Ứng dụng lý thuyết thế vị phẳng vào phép nội suy các không gian lp và phép xấp xỉ đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỊ CHÍ MINH NGUYỄN VĂN QUANG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT THẾ VỊ PHẲNG VÀO PHÉP NỘI SUY CÁC KHÔNG GIAN LP VÀ PHÉP XẤP XỈ ĐỀU Chuyên ngành: Mã số: Tốn giải tích 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Văn Đông, người tận tâm hướng dẫn tạo điều kiện tối đa để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn giành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phịng KHCN-Sau Đại học tồn thể thầy khoa Tốn-Tin học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian nghiên cứu đề tài Tơi chân thành cảm ơn gia đình, anh chị bạn đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, q trình viết luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý Quý Thầy Cô bạn đọc nhằm bổ sung hoàn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn TP Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2009 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : tập số tự nhiên : tập số nguyên : tập số hữu tỉ : tập số thực : tập số phức  : tập số phức mở rộng ( mặt cầu Rieman) B(,  ) , (,  ) : hình trịn mở tâm  , bán kính  B(,  ) : hình trịn đóng tâm  , bán kính  supp  : giá độ đo  supp  : giá hàm  D : biên D int( D) : phần D diam  D  : đường kính D A( D) : tập tất hàm chỉnh hình D H ( D) : tập tất hàm điều hòa D S (U ) : tập tất hàm điều hòa U C n ( D) : tập tất hàm khả vi liên tục đến cấp n D Cc  D  : tập tất hàm liên tục có giá compact D C  ( D) : tập tất hàm khả vi vô hạn lần D Cc  D  : tập tất hàm khả vi vơ hạn có giá compact D #A; A : lực lượng tập A H  : đại số hàm giải tích bị chặn, đĩa đơn vị MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA LÝ THUYẾT THẾ VỊ TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Hàm điều hòa 1.2 Hàm điều hòa dương 1.3 Hàm Điều Hòa Dưới 10 1.4 Thế vị 11 1.5 Tập cực 11 1.6 Toán tử Laplace suy rộng 12 1.7 Tập mỏng 12 1.8 Hàm Green: 13 1.9 Dung lượng : 13 Chương PHÉP NỘI SUY TRONG KHÔNG GIAN LP 15 2.1 Một số kết biết không gian Lp 15 2.2 Phép nội suy không gian LP: 16 Chương XẤP XỈ ĐỀU 23 Chương PHÉP NỘI SUY BỞI CÁC HÀM ĐIỀU HÒA DƯƠNG 35 4.1 Các khái niệm chuẩn bị: 35 4.2 Xây dựng tập E k  D 45 4.3 Xây dựng tập G n : 46 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài mục đích nghiên cứu Lý thuyết vị tên gọi cho lĩnh vực nghiên cứu rộng rãi giải tích phức bao gồm vấn đề liên quan đến hàm điều hịa, điều hịa dưới, tốn Dirichlet, độ đo điều hòa, hàm Green, vị dung lượng… Xuất phát từ thực tiễn vật lý, phát triển nhanh từ lý thuyết vị cổ điển n lý thuyết đa vị n đến lý thuyết tiên đề không gian tổng quát Sự phát triển ngày trừu tượng khái quát Tuy nhiên có chung cho tất lý thuyết