Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Thu Hiền Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Văn Tiến, người tận tình bảo tơi mặt nghiên cứu khoa học hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn: GS Claude Comiti, GS Annie Bessot, GS Alain Birebent, PGS TS Lê Thị Hoài Châu, TS Đồn Hữu Hải q thầy tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic tốn khóa 15 Xin chân thành cảm ơn: TS Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giúp đỡ tơi dịch luận văn sang tiếng Pháp Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu đồng nghiệp tổ Toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn bạn lớp Didactic khóa 15 ln động viên chia sẻ vui buồn khó khăn suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết bên cạnh, ủng hộ động viên suốt thời gian qua Bùi Thị Thu Hiền MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Theo truyền thống, tiếp tuyến chủ đề quan trọng chương trình tốn trường phổ thơng Việt Nam, đặc biệt chương trình hình học sơ cấp THCS chương trình Giải tích THPT Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến gắn với khái niệm đạo hàm Trong luận văn tốt nghiệp đại học mình, nhan đề: « Tiếp tuyến đạo hàm phải cặp ?», hai sinh viên người Pháp N Chaboud D Hedde (2000) gắn kết hai khái niệm lịch sử giảng dạy Pháp từ năm 1993 đến năm 1999 Từ đó, chúng tơi thấy cần thiết đặt câu hỏi khởi đầu sau đây: Tại khái niệm tiếp tuyến gắn liền với khái niệm đạo hàm? Chúng kết hợp với nào? Vai trò, ý nghĩa khái niệm kết hợp ? Có câu trả lời cho câu hỏi cho phép – giáo viên toán THPT hiểu rõ đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ có vận dụng thích hợp trình thực hành nghề nghiệp Phạm vi lí thuyết tham chiếu Lí thuyết nhân chủng học Didactic toán với khái niệm mấu chốt “mối quan hệ thể chế”, “Mối quan hệ cá nhân” cơng cụ lí thuyết mà chúng tơi sử dụng nghiên cứu Trong phạm vi lí thuyết từ câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tơi trình bày hệ thống câu hỏi nghiên cứu luận văn sau : Q1: Trong lịch sử phát triển Toán học, mối quan hệ đạo hàm tiếp tuyến thiết lập tình nào? Đặc trưng mối quan hệ này? Có đối tượng khác ln gắn liền với chúng ? Mỗi đối tượng có vai trị chức mối quan hệ đó? Q2: Trong hệ thống dạy học tốn trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đạo hàm tiếp tuyến, quan hệ chúng hình thành ? Với đặc trưng so với quan hệ chúng lịch sử ? Có ràng buộc thể chế chúng? Q3: Mối quan hệ thể chế nêu ảnh hưởng lên mối quan hệ cá nhân học sinh? Mục đích phương pháp nghiên cứu Mục đích luận văn tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt mục Để đạt điều đó, chúng tơi tiến hành nghiên cứu sau : - Phân tích, tổng hợp số tài liệu hay cơng trình biết lịch sử hay khoa học luận để làm rõ đặc trưng mối quan hệ đạo hàm tiếp tuyến, đặc biệt vai trò, chức đối tượng kết hợp Kết chương sở tham chiếu cho phân tích mối quan hệ thể chế tiếp sau - Phân tích, tổng hợp số kết luận văn hai sinh viên Pháp N Chaboud, D Hedde (2000) phân tích chi tiết SGK Pháp nhằm mục tiêu làm tham chiếu cho phân tích CT SGK Việt Nam - Trên cở sở nghiên cứu trên, tiến hành phân tích CT SGK tốn lớp SGK THPT hành Vịêt Nam nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt Q2, mục - Triển khai thực nghiệm để kiểm chứng ảnh hưởng mối quan hệ thể chế gắn liền với đạo hàm tiếp tuyến lên mối quan hệ cá nhân tương ứng học sinh Đặc biệt, đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu sau (kết rút từ phân tích CT SGK Việt Nam) : Giả thuyết :”Ở bậc THPT, học sinh thiết lập mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm, đạo hàm xấp xỉ affine mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine không diện mối quan hệ cá nhân học sinh” Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần : Phần mở đầu, chương phần kết luận chung - Trong phần mở đầu, chúng tơi trình bày ghi nhận ban đầu, lợi ích đề tài; mục đích phương pháp nghiên cứu; tổ chức luận văn - Chương dành cho việc trình bày kết phân tích tổng hợp cơng trình nghiên cứu khoa học luận lịch sử để làm rõ đặc trưng mối quan hệ đạo hàm tiếp tuyến lịch sử hình thành tiến triển chúng - Trong chương 2, chúng tơi phân