Về các môđun m xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CAO MINH NAM VỀ CÁC MƠĐUN M –XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CAO MINH NAM VỀ CÁC MƠĐUN M –XẠ ẢNH Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành tốt luận văn này, tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu thầy cô Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp tơi có sở lí luận kỹ nghiên cứu khoa học vững chắc, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Tôi xin chân thành bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy TS Trần Huyên đặt đề tài hướng dẫn thời gian thực luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè khơng ngừng quan tâm, động viên tơi suốt trình học tập làm luận văn Học viên Cao Minh Nam LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến sĩ Trần Huyên Các nội dung nghiên cứu kết luận văn trung thực Ngồi luận văn cịn sử dụng số kết nghiên cứu nhà khoa học, trân trọng biết ơn sâu sắc Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2016 Tác giả Cao Minh Nam MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù phạm trù 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Khái niệm phạm trù 1.1.3 Các cấu xạ đặc biệt phạm trù 1.2 Phạm trù R - MOD số kết 1.2.1 Phạm trù R - MOD 1.2.2 Các cấu xạ đặc biệt phạm trù R - MOD 1.2.3 Cái kéo lại phạm trù R - MOD 1.2.4 Cái đẩy phạm trù R - MOD 1.2.5 Dãy khớp ngắn chẻ điều kiện tương đương 1.2.6 Một số bổ đề đồng cấu 1.3 Tập sinh vết 10 1.3.1 Định nghĩa tập sinh 10 1.3.2 Mệnh đề (các điều kiện tương đương tập sinh) 11 1.3.3 Mệnh đề (đặc trưng phần tử sinh R - MOD ) 11 1.3.4 Định nghĩa vết 11 1.3.5 Một số tính chất vết 12 1.4 Mođun xạ ảnh 12 1.4.1 Định nghĩa 12 1.4.2 Các định lý môđun xạ ảnh 12 1.5 Phạm trù σ [M] 13 Chương MÔĐUN M – XẠ ẢNH 15 2.1 Môđun M - xạ ảnh 15 2.1.1 Định nghĩa 15 2.1.2 Các tính chất môđun M - xạ ảnh 15 2.2 Môđun tự xạ ảnh số tính chất xa mơđun xạ ảnh 24 2.2.1 Định nghĩa 24 2.2.2 Các tính chất môđun tự xạ ảnh 25 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU Các môđun xạ ảnh đóng vai trị quan trọng để hình thành nên khái niệm lý thuyết mơđun nói riêng nhiều ngành tốn học nói chung Việc mở rộng khái niệm mơđun xạ ảnh đến khái niệm tổng quát hướng nghiên cứu để ý nhiều nhà tốn học Chúng tơi lựa chọn việc nghiên cứu mơđun M –xạ ảnh xem xét tính chất thể phần xu hướng nói Nội dung luận văn gồm chương Chương 1: Nội dung chương trình bày lại số kiến thức lý thuyết môđun liên quan đến đề tài, khái niệm phạm trù, dãy khớp, loại môđun biết môđun xạ ảnh,… Chương 2: Chương chương luận văn Nội dung chương là: - Khái niệm mơđun M –xạ ảnh, thể phạm trù môđun khác - Các tính chất mơđun M –xạ ảnh tính chất tương tự mơđun xạ ảnh Mặc dù thân có nhiều cố gắng với thời gian kiến thức có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn ý kiến đóng góp quý thầy bạn để luận văn hồn chỉnh Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù phạm trù 1.1.1 Khái niệm Một phạm trù C cho bởi: (1) Một lớp vật kí hiệu Obj(C) ; (2) Với cặp vật có thứ tự (A, B) phạm trù C tồn tâp cấu xạ từ A đến B kí hiệu MorC (A, B) ; cấu xạ từ A đến B phải thỏa mãn tính chất sau: MorC (A, B) MorC A , B với A , B A, B (3) Một hợp cấu xạ ánh xạ: MorC A, B MorC B,C MorC A,C , f , g fg Với ba A, B,C vật phạm trù C với tính chất: (i) Kết hợp: Cho A, B,C , D vật phạm trù C f ,g MorC B,C , h MorC C , D ta có fg h f gh (ii) Tồn cấu xạ đồng : Cho A idA f Obj C có cấu xạ MorC A, A , gọi cấu xạ đồng nhất, thỏa idA f MorC A, B B f với Mor A, B A C thay A Obj C 1.1.2 Khái niệm phạm trù Một phạm trù D gọi phạm trù C nếu: Obj C ; (ii) MorD A, B fidB Obj C Ta thường kí hiệu MorC A, B (i) Obj D MorC A, B MorC A, B với A, B Obj D ; (iii) Hợp cấu xạ phạm trù D phạm trù C ; (iv) Các cấu xạ đồng phạm trù D cấu xạ đồng phạm trù C Hơn nữa, MorD A, B Obj D D MorC A, B với A, B gọi phạm trù đầy đủ C 1.1.3 Các cấu xạ đặc biệt phạm trù Cho C phạm trù Một cấu xạ f : A (i) Đơn xạ với g, h B C gọi là: Mor C , A gf (ii) Toàn xạ với g, h Mor B, D fg hf g fh g h; h; (iii) Song xạ f vừa đơn xạ vừa toàn xạ; (iv) Đẳng xạ tồn cấu xạ g Mor B, A cho fg idA, gf (v) Phép co tồn cấu xạ g Mor B, A cho gf idB ; (vi) Phép dãn tồn cấu xạ g Mor B, A cho fg idB ; idA 1.2 Phạm trù R - MOD số kết 1.2.1 Phạm trù R - MOD Vật: lớp R môđun trái; Cấu xạ: Các đồng cấu môđun HomR A, B với A, B R môđun; Phép hợp cấu xạ: Phép hợp ánh xạ 1.2.2 Các cấu xạ đặc biệt phạm trù R - MOD Cho f : M N cấu xạ phạm trù R (i) Đơn xạ f đơn ánh; (ii) Toàn xạ f toàn ánh; (iii) Đẳng xạ f song ánh MOD Thì f là: 1.2.3 Cái kéo lại phạm trù R - MOD  Định nghĩa: môđun f1 : M1 Cho đồng cấu R M ; f2 : M2 M Khi biểu đồ đồng cấu giao hốn R-MOD p2 P M2 p1 f M1 M f1 gọi kéo lại cặp f1, f2 cặp đồng cấu g1 : X g2 : X M thỏa g1 f1 cho gp1 g1 gp2 g2 f2 tồn đồng cấu g : X M 1; P g2 Với cặp đồng cấu kéo lại sai khác đẳng cấu Nếu p1' : P ' M1, p2' : P ' đẳng cấu h : P ' M kéo lại cặp f1, f2 trên, có pi' , i P với hpi 1,2  Sự tồn tại: Mọi cặp đồng cấu f1 : M1 Với toàn cấu chiếu: p* Và f 1 i i f : M1 : M1 M2 2 hạn chế M ; f2 : M2 i M tồn kéo lại M2 Ni , i 1,2, đặt đồng cấu M, xuống Ker p* M1 M2 Khi đó, hình vuông: ' Kerp * ' M2 f2 M1 f1 M 30 Chứng minh (i) môđun M :M cấu M nên N đẳng cấu với môđun (ii) N nằm sinh T , T M sinh nên tồn tập số T Khi đó, P M xạ ảnh suy P T Ta xem N mơđun T , P N Ngược lại, P N M mơđun M P M (i) xạ ảnh với tập số xạ ảnh xạ ảnh xạ ảnh với N nằm nên M sinh với tập số toàn M , dễ thấy nằm M (iv) hiển nhiên theo 2.1.2 (định lý 5) (ii) (iii) hiển nhiên xét tồn cấu g : N N nên T nằm trong R T suy T ảnh toàn cấu M Xét dãy khớp ngắn ker g N T M ,theo iii ) Hom P, g : Hom P, N toàn cấu nên P N (ii) Hom P,T xạ ảnh (v) hiển nhiên theo định nghĩa môđun xạ ảnh phạm trù M Ta chứng minh (v) (vi) có từ sơ đồ sau 31 Do P N xạ ảnh nên tồn đồng cấu h : P Điều chứng tỏ dãy khớp ngắn (vi) K N P N cho hg 1P chẻ (v) với sơ đồ với dịng khớp sau: Bằng việc hình thành kéo lại ta sơ đồ giao hốn với dịng khớp sau: Theo vi ) ta có dịng chẻ nên tồn đồng cấu 1P , ta có hg f suy hg ảnh với môđun N nằm f 1P f (vii) hiển nhiên P xạ ảnh (vii) (vi) Với toàn cấu g : M Q cho f Do đó, P N M P xạ ảnh (iv) :P xạ M M N đồng cấu f : P N ta hình thành kéo lại từ ta có sơ đồ giao hốn với dịng khớp sau: 32 Do K cấu ker g :P M nên dòng dãy khớp ngắn chẻ suy tồn đồng 1P Tương tự ta chứng minh P M Q thỏa xạ ảnh (vi) Do P hữu hạn sinh nên gọi y1, y2, , yn tập sinh P (viii) đó, lấy x1 N Rx1 Rx đồng cấu cho N N y1 , x2 y2 , , x n yn đặt Rxn Rõ ràng N môđun hữ hạn sinh N P toàn cấu, theo (viii) tồn đồng cấu :N :P N 1P Ta lại có x x Do dãy K x, x N N P P chẻ Mệnh đề (Một số tính chất xa mơđun xạ ảnh) Cho M R môđun S (1) Mọi môđun xạ ảnh EndR M M hạng tử trực tiếp tổng trực tiếp môđun hữu hạn sinh M (2) Mọi môđun xạ ảnh tổng trực tiếp M ; M đẳng cấu với môđun ; (3) Cho M môđun tự xạ ảnh môđun N 33 (i) Cho S I môđun hữu hạn sinh I HomR M , N ta có HomR M , MI ; (ii) Nếu M hữu hạn sinh (i ) cho S môđun I HomR M , N ; M N (4) Cho M xạ ảnh L1, L2 N Hom M , L1 L2 Hom M, L1 M Với mơđun Hom M, L2 Chứng minh (1) Do môđun hữu hạn sinh M M nên với P môđun xạ ảnh với U U A P mơđun M hg U A P Ta có ker f hay P hạng tử trực tiếp tổng trực tiếp (2) Cho P mơđun xạ ảnh ảnh M tồn toàn cấu f : họ môđun hữu hạn sinh M họ môđun hữu hạn sinh M T M tập phần tử sinh M nên P đẳng cấu với môđun sinh T ; tức tồn đơn cấu f : P sinh nên có tập số tồn cấu g : M M nên P xạ ảnh, có đồng cấu h : P T Mặt khác, T Do P xạ M cho f mà f đơn cấu nên h đơn cấu; đó, P đẳng cấu với mơđun tổng trực tiếp M k (3) (i) Giải sử I i Với g Sfi , fi I ; rõ ràng I tập HomR M , MI HomR M , MI ta xét sơ đồ sau: 34 Mà M tự xạ ảnh nên M M k h h1, h2, , hk : M M k , với hi xạ ảnh, tồn tai đồng cấu S cho g k i I hi fi Từ đó, HomR M , MI (ii) Giả sử I Sf g hữu hạn sinh MI k hữu hạn i HomR M , MI Thì M g mơđun M f Từ đó, M g nằm tổng trực tiếp Mf Khi tương tự (i) ta có I i (4) Hiển nhiên ta thấy Hom M , L1 Hom M , L2 HomR M , MI Hom M ,L1 L2 Chiều ngược lại có nhờ sơ đồ giao hốn sau: Do M xạ ảnh L1 L2 M từ M xạ ảnh theo L1, L2 suy M xạ ảnh Khi đó, tồn đồng cấu 35 h h1, h2 , h1 Hom M , L1 Hom M , L1 , h2 L2 Hom M , L2 cho f Hom M , L1 f1 f2 Tức là, Hom M , L2 Vậy ta có điều cần chứng minh Mệnh đề Cho M R môđun P (1) Nếu P M xạ ảnh điều sau tương đương: (i) M phần tử sinh (ii) HomR P, E M ,S End R P M với môđun đơn E (iii) P sinh môđun đơn M M (iv) P sinh môđun M (2) Nếu P môđun hữu hạn sinh phần tử sinh M , tính chất sau tương đương: (i) P M xạ ảnh (ii) PS trung thành phẳng Chứng minh (i) (ii) Xét đồng cấu đồng 1E : E tử sinh M nên tồn đồng cấu h : P HomR P, E với môđun đơn E (ii) (iii) Xét đồng cấu f : E h (i) HomR P, E hf (iv) hiển nhiên E cho h1E Tức M L khác đồng cấu không, E mơđun đơn nên f đơn cấu Khi đó, HomR P, E E Khi P phần nên có đồng cấu Vậy P sinh môđun đơn M 36 (iv) (iii) Ta chứng minh môđun đơn E đồng cấu môđun M Do bao M sinh, nên có đồng cấu f E ảnh đồng cấu E f (iii) N M ảnh xạ ảnh E E M Hom M , E với đồng cấu ta có E M f M (i) Ta cần chứng minh P sinh môđun hữu hạn sinh Do P N đại K M xạ ảnh Giả sử Tr P, N N Tr P, N N tồn mơđun tối K Theo (c) có tồn cấu f : P N K P xạ ảnh ta sơ đồ giao hốn sau: Do tồn đồng cấu h : P dẫn đến hp (2)(a ) f Tr P, N