ng gãc víi OM t¹i M c¾t AB, AC lÇn lît ë D vµ E CMR a Tứ giác ODBM và tứ giác ABOC nội tiếp đờng tròn b M lµ trung ®iÓm cña DE Bài : Cho đờng tròn (O) cung AB và S là điểm chính cung đó Trên dây AB lấy hai điểm E và H Các đờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt C và D CMR tứ giác EHCD nội tiếp đờng tròn Bài : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O) Gọi S là điểm chính cung nhỏ CD.đờng thẳng AD cắt BS E đờng thẳng BC cắt AS F CMR a Tứ giác AFEB nội tiếp đờng tròn b ED.EA= ES.EB c DC song song víi EF ❑ ❑ Bài : Cho ∆ ABC nhọn các đờng phân giác góc B và góc C gặp ❑ ❑ S các đờng phân giác ngoài B và C gặp E a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn b> Gọi M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE CMR tứ giác ABMC nội tiếp Bài 5: cho đờng tròn (0) và điểm A ngoài đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (0) B và C gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M≠B ; M≠C ).Tõ M kÎ MH vu«ng gãc víi BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vu«ng gãc víi AB a> chøng minh tø gi¸c ABOC néi tiÕp b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK c> chøng minh MI.MK= MH2 Bài 6: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB M là điểm trên đờng tròn(M≠A; M≠ B) C là điểm trên cạnh AB (C≠A; C≠0;C≠B) đờng vuông góc MC M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B với đờng tròn (0) E va F chứng minh a> Tứ giác BCMF nội tiếp đớng tròn b> Tam gi¸c ECF vu«ng t¹i C Bài 7: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB’ và CC’ cắt t¹i H a)chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCB’C’ b)Tia AO cắt đờng tròn (O) D, cắt B’C’ I CMR tứ giác B’IDC nội tiếp, từ đó suy AO B’C’ c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M BC Bài : cho (O; R) hai đờng kính AB và CD vuông góc với E là điểm chính cña cung nhá BC AE c¾t OC ë F, DE c¾t AB ë N a Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng tròn đó b Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy Bài : cho hai đờng tròn (O1) ; (O2) cắt E và F ; O1O2 cắt (O1) A, C ; cắt (O2) B, D (sắp xếp theo thứ tự A, B, C, D) và cắt EF H P là điểm trên tia đối tia EH CP c¾t (O1) t¹i M ; BP c¾t (O2) t¹i N ; AM c¾t DN t¹i I chøng minh r»ng : (48) a Tø gi¸c MPNI néi tiÕp b HA HC = HB HD c Tø gi¸c BNMC néi tiÕp TÀI LIỆU BỔ SUNG Trong quá trình ôn tập giáo viên kết hợp với các tai liệu: 1/Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Năm 2010-2011 2/Bộ đề thi vào lớp 10 từ khóa thi 2000-2001 đến khóa thi 2010-2011 3/Sách giáo khoa,để học tốt toán 9,nâng cao và phát triển toán và số tài liệu khác (49)