Về các môđun m nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Hồng Nam VỀ CÁC MƠĐUN M-NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Hồng Nam VỀ CÁC MƠĐUN M-NỘI XẠ Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng với hướng dẫn Tiến sĩ Trần Huyên Các nội dung nghiên cứu kết luận văn trung thực chưa cơng bố với hình thức trước Ngồi luận văn cịn sử dụng số kết nghiên cứu nhà khoa học, trân trọng biết ơn sâu sắc Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2016 Tác giả Phan Hoàng Nam LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành từ hướng dẫn tận tình tiến sĩ Trần Huyên Nhân dịp xin chân thành bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy khoa Tốn – tin học Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học trường Tơi xin cảm ơn gia đình người thân động viên quan tâm không thời gian học cao học mà suốt trình học tập Cuối chân thành cảm ơn bạn bè với thành viên lớp cao học Đại số lý thuyết số K25 quan tâm đồng hành tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Phan Hoàng Nam MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt MỞ ĐẦU 1  Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3  1.1 Một số kết môđun phạm trù 3  1.2 Môđun nội xạ 14  Chương CÁC MÔĐUN M-NỘI XẠ 20  2.1 Định nghĩa ví dụ mơđun M-nội xạ 20  2.2 Các tính chất môđun M-nội xạ 22  2.3 Môđun nội xạ phạm trù σ[M] 34  KẾT LUẬN 37  TÀI LIỆU THAM KHẢO 38  BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Ký hiệu Ý nghĩa Mod Phạm trù R-môđun Hom A, B Tập hợp đồng cấu từ A đến B A B Tổng trực tiếp hai R-môđun A B M Tổng trực tiếp môđun M theo tập số   E M  Bao nội xạ mơđun M Ann  x  Linh hóa tử x  Iđêan  Môđun MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các mơđun nội xạ đóng vai trị quan quan trọng để hình thành nên khái niệm lý thuyết mơđun nói riêng nhiều ngành tốn học khác nói chung Việc mở rộng khái niệm mơđun nội xạ đến khái niệm tổng quát nghiên cứu để ý nhiều nhà tốn Chúng tơi lựa chọn việc nghiên cứu mơđun M-nội xạ xem xét tính chất chúng thể phần xu hướng nói Mục đích đề tài - Xây dựng khái niệm môđun M-nội xạ thể phạm trù mơđun - Tìm hiểu tính chất của mơđun M-nội xạ Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các môđun M-nội xạ phạm trù môđun Mối liên hệ với khái niệm môđun nội xạ khái niệm khác lý thuyết mơđun - Các tính chất môđun M-nội xạ ứng dụng Nội dung luận văn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương trình bày lại số kiến thức lý thuyết môđun phạm trù liên quan đến đề tài kéo lại, đẩy đi, môđun đặc biệt mơđun nội xạ … Chương CÁC MƠĐUN M-NỘI XẠ Chương nội dung luận văn gồm vấn đề xem xét: - Khái niệm môđun M-nội xạ - Các tính chất mơđun M-nội xạ tương tự môđun nội xạ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tổng hợp tài liệu, sách, báo chuyên ngành liên quan tới đề tài, đặc biệt môđun nội xạ môđun M-nội xạ - Kết hợp kiến thức kỹ chung lý thuyết mơđun để trình bày khảo sát nghiên cứu tính chất mơđun M-nội xạ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kết