K Điều (mâu thuẫn với lựa chọn cho f ) (b) PS mơđun phẳng theo mệnh đề ta có với idean trái thật S Hom P ,PI (b) N P h I từ PI P PS trung thành phẳng (a ) Do P môđun hữu hạn sinh phần tử sinh , nên ta cần chứng minh HomR P, M khớp tương ứng với dãy khớp có 37 fi dạng: P n 0, n Hom P , HomR P, P n Đặt S K P fi co ker Hom P, Từ ta có P S K S HomR P, P khớp với đẳng cấu tắc P M , fi fi , Dãy sau phải khớp Tenxơ với PS ta sơ đồ K (do (b)) Do dịng khớp xạ ảnh Mệnh đề (1) R R phần tử sinh xạ ảnh R MOD từ R mơđun ảnh tồn cấu môđun xạ ảnh (tự do) (2) Cho R môđun P , khẳng định sau tương đương: (a) P xạ ảnh R MOD ; (b) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R , (c) Tồn phần tử p cho với p (i) p f (ii) p P: f tập số; Hom P, R : P: với số hữu hạn p fp Chứng minh (1) Rõ ràng R phần tử sinh phạm trù R minh R xạ ảnh phạm trù R MOD Để chứng MOD , ta xét toàn cấu f : N R n1 38 phần tử N cho n1 f rõ ràng ta thấy hf (2) (a ) ; xét đồng cấu h : R N,r id R Từ đó, R xạ ảnh phạm trù R (b) Do R phần tử sinh phạm trù R tập số toàn cấu f : R cấu h : P R cho hf rn1 MOD MOD nên tồn P ; P xạ ảnh nên tồn đồng idP Từ đây, P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R (b) (c) R Ta f R p có ánh P với id R g ta với p P p p fg g số hữu hạn (b) f (c) P f R R xạ fg R g P idP Đặt f f p f p với p f với Hom P, R xác định ánh xạ f : P R theo (i) ta có p f Mặt khác ánh xạ R theo (ii) ta suy fg Rp P sinh cấu xạ g : R P idP từ P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp Ta biết với môđun M , vếtTr M , R M R iđêan hai phía R (xem 13.5) M phần tử sinh R MOD Tr M , R Mệnh đề (Các iđêan vết môđun xạ ảnh) Nếu R môđun P xạ ảnh R (1) Tr P, R P R; MOD , R 39 (2) Tr P, R iđêan lũy đẳng tức làTr P, R Tr P, R Chứng minh (1) Hiển nhiên ta thấy Tr P , R P môđun P Ta cần chứng minh Tr P, R P P Thật vậy, P xạ ảnh phạm trù R P tồn phần tử p : theo mệnh đề 2.1.12 ta có với p f P cho p Hom P, R : p f p f p với số hữu hạn nhiều Tr P, R , từ p p f ; rõ ràng MOD , Tr P, R P hay Tr P, R P (2) Hiển nhiên ta thấy Tr P, R lại ta lấy g Tr P, R Để chứng minh điều ngược Hom P ,R , p g p f p g Tr P, R Mệnh đê (Đặc trưng phần tử sinh phạm trù R - MOD ) Cho G R phạm trù R môđun S MOD nếu: (i) GS hữu hạn sinh S (ii) R EndR G Khi đó, G phần tử sinh BiendR G xạ ảnh EndS GS Chứng minh ) Nếu G phần tử sinh phạm trù R với n Hàm tử HomR Sk HomR G k ,G ,G sinh S HomR R,G MOD , G k R K đẳng cấu HomR K ,G GS HomR K ,G 40 Từ GS S R môđun hữu hạn sinh xạ ảnh Do định lý trù mật suy BiendR G ) Giả sử ta có G , (i ) (ii ) Thì 18.6 ta có S n S , hàm tử HomS MOD Gn HomS S n ,GS Theo (ii ) ta có R ,GS sinh R HomS GS ,GS GS Q với đẳng cấu HomS Q,GS HomS GS ,GS R đẳng cấu với hạng tử trực tiếp G n G phần tử sinh R MOD Mệnh đề 10 Cho R vành giao hoán M R (1) Nếu I iđêan R với IM cho r M môđun hữu hạn sinh M tồn phần tử r I (2) Nếu M R đơn phạm trù R mơđun trung thành M sinh tất môđun MOD Chứng minh (1) Cho m1, m2, , mk tập sinh M Do IM i 1,2, , k ta tìm phần tử rij nghĩa k j ij rij m j k I với mi j M với rijm j Điều 1,2, , k viết phép nhân với i ma