trên, lý thuyết vị mặt phẳng: lý thuyết chứa vật liệu cần thiết cho lý thuyết vị Có liên hệ chặt chẽ lý thuyết vị giải tích phức: kỹ thuật giải tích phức, đặc biệt ánh xạ bảo giác, giúp đưa nhanh gọn chứng minh kết lý thuyết vị Mặt khác định lý tương tự lý thuyết vị lại có vơ số ứng dụng giải tích phức Trong lý thuyết số, phép nội suy phương pháp xây dựng điểm liệu dựa vào tập rời rạc điểm liệu biết Các liệu có nhờ việc lấy mẫu, thí nghiệm, phép thử , từ người ta cố gắng xây dựng hàm mà khớp gần với liệu Lĩnh vực gọi làm khớp đường cong, giải tích ngược (giải tích hồi quy) Phép nội suy trường hợp đặc biệt làm khớp đường cong mà đồ thị hàm số phải qua điểm liệu Các dạng phép nội suy xây dựng cách chọn lớp hàm khác nhau, chẳng hạn : phép nội suy đa thức, phép nội suy hàm lượng giác, phép nội suy hàm điều hịa dương Một tốn có liên hệ gần gũi với phép nội suy phép xấp xỉ hàm đa thức với hàm đơn giản Các kết lý thuyết vị phép nội suy nghiên cứu ứng dụng rộng rãi Vì chúng tơi chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, sau giới thiệu số kết có Lý thuyết vị mặt phẳng, nhiều ứng dụng lý thuyết vị, giới thiệu ba ứng dụng sau: + Phép nội suy không gian Lp : + Xấp xỉ + Phép nội suy hàm điều hòa dương Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành chương với nội dung sau Chương 1: Trong chương này, ta trình bày kết lý thuyết vị mặt phẳng phức, mà không đưa chứng minh Các chứng minh trình bày chi tiết [10] Chương 2: Sử dụng định lý Ba đường thẳng lý thuyết vị kiến thức giải tích hàm ta chứng minh định lý Định lý nội suy Riesz – Thorin, mà trường hợp đặc biệt định lý là: với T tốn tử tuyến tính bị chặn L1 L2 T tốn tử tuyến tính bị chặn Lp với p thỏa  p  Chương 3: Nội dung chương sử dụng lý thuyết vị, ta mở rộng kết định lý Runge xấp xỉ dều đa thức qua định lý: Định lý Bernstein-Walsh, Định lý Keldysh Chương 4: Trình bày điều kiện cần đủ để dãy điểm tách đường tròn đơn vị dãy nội suy hàm điều hịa dương TP Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 10 năm 2009 Người thực Nguyễn Văn Quang Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA LÝ THUYẾT THẾ VỊ TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Cho U tập mở Hàm f : U  gọi hàm điều hòa f  C (U ) f  U Tập hợp hàm điều hòa U ký hiệu H (U ) Kết cung cấp cho nguồn ví dụ phong phú hàm điều hịa mà cịn mang lại cơng cụ hữu ích để khám phá tính chất chúng thơng qua tính chất hàm chỉnh hình Định lý 1.1.2 Cho D miền a Nếu f  A( D) u  Re f u  H ( D) b Nếu u  H ( D) D miền đơn liên tồn f  A( D) cho u  Re f Hơn nữa, hàm f sai khác số Định lý 1.1.3 ( Nguyên lý cực đại) Cho f hàm điều hoà miền D  a Nếu f đạt cực đại D f  const D b Nếu f liên tục D f ( z)  z D f  D ( D D khơng bị chặn) Định lý 1.1.4 ( Nguyên lý đồng nhất) Cho