môđun phạm trù 1.1.1 Môđun tự Định nghĩa 1.1 Môđun M gọi môđun tự có sở Định lý 1.2 Tập S   x I phần tử môđun M sở M phần tử x  M có cách biểu thị tuyến tính qua S Định lý 1.3 Nếu f : M  N đẳng cấu mơđun M mơđun tự N môđun tự Hơn nữa, S sở M f  S  sở N Định lý 1.4 Tập S   M sở M với môđun N, ánh xạ f : S  N mở rộng tới đồng cấu f : M  N 1.1.2 Môđun xạ ảnh Định nghĩa 1.5 Môđun P gọi môđun xạ ảnh với R-môđun A, B với toàn cấu  : A  B , đồng cấu f : M  B , tồn đồng cấu  : P  A cho f  Ta có định nghĩa tương đương môđun xạ ảnh sau: Định nghĩa 1.6 Môđun P môđun xạ ảnh hàm tử Hom P,  hàm tử khớp Mệnh đề 1.7 Mỗi môđun tự môđun xạ ảnh Định lý 1.8 Tổng trực tiếp họ môđun  Pi iI xạ ảnh môđun thành phần Pi xạ ảnh Định lý 1.9 Đối với môđun P, ba phát biểu sau tương đương: a) P xạ ảnh; b) Mỗi dãy khớp    A    B   P   chẻ ra; c) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun tự 1.1.3 Môđun nửa đơn Định nghĩa 1.10 Một môđun gọi môđun nửa đơn tổng trực tiếp mơđun đơn Định lý 1.11 Cho M R-mơđun, điều sau tương đương: a) M nửa đơn; b) M tổng trực tiếp môđun đơn; c) Mọi tồn cấu M  L R-mơđun chẻ; d) Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M Hệ 1.12 Nếu M mơđun nửa đơn mơđun con, mơđun thương M nửa đơn 24 Như tồn môđun B M cho M  Im i  B hay M  U  B U hạng tử trực tiếp M Định lý 2.8 Cho môđun M họ R-môđun U   , tích   U  môđun M-nội xạ U  môđun M-nội xạ với    f K  M Nếu U  Chứng minh Cho dãy khớp R-môđun  môđun M-nội xạ với    , biểu đồ f   K  M g  hµ   U  U   bổ sung để giao hốn đồng cấu h : M U Nhưng lại tính phổ dụng tích trực tiếp nên có đồng cấu h : M    U  cho   h  h , lúc   hf  h f    g kéo theo hf  g Vậy   U  môđun M-nội xạ Chiều ngược lại,   U  mơđun M-nội xạ với biểu đồ f  K  M    δ U     U  i bổ sung để giao hoán đồng cấu  : M    U  tức i   f Ngay ta có:    i    f , tức tồn k   k : M U cho kf   25 Định lý 2.9 f g M  M 0, U môđun M-nội xạ Cho dãy khớp M  U môđun M'-nội xạ môđun M''-nội xạ Chứng minh  : K  M  đồng cấu  :K U , ta xét biểu đồ đồng cấu sau  f   K   M   M  U Do f  : K M đơn cấu U môđun M-nội xạ nên  mở rộng thành đồng cấu  :M  U tức  f   Khi h   f : M  U mở rộng đồng cấu  qua đơn cấu  Vậy U môđun M'-nội xạ Bây ta chứng minh U môđun M''-nội xạ h K  M '' , lúc tồn kéo lại Nếu ta có dãy khớp  M '' , ta có biểu đồ giao hốn sau 0    f  M '   P   K  0   h   M '   M   M ''  0 Từ việc U môđun M-nội xạ nên, nên tác động Hom ,U  vào biểu đồ cho ta biểu đồ giao hoán sau   Hom  M '',U    Hom  M ,U    Hom  M ',U   0 Hom  h, U      Hom  K ,U    Hom  P,U    Hom  M ',U   26 Áp dụng bổ đề 1.1.4 cho ta Hom(h,U) toàn cấu U môđun M '' -nội xạ Hệ 2.10 Nếu U môđun M-nội xạ, N môđun M U mơđun N-nội xạ mơđun M N -nội xạ Mệnh đề 2.11 Giả sử U mơđun M-nội xạ N ảnh tồn cấu M, U mơđun N-nội xạ Chứng minh Do N ảnh toàn cấu M nên có tồn cấu f : M N , theo định lý đồng cấu M Kerf N U mơđun M-nội xạ nên U môđun M Kerf -nội xạ, U mơđun N-nội xạ Định lý 2.12 Cho mơđun M, U, V mơđun M-nội xạ U  V môđun M-nội xạ Chứng minh Giả sử U V môđun M-nội xạ ta chứng minh U V môđun M-nội xạ Xét đơn cấu f : K  M đồng cấu g : K U V với K R-môđun Với phép chiếu p1 :U V U p2 :U V V ta có đồng cấu g1  p1g : K U g2  p2g : K V Do U, V môđun M-nội xạ nên g1, g2 mở rộng tới h1 : M U h2 : M V tức g1  h1 f g2  h2 f 27 Đặt đồng cấu h  j1h1  j2h2 : M  U V , với j1, j2 phép nhúng U V vào U V Khi hf   j1h1  j2 h2  f  j1h1 f  j2 h2 f  j1 p1 g  j2 p2 g   j1 p1  j2 p2  g  1U V g g Ngược lại, giả sử U V môđun M-nội xạ, ta chứng minh U môđun M-nội xạ Xét biểu đồ với dòng khớp: f   K  M g  U Với phép nhúng j1 :U U V , ta có đồng cấu nối j1g : K U V , U V môđun M-nội xạ nên tồn đồng cấu  :M  U V cho  f  j1g Đặt h  p1 : M U , hf  p1 f  p1 j1g 1U g  g Vậy U môđun M-nội xạ Hệ 2.13 n Tổng trực tiếp  U i môđun M-nội xạ Ui môđun M-nội i 1 xạ với i  1, , n 28 Định lý 2.14 Nếu R-môđun U M -nội xạ với họ M   R-mơđun U  M -nội xạ Chứng minh U môđun M -nội xạ với    , đặt M  M K  M , với đồng cấu g : K U , định nghĩa tập   h : L  U | K  L  M , h |K  g Tập sau  h1 : L1  U    h2 : L2  U   L1  L2 , h2 |L  h1 Dễ dàng  bị chặn Theo bổ để Zorn,  có phần tử tối đại h0 : L0 U Ta chứng minh M  L0 cách M  L0 với    Xét biểu đồ   L0  M   M  L0 h0  U Vì U mơđun M -nội xạ với    nên biểu đồ bổ sung để giao hốn h : M U Xét quy tắc: h* : L0  M   U , l  m  h0  l   h  m  độc lập với đại diện l  m l  m  l  m  L0  M h*  l  m   h0  l   h  l   * Vì h : L0  M   U đồng cấu thuộc vào  hiển nhiên lớn h0 : L0 U 29 * Vì tính tối đại h0 : L0 U , nên đồng cấu h h0 phải nhau, đặc biệt L0  M  L0 M  L0 * * * Do L0  M  M h : M U thỏa mãn h |K  g hay h mở rộng g qua đơn cấu nhúng i Vậy U  M -nội xạ Mệnh đề 2.15 Cho M i 1in họ R-môđun,  M i tự nội xạ n i 1 M i M j -nội xạ với 1 i, j  n Chứng minh Do hệ 2.13 mệnh đề 2.14, ta có n n n i 1 i 1 i 1  M i tự nội xạ   M i  M i -nội xạ n Mi  M j -nội xạ với  j  n j 1 Mi M j -nội xạ với 1 i, j  n Hệ 2.16 Cho n  ,n  1, môđun M tự nội xạ M n tự nội xạ Mệnh đề 2.17 R-môđun U môđun M-nội xạ với đồng cấu f : E  M   E U  Im f U Chứng minh Do E U  môđun nội xạ nên ta cần chứng minh mệnh đề với đồng cấu f : M  E U  Cho biểu đồ với dòng khớp 30 f  K  M g  U Với phép nhúng tự nhiên i : U  E U  ta có đồng cấu nối ig : K  E U  E U  nội xạ nên tồn đồng cấu g : M  E U  cho ig  gf Do g  M   U nên ta định nghĩa h : M  U , h  x   g  x  , x  M Lúc với a  K hf  a   gf  a   ig  a   g  a  , suy hf  g Ngược lại, cho f : M  E U  , ta ký hiệu X  f 1 U  môđun M , xét đơn cấu nhúng j : X  M , đặt f1  f |X Từ việc U môđun M-nội xạ, nên tồn g : M U cho gj  f1 Với đơn cấu nhúng i : U  E U  Ker  f  ig   X , thật vậy: Với x  Ker  f  ig  , f  x   ig  x   g  x  U , suy x  X Với x  X , f  x   f1  x   gj  x   g  x   ig  x  , suy x  Ker  f  ig  Giả sử X  M tồn x  M \ X cho  f  ig  x  Nhưng  f  ig  x   E U  nên tồn q  R \ 0 cho:  f  ig  x  q   f  ig  xa  U \ 0 , f  xa  g  xa U Vì xa  f 1 U   X , suy  f  ig  xa   Điều mâu thuẫn cho ta X  M , tức f  ig hay Im f U 31 Mệnh đề 2.18 Cho U môđun M-nội xạ N R-môđun, giả sử với môđun N ' N với đồng cấu f : N ' U , mà