trận: m1 ij rij mk 41 Nhân vào bên trái với ma trận l 1, , k từ det Nên tồn r rij M ij mà det r M R cho rij , ta det ij ij rij tầm thường trường R R m m Do R thương môđun M mM m rij ml với r với r (2) Do mơđun đơn đẳng cấu với R tối đại R Khi đó, (1), M ij m với m môđun không gian vectơ không mM hạng tử trực tiếp M từ M mM nên sinh Mệnh đề 11 (Iđêan vết vành giao hoán) Cho R vành giao hốn P R mơđun xạ ảnh Nếu (i) P hữu hạnh sinh hay; (ii) R vành Noether Thì idđêan vết Tr P, R sinh phần tử lũy đẳng e AnR P R e R Tr P, R R mà AnR P Chứng minh Theo giả thiết, có dãy chẻ Rk HomR P, R mơđun Điều suy Tr P, R sinh hữu hạn R hợp (ii ) T với k Khi đó, dãy Rk chẻ từ HomR P, R hữu hạn sinh (và xạ ảnh ) R P P PHomR P, R mơđun Do đó, trường hợp i hay trường Tr P, R hữu hạn sinh Ta có theo mệnh đề TP đề 10 suy tồn e P T T với T T Đẳng thức với mệnh e đó, e e 42 e2 e,T Te Re Điều cho ta R e thấy TAnR P pi P, fi R e Với t HomR P, R Với s AnR P Hơn nữa, ta nhận T đề có dạng t AnR P ta có st pi fi với spi fi suy AnR P Hệ 12 Cho R vành giao hốn , P mơđun xạ ảnh khác Giả sử: (i) P hữu hạn sinh trung thành hay; (ii) P hữu hạn sinh R chứa phần tử lũy đẳng khác không hay; (iii) P trung thành R vành Noether Thì P phần tử sinh phạm trù R MOD Chứng minh Đây hệ trực tiếp từ mệnh đề đẳng thức R Tr P, R 43 KẾT LUẬN Trong luận văn này, dựa vào “ Foundations of Modules and Ring theory” tác giả Robert Wisbauer, tơi trình bày vấn đề sau: đưa định nghĩa Môđun M –xạ ảnh, Mơđun tự xạ ảnh số tính chất mơđun Tìm số tính chất liên quan môđun xạ ảnh môđun M – xạ ảnh Ngồi ra, cịn nhiều tính chất ứng dụng quan trọng khác môđun M –xạ ảnh việc nghiên cứu cấu trúc môđun xạ ảnh Tuy nhiên giới hạn thời gian tầm hiểu biết nên tác giả chưa trình bày Phần hạn chế luận văn trình bày lại kết Wisbauer, chưa đưa kết ví dụ thực nghiệm cịn Rất mong có nhận xét từ thầy bạn để luận văn hồn chỉnh 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb ĐH Quốc gia, Tp Hồ Chí Minh Tiếng Anh T.Albu, C.Natacescu (1984), Relative Finiteness in Module theory, Dekker, Berlin F.Anderson, Fuller (1974), Ring and categories of Modules, Springer, New York L.Fuchs (1970), Infinite abelian groups, Academic press, New York D.Gorenstein (1968), Finite groups, Northeastern University, New York N.Jacobson (1980), Basic algebra II , Freeman, New York Robert Wisbauer (1991), Foundations of Modules and Rings theory, Gordon and Breach Science Publishers, Dusseldoft ... n j M i i Mi M i M j M i xạ ảnh xạ ảnh, 1,2, , n xạ ảnh ta có M n M (ii) Nếu M M xạ ảnh, suy M n M n xạ ảnh Nếu M n M n xạ ảnh ta có M M (iii) Xét tồn cấu g : M tồn cấu tắc p : M cấu pf : M pg... Chứng minh Nếu P m? ?đun xạ ảnh P xạ ảnh theo m? ?đun M ; từ P xạ ảnh theo m? ?đun tự M Ngược lại, P xạ ảnh theo m? ?đun tự M Do m? ?đun m? ?đun thương m? ?đun tự nên tồn m? ?đun tự F K m? ?đun F cho M F K 17... có nh? ?m cyclic khác chia được) Vậy Hom D, Chứng minh tương tự ta có Hom D, n Nhận xét: M? ??t R m? ?đun P xạ ảnh P M m? ?đun M ph? ?m trù R MOD M? ?đun P xạ ảnh P M P M xạ ảnh với xạ ảnh với m? ?đun M , nhiên