f , g hai hàm điều hoà miền D  f  g tập mở U  ,U  D f  g D Định nghĩa 1.1.5 a) Hàm P : B(0,1) B(0,1)  xác định bởi:    z  1 z P( z,  )  Re     z    z gọi nhân Poisson  z  1,   1 Nếu b) Nếu   B(,  )  :   hàm khả tích Lebesgue ta gọi hàm P :   xác định bởi: P ( z )  2 2 0  z  P    , ei  (   ei )d ( z )  tích phân Poisson Cụ thể với r    t  2 ta có: P (  reit )  2 2 0   r2  (   ei )d 2   2 r cos(  t )  r Sau kết bản: Hệ 1.1.6 ( Cơng thức tích phân Poisson) Cho f hàm điều hoà lân cận mở đĩa trịn đóng B(,  ) Khi với r    t  2 ta có: f (  re )  2 it 2 0   r2 f (   ei )d   2 r cos(  t )  r 1.2 Hàm điều hịa dương Từ “dương” có nghĩa “ khơng âm” tình khó mà phân biệt chúng theo nguyên lý cực đại hàm điều hòa đạt giá trị cực tiểu miền phải đồng khơng tồn miền Định lý 1.2.1 ( Bất đẳng thức Harnack) Cho h hàm điều hòa dương B(z,R) Khi với r < R ,   [0,2  ] có Rr Rr h( z)  h( z  rei )  h( z) Rr Rr Hệ 1.2.2 Cho D miền  z,   D Khi tồn số  cho với hàm điều hòa dương h D,  1h()  h( z)   h() Từ hệ ta đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.3 Cho D miền  z,   D Khoảng cách Harnack z  số nhỏ  D ( z,  ) cho với hàm điều hòa dương h D có  D ( z, )1 h()  h( z)   D ( z, )h() Có trường hợp mà  D ( z,  ) tính Định lý 1.2.4 Nếu   B(,  )   ( z,  )    z    z  Định lý 1.2.5 (Định lý Harnack) Cho  hn n1 hàm điều hòa miền D giả sử h1  h2  h3  D Khi hn   địa phương  hn  h địa phương, với h hàm điều hòa D 1.3 Hàm Điều Hòa Dưới Định nghĩa 1.3.1 Cho U tập mở Hàm u : U  [, ) gọi điều hoà u nửa liên tục thoả mãn bất đẳng thức trung bình địa phương:  U ,   : u( )  2 2 0 u(  re it )dt ,0  r   Hàm v : U  [, ) gọi điều hoà v điều hoà Tập tất hàm điều hồ U kí hiệu S (U ) Định lý 1.3.2 Nếu f chỉnh hình tập mở U Định lý 1.3.3 Cho U tập mở log f  S (U ) u, v  S (U ) Khi a max(u, v)  S (U ) b  u   v  S (U )  ,   Định lý 1.3.4 (Nguyên lý cực đại) Cho miền D  u  S ( D) a Nếu u nhận giá trị cực đại tồn cục D u  const b Nếu limsup u( z )   D u  D z  Định lý 1.3.4 (Nguyên lý Paragmen – Lindelof): Cho u hàm điều hịa trên miền D khơng bị chặn, cho: limsup u  z   z   D \  Cũng giả sử rằng, có hàm điều hịa hữu hạn v D cho: liminf v  z   limsup z  u  D z  u z 0 v z    1 z 1 w log   1 z       log  1  z 1  w    log  1  z 1  w       log 1  z 1  w      wz  1 z  log  1 w   2   K  M  1  z 2      1 z 1 w    log   wz         1 z  log 1  z 1  w   2log K  M   log  1 w    log 1  z 1  w     1 z  log  1 w     1 z 1 w    log   wz        log 1  z 1  w   2log K  M    log 1  z 1  w    1 z   log  1 w          1 z 1 w    log   wz          log 1  z 1  w   2log K  M    zw  zw   2log 1   log 1  z 1  w   C1  2log 1      wz    wz       log 1  z 1  w   2log K  M   2  C1   2log K  M  (4.2.7-3) Từ (4.2.7-2) (4.2.7-3) ta suy điều cần chứmg minh   Bây ta quay lại