tích CT SGK Việt Nam để làm rõ mối quan hệ hai đối tượng nêu Nhưng trước đó, chúng tơi chọn phân tích số tư liệu thể chế dạy học Pháp để làm tham chiếu cho việc phân tích SGK Việt Nam - Chương giới thiệu thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân tương ứng học sinh kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu mục - Trong phần kết luận, chúng tơi tóm tắt kết đạt chương 1, 2, nêu số hướng nghiên cứu mở từ luận văn Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM 1.1 Mục tiêu chương Mục đích chủ yếu chương phân tích tổng hợp số cơng trình nghiên cứu lịch sử, khoa học luận tiếp tuyến đạo hàm để làm rõ đặc trưng mối liên hệ hai khái niệm Cụ thể, dựa vào công trình đánh số [1], [2], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] (xem phần Tài liệu tham khảo) chúng tơi cố gắng tìm câu trả lời cho câu hỏi sau đây: Đối tượng đạo hàm tiếp tuyến xuất tình lịch sử toán học? Chúng quan hệ với nào? Đặc trưng mối quan hệ này? Mỗi đối tượng có vai trị chức mối quan hệ đó? 1.2 Đặc trưng khoa học luận mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm 1.2.1 Giai đoạn 1: Trước kỉ XVII  Khái niệm tiếp tuyến Trong [2], tác giả Vũ Đức rút số đặc trưng khoa học luận sau khái niệm tiếp tuyến giai đoạn lịch sử Khái niệm tiếp tuyến xuất nghiên cứu trước hết phạm vi hình học sơ cấp với đặc trưng: tiếp tuyến đường thẳng có điểm chung tiếp xúc với đường cong Tiếp tuyến đường tròn có thêm đặc trưng vng góc với bán kính đường tròn tiếp điểm Tiếp tuyến định nghĩa hồn tồn theo lối mơ tả trực giác hình học sử dụng số thuật ngữ mơ hồ, khơng giải thích “chạm”, “đi qua phía bên kia”, “rơi” Các định nghĩa mô tả không cho phép đưa phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến Cách xác định tiếp tuyến trình bày thơng qua dựng hình phụ thuộc nhiều vào hình vẽ tính chất đường cong  Nhận xét mối quan hệ hai khái niệm Trong giai đoạn tiếp tuyến xuất phạm vi hình học sơ cấp, tốn xác định tiếp tuyến giải dựa vào dựng hình Khái niệm đạo hàm chưa xuất (dù dạng ngầm ẩn) đó, chưa có mối liên hệ hai khái niệm thiết lập 1.2.2 Giai đoạn 2: Nửa đầu kỉ XVII Trong thời điểm này, việc phát minh hình học giải tích đồng thời độc lập Descartes (1596-1650) Fermat (1601-1665) ảnh hưởng mạnh mẽ đến phát triển giải tích Nhiều phương pháp xác định tiếp tuyến đời tạo mầm mống cho hình thành phép tính vi phân  Tiếp tuyến đạo hàm phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Fermat Phần trình bày dựa tài liệu [13] [14] Phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biết đến từ năm 1629 qua thư Fermat Nhưng đến năm 1642 tác phẩm “Phương pháp khảo sát số lớn nhỏ nhất” xuất Trong tác phẩm này, Fermat đề xuất qui tắc tìm giá trị lớn nhỏ qua toán sau: Chia đường AC (hình 1.1) điểm B cho vật thể, xây dựng hình vng AB đường BC lớn (*) B A A B C Hình 1.1 Fichtegơn giải thích phương pháp Fermat sau ([14, tr.355]): Đặt đoạn AC cho B, đoạn AB phải tìm A Đối với thể tích lớn ta biểu thức A2(B-A) Sau A+E vào biểu thức thay cho A (Fermat dùng chữ E làm kí hiệu chuẩn cho số gia lượng xét A).Ta cho hai biểu thức (trên thực tế không nhau): (A+E)2(B-A-E) = A2(B-A) Giản ước vế ta được: 2A(B –A) – A2 + E(B–A–E) –2AE = Bỏ số hạng cịn chứa E, kết ta có: 2A(B–A) –A2 = hay 2AB = 3A2 Biểu thức này, theo cách diễn đạt Fermat, đẳng thức “đúng”, đẳng thức “tưởng tượng ra” hay “gần đúng” Từ đẳng thức cuối ta xác định A = B Nếu dùng kí hiệu hàm số, “qui tắc Fermat” dạng tổng quát sau: Để tìm giá trị A, mà biểu thức f(A) có giá trị lớn hay bé nhất, Fermat dựa vào nguyên lý biết trước đó: thời điểm mà đại lượng đạt giá trị bé hay lớn nhất, lượng dừng lại q trình biến thiên  Fermat viết biểu thức “gần đúng”: f (A+E) = f(A) hay f (A+E) - f(A) = với E nhỏ  Đơn giản số hạng giống hai vế, chia cho E ta được: f (A  E)  f (A) 0 E  Bỏ số hạng chứa E, tức đặt E = (mà điều tương đương với việc chuyển qua giới hạn E  0) Cuối cùng, ta đẳng thức : (*) Giá trị lớn vật thể hiểu thể tích lớn hình hộp chữ nhật có ba cạnh A, A B-A  f (A  E)  f (A)   Từ xác định giá trị A cần tìm   E E 0 Nhận xét Trong phương pháp có chỗ bất hợp lí: lúc cho E số hữu hạn khác (bằng cách chia hai vế cho E) sau lại cho E = Fichtegôn nhận xét: “phương pháp Fermat sở nào” Rõ ràng, Fermat gặp khó khăn với phép lấy giới hạn khái niệm vô bé Tuy nhiên,  f (A  E)  f (A)  phương pháp diện tư tưởng giới hạn khái niệm đạo hàm:  0  E  E 0 f (A  E)  f (A) = hay f’(A) = 0) E 0 E Theo ngôn ngữ nay, phương pháp dựa tính chất: « Hàm số f(x) có đạo hàm a đạt cực đại hay cực tiểu điểm f’(a) =0 Về mặt hình học, (tương đương với với cách viết lim tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm đạt cực đại hay cực tiểu song song với trục hoành » Tuy nhiên, phương pháp trên, Fermat chưa biết f’(a) = điều kiện cần chưa phải điểu kiện đủ để có cực trị Cịn lời giải mơ tả sau: Gọi V thể tích hình hộp chữ nhật nêu trên, x độ dài đoạn AB a độ dài đoạn AC, ta có: V  x (a  x)   x3  ax V '  3x  2ax   x  2a (vì x > 0) Từ đó, ta có bảng biến thiên sau: x V(x) V đạt giá trị lớn x  2a/3 a 2a hay AB = AC 3 Trong tác phẩm trên, Fermat đề nghị phương pháp xác định tiếp tuyến đường cong, mô tả sau (theo [13]) Xác định tiếp tuyến đường cong (C) điểm M Gọi M’ điểm khác M nằm X, X’ hình chiếu M, M’ hồnh Giả sử tiếp tuyến điểm M mà ta trục hòanh T X’M’ cắt tiếp tuyến MT 1.2) T Để xác định tiếp tuyến MT, Fermat Do  TXM  TX’N đồng dạng thay xỉ, ta có: A: XM = E: (X’M’-XM) N M đường cong (C) xuống trục M’ cần xác định cắt N (Hình X A X’ E Hình 1.2 tìm tiếp ảnh TX X’N xấp Theo cách kí hiệu thơng thường nay, kí hiệu đường cong (C) cơng thức y = F(x) đẳng thức trở thành: A : F(x) = E : (F(x+E)-F(x)) A= F(x).E F(x  E)  F(x) Chia biểu thức cho E ta được: A  F(x) F(x  E)  F(x) E Cho E 0, tìm A Nhận xét Cách dựng tiếp tuyến Fermat thể quan điểm khác tiếp tuyến so với quan điểm trước Trong phương pháp trên, điểm M’ dần đến vị trí M cát tuyến M’M dần đến vị trí tiếp tuyến MT Như vậy, Fermat xem tiếp tuyến đường cong vị trí giới hạn cát tuyến Có thể thấy hai toán Fermat thống phương pháp giải, xuất ngầm ẩn “khái niệm đạo hàm”.Tuy nhiên, ông không tiến xa khó khăn việc hiểu “giới hạn” “vơ bé” Tóm lại, quan niệm tiếp tuyến “vị trí giới hạn cát tuyến” dẫn tới phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến phương pháp cịn nhiều chỗ “bất hợp lí” phân tích Đạo hàm xuất ngầm ẩn đóng vai trị cơng cụ cho phép giải tốn xác định tiếp tuyến đường cong Mối liên hệ đạo hàm ngầm ẩn tiếp tuyến thiết lập: « Hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm » (Phương pháp tương đương với cách viết nay: A  F(x) F(x) hay F’(x) = ) A F'(x)  Phương pháp xác định tiếp tuyến Roberval (1602-1675) Torricelli (1608-1674) Theo [14], cách độc lập gần đồng thời, hai nhà bác học đưa phương pháp tìm tiếp tuyến đường cong cách dùng “hình bình hành vận tốc” (những nghiên cứu họ công bố lần năm 1644) Roberval quan niệm: “Phương chuyển động điểm vạch nên đường cong tiếp tuyến đường cong vị trí điểm nó” Cụ thể đường cong biểu diễn quĩ đạo chuyển động điểm, chuyển động gồm hai chuyển động đơn giản mà chúng vận tốc (theo giá trị hướng) cho cách trực tiếp, hướng vận tốc chuyển động hợp (và với hướng tiếp tuyến với quĩ đạo) đựơc xác định theo “qui tắc hình bình hành”, sau: Giả sử thời điểm ban đầu chất điểm nằm O rơi tự theo gia tốc g (có nghĩa với vận tốc gt, t theo đường thẳng đứng, mà chất điểm lại dời chỗ ngang với vận tốc u không đổi Khi đó, theo kí hiệu thời điểm t ta có : x= (hình 1.3) thời gian) dọc theo chiều hình vẽ, T x y O gt ; y = ut x Từ đó, sau khử t ta tìm y  u x Như g p chất điểm nhận parabol ( mà dựa theo thể đồng với parabol tùy ý y  2px ) Tỉ số M cách chọn u có đứng nằm ngang gt gt 2x Do đó- ý   u ut y quĩ đạo vận tốc thẳng x Hình 1.3 đến đồng dạng tam giác, ta chứng minh tiếp tuyến cắt trục parabol phía sau đỉnh đoạn x Nhận xét : Phương pháp Roberval Torricelli không đựơc xem phương pháp tổng qt khó khăn việc xác định chuyển động thành phần Quan niệm tiếp tuyến Roberval theo quan điểm động học có ý nghĩa mặt lịch sử đề cập đến phương tức thời chuyển động, ý tưởng liên quan đến giới hạn, đánh dấu phát triển giải tích Cách làm cho thấy ông thấy mối liên hệ mật thiết vận tốc (đạo hàm khoảng cách ngầm ẩn) với tiếp tuyến : Tỉ số vận tốc thẳng đứng nằm ngang 2x y Theo ngơn ngữ mối liên hệ : «hệ số góc tiếp tuyến dy » (với Ox dx trục