tồn  : N  M thỏa Ker  Kerf tồn đồng cấu g : N U cho g |N  f hay i   N   N f  g U giao hoán Chứng minh Cho đồng cấu p : N     N   với p  x     x  với x  N  Do Ker  Kerf nên có đồng cấu f1 :   N U cho f  f1 p định nghĩa f1   x    f  x  với x  N  Với j :   N  M phép nhúng tự nhiên U mơđun M-nội xạ, nên có đồng cấu f2 : M U cho f2 j  f1 Đặt g  f2 với x  N  g  x   f 2  x   f2 j  x   f1  x   f  x  hay g |N  f Mệnh đề 2.19 Cho  lớp môđun sinh M, cho N   thỏa mệnh đề 2.18 U môđun M-nội xạ Chứng minh Ta chứng minh Im h  U với h : M  E U  , từ việc M  -sinh tương đương với Im h  U với N    : N  M Cho N    h  U  f   h  |N Rõ ràng Ker  Kerf mệnh đề nên có g : N U cho g mở rộng f Giả sử ig  h , X  Ker  ig  h   N N   X 32 Giả sử X  N , lấy phần tử x  N \ X ,  ig  h  x   E U  \ 0 , tồn a  R  ig  h  x  a  N nên  h  xa  U xa  N  Vì xa  X hay  ig  h  xa   Điều mâu thuẫn cho ta X  N hay h  ig Vậy U môđun M-nội xạ Mệnh đề 2.20 Cho U M mơđun, U mơđun M-nội xạ với iđêan A R f : A U mà Kerf  D  M  với D  M    A  R | x  M , A  Ann  x  , f mở rộng tới R Chứng minh Cho   R , A iđêan R có đồng cấu f : A U Kerf  D M  tương đương với việc tồn s  : R  M cho Ker  Ann  x   Kerf , x   1 Áp dụng mệnh đề 2.19 ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.21 Cho U môđun M-nội xạ M mơđun U-nội xạ Nếu E(U) đẳng cấu với E(M) U đẳng cấu với M Và U M tự nội xạ Chứng minh Cho f : E U   E  M  đẳng cấu Do M U-nội xạ, nên f U   M Tương tự f 1  M   U    M   f  f  M   f U   M Ta có M  ff 1 1 Vậy f U   M f |U:U M đẳng cấu 33 Định lý 2.22 Một môđun U môđun M-nội xạ U môđun N-nội xạ với môđun cyclic M Định lý xem mở rộng tiêu chuẩn Baer, hay nói khác tiêu chuẩn Baer để môđun môđun M-nội xạ Chứng minh Theo hệ 2.10, U mơđun M-nội xạ U mơđun N- nội xạ với môđun N M Ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử U môđun N-nội xạ với môđun cyclic N  Ra M a  M Cho X môđun M  :X  U đồng cấu Theo bổ đề Zorn, tìm cặp  B,  tối đại với X  B  M  đồng cấu mở rộng  Rõ ràng B e M :B  U Giả sử B  M , tồn phần tử a  M \ B Đặt K  r  R :  B , rõ ràng Ka  Định nghĩa đồng cấu  : K a  U   ka   ka Khi  mở rộng thành  : Ra  U Bây ta có  : B  Ra  U với   b     b    ,  hợp lí b   r  K   b        b         b  ar   Nhưng điều mâu thuẫn với tính tối đại  B,  , B  M ,  : A  U mở rộng  Hệ 2.23 Nếu U môđun N-nội xạ với mơđun cyclic N U mơđun nội xạ Mệnh đề 2.24 34 Cho  lớp môđun M môđun  -sinh, U môđun Xnội xạ với môđun X thuộc  U mơđun M-nội xạ Chứng minh Do M mơđun  -sinh nên có tồn cấu  X   M với X    , U là môđun X-nội xạ với môđun X thuộc  nên U môđun  X    nội xạ, theo mệnh đề 2.11 U môđun M-nội xạ Mệnh đề 2.25 Nếu U môđun M-nội xạ với mơđun tự M U môđun nội xạ Chứng minh Với môđun X bất kỳ, ta ln có X  F / A , F mơđun tự A mơđun F Theo giả thiết U môđun F-nội xạ nên U môđun F / A -nội xạ, U mơđun X-nội xạ Vậy U môđun nội xạ 2.3 Môđun nội xạ phạm trù σ[M] Định lý 2.26 U môđun M-nội xạ U môđun N-nội xạ với môđun N thuộc   M  , hay U nội xạ phạm trù   M  Chứng minh Nếu U môđun nội xạ   M  hiển nhiên U