chứng minh bổ đề 4.2.5: Để xây dựng tập G n  theo yêu cầu bổ đề, ta thực qua giai đoạn sau: Với z k  z n    , ta xây dựng điểm z n  k   D với I  z n   I  z n  k   thỏa:  1  z  k     1  zk  với zk zn  z n 20M0Q z k   z k ,z n  N  n (4.2.5-3)   Ta tiếp tục xây dựng tập E k  D , với E k  E j   ,  z k , z j  N cho :  zk , Ek     10 (4.2.5-4) Khi xây dựng E k , ta sử dụng điểm z n  k  giai đoạn thỏa đánh giá (4.2.5-3) với  cố định đủ nhỏ Cuối ta xây dựng tập Gn đôi rời thỏa điều kiện (4.2.5-1) (4.2.5-2) Cụ thể sau: Xây dựng điểm z n  k   D Cố định   , áp dụng bổ đề 4.2.6 , tồn số M0  M0    cho  zk , M0Ik     k=1,2,… 100 Cố định z k  z n  Lấy        , số nhỏ mà ta chọn cố định sau Với z n  20M0Q  z k  với   z k , z n   N , ta định nghĩa z n  k  điểm thuộc D thỏa mãn điều kiện sau: i) Agr  z n   Agr  z n  k   ii)   z n  k  , z n     z k , z n  iii) z n  k   z n N  N  , M0 ,   số lớn, ta cố định sau Nói riêng, N đươc chọn đủ lớn cho z n  k   20M0Q  z k  với điểm z n  20M0Q  z k  thỏa mãn   z k , z n   N 20M0Q  z k   zk z n  k   zn D Theo bổ đề 4.2.7   z n  k  , z n     z k , z n  , ta có , tồn số C1;C2 cho    zk    z k , z n   log    C1  z n    zk   z k , z n   log  C1   zn   z  k  , z n   log  n  log  z n  k   zn  z n  k   zn  C2    zk   log    C1  C2  C3  z n        zk  C  zn  k    zk         z  z n  n    zn  C ( với C số phụ thuộc M0) Vì thế, ta có  1  z  k    1  z k    1  z n  z n 20M0Q z k   z k ,z n  N  C  n 1C (4.2.5-5) j N z n 20M 0Q z k  j z n ,z k  j1 Nếu z n  20M0Q  z k  j    z k ,z n   j  , theo bổ đề 4.2.7, ta lại có:   z n , z k   log     K1  M0     z n , z k   log  zk    z n , z k   K1  M   zn  z ,z  n k   zk  z ,z  K M     n k .2K1  M   zn 2j  zn  K1  M   zk K1  M0   z n  1  z k  K1  M0  j  1  z k  2 j.K  M   z n  K  M0  2 j 1  z k  Lại điều kiện (4.2.2-1), nên vế phải (4.2.5-5) bị chặn K  M0  1C  1  zk   M2 j  j1C  j N  M.K  M  1C  1  z k    j  C1 j N Do    1, chọn   đủ nhỏ cho   C  1, theo cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, ta có vế phải (4.2.5-5) bị chặn M.K  M0  1C 1  zk     2C1 N  C1 Với   cho trước, chọn N đủ lớn ta có  1  z  k     1  zk  với zk zn   z n 20M0Q z k   z k ,z n  N  n 4.2 Xây dựng tập E k  D Với z n  k  , ta kí hiệu In  k   I  z n  k   Cố định M0  N>0, ta định nghĩa: B  k   z n : z n  z k ,   z k ,z n   N,z n  20M0Q  z k  Bây ta chứng minh tập E k  M Ik \ z n B k   zk , Ek    I n  k  thỏa mãn điều kiện:  10 (5.2.5-6) Ta có:  eit  z k  z k , t   z k  eit  z k  1  zk   zk  eit  z k  eit  z k 2   zk  zk Suy ra:    zk  zk , I n  k      z B k   z B k   z k n   n dt  2  z k I  k   n  1  z  k   z n B k   n (4.2.5-7) Theo giai đoạn 1, ta có vế phải 4.2.5-7, phải nhỏ 2   I n  k   Mặt khác, từ   z k , E k     z k , M 0I k     z k ,  z B k   n   Từ bổ đề 