hoành, Oy trục tung)  Phương pháp xác định tiếp tuyến Barrow Phần trình bày dựa theo [19] Phương pháp xác định tiếp tuyến Barrow trình bày « giảng quang học hình học » (1660-1670) Phương pháp tương tự phương pháp Fermat có bước M hồn thiện diễn tả sau : Giả sử ta có đường cong s (hình 1.4) Đường thẳng a nằm ngang AP cắt đường cong A, đường thẳng N R thẳng đứng PM cắt đường cong M c m Giả sử MT tiếp tuyến cần xác định đường cong M, cắt AP T Xét cung MN vô nhỏ phần trùng đường thẳng MT đường cong s T Q P A Vẽ NQ // MP, NR //AP t Hình 1.4 Đặt MP = m; PT = t; MR = a; NR = e Để xác định tiếp tuyến MT ta tính lượng PT = t Vì M, N nằm đường cong nên nghiệm tính chất đặc trưng đường cong Từ tính chất này, ta tìm mối liên hệ đại lượng a, e m qua đẳng thức I Trong đẳng thức này, ta bỏ số hạng có dạng lũy thừa a e (các số hạng xem như:có giá trị khơng đáng kể hay vơ bé phép tính) a e e t    Thay vào I, ta tính t m t a m Như tiếp tuyến MT hòan tòan xác định Dựa vào định lý Thales ta có Theo Perrin, phương pháp xác định tiếp tuyến Barrow dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến điểm đường cong đường thẳng trùng với phần vô nhỏ đường cong điểm Phương pháp ơng, theo ngôn ngữ đại, lân cận tiếp điểm “xấp xỉ” đường cong tiếp tuyến điểm Trong phương pháp trên, ngun lí bỏ qua số hạng vơ bé (a,e) có bậc cao nêu ra: “bỏ số hạng có dạng lũy thừa a e số hạng xem có giá trị khơng đáng kể hay vơ bé phép tính” (ở Fermat ngun lí ngầm hiểu) Việc tìm hệ số góc tiếp tuyến m a thay tỉ số mà e, a vô bé ngầm t e ẩn khái niệm ”vi phân” Theo cách làm nay, chọn A làm gốc tọa độ trục hòanh AP, trục tung đường a dy m hệ số góc tiếp tuyến e dx t Như vậy, mối quan hệ tiếp tuyến vi phân (còn ngầm ẩn) thiết lập: “Hệ thẳng qua A song song với PM số dy ” dx Tuy nhiên, Fermat, phương pháp Barrow chưa có sở lí thuyết rõ ràng góc tiếp tuyến tỉ số hai vi phân  Những đặc trưng khoa học luận mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm giai đoạn tóm lược sau : - Quan niệm tiếp tuyến : “vị trí giới hạn cát tuyến” “đường thẳng trùng với phần vô nhỏ đường cong tiếp điểm” dẫn đến phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến Tiếp tuyến bắt đầu xuất phạm vi giải tích mở đường cho việc hình thành ý tưởng liên quan đến đạo hàm vi phân Đạo hàm vi phân xuất cơng cụ ngầm ẩn để giải tốn xác định tiếp tuyến Việc xuất đạo hàm vi phân tư tưởng xấp xỉ - Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm, tiếp tuyến vi phân xuất ngầm ẩn: «Hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm » «Hệ số góc tiếp tuyến tỉ số hai vi phân dy » dx  phải giải thích thay 1,05 vào phưong trình tiếp tuyến để tính giá trị gần hàm số x =1,05 - H46: “Phương trình tiếp tuyến (T): y - y0 = k(x- x0) y - y0 = A(1;1) thuộc (T) nên: 1- y0 = (x- x0) (1- 1,05)  y0 =1,025” Ở học sinh nhầm lẫn giá trị cần tìm M (x0; y0) với kí hiệu quen thuộc tiếp tuyến điểm M(x0; y0) Do học sinh tìm tung độ tiếp điểm M Như vậy, học sinh cho điểm cao lời giải Hạnh trường hợp nhầm lẫn mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine Qua phân tích câu trả lời cho thấy chiến lược xấp xỉ xuất khiêm tốn tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược xuất Chỉ có học sinh H8 thể tư tưởng xấp xỉ làm cuối lại trình bày giải theo chiến lược vi phân Điều cho phép khẳng định chiến lược xấp xỉ khơng học sinh vận dụng giải tốn nghĩa là: học sinh không vận dụng mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine việc giải tốn Vậy học sinh có biết mối quan hệ khơng? Học sinh biết khơng trình bày lời giải theo chiến lược hay hồn tồn khơng biết mối quan hệ đó? Chúng tơi phân tích câu trả lời tốn phía sau để làm rõ điều Câu b Bảng 3.3: Bảng thống kê việc biểu diễn điểm M hệ trục tọa độ Biểu diễn điểm M Số lượng Tỉ lệ % Điểm M thuộc T 92 57,9% Điểm M không thuộc T 49 30,8% Không trả lời 18 11,3% Tổng 159 100% Nhận xét: Số lượng học sinh chọn chiến lược vi phân chiếm ưu xuất chiến lược xấp xỉ Vậy học sinh biểu diễn điểm M thuộc (T) Điều giải thích là: - Học sinh có biết mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine khơng vận dụng chúng để trình bày lời giải cho toán 2a - Hoặc học sinh viết phương trình