Vật xạ ảnh và vật nội xạ của phạm trù các môđun không ổn định trên đại số steenrod

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Nhật Loan VẬT XẠ ẢNH VÀ VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ CÁC MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Nhật Loan VẬT XẠ ẢNH VÀ VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ CÁC MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHAN HỒNG CHƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tơi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cám ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc rõ ràng phép công bố Học viên thực Nguyễn Nhật Loan LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình thực luận văn, nhận nhiều giúp đỡ, động viên từ quý thầy cô, gia đình bạn bè Vì vậy, trước tiên tơi xin chân thành cảm ơn TS Phan Hoàng Chơn tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phan Hoàng Chơn dành nhiều thời gian quý báu để đọc đóng góp ý kiến cho luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Tốn - Tin học, Phịng Sau Đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn quý thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Đại số lí thuyết số K25 hết lòng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập q trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Chân thành cảm ơn Học viên thực Nguyễn Nhật Loan MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Trang MỞ ĐẦU 1 ĐẠI SỐ STEENROD VÀ A MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH 2 1.1 Đại số Hopf 1.2 Đại số phân bậc 1.3 Đại số Steenrod 1.4 Đối ngẫu đại số Steenrod 1.5 Môđun không ổn định đại số Steenrod 1.6 Đại số không ổn định đại số Steenrod VẬT XẠ ẢNH CỦA PHẠM TRÙ U 2.1 Điều kiện không ổn định quan hệ Adem 2.2 Cấu trúc môđun F (n) 10 2.3 Tính noether địa phương phạm trù U 15 VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ U 18 3.1 Tổng quát 18 3.2 Vật biểu diễn hàm tử biểu diễn 20 3.3 Đại số song bậc Miller 26 Kết luận 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 CÁC KÝ HIỆU A Đại số Steenrod modulo A∗ Đối ngẫu đại số Steenrod modulo H ∗X Đối đồng điều modulo không gian X K Phạm trù A-đại số không ổn định U Phạm trù A-mơđun khơng ổn định V, W, Kí hiệu F2 không gian véctơ hữu hạn chiều Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Đối đồng điều (kì dị) khơng gian tơpơ X, ngồi cấu trúc vành thông thường, môđun không ổn định đại số Steenrod A Do đó, việc nghiên cứu phạm trù môđun không ổn định đại số Steenrod đóng vai trị quan trọng nghiên cứu đối đồng điều không gian tôpô, lý thuyết đồng luân Xây dựng cách tường minh vật xạ ảnh vật nội xạ phạm trù môđun không ổn định đại số Steenrod U liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu cấu trúc phạm trù U Bên cạnh đó, việc xây dựng vật xạ ảnh, vật