4.2.6 ta được:   z k , E k    Ta chọn  đủ nhỏ   z k , E k      2 100  10   Do M0 In  In  k  , nên từ định nghĩa tập tập E k ta có E k  E j   ,  z k , z j  N  4.3 Xây dựng tập G n : Bằng cách hốn đổi vị trí, ta xắp xếp dãy z n  cho dãy 1  z n  giảm Với điểm z n ta xây dựng tương ứng tập Gn  En để họ tập G n  đôi rời thỏa (4.2.5-1), (4.2.5-2) Việc xây dựng G n thực quy nạp đảm bảo G n  rời đôi thỏa 4.2.5-1 Lấy G1  E1 , ta có   z1; G1     z1, E1      1  10 Do (4.2.5-1) thỏa với n=1 Giả sử ta xây dựng tập đôi rời G1, G2 , , G j1 đĩa tròn đơn vị thỏa:    zn , G k     , với n = 1,2,…,j-1  k n,kA n     Các tập G j xây dựng theo trường hợp sau:     inf   z , z  : k  1, 2, , j 1  N , (1) Nếu  z j , z1, z , , z j1 j k ta định nghĩa G j  E j Theo 5.2.5-6, ta có    z j , Gk    z j , G j     k  j,kA j      Bây ta Gk  G j   với k=1,2,…,j-1 Mà Gk  E k G j  M0 I j , nên ta cần M0 I j  E k   , k=1,2,…,j-1 Cố định k = 1,2,…,j-1 ta xét trường hợp: + Nếu z j  20M0Q  z k  : Từ M0 I j  I j  k  E k  M0 Ik \ I j  k  , ta có M0 I j  E k   + Nếu z j  20M0Q  z k  : Từ z j  z k , ta có M0 I j  M0 Ik   , nên M0 I j  E k       N , ta xét tập (2) Nếu  z j , z1, z , , z j1     F  F  j  k  1, 2, , j  1 :  z k , z j  N ta có trường hợp sau:   + Nếu   z j , G k     , ta định nghĩa G j   Lúc ta có:  kF     z j , Gk      k  j,kA j      + Nếu   z j , G k     , ta định nghĩa: G j  E j \ G k Tương tự trường hợp (1), ta kF  kF  có Gk  G j   với k=1,2,…,j-1   Gk    z j, E j    Và ta có:   z j ,  k  j,kA j      Vì theo nguyên lý quy nạp ta xây dựng họ tập G n  đôi rời đường tròn đơn vị thỏa 4.2.5-1 Bây ta phải chứng tỏ họ G n  thỏa điều kiện 4.2.5-2, nghĩa là, tồn        cho:  k: z k ,z n  N  z k ,z n    z n , G k   ,  1, 2, Cố định n = 1,2,… Ta xét tập số sau: A  k :   z k ,z n   N,z k  20M0Q  z n  = B= k :   z k ,z n   N, 2M0I k  M0I n   C  k :   z k ,z n   N,k  A  B Bây ta phân tích tổng thành phần   z k ,z n  k: z k ,z n  N  z n , Gk    A    B   C   A    2 z ,z   zn ,G k  với k n kA  B   2 z ,z   zn ,G k  k n kB  C    2 z ,z   zn ,G k  k n kC 20MoQ(zn) C C zn A B A MoIn B D - Với z k phần (A), ta có z k  20M0Q  z n  Từ G n  M0 Ik , theo đánh giá nhân Poisson,  zn eit  z n 2   zn , nên  zn  zn 1  zn   z n ,G k   dt  2M 1  z k  it 2 M I k e  z n 2  z n    z n ,G k   2M  1  zk   zn Theo bổ đề, 4.2.7, từ z k  20M0Q  z n  , tồn số C phụ thuộc Mo, cho: log  zk  C  M0     zk , zn   zn Vì thế, z k  20M0Q  z n  , ta có:  z n ,G k   C.2  zk ,zn  với C  2M0 C M0  - Với z k phần (B), ta có 2M0Ik  M0In   Ta có với eit  Ik , tồn số C1  C1  M0   cho: eit  z n  C1  z n z k Từ   z n ,G k     zn M0 Ik  zn eit  z n 1  z  1  z  2 dt dt    C12 M 2 M I k C  z z 2 n k n k  zn zk Tương tự cách chứng minh bổ đề 4.2.7, ta thấy tồn số C2  cho 1  z  1  z  2   