tiếp tuyến (T) thay tọa độ điểm M vào thấy thỏa nên biểu diễn M thuộc (T) - Hoặc học sinh vẽ tỉ lệ - Hoặc học sinh nhầm lẫn câu 2a theo kiểu (gồm 11 học sinh) Tóm lại, số em biểu diễn M thuộc (T) tồn tư tưởng xấp xỉ Vậy em biểu diễn M thuộc (T) mà chưa biết tư tưởng xấp xỉ liệu có nghi ngờ mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine? Chúng tơi phân tích kĩ đánh giá em toán để thấy rõ 3.4.3 Phân tích sản phẩm thu thập toán Bảng 3.4: Bảng thống kê chiến lược sử dụng cho toán Chiến lược SVP Chiến lược vi phân Sxx Chiến lược xấp xỉ SCT Chíến lược cơng thức Chiến lược khác Khơng trả lời Tổng Số lượng Tỉ lệ % 126 79,2% 0 3,8% 2,5% 23 14,5% 159 100%  Nhận xét mở đầu Số lượng học sinh không trả lời gia tăng so với câu 2, chiến lược xấp xỉ hoàn toàn biến Chiến lược vi phân chiếm ưu (78%)  Phân tích chi tiết Với lựa chọn biến toán không thuận lợi cho chiến lược vi phân câu câu 2a mà dành nhiều hội cho chiến lược xấp xỉ Tuy nhiên, chiến lược vi phân gia tăng so với toán 2a chiến lược xấp xỉ lại hoàn toàn biến chiến lược công thức không thay đổi đáng kể Điều đáng lưu ý học sinh H8 cho lời giải gần với chiến lược xấp xỉ 2a lại trình bày theo chiến lược vi phân Ngồi ra, có hai học sinh phát mối liên hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine lại quay trở lại phủ định Chúng tơi trích lời giải hai hoc sinh này: - H44; H65:”Phương trình tiếp tuyến (T) đồ thị hàm số điểm B(5; 8) y = 3x -7 nên ta có:f ’(5) = f(5) = 3.5-7 = f(5,001) = f(5+0,001)  f(5) + f’(5).(5,001-5) Vậy f(5,001)  + 3.0,001= 8, 003 Ta có điểm M(5,001; 8, 003) thuộc tiếp tiếp tuyến đồ thị 5,001-7 = 8,003 (vơ lí) Suy khơng tính giá trị gần đúng” Chúng xem 2, hai học sinh làm theo chiến lược vi phân câu 2a câu 2b họ biểu diễn điểm M không thuộc (T) Tại hai học sinh lại cho điểm M thuộc (T) vơ lí? Chúng tơi tìm lí trả lời cho câu hỏi toán học sinh tương tự 3.4.4 Phân tích sản phẩm thu thập toán Bảng 3.5: Bảng thống kê chiến lược sử dụng cho tốn : Lời giải Đồng ý Khơng đồng ý 156 Lời giải An 98.1% 56 Lời giải Bình 103 35.2% 48 Lời giải Hạnh 64.8% 111 30.2% Lời giải củaPhúc 1.9% 69.8% 152 4.4% 95.6%  Nhận xét mở đầu Số học sinh chấp nhận lời giải An (lời giải theo chiến lược vi phân) chiếm gần tuyệt đối Số học sinh chấp nhận lời giải Hạnh chiếm tỉ lệ thấp (30,2%) , thấp số học sinh chấp nhận lời giải theo chiến lược đồ thị Bình (35,2%)  Phân tích chi tiết  Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải An Hầu hết học sinh cho lời giải An áp dụng vi phân để tính gần Chỉ có 3/159 học sinh khơng đồng tình mà chúng tơi trích dẫn lời giải thích sau đây: - H84 cho điểm với giải thích: “Vì bạn làm giống cách em, mà cách em sai theo cách điểm mà ta cần tìm chắn thuộc đường thẳng (T)” Lí mà học sinh đưa giống với H44 H65 nêu toán Cả học sinh nhận điểm cần tìm thuộc (T) khơng cho điều hợp lí mà lại quay trở lại phủ nhận cách làm - H123 cho điểm với giải thích: “Chưa tính f’(x) lại vào đề 1” - H125: cho điểm khơng giải thích Trong học sinh không chấp nhận lời giải An, trừ học sinh H123 H125 cho lời giải thích khơng rõ ràng, H84 theo chiến lược vi phân bắt đầu phát mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine Nhưng tiếc học sinh lại quay lại phủ nhận chiến lược vi phân chiến lược xấp xỉ Điều cho thấy học sinh hiểu rõ ứng dụng vi phân để tính gần khó chấp nhận mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine  Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải Hạnh Bảng 3.6:Bảng thống kê chiến lược sử dụng việc đánh giá lời giải Hạnh Chiến lược Số lượng Tỉ lệ % Sa 5% Sb 14 8.8% Sc 26 16.4% Sd 111 69.8% Tổng 159 100% Trong số học sinh chấp nhận lời giải Hạnh có em (5%) theo chiến lược Sa tức hiểu tư tưởng xấp xỉ hay gần tiến đến tư tưởng xấp xỉ Chúng tơi trích dẫn số câu trả lời học sinh này: - H14 cho điểm với giải thích: “Bạn Hạnh cần phải giải thích rõ vi phân, chia nhiều đoạn nhỏ đồ thị đoạn thẳng trùng với tiếp tuyến đồ thị” - H15 cho điểm với giải thích: “Cần suy từ cơng thức tính gần đúng: f(x0 +x) - f(x0) = f’(x0).x suy y – y0 = k( x – x0)” - H26 cho điểm với giải thích: “Lời giải chấp nhận 2,01 gần với nên dựa đồ thị nhận xét f(2,01)  g(2,01) với g(x) = x – phương trình tiếp tuyến” - H50 cho điểm với giải thích: “Cần giải thích thêm điểm M gần với điểm N nên xem điểm N gần nằm tiếp tuyến” Trừ học sinh có quan điểm rõ ràng trên, em cịn lại có tư tưởng xấp xỉ giải thích cịn chưa rõ ràng Ngồi ra, có số em có khuynh hướng quay trở lại chiến lược vi phân Chúng tơi trích số giải thích học sinh: - H65 cho điểm với giải thích: “Bài làm cho kết chưa giải thích rõ lí từ việc x = 2,01 vào phương trình tiếp tuyến dẫn đến kết luận f(2,01)  1,01 Điều giải thích q trình tính gần ta bỏ qua phần sai số Điều dẫn đến giá trị gần cần tính với giá trị có vào phương trình tiếp tuyến” Có tiến triển mối quan hệ cá nhân học sinh Ở toán 2, theo học sinh điểm M thuộc tiếp tuyến vơ lí cịn đồng ý điểm thuộc tiếp tuyến - H54 cho điểm với giải thích: “Vì tính gần đúng, phương trình tiếp tuyến, M có lân cận điểm gần với f(x) Tuy nhiên chưa có chứng minh rõ ràng, tốt làm cách An” Chúng tơi trích số lời giải theo chiến lược Sb để thấy học sinh cho điểm cao lời giải Hạnh nhầm lẫn mối liên hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine - H36 cho điểm với giải thích: “Khơng nói rõ tiếp tuyến x = gần trùng với tiếp tuyến x = 2,01 vào công thức (1)” - H45 cho điểm với giải thích: “Bạn tính kết 1,01 lại ghi gần f(2,01)  1,01 tồn em khơng thấy chỗ gần đúng” - H81 cho điểm với giải thích: “sai cách tính thẳng vào f(x) giá trị xác” - H91; H95 cho điểm 10 với giải thích:“Sử dụng cơng thức y – y0 = k( x – x0)” Ngòai ra, số lời giải theo chiến lược Sc không cho phép kết luận học sinh biết mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine Vài trích dẫn câu trả lời học sinh: - H113 cho điểm với giải thích: “bài giải gọn dễ hiểu” - H51 cho điểm với giải thích: “Cần giải thích thêm biết đường có nằm đường tiếp tuyến hay khơng thực tế điểm tiến đến đường tiếp tuyến” - H67 cho điểm với giải thích: “cần giải thích rõ có f(2,01)  1,01” - H147 cho điểm với giải thích: “cũng trường hợp cịn trường hợp khác không được” Một tỉ lệ cao (69,8%) không chấp nhận lời giải Hạnh cho điểm thấp Ngoài ra, số 92 học sinh biểu diễn điểm M thuộc (T) câu 2b có 26 em cho điểm cao lời giải bạn Hạnh tốn có em sử dụng chiến lược Sa cho toán Như có đến 66 học sinh biểu diễn M thuộc (T) câu 2b lại không chấp nhận mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine tốn Chúng tơi trích dẫn số câu trả lời kiểu Sd để hiểu thêm quan niêm học sinh: - H84 cho điểm với giải thích: “Vì cách giống cách bạn An mà qua điểm đồ thị ta vẽ tiếp tuyến nhất" Như tìm lí học sinh cho lời giải An sai học sinh H44, H65 cho điểm M thuộc (T) toán vơ lí: Học sinh cho điểm M phải thuộc đồ thị hàm số, mà M lại thuộc tiếp tuyến nên vơ lí “qua điểm đồ thị ta vẽ tiếp tuyến nhất” Vậy quan niệm học sinh gắn liền với việc tính giá trị hàm số điểm Mặc dù học sinh dùng cơng thức vi phân để tính gần lại nhầm lẫn với tính Qua lời giải thích chúng tơi cịn nhận thấy học sinh Việt Nam chưa quen thuộc với phép tính gần mà chịu ảnh hưởng nặng nề phép tính - H19 cho điểm với giải thích: “Kết chưa hiểu chất tiếp tuyến Vì x = 2,01 thuộc đồ thị hàm số f(x) không thuộc tiếp tuyến (T) nên x = 2,01 vào phương trình (T)” - H22 cho điểm với giải thích: “lầm tưởng giá trị cần tìm thuộc tiếp tuyến, đường cong có độ cong lớn sai biệt lớn” - H32 cho điểm với giải thích: “đúng đáp số lời giải sai hoàn toàn” - H53 cho điểm với giải thích: “Sai đề hỏi tính giá trị gần hàm số y = f(x) x = 2,01 khơng hỏi tính giá trị gần phương trình tiếp tuyến x = 2,01 Ra đáp số đề cho số khơng chênh lệch nhiều” Những lời giải thích theo kiểu Sd cho thấy học sinh chấp nhận lời giải theo tư tưởng xấp xỉ khơng biết mối quan hệ Ngồi ra, lí để học sinh khó khăn việc chấp nhận mối quan hệ họ chịu ảnh hưởng nặng nề phép tính gần Điều thể rõ qua việc học sinh không ý thức việc sử dụng dấu  cơng thức tính gần Số học sinh sử dụng dấu “=” thay cho dấu  chiếm số lượng cao toán 3.5 Kết luận thực nghiệm - Việc phân tích câu trả lời toán thực nghiệm cho trả lời câu hỏi đặt chương : Mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine có tồn mối quan hệ cá nhân học sinh Việt Nam? Đặc bịêt, kết từ tốn cho phép chúng tơi khẳng định giả thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm, đạo hàm xấp xỉ affine mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine không diện mối quan hệ cá nhân họ” - Ngoài ra, thực nghiệm cho thấy:  Một số học sinh nhận mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine khó khăn việc chấp nhận chúng  Học sinh không ý đến việc tính hay tính gần nên khơng ý việc sử dụng kí hiệu  thường nhầm lẫn với việc tính Điều gây khó khăn cho việc chấp nhận lời giải dựa tư tưởng xấp xỉ Vậy, thực nghiệm cho thấy ảnh hưởng mạnh mẽ quan điểm đại số thể chế dạy học Việt Nam làm cản trở hình thành tư tưởng xấp xỉ học sinh Đặc biệt, gây khó khăn cho học sinh việc chấp nhận mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine KẾT LUẬN  Kết đạt Kết nghiên cứu trình bày ba chương luận văn Sau số điểm kết nghiên cứu đạt được: - Ở chương 1, phân tích, tổng hợp số tài liệu cơng trình biết lịch sử hay khoa học luận để làm rõ đặc trưng mối quan hệ đạo hàm tiếp tuyến, đặc biệt tiến trình xuất với vai trị, chức đối tượng kết hợp - Trong chương 2, nghiên cứu mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm cấp độ tri thức cần giảng dạy thể chế dạy học toán Việt Nam Đặc biệt, xác định được: + Tiến trình đưa vào hai khái niệm SGK Sơ đồ tóm tắt tiến trình trình bày chương cho thấy tiến trình đưa vào hai khái niệm khơng giống với tiến trình lịch sử + Vai trò tiếp tuyến đối tượng đưa vào khái niệm đạo hàm không đề cập lịch sử Ngoài ra, khái niệm tiếp tuyến đưa vào giải tích THPT khơng có nối khớp với khái niệm THCS + Đạo hàm đóng vai trị cơng cụ cho việc tìm tiếp tuyến không công cụ để định nghĩa tiếp tuyến Đạo hàm công cụ để xấp xỉ hàm số hàm affine mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine không đề cập lịch sử + Những ràng buộc thể chế ảnh hưởng lên mối quan hệ hai khái niệm thơng qua việc phân tích tổ chức toán học diện SGK SBT Kết phân tích dẫn chúng tơi đặt câu hỏi giả thuyết nghiên cứu sau: Có ngắt quãng tiếp tuyến THCS tiếp tuyến xuất phạm vi giải tích THPT? Mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine có tồn mối quan hệ cá nhân học sinh Việt Nam? Giả thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm, đạo hàm xấp xỉ affine mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine không diện mối quan hệ cá nhân họ” - Trong chương 3, nghiên cứu thực nghiệm giúp chúng tơi kiểm chứng tính thích đáng giả thuyết đặt Ngoài ra, thực nghiệm cho thấy ảnh hưởng mạnh mẽ quan điểm đại số thể chế dạy học Việt Nam gây khó khăn cho hình thành tư tưởng xấp xỉ học sinh  Hạn chế đề tài: Giả thuyết kiểm chứng đầy đủ thực nghiệm hai chủ thể hệ thống dạy học: giáo viên học sinh Tuy nhiên lí thời gian nên chúng tơi thực nghiệm đối tượng giáo viên  Hướng nghiên cứu mở từ luận văn: Từ kết thực nghiệm phân tích chương cho thấy: Tiến trình đưa vào hai khái niệm tiếp tuyến đạo hàm SGK làm hạn chế bớt nghĩa khái niệm đạo hàm, tiếp tuyến khơng có nối khớp khái niệm tiếp tuyến THCS THPT Từ đó, chúng tơi thấy có số hướng nghiên cứu sau đây: - Xây dựng tiểu đồ án didactic để từ khái niệm tiếp tuyến dẫn đến việc hình thành khái niệm đạo hàm (trong có tính đến xấp xỉ affine) - Xây dựng tiểu đồ án didactic để điều chỉnh mối quan hệ cá nhân học sinh với đạo hàm tiếp tuyến theo quan điểm xấp xỉ đem lại cho tiếp tuyến nghĩa theo tư tưởng xấp xỉ - Xây dựng thực nghiệm nhằm trả lời cho câu hỏi đặt chương 2: “Có ngắt quãng tiếp tuyến THCS tiếp tuyến xuất phạm vi giải tích THPT?” TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Văn Như Cương(1977), Lịch sử hình học, NXBGD Trần Vũ Đức(2004), Khái niệm tiếp tuyến- Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, Luận văn tốt nghiệp, ĐHSP, TP.HCM Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2004), Đại số giải tích 11- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2004), Bài tập Đại số giải tích 11- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2004), Sách giáo viên Đại số giải tích 11Ban khoa học tự nhiên, NXBGD Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2006), Đại số giải tích 12- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2006), Bài tập Đại số giải tích 12- Ban khoa học tự nhiên, NXBGD, Hà