nội xạ liên quan trực tiếp đến toán xác định giải xạ ảnh, giải nội xạ cho môđun không ổn định; tốn xác định nhóm mở rộng môđun không ổn định Hiểu cấu trúc vật xạ ảnh, vật nội xạ giúp học viên hiểu cấu trúc phạm trù U, mối liên hệ phạm trù U với phạm trù khác phạm trù hàm tử đa thức chặt Hơn nữa, cấu trúc vật xạ ảnh, vật nội xạ tảng giúp học viên tiếp cận toán quan trọng nghiên cứu đối đồng điều không gian tôpô, tốn phân loại kiểu đồng ln khơng gian Nội dung luận văn gồm ba chương Trong Chương 1, tơi trình bày kiến thức Đại số Steenrod, đối ngẫu đại số Steenrod, môđun không ổn định đại số Steenrod, đại số không ổn định nhằm phục vụ cho chương Trong Chương 2, tơi trình bày vật xạ ảnh phạm trù U Cụ thể, đưa định nghĩa ví dụ; điều kiện khơng ổn định quan hệ Adem, cấu trúc môđun F (n), tính Noether địa phương phạm trù U Trong Chương 3, tơi trình bày vật nội xạ phạm trù U Trong đó, tơi trình bày cấu trúc môđun Brown-Gitler, đại số song bậc Miller Chương ĐẠI SỐ STEENROD VÀ A MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH 1.1 Đại số Hopf Cho A B k-không gian véctơ Để thuận lợi, ký hiệu k trường cho trước Tích tenxơ thực k; tích tenxơ A B kí hiệu đơn giản A ⊗ B Một đại số k k-không gian véctơ A với hai ánh xạ tuyến tính µ : A ⊗ A → A u : k → A, (tương ứng gọi phép nhân đơn vị) thỏa mãn điều kiện sau đây: Tính kết hợp Phép nhân µ có tính kết hợp biểu đồ A⊗A⊗A µ ⊗ id ✲ A⊗A id ⊗ µ µ ❄ A⊗A µ ❄ ✲ giao hoán Đơn vị Đồng cấu u đơn vị biểu đồ sau A k⊗A u ⊗ id ✲ A⊗A ✻ s µ id ⊗ u s ❄✛ A✛ A⊗k (trong s phép nhân vơ hướng) giao hốn Đại số A gọi giao hoán phép nhân có tính giao hốn, nghĩa biểu đồ A⊗A T ✲ µ A⊗A µ ✲ ❄ A giao hốn Trong T : A ⊗ B → B ⊗ A đồng cấu ánh xạ a ⊗ b thành b ⊗ a 1.2 Đại số phân bậc Một k-không gian véctơ phân bậc A họ k-không gian véctơ An , số n số nguyên Nếu A, B k-không gian véctơ phân bậc; f : A → B họ đồng cấu fn , cho fn : An → Bn đồng cấu k-không gian véctơ Một phần tử x A gọi x nằm An với n đó, n gọi bậc x Bất kì phần tử y thuộc A viết dạng tổng hữu hạn n yn , yn → A Các thành phần yn khác gọi thành phần y Một đại số phân bậc A k k-không gian véctơ phân bậc với ánh xạ tuyến tính µ u thỏa mãn tính chất Mục 1.1 Nói cách khác, đại số phân bậc không gian véctơ phân bậc với cấu trúc đại số Đại số phân bậc A gọi giao hoán phân bậc phép nhân µ thỏa mãn biểu đồ giao hốn sau 15 Pi tổng trực tiếp F (n) Khi đó, ta có biểu đồ giao hốn sau: 0 / ··· / ··· /  /  ΣΩP2  / /  P1  ΣΩP1  /  / ΦP1 ΦP2  / P2 ··· ···   0   / ΣΩ1 M  / ΦP0 /  /  / ΣΩP0   / / / ΦM / P0 /  M  ΣΩM /  Trong đó, hai hàng khớp (vì hàm Φ hàm tử khớp) Tất cột khớp ánh xạ ΣΩ1 M → ΦM đơn ánh Tính tốn trực tiếp cách “săn biểu đồ”, ta kiểm tra hàng cuối khớp ΣΩPi , i ≥ 2, đồng điều ΣΩP1 đẳng cấu với ΣΩ1 M Như vậy, mệnh đề chứng minh 2.3 Tính noether địa phương phạm trù U Định lý 2.3.1 Cho M A-môđun không ổn định hữu hạn sinh A-mơđun Khi đó, A-mơđun M hữu hạn sinh A-môđun Nhắc lại, vật phạm trù aben noether thỏa mãn tính chất dây chuyền tăng, nghĩa là, dãy tăng vật dừng (ổn định) Một phạm trù noether địa phương có họ phần tử sinh noether Nhắc lại, họ vật Mα , α ∈ I phạm trù aben C gọi họ phần tử sinh với vật M phạm trù C, ln tồn tồn cấu từ tổng trực tiếp Mα vào M Định lý 2.3.1 suy ra rằng, F (n) noether Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2.4 suy môđun F (n) vật sinh U Do đó, U phạm trù neother địa phương Chứng minh Định lý 2.3.1 Vì thương mơđun hữu hạn sinh hữu hạn sinh, nên 16 ta cần chứng minh định lý với môđun F (n) đủ Nghĩa ta cần chứng minh môđun F (n), n > 0, hữu hạn sinh A-môđun Ta chứng minh kết quy nạp theo n, dùng Mệnh đề 2.2.6 Cho M A-mơđun F (n), ta kí hiệu Mk A-mơđun F (n) sinh tất x ∈ F (n) cho Sq0k x ∈ M (trong Sq0k x = Sq0 (Sq0k−1 x)) Đầu tiên ta chứng minh dãy tăng A-môđun M = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mk ⊂ dừng Xét biểu đồ giao hoán / 0 / / ΦMk+1  ΦMk+2 / / Mk  Mk+1 / / ΣMk  ΣMk+1 / 0, hàng khớp ΣMk ảnh Mk ΣF (n − 1) qua hạn chế ánh xạ Σιn−1 Theo giải thiết quy nạp, dãy · · · ⊂ Mk ⊂ Mk+1 ⊂ ổn định số nguyên k0 Ta chứng minh dãy môđun Mk ổn định k0 Giả sử ngược lại, tồn phần tử khác không x1 ∈ Mk0 +1 , |x1 | > cho ảnh khơng ΣMk0 +1 khơng nằm ảnh Mk0 Do đó, x1 Φx1 với x1 nằm Mk0 +2 không nằm Mk0 +1 Hệ tồn phần tử khác không x2 ∈ Mk0 +2 có bậc |x1 |/2 mà ảnh khơng ΣMk0 +2 khơng nằm ảnh Mk0 +1 Lặp lại trình dẫn đến mâu thuẫn |x1 |/2s khơng số nguyên s đủ lớn Như dãy Mk dừng k0 Mk0 đẳng cấu với ΩMk0 Nhận thấy Mk0 liên thông (nghĩa Mk00 = 0) n > Bổ đề 2.3.2 Cho M A-môđun không ổn định liên thông Nếu ΩM hữu hạn sinh A M Từ bổ đề ta nhận Mk0 hữu hạn sinh A-môđun Tiếp theo ta xét dãy khớp sau → ΦMk → Mk−1 → ΣMk → Theo giả thiết quy nạp, Mk ∼ = ΩMk hữu hạn sinh, áp dụng Bổ đề 2.3.2, ta Mk hữu hạn sinh Do đó, ΦMk hữu hạn sinh Từ dãy khớp ta nhận Mk−1 hữu hạn sinh Lặp lại trình ta nhận M = M0 hữu hạn sinh A 17 Chứng minh Bổ đề 2.3.2 Chọn phần tử a1 , , at ∈ M phần tử biểu diễn phần tử sinh ΣΩM Ta cần chứng minh f : ⊕ti=1 F (|ai |) → M toàn ánh Thật vậy, nhận thấy Ω(Cokerf ) = Ω(f ) tồn ánh Ω hàm tử khớp phải Và Cokerf liên thông nên suy Cokerf = Từ Định lý 2.3.1 ta nhận hệ sau Hệ 2.3.3 Với số nguyên dương p, q, A-môđun không ổn định F (p) ⊗ F (q) hữu hạn sinh Do đó, tích tenxơ hai A-mơđun khơng ổn định hữu hạn sinh hữu hạn sinh Chứng minh Kết luận thứ hai dễ dàng suy từ kết luận thứ Thật vậy, M N môđun không ổn định hữu hạn sinh chúng thương tổng n trực tiếp hữu hạn mơđun có dạng ⊕m F (ai ) ⊕1 F (bj ) Do đó, M ⊗ N thương tổng trực tiếp hữu hạn ⊕i,j F (ai ) ⊗ F (bj ) nên hữu hạn sinh Bây ta chứng minh kết luận thứ hệ Từ Mệnh đề 2.2.5 Định lý 2.3.1, ta cần chứng minh F (1)⊗n hữu hạn sinh Ta có dãy khớp sau n ⊗n π → F (1) ΣF (1)⊗n−1 , − → i=1 π tổng ánh xạ sau ∼ = F (1)⊗n − → F (1)⊗(n−i−1) ⊗ F (1) ⊗ F (1)⊗i ∼ = → F (1)⊗(n−i−1) ⊗ ΣF2 ⊗ F (1)⊗i − → ΣF (1)⊗n−1 Như A-môđun không ổn định ΩF (1)⊗n nhúng vào Theo giả thiết quy nạp, F (1)⊗n−1 hữu hạn sinh nên n i=1 n i=1 F (1)⊗n−1 F (1)⊗n−1 hữu hạn sinh ΩF (1)⊗n Vì F (1)⊗n liên thông, áp dụng Bổ đề 2.3.2, ta nhận F (1)⊗n hữu hạn sinh 18 Chương VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ U Trong phạm trù U, có ba vật nội xạ gồm (i) Môđun Brown-Gitler, chúng vật đối sinh U; (ii) Mơđun Carlsson; (iii) Tích tenxơ mơđun Brown-Gitle mơđun Carlsson Mục tiêu chương nghiên cứu vật nội xạ Brown-Gitler, vật đối sinh phạm trù U 3.1 Tổng quát Một vật I phạm bù aben C nội xạ hàm tử M → HomC (M, I) từ C vào phạm trù nhóm aben khớp Nói cách khác, với biểu đồ sau C /M  j / N f I hàng khớp, tồn f : N → I cho f ◦ i = f Nghĩa cấu xạ từ M vào I mở rộng lên thành cấu xạ từ N vào I Ví dụ: Trong phạm trù nhóm aben, nhóm chia nội xạ Đây vài tính chất mơđun nội xạ phạm trù U Hầu hết chúng đặc biệt hóa tính chất vật nội xạ phạm trù aben nói chung Chúng ta tra cứu [2] hay [3] để biết thêm chi tiết 19 Để thuận tiện, ta thường viết tắt “A-môđun nội xạ không ổn định” thành “U-nội xạ” Bổ đề 3.1.1 Một môđun không ổn định I U-nội xạ cấu xạ M → I mở rộng thành cấu xạ F (n) → I, với n > với A-mơđun M F (n) Chứng minh Điều kiện cần bổ đề hiển nhiên Ta cần chứng minh điều kiện đủ Dễ thấy kết luận bổ đề cho tổng trực tiếp F (n) Vì Mệnh đề 2.2.4 nên tồn tổng trực tiếp toàn cấu pM pN cho biểu đồ sau giao hốn, với A-mơđun M A-mơđun N , / F (ni ) j i∈IM / F (ni ) i∈IN pN pM /  M  j  /N f I Trong đó, hai hàng đầu khớp f cấu xạ từ M vào I Ta cầu chứng minh tồn cấu xạ f˜ : N → I cho f = j ◦ f˜ Thật vậy, xét cấu xạ f ◦pM : i∈IM F (ni ) → I, tồn cấu xạ f˜ : i∈IN I cho f ◦ pM = f˜ ◦ j Vì pN toàn cấu nên với x ∈ N tồn y ∈ F (ni ) → ni F (ni ) cho pN (y) = x Do đó, xác định cấu xạ f˜ : N → I cho f˜(x) = f˜ (y) Nói cách khác, f˜ = f˜ ◦ pN Tiếp theo ta chứng minh f = f˜◦j Thật với x ∈ M , tồn y ∈ i∈IM F (ni ) cho pM (y) = x Khi đó, tính giao hoán, f˜(j(x)) = f˜(j(pM (y))) = f˜(pN (j (y))) = f˜ (j (y)) = f (pM (y)) = f (x) Như vậy, bổ đề chứng minh Vì hàm tử HomU (M, −) khớp trái nên bảo tồn tổng trực tiếp Do đó, ta có kết sau 20 Mệnh đề 3.1.2 Tổng trực tiếp môđun U-nội xạ U-nội xạ Hơn nữa, ta cịn có kết sau Mệnh đề 3.1.3 ([4]) Tích trực tiếp họ mơđun U-nội xạ kiểu hữu hạn U-nội xạ Chứng minh Giả sử {Is }s họ môđun U-nội xạ kiểu hữu hạn Xét biểu đồ sau: / M j / F (n) f  Is s ps  Is , hàng khớp ps phép chiếu lên thành phần thứ s Khi đó, với s tồn f˜s : F (n) → Is cho ps ◦ f = f˜s ◦ j Như vậy, tồn cấu xạ f˜ : F (n) → s Is xác định f˜(x) = (f˜s (x))s thỏa mãn f = f˜ ◦ j Mệnh đề chứng minh 3.2 Vật biểu diễn hàm tử biểu diễn Để xây dựng vật U-nội xạ, thực bước sau Chúng ta xây dựng hàm tử phản biến từ U đến phạm trù E không gian véctơ F2 Những hàm tử biểu diễn Khi chúng hàm tử khớp môđun biểu diễn chúng U-nội xạ Một vật B(R) gọi vật biểu diễn hàm tử (phản biến) R : U → E tồn phép biến đổi tự nhiên γ : R → HomU (−, B(R)) cho với vật M ∈ U ta ∼ = có γM : R(M ) − → HomU (M, B(R)) Một hàm tử (phản biến) có vật biểu diễn gọi hàm tử biểu diễn Bổ đề sau cho hàm tử phản biến R : U → E biểu diễn Bổ đề 3.2.1 Hàm tử (phản biến) R biểu diễn khớp trái biến tổng trực tiếp thành tích trực tiếp 21 Chứng minh Ta chứng minh phần điều kiện đủ, điều kiện cần hiển nhiên Chúng ta cần xây dựng môđun không ổn định B(R) phép biến đổi tự nhiên γ : R → HomU (−, B(R)) Vì muốn có R(F (n)) ∼ = HomU (F (n), B(R)), nên ta định nghĩa môđun không ổn định B(R) F2 -không gian véctơ phân bậc B(R)n = R(F (n)) Cấu trúc A-môđun xác định sau Với toán tử θ ∈ A, tồn đồng cấu uθ : F (n + |θ|) → F (n) xác định ιn+|θ| → θιn Khi đó, ta có biểu đồ giao hốn sau / = B(R)n = B(R)n+|θ| / ∼ = R(F (n))  / HomU (F (n), B(R)) R(uθ ) / R(F (n + |θ|) ∼ = Hom(uθ ,B(R))  HomU (F (n + |θ|), B(R)) Đồng cấu R(uθ ) xác định tác động θ lên B(R) Với tác động này, dễ dàng kiểm tra được, B(R) A-môđun không ổn định Tiếp theo ta tồn phép biến đổi tự nhiên γ : R(−) → HomU (−, B(R)) ∼ = cho γM : R(M ) − → HomU (M, B(R)) sau: Với M ∈ U x ∈ R(M ) đặt γM (x) ánh xạ (A-tuyến tính) biến y ∈ M , đồng với ánh xạ yˇ : F (|y|) → M , thành R(ˇ y )(x) ∈ R(F (|y|) = B(R)|y| Từ cách xây dựng suy γF (n) đẳng cấu Cho M ∈ U, ta xem xét đoạn đầu giải thức xạ ảnh cho M : L1 → L0 → M → 0, Li (i = 0, 1) tổng trực tiếp F (n) Khi đó, ta có biểu đồ giao hốn sau / 0 / / R(M )  γM HomU (M, B(R)) / / R(L0 )  γL0 HomU (L0 , B(R)) / R(L1 )  γL1 HomU (L1 , B(R)) Trong đó, hàng khớp R hàm tử khớp trái Hơn nữa, γL0 γL1 đẳng cấu R biến tổng trực tiếp thành tích trực tiếp Do đó, γM đẳng cấu Hệ 3.2.2 Cho Θ : U → C hàm tử hiệp biến, khớp phải biến đổi tổng trực tiếp thành tổng trực tiếp Khi đó, Θ có phụ hợp phải, tức tồn hàm tử Θ : C → U cho HomC (ΘM, N ) đẳng cấu tự nhiên với HomU (M, ΘN ) với M ∈ U, N ∈ C 22 Chứng minh Cho N thuộc C Hàm tử M → HomC (ΘM, N ) từ U đến E thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.2.1 Do tồn vật biểu diễn U, mà gọi ΘN , cho HomC (ΘM, N ) ∼ = HomU (M, ΘN ) với M U Ví dụ 3.2.3 Hàm Σ Φ thỏa mãn giả thiết Hệ 3.2.2, nên chúng có hàm tử phụ khớp phải ký hiệu Σ Φ Tồn cấu xạ ΣΣM → M , phụ hợp đồng cấu đồng ΣM Chúng ta dễ dàng chứng minh ΣΣM nhúng vào M treo lớn chứa M Trong phần tiếp theo, ký hiệu phụ hợp λM : ΦM → M λM : M → ΦM Mệnh đề 3.2.4 (Xem [4]) Cho M A-môđun không ổn định, ΣΣM → M phụ hợp đồng cấu đơn vị Gọi R1 Σ hàm tử dẫn