Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao và ma, mb, mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác[r]
(1)§Ò thi chän häc sinh giái líp N¨m häc 2012 - 2013 M«n thi : Toán Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề ) - Bài ( điểm ) Cho P = √ x : 9− x − √ x − − √ x − (1 − x −3 x −9 ) ( x+ √ x − 2− √ x √ x +3 ) Rút gọn P Tìm x để P > Với x > 4, x ≠ Tìm giá trị lớn P.(x + 1) Bài ( điểm ) Tìm tất số tự nhiên n cho n2 – 14n – 256 là số chính phương Cho: a > 0, b > và ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 A = ( a+b +1 ) ( a +b ) + a+ b Bài ( điểm ) Cho hệ phương trình : {√√ x + √ 2012− y=√ 2012 2012 − x + √ y=√ 2012 Chứng minh : x = y Tìm nghiệm hệ phương trình Bài ( điểm ) Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O ’; R’) tiếp xúc ngoài A( R > R ’) Vẽ dây AM đường tròn ( O ) và dây AN đường tròn ( O’) cho AM AN Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn (O) và (O’) với B (O) và C (O’) Chứng minh OM // O’N Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui Xác định vị trí M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn Tính giá trị lớn đó Bài ( điểm ) Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha, hb, hc là các đường cao và ma, mb, mc là trung tuyến các cạnh BC, CA, AB; R và r là bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : ma mb mc R+r + + ≤ hb hc r Tìm tất các cặp số nguyên dương a,b cho : a + b2 chia hết cho a2b – Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp N¨m häc 2012 - 2013 M«n thi : To¸n Bài Nội dung Điểm (2) Bài (6 đ ) Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9 x −3 √ x 9−x x −3 √ x −2 +√ − P = − x −9 : ( √ x +3 ) ( √ x − ) − √ x √ x+ ( )( 0,5đ ) 2 − √x 2− √ x >0 x ≥0,x ≠4, x≠9 0≤ x<4 =…= 2,0đ { P > 0,5đ 0,5đ P ( x + ) = − 3( x +1) =− √ x −2 (√ x − 2+ √ x5− + 4) Áp dụng bất đẳng thức Cô si Max [ P.( x +1) ] =− √ −12 Chỉ dấu x = ( √ 5+2 )2 Bài (4đ) 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Đặt n – 14n – 256 = K ( K є N ) ( n – )2 – K2 = 305 ( n – K – )( n + K – ) = 305 = 1.305 = 61.5 Xét các trường hợp: n + K -7 > n – K – n – K – = và n + K – = 305 => n = 160 n – K – = - 305 và n + K – = -1 => n = -146 ( loại ) n – K – = và n + K – = 61 => n = 40 n – K – = -61 và n + K – = -5 => n = -26 ( loại ) Vậy n = 40, K = 28 n = 160 , K = 152 1,0đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số dương a2 và b2 a2 +b ≥ √a b 2=2 ab=2 2 A = ( a+b +1 ) ( a +b ) + a+ b ≥ ( a+ b+1 ) + a+b = 2+ a+b+ a+ b + ( a+b ) Áp dụng BĐT Cô si có A 2+2 ( a+b ) + √ ab=2+4 +2=8 a+ b ( ( ) 0,5đ 0,5đ ) √ 0,5đ -> Giá trị nhỏ A=8 a = b = 0,5đ Bài (2đ) 2012 {00 ≤≤ xy ≤≤2012 Điều kiện Từ phương trình hệ ta có : √ x+ √ 2012 − y= √2012 − x + √ y <-> √ x − √2012 − x=√ y − √ 2012− y Nếu x > y thì − √ 2012− x> − √ 2012− y => VT > VP ( mâu thuẫn ) Tương tự x < y => VT < VP ( mâu thuẫn ) => x = y => Hệ x= y √ x + √ 2012− x=√ 2012 { (1) (2) 0,5đ 0,5đ 0,5đ (3) Bình phương vế pt (2) => x = x = 2012 => Nghiệm hệ ( x;y) = (0;0),(2012;2012) 0,5đ Bài (5đ) 2,0đ (¿ 180 −2 ^ A 1) => OM //O’N O1=O'1 Gọi P là giao điểm MN và OO’ PO ' O' N R' Có : PO =OM = R Gọi P’ là giao điểm BC và OO’ 0,75đ P ' O ' O' C R ' = = P ' O OB R Do OB // O’C => => P = P’ -> đpcm MNO’C là hình thang có S= ( OM+ O' N ) O' H R+ R ' ( R+ R ' )2 R+ R ' = ⋅O' H ≤ ⋅OO '= 2 2 Dấu “ = “ xảy H Vậy Max S = Bài (2đ) 0,75đ ( R+ R ' ) 2 O OM OO’ và O’N 1,0đ OO’ Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC A1 , B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Có : AA1 = ma ≤ R + OA1 đẳng thức xảy AB = AC BB1 = mb ≤ R + OB1 đẳng thức xảy AB = BC CC1 = mc ≤ R + OC1 đẳng thức xảy AC = BC 0,5đ (4) ma mb mc OA OB1 OC1 1 + + ≤R + + + + + (1) h a hb hc h a hb hc hb hc 2S 2S 2S 2S =a+ b+c= + + Có 2S = ( a + b + c)r -> r hb hc 1 1 Với ( AB = c , BC = a , AC = b ) => h + h + h = r (2) a b c 2S 2S 2S 2S = a OA1 +b OB1 +c OC 1= h ⋅OA + h ⋅ OB+ h ⋅ OC1 a b c OA OB1 OC1 OA OB1 OC1 = 2S h + h + h => h + h + h =1 (3) a b c a b c ma mb mc R+r Từ (1),(2),(3) => h + h + h ≤ r a b c )( ( => ( ) 0,5đ 0,5đ ) Dấu đẳng thức xảy ∆ABC 0,5đ Theo đề bài có : a + b2 = K(a2b – 1) ( K є N* ) a + K = b( Ka2 – b ) a + K = mb (1) 2 Với Ka – b = m ( m є N*) -> m + b = Ka (2) Từ (1) và (2) có ( m – )( b - )= mb – b – m + = a + K – Ka2 + = ( a + 1)( K + – Ka ) (3) Vì m > theo (1) nên ( m – )( b – 1) ≥ Từ (3) => K + – Ka ≥ => K + ≥ Ka => ≥ K( a – ) => a=1 a=2 , K =1 K (a − 1)=0 ⇒¿ K (a− 1)=1 ¿ * Nếu a = từ (3) => (m – 1)(b – 1) = => b = b = => (a; b) = ( 1; 2) và ( 1; 3) * Nếu a = 2, K = => ( m -1)(b – ) = Khi m = từ (1) => ( a; b ) = ( 2; ) Khi b = => (a; b) = ( 2; 1) Thử lại ta có đáp số ( a,b) = (1,2),(1,3), (2,3),(2,1) 0,75đ 0,25đ (5)