Nội Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2006), Sách giáo viên Đại số giải tích 12Ban khoa học tự nhiên, NXBGD Ngơ Thúc Lanh, Đồn Quỳnh, Nguyễn Đình Trí (2002), Từ điển tốn học thơng dụng, NXBGD 10 Ngơ Thúc Lanh (chủ biên)(2002), Giải tích 12, NXBGD 11 Ngơ Thúc Lanh (chủ biên)(2002), Bài tập Giải tích 12, NXBGD 12 Ngô Thúc Lanh (chủ biên)(2000), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 12, NXBGD Tiếng Anh 13 Arthur Rosenthal (1951), “The history of calculus”, The American Mathematical Monthly, 58 (2), pp.75-86 14 G.M.Fichtengon(1977), Cơ sở giải tích tốn học tập 1, NXB ĐHMN 15 Howard Eves (1993) (Nguyễn Đức Thuần dịch), Giới thiệu lịch sử toán học, NXB Khoa học kĩ thuật 16 Tom m Apostol, Calculus-volume 1, John Wiley & Son Inc- New York Tiếng Pháp 17 Newton (1740) (traduction de M de Buffon), La Méthode des Fluxions et des Suites infininies, Paris 18 Nadège Chaboud, Dominique Hedde(2000), La tangente et la dérive fontellles la paire?, Mémoire professionnel des mathémathiques, UFM de l’Académie de Grenoble 19 Perrin Patrick(1992), Prenons la tangente avant de dériver, Histoire d’infini, commission inter-IREM 20 http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_calculus Phụ lục 1: NỘI DUNG BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM Họ tên : Lớp : Trường : STT : PHA (45 phút) Bài tốn Khơng dùng MTBT, tính gần giá trị 1, 002 Lời giải Bài tóan Cho hàm số y = f(x) xác định R Tiếp tuyến (T) đồ thị hàm số điểm A(1;1) có hệ số góc (xem hình đây) : y A (T) O 1 x a) Tính gần giá trị f(x0) với x0 = 1,05 b) Hãy biểu diễn điểm M(x0 ; y0) lên mặt phẳng tọa độ cho trên, với x0 = 1,05 y0 giá trị gần f(x0) mà em tính câu a Lời giải Bài toán Cho hàm số y = f(x) xác định R Tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm B(5;8) có phương trình là: y = 3x – Có thể tính gần giá trị f(5,001) hay không ? - Nếu có tính gần giá trị - Nếu khơng giải thích sao? Lời giải PHA (15 phút) Bài toán Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tiếp tuyến (T) đồ thị hàm số điểm M(2;1) có hệ số góc k = cho hình vẽ (C) (T) M(2;1) Tính gần giá trị hàm số y = f(x) x = 2,01 Sau lời giải toán bốn bạn học sinh lớp 11 a) Lời giải bạn An Vì hệ số góc tiếp tuyến (T) đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm, nên ta có : f ’(2) = k = Mặt khác, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số nên f(2) = Áp dụng công thức tính gần : f(x0 + x)  f(x0) + f ’(x0) x , ta suy : f(2,01) = f(2 + 0,01))  f(2) + f’(2) 0,01  f(2,01)  1+ 0,01  f(2,01)  1,01 b) Lời giải bạn Bình y (C) (T) N O M(2;1) x - Dựng hệ trục tọa độ Oxy - Trên trục Ox, lấy điểm có hoành độ 2,01 - Dựng đường thẳng qua điểm song song với trục tung cắt đồ thị hàm số điềm N - Từ điểm N ta dựng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm, giá trị cần tìm Từ hình vẽ ta có : f(2,01)  1,01 c) Lời giải bạn Hạnh - Tiếp tuyến (T) qua điểm M (2 ; 1) có hệ số góc k = nên có phương trình là: y -1 = x-2 hay y = x -1 (1) - Thay x = 2,01 vào (1) ta có : y = 2,01 - = 1,01 Suy : f(2,01)  1,01 d) Lời giải bạn Phúc Ta có: 2,01  2,01 > nên f(2,01)  f(2) f(2,01) > f(2) (1) Mặt khác, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số nên f(2) = (2) Từ (1) (2) suy ra: f(2,01)  1,01 Em cho điểm lời giải toán bốn bạn học sinh (theo thang điểm 10) giải thích em đánh Lời giải Điểm Giải thích em đánh Lời giải bạn An Lời giải bạn Bình Lời giải bạn Hạnh Lời giải bạn Phúc ... Đặc trưng mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm thiết lập: ? ?hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm” Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm tiếp tục đề cập chương II ”Ứng dụng đạo hàm? ?? với hai... Phần đưa vào nhiều hoạt động để đem lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm Chúng quan tâm đến tình có mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm mối liên hệ tiếp tuyến, đạo hàm xấp xỉ affine  Quan hệ tiếp tuyến xấp... Việc xuất đạo hàm vi phân tư tưởng xấp xỉ - Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm, tiếp tuyến vi phân xuất ngầm ẩn: ? ?Hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm » ? ?Hệ số góc tiếp tuyến tỉ