xuất phải thứ Σ Khi ta có dãy khớp sau λ → ΣΣM → M → − ΦM → ΣR1 ΣM → Chứng minh Với n > M ∈ U, áp dụng hàm tử HomU (−, M ) cho dãy khớp / ΦF (n) / F (n) / ΣF (n − 1)  /0 ∼ = ΣΩF (n) (vì HomU (−, M ) hàm tử khớp trái HomU (F (n), −) hàm tử khớp) ta nhận → HomU (ΣΩF (n), M ) → HomU (F (n), M ) → HomU (ΦF (n), M ) → Ext1U (ΣF (n − 1), M ) → Vì Σ, Φ Σ phụ hợp phải Σ, Φ Ω nên ta nhận → (ΣΣM )n → M n → (ΦM )n → (ΣR1 ΣM )n → Từ ta nhận kết luận mệnh đề Xét hàm tử sau Hn : M → M n∗ = HomE (M n , F2 ) 23 Rõ ràng, hàm tử phản biến, khớp trái biến tổng trực tiếp thành tích trực tiếp Do đó, theo Bổ đề 3.2.1, hàm tử biểu diễn Định nghĩa 3.2.5 Với n ≥ 0, mơđun Brown-Gitler thứ n, kí hiệu J(n), môđun biểu diễn hàm tử Hn Nói cách khác, tồn đẳng cấu tự nhiên Hn (M ) ∼ = HomU (M, J(n)) Vì Hn hàm tử khớp nên J(n) vật nội xạ phạm trù U Một vài tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa Mệnh đề 3.2.6 J(0) ∼ = F2 A-môđun; J(n)m = F (m)n∗ , J(n) có kiểu hữu hạn; J(n)m = m > n; J(n)n = F2 Chứng minh Từ đẳng cấu Hn (F (m)) ∼ = HomU (F (m), J(n)), ta nhận kết luận mệnh đề Từ Mệnh đề ta nhận thấy J(n) A-môđun hữu hạn Vì J(n)n = F2 , nên lớp Hn (J(n)) ∼ = HomU (J(n), J(n)) tương ứng với ánh xạ đồng J(n) ký hiệu bn Chú ý ‘khi hạn chế bậc n’ HomU (M, J(n)) → HomE (M n , J(n)n ) đồng với đẳng cấu HomU (M, J(n)) ∼ = (M n )∗ Mệnh đề sau chứng tỏ A-môđun không ổn định J(n) vật đối sinh phạm trù U Mệnh đề 3.2.7 Với M ∈ U, tồn đơn ánh M → (J(nα )) α Do phạm trù U có đủ vật nội xạ Chứng minh Gọi E• phạm trù khơng gian véctơ phân bậc F2 , O : U → E• hàm tử quên O : E• → U phụ hợp phải O Khi đó, với M ∈ U với E ∈ E• , ta có HomE• (O M, E) ∼ = HomU (M, O E) Khi cho E = Σn F2 , ta nhận HomU (M, J(n)) = (M n )∗ = HomE• (O M, Σn F2 ) ∼ = HomU (M, O Σn F2 ) 24 Do đó, J(n) = O Σn F2 Với E ∈ E• ta có phép đơn ánh E → α Σnα F2 Vì O khớp phải giao hốn với tích trực tiếp nên ta có OE → J(nα ) α Mệnh đề chứng minh Từ mệnh đề ta nhận hệ sau Hệ 3.2.8 Với môđun M U tồn giải thức U-nội xạ tích mơđun J(n) Với phần tử θ ∈ A với M ∈ U, ánh xạ θ : M n → M n+|θ| xác định cho ta ánh xạ θ# : HomE (M n+|θ| , F2 ) → HomE (M n , F2 ) cho λ → λ ◦ θ với dạng tuyến tính λ : M n+|θ| → F2 Do đó, xác định phép biến đổi tự nhiên từ Hn+|θ| (M ) vào Hn (M ) Vì HomE (M n+|θ| , F2 ) θ# / HomE (M n , F2 ) ∼ =   / Hn (M ) Hn+|θ| (M )  ∼ = HomU (M, J(n + |θ|)) ∼ = /  ∼ = HomU (M, J(n)) nên tồn ánh xạ •θ : J(n + |θ|) → J(n) tương ứng với θ# Kiểm tra thấy •(θ ◦ θ ) = •θ ◦ •θ Lớp ιm ⊗ ιn Hm+n (J(m) ⊗ J(n)) ∼ = HomU (J(m) ⊗ J(n), J(m + n)) xác định ánh xạ A-tuyến tính µm,n : J(m) ⊗ J(n) → J(m + n) Chú ý rằng, bậc m + n, µm,n ánh xạ đồng vành F2 Nếu m = J(1) = ΣF2 , đó, µ1,n : ΣJ(n) → J(n + 1) 25 Mệnh đề 3.2.9 (Dãy khớp Mahowald) Dãy A-môđun sau khớp •Sq n/2 → ΣJ(n − 1) → J(n) −−−−→ J(n/2) → •Sq n/2 J(n/2) tầm thường n lẻ Chứng minh Với m ≥ 0, áp dụng hàm tử Hn cho dãy khớp / / ΦF (m) F (m) / / ΣF (m − 1)  = ΣΩF (m) ta nhận / / / (F (m)n )∗ = = / H n (F (m)) / n HomU (F (m), J( ))  / J(  HomU (F (m), J(n))  J(n)m /  Hn−1 (ΩF (m)) / / =  / / HomU (F (m), ΣJ(n − 1)) / =  ΣJ(n − 1)m Từ đó, ta nhận kết luận mệnh đề Định giá v(M ) môđun không ổn định M số nguyên dương nhỏ n cho M n khác không Mệnh đề cho phép ta tính định giá J(n) với số nguyên không âm n Gọi α(n) tổng hệ số khai triển 2-adic n Nói cách khác α(n) số chữ số khai triển 2-adic n Khi ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.2.10 Với n ≥ 0, định giá v(J(n)) J(n) α(n) Chứng minh Từ dãy khớp Mahowald ta có: (ΩF (m)n−1 )∗ = / / =  = / = Hn (F (m)) = n m ) /  =  / / (ΣΩF (m)n )∗ =  / / (F (m)n )∗ n (F (m) )∗ =  =  / Hn (ΣΩF (m)) =  (ΦF (m)n )∗  / Hn (F (m)) =  / / Hn (ΦF (m)) 26 Nếu n lẻ J(n) ∼ = ΣJ(n − 1) Do đó, phương pháp quy nạp, ta cần chứng minh α(n) = α(n − 1) + Điều dễ nhận từ định nghĩa α(n) Nếu n chẵn, α(n) = α(n/2) α(n − 1) + ≥ α(n) Theo dãy khớp Malhowald, •Sq n/2 tồn ánh, J(n/2)α(n/2) = (theo giả thiết quy nạp) nên J(n)α(n) = J(n)α(n/2) = 3.3 Đại số song bậc Miller Để hiểu rõ cấu trúc môđun Brown-Gitler, Miller [5] xét vật song bậc J∗∗ = Jkl N × N xác định Jkl = J(k)l , song bậc x kí hiệu x , x = (|x|1 , |x|2 ) = (l, k) Vật song bậc J∗∗ có tính chất sau Mệnh đề 3.3.1 (i) Vật song bậc J∗∗ có cấu trúc A-mơđun không ổn định trái, cảm sinh từ cấu trúc A-môđun không ổn định J(k) Tác động đại số Steenrod giữ nguyên bậc thứ hai tăng bậc thứ (ii) Ánh xạ •θ : J(n) → J(n − |θ|) cảm sinh cấu trúc A-môđun phải J∗∗ , giữ nguyên bậc thứ làm giảm bậc thứ hai Tác động không ổn định theo nghĩa •Sq i (x) (để thuận tiện ta kí hiệu xSq i ) tầm thường 2i > |x|1 (iii) Tác động trái phải giao hốn với (iv) Ánh xạ µm,n : J(m) ⊗ J(n) → J(m + n) cảm sinh J∗∗ cấu trúc đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị, song bậc (v) Cơng thức Cartan thỏa mãn cho hai tác động Trong trường hợp tác động bên phải, công thức Cartan thỏa mãn nghĩa biểu đồ sau giao hoán J(m) ⊗ J(n) k+ =i ãSq ãSq k  àmn àm1,nk k+ =i J(m − l) ⊗ J(m − k) / J(m + n)  •Sq i / J(m + n − i) 27 (vi) Ánh xạ A-tuyến tính (tương ứng với tác động trái) kí hiệu Λ, xác định l Λx = •Sq k/2 (x) : Jkj → Jk/2 thỏa mãn Sq0 x = (Λx)2 Chứng minh Các phát biểu từ (i) đến (iv) hiển nhiên, ta cần chứng minh (v) (vi) Dễ dàng nhận thấy công thức Cartan thỏa mãn tác động trái hiển nhiên Và đó, từ định nghĩa •Sq i dễ dàng nhận biểu thức Cartan thỏa mãn tác động phải Nghĩa ta nhận (v) Từ (v), ta nhận được, ánh xạ Λ nhân tính Và (vi) nhận từ (vi) tính nhân tính Λ Định lý 3.3.2 Đại số song bậc J∗∗ đẳng cấu với đại số đa thức F2 [xi , i ≥ 0] (tự do, giao hốn) xi = (1, 2i ) (i) cấu trúc A-môđun trái xác