z n , z k   C2  log  n  zn zk  zn ,G k   C.2 Vậy ta có: k  zn ,zk  với C  C12 M0 2C2  A    B  C  2 1 z k ,z n  k: z k ,z n  N Mặt khác từ điều kiện 4.2.2-1, ta có  2 1 z n ,z k   M2 1 j với j=1,2,… k: z k ,z n  j Do    1, ta chọn           , lúc ta có      Vì thế, cộng vế theo vế tất đánh giá với j  N , ta có:   A    B   C  j N k: z k ,z n  j   A    B  CM 2 1 z k ,z n   C M2 1 j j N  2  21 1 j Lấy N>0 đủ lớn, ta có  A    B   Bây việc đánh giá tổng (C) phụ thuộc vào cách chọn số   xuất cách xây dựng tập E n  Cố định z n , xét tập U  n   z k :   z k ,z n   N,z k  20M0Q  z n  ,2M0I k  M0I n   Khi đó: (C)   z k U n   z k ,z n    z n ,G k  Nhận xét rằng, z k  U  n  , z k  z n z n  3M0Q  z k  Đặc biệt, z n  20M0Q  z k  , nên theo cách xây dựng tập G k  , ta có G k  M0 Ik \ In  k  Do   z n ,G k    M0 Ik \In  k   zn   zn d  zn   2 D\I  k    z n 2 d 2 n với phép đổi biến cho số C3  , cho   z n ,G k   C3 1  z n   zn dx  C3 x  z n  k  1 z   k    (4.2.5-9) n   Nhận xét rằng, z k  U  n  , z k thuộc góc Stolz: n  M0   z  D : z  eiAgrzn  11M0 1  z  với đỉnh eiAgrzn phụ thuộc Agr  z k   Agr  z n   10M0 1  z k  z k  eiAgrzn  11M0 1  z k vào M0 2M0Ik  M0In   Vì dẫn đến   Đặt V  n   z k n :   z k ,z n   N, z k  z n  Ta có  C   z k U n   z k ,z n    z n ,G k     z k ,z n  z k V n    z n ,G k   C  z n  k    z k    zk  Theo chứng minh trên,       , từ (4.2.5-9) ta được:  z  z  z n  n n    C  zn  z k ,z n    z n   C  C   C3  2 zk ,zn      z  z n  k  z k V n  z k V n  k   C1 Vì z n  3M0Q  z k  , theo bổ đề 4.2.7, ta có   z k , z n   log   zk  C  M0   zn  zn C M  z ,z   0  k n  zk Do  C   C3 C M0 C1   C   z 1 k ,z n  z k V n  Do dãy z n  tách được, nên tồn C4  C4  M0   , cho với j  , số điểm z k  V  n  mà j    z k ,z n   j  không C Vì  C   C3C4 C M0 C1   C   j 1 2 j N Chọn   đủ nhỏ cho   C1  , tương tự trên, ta lấy N >0 đủ lớn ta C   Vậy, ta chứng minh được:  A    B   C     z k ,z n  k: z k ,z n  N   z n , G k   ,  1, 2, Bước 3: ( chứng minh điều kiện đủ định lý 4.2.2) Trong bước ta chứng minh với phân hoạch z n   T  S tập G n  xây dựng dùng để hàm u  u  T,S thỏa điều kiện mà ta giả thiết bổ đề 4.2.4     Bây ta chứng minh dãy z n  tách thỏa mãn điều kiện # z j :  z j ;z n  l  M2l , với n,l =1,2….thì thỏa mãn điều kiện định lý 4.1.6 Thật vậy, để chứng minh sup  1  zn    ta cần chứng minh với hình vng l  Q  zn Q Carleson Q mà chứa điểm z n  phần nó: T  Q   rei :1  r  l  Q  Xét Q hình vng Carleson dạng này, lấy z n  T  Q  A  j  k : z k  Q, j     z k ,z n   j , theo bổ đề 4.2.7 với k  A  j  z k so sánh đựoc với 2 j l  Q  Do , từ   # z j :   z k ;z n   j  M2j , ta có:  1  zk   C l  Q  #A  j  C M2 j kA j  1 j l Q 1 j  z k   C1M2    l  Q  kA j Do    1, nên 1   z  1  zn      n  l Q   l  Q  zn Q j1 kA j Vì thế, z n  dãy nội