môđun M-nội xạ Ngược lại, N môđun thuộc   M  nên N môđun mơđun M-sinh F Khi tồn toàn cấu  : M M   / Ker  F     F Áp dụng định lý Noether 35   Theo định lý 2.8, U mơđun M -nội xạ, theo hệ 2.9 U mơđun M   / Ker -nội xạ, tức U môđun F -nội xạ, lại hệ 2.9 U  môđun N-nội xạ Định lý 2.27 Cho U thuộc phạm trù   M  , điều sau tương đương a) Nếu U môđun nội xạ   M  ; b) Mọi dãy khớp  U  L  N    M  chẻ; c) Mọi dãy khớp  U  L  N    M  với N môđun thương M chẻ Chứng minh a) b) U nội xạ   M  , xét biểu đồ   M  với dòng khớp f  U  L  N  1U  U Do U nội xạ   M  nên có đồng cấu g : L U cho gf  1U , tức dãy chẻ b) c) Hiển nhiên c) a) Với biểu đồ có dịng khớp sau: i   K  M f  U Dựa vào đẩy ta có biểu đồ giao hốn   M  36 i  K  M  M / K  f g     U  Q M / K  Theo giả thiết dịng thứ hai chẻ nên có  : Q  U cho  1U lúc f   g : M  U  f  gi nên  f   gi hay f  fi Vậy U môđun M-nội xạ Từ định lý trên, môđun   M  môđun mơđun Msinh, mơđun U mơđun nội xạ phạm trù   M  U hạng tử trực tiếp môđun M-sinh, mơđun M-sinh 37 KẾT LUẬN Luận văn trình số kết có liên quan đến khái niệm môđun Mnội xạ khái niệm mở rộng môđun nội xạ vành R, số điều kiện để môđun môđun M-nội xạ Nếu môđun môđun M-nội xạ với môđun M mơđun nội xạ phạm trù môđun Từ luận văn xem xét việc môđun U môđun M-nội xạ với M không chạy hồn tồn phạm trù mơđun Từ tính chất luận văn ta rút điều sau: - Nếu mơđun U mơđun M-nội xạ môđun U môđun nội xạ phạm trù   M  - Nếu môđun U môđun M-nội xạ với M thuộc lớp môđun cyclic (hữu hạn sinh) hay môđun tự (xạ ảnh) U mơđun nội xạ phạm trù R-môđun 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb Đại học Quốc gia Tp HCM, 7-103 Tiếng Anh Azumazay, G., Mbuntum, F., Varadarajan, K (1975), On M-projective and M-injective modules, Pacific Journal of Mathematic Vol 59, 9-16 Birkenmaier, G.F (1976), On the cancellation of quasi-injective modules, Communications in Algebra Vol 4, 104-109 Goodearl, K.R.(1976), Direct sum properties of quasi-injective modules, Bulletin of the American Mathematic Society Vol 82, 108-110 Jain, S.K., Singh, S (1975), Quasi-injective and pseudo-injective modules, Canadian Mathematical Bulletin Vol 18, 359-365 Li, M.S., Zelmanowitz, J.M (1988), On the generalizations of injectivity, Communications in Algebra Vol 16, 483-491 Robert W., Foundations of Module and Ring Theory (1991), Gordon and Breach Science Publishers, 118-136 ... Mnội xạ khái ni? ?m mở rộng m? ?đun nội xạ vành R, số điều kiện để m? ?đun m? ?đun M- nội xạ Nếu m? ?đun m? ?đun M- nội xạ với m? ?đun M mơđun nội xạ ph? ?m trù m? ?đun Từ luận văn xem xét việc m? ?đun U m? ?đun M- nội xạ. .. A -nội xạ, U m? ?đun X -nội xạ Vậy U m? ?đun nội xạ 2.3 M? ?đun nội xạ ph? ?m trù σ [M] Định lý 2.26 U m? ?đun M- nội xạ U m? ?đun N -nội xạ với m? ?đun N thuộc   M  , hay U nội xạ ph? ?m trù   M  Chứng minh... Cho M R -m? ?đun, bao nội xạ m? ?đun M là m? ?đun nội xạ rộng cốt yếu M Ta ký hiệu E  M  bao nội xạ m? ?đun M Mệnh đề 1.37 Bao nội xạ m? ?đun M mở rộng cốt yếu cực đại M 20 Chương CÁC M? ?ĐUN M- NỘI XẠ 2.1