định Sq xi = x2i−1 (quy ước x−1 = 0) biểu thức Cartan, (ii) ánh xạ nhân tính Λ xác định Λxi = xi − Chú ý (ii) xác định cấu trúc A-môđun phải Chứng minh Xét T∗∗ = F2 [xi , i ≥ 0] đại số đa thức thảo mãn tính chất định lý Xét phần tử khác không εi J(2i )1 = J21i = F2 thỏa mãn Λεi = εi−1 (ε−1 = 0), dãy khớp Malhowald Do đó, tồn ánh xạ đại số song bậc T∗∗ → J∗∗ biến xi thành εi giao hốn với Λ Hơn ta có biểu đồ sau giao hoán với n 0 / / ∗ Tn−1  ∗ Jn−1 ×x0 ×ε0 / Tn∗  / J∗ n Λ Λ / / / ∗ Tn/2  ∗ Jn/2 / 0 ∗ ∗ với quy ước thơng thường Jn/2 Tn/2 Dịng đầu khớp định nghĩa T∗∗ Dòng thứ hai khớp dãy khớp Malhowald Chú ý µn−1,1 đồng với phép nhân ε0 Từ biểu đồ giao hoán này, kết luận định lý nhận phép quy nạp n 28 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tập trung tìm hiểu trình bày lại nội dung việc xây dựng vật xạ ảnh, vật nội xạ phạm trù U Cụ thể, tơi trình bày kiến thức Đại số Steenrod, đối ngẫu đại số Steenrod, môđun không ổn định đại số Steenrod, đại số không ổn định; điều kiện không ổn định quan hệ Adem, cấu trúc mơđun F (n), tính Noether địa phương phạm trù U, cấu trúc môđun Brown-Gitler, đại số song bậc Miller Từ nhận số tính chất quan trọng cấu trúc phạm trù này, đặc biệt tính Noether địa phương Việc nghiên phạm trù môđun không ổn định đại số Steenrod giúp tiếp cận việc nghiên cứu đồng điều không gian tôpô tiến đến việc phân loại kiểu đồng luân không gian 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO J.F.Adams, C.W.Wilkerson (1980), Finite H-spaces and algebras over the Steenrod algebra, Ann of Math.111, pp 95-143 N.Bourbaki (1980), Algèbre, Chapitre 10, Paris, Hermann P Gabriel (1962), Des catégories abéliennes, Bull Soc Math France 90 J Lannes, S.Zarati (1986), Surles U-injectifs, Ann Scient Ec Norm Sup 19, pp 1-31 J.Milnor (1958), The Steenrod algebra and its dual, Ann of Math.67, pp 150-171 HR Miller (1984), The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces, Ann of Math.67, pp 120, 39-87 L Schwartz (1994), Unstable Modules over the Steenrod Algebra and Sullivan’s Fixed Point Set Conjecture, London N E Steenrod (1947), Products of cocycles and extensions of mappings, Ann of Math 48, 290–320 Ann of Math 48, 290–320 ... lại nội dung việc xây dựng vật xạ ảnh, vật nội xạ phạm trù U Cụ thể, tơi trình bày kiến thức Đại số Steenrod, đối ngẫu đại số Steenrod, môđun không ổn định đại số Steenrod, đại số không ổn định; ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Nhật Loan VẬT XẠ ẢNH VÀ VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ CÁC MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: ... giải nội xạ cho môđun không ổn định; tốn xác định nhóm mở rộng môđun không ổn định Hiểu cấu trúc vật xạ ảnh, vật nội xạ giúp học viên hiểu cấu trúc phạm trù U, mối liên hệ phạm trù U với phạm trù