suy H  Theo định lý ánh xạ mở, tồn số    z n  cho với phân hoạch dãy zn   T  S ,   tồn h  h  T,S  H với sup h  z  : z  D  h  z n    với z n  T ; h  zn    với z n  S Lấy   số nhỏ ( cố định sau) lấy N  N    ,       số dương G n  tập đôi rời đĩa đơn vị ta xây dựng bổ đề 4.2.5 Lấy        nhỏ cho 1    Xét dãy giá trị dương w n  thỏa mãn log w n  log w m    zn ;zm  , n,m  1,2, (4.2-0) Với phân hoạch z n   T  S cho, ta xét hàm u  u  T,S  h  định nghĩa bởi: u z   wk k  P    1  h     d z Gk h  h  T,S Pz    nhân Poisson 1 z Pz     2   z 2 Bây ta u  z n   w n với z n  T u  z n   w n với z n  S Với n=1,2,…, ta đặt A  n  tập số k cho   z k ,z n   N Ta viết lại: u  zn   (I)  (II) , với  I   kA n   II    wk kA n   P    1  h     d zn Gk wk  P    1  h     d zn Gk + Trước tiên ta chứng minh:  I   2w n , n=1,2,… Thật vậy, số        chọn cho    , từ (4.2-0), ta có  I   kA n  Theo bổ đề 4.2.5, wn   z k ,z n   z k ,z n  kA n  1  zn 2 2   z n Gk 2 d  w n  kA n   z k ,z n  2  z n ,G k    z n ,G k   2 Suy  I   2w n , n=1,2,… + Do G n  đôi rời nhau, (4.2-0), ta có  II    kA n    wk  P    1  h    d  zn Gk Từ sup h  z  : z  D  , (4.2-0) 4.2.5-1 ta có N w n 1  h  z n        II   w n 2N 1  h  z n    Pzn    1  h     d  D\ Gk   kA  n    N  w n 1  h  z n   2  Vì thế, 2N w n 1  h  z n   2    II   2N w n 1  h  z n   Vậy + Nếu z n  T , h  z n    nên u  zn    II   w n 2N 1    2  + Nếu z n  S , h  z n    nên u  z n    I    II   w n  2  2N 1     Cố định   , lấy            , , N  >0 đủ nhỏ ta suy u  z n   w n với z n  T u  z n   w n với z n  S Theo bổ đề 4.2.4 ta có chứng minh điều kiện đủ định lý  Sau số điều kiện tương đương với điều kiện ta đưa định lý 4.2.2 Mệnh đề 4.2.8: Cho z n  dãy điểm tách D Khi mệnh đề sau tương đương (a) Tồn số M>0    cho     # z j :  z j , z n  l  M2l với n,l =1,2,… (b) Tồn số M1>0    cho   z j  zn    # z j :  r   M1 1  r   zn z j     với  r  với n=1,2,… (c) Tồn số M2>0    cho  # z j  Q  z n  : 2 l 1 1  z n    z j  2 l 1  z n với n,l =1,2,… (d) Tồn số M3>0    cho  z jQ z n 1  z   j   M3 1  z n     M 2 l với n = 1,2,… Chứng minh: + a    b : zw   1 Ta có   z,w     z,w   wz 1 1  z,w Nên với z, w  D , ta có   z, w   l  zw  1 l  wz 1 ta có  a    b  1 Chọn r   l + a   c : Cố định số nguyên dương n, l Với  z j  z j  Q  z n  : 2 l 1 1  z n    z j  2 l 1  z n 2 l 1 1  z n    z j  2 l 1  z n  , nghĩa z j  Q  zn   Áp dụng bổ đề 4.2.7 ta có tồn số C cho    z n , z j  log  zn    C  log  C  l   zn , z j  C  l  1 zj    z n , z j  C  log  zn 1 zj C  zn 1 zj      zn , z j  l  C Vì ta có z  Q  z  : 1  z    z  l 1 n j n j Do ta có  a    c  + c  d  : Ta có : 2 l 1 1  z n    z j  2 l 1  z n   1 zj    2 l 1  z n     2 l 1  z n   z j :   z j, z n   l  C   1  z    1  z     z jQ z n j l n j1   M3 1  z n   Ta có  c    d  + d  a  : Theo tính bất biến bảo giác, ta giả sử z n  , từ điều kiện (d) suy ra:  1  z j   j1   Mặt khác:  z j ,0  l  log   Nếu  z j ,0  l  z j     1 zj 1 zj l  1 zj  M3  2l 2 1 l   Suy # z j :  z j ,0  l  M3  l   1  1 zj    KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn chia thành chương với nội dung ba ứng dụng Lý Thuyết Thế Vị Hàm Điều Hịa, là: Phép nội suy khơng gian Lp , Xấp xỉ đều, phép nội suy hàm điều hòa dương Qua giúp ta hiểu sâu sắc Lý Thuyết Thế Vị, hàm điều hòa; thấy ứng dụng, cách thực vận dụng toán cụ thể Và thấy mối liên hệ Lý thuyết vị, giải tích phức nghành tốn học khác có nhiều mối liên hệ mật thiết với Qua trình nghiên cứu vấn đề này, tơi nhận thấy cịn nhiều ứng dụng nữa, kết thu cịn mở rộng thêm Chẳng hạn phép nội suy hàm điều hịa dương có số chiều lớn hơn, dãy nội suy không gian khác (Kông gian dạng Besov, …), xấp xỉ hàm điều hòa đa thức điều hòa hàm điều hòa hưữ tỉ, xấp xỉ nón hàm điều hịa dương… Nhưng kiến thức thời gian hạn chế, nên luận văn chưa thể thực Tác giả mong tiếp tục nghiên cứu theo hướng Tác giả mong góp ý bảo Q Thầy Cơ hội đồng TP Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2009 TÀI LIỆU THAM KHẢO I.Tiếng việt: [1] TS Nguyễn Văn Đơng, Giáo Trình Giải Tích Phức [2] PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Giáo Trình Giải Tích Thực [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc Gia Hà nội 2001 II Tiếng Anh: [4] D.Blasi & A.Nicolau, Interpolation by positive harmonic functions, arXiv:Math-2006 [5] L.Carleson, An interpolation problem for bounded analytic functions, Amer J.Math, 1958 [6] L.Carleson & J.Garnett, Interpolation sequences and separation properties, I.Anal.Math,1975 [7] J.B.Conway, Function of one complex variable II, Springs – Verlag, Newyork, 1995 [8] J.B.Hiriart-Urrty & C.lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I.Fundamentals, Springer – Verlag, Berlin, 1993 [9] D.E.Marshall & C.Sundberg, Harmonic Measure anh radial projection, Spring – Verlag, New York, 1994 [10] Thomas Ransford, Potential theory in the complex plane, London Mathematical Society Student Texts 28, Cambridge University Press [11] W.Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York,1987 ... này, sau giới thiệu số kết có Lý thuyết vị mặt phẳng, nhiều ứng dụng lý thuyết vị, giới thiệu ba ứng dụng sau: + Phép nội suy không gian Lp : + Xấp xỉ + Phép nội suy hàm điều hòa dương Cấu trúc... nhanh gọn chứng minh kết lý thuyết vị Mặt khác định lý tương tự lý thuyết vị lại có vơ số ứng dụng giải tích phức Trong lý thuyết số, phép nội suy phương pháp xây dựng điểm liệu dựa vào tập rời... Một số kết biết không gian Lp 15 2.2 Phép nội suy không gian LP: 16 Chương XẤP XỈ ĐỀU 23 Chương PHÉP NỘI SUY BỞI CÁC HÀM ĐIỀU HÒA DƯƠNG 35 4.1 Các khái niệm