Lý thuyết đa thế vị trên đa tạp kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Quốc Hùng LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ TRÊN ĐA TẠP K Ä HLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Quốc Hùng LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ TRÊN ĐA TẠP K Ä HLER Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 Mục lục Mục lục Lời mở đầu .1 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Độ đo Radon 1.2 Hàm điều hòa .8 1.3 Hàm điều hòa .15 1.4 Hàm đa điều hòa 21 1.5 Dạng vi phân với hệ số phân bố .36 1.6 Dịng đóng 37 1.7 Song bậc .38 1.8 Dạng dương 41 1.9 Dòng dương 46 1.10 Ví dụ dịng dương 47 Chương Đa tạp Kähler compact 49 2.1 Đa tạp khả vi 49 2.2 Đa tạp phức 64 2.3 Đa tạp hầu phức 69 2.4 Đa tạp Kähler 71 Chương Lý thuyết đa vị đa tạp Kähler compact 73 3.1 Các hàm tựa đa điều hòa 73 3.2 Xấp xỉ hàm ω -đa điều hòa 80 3.3 Toán tử Monge-Ampère .81 3.4 Dung lượng Monge-Ampère 88 3.5 Sự hội tụ toán tử Monge-Ampère 96 3.6 Nguyên lý so sánh 99 3.7 Hàm cực đại tương đối .101 3.8 Công thức tính dung lượng Monge-Ampère 102 3.9 Hàm cực đại toàn cục .104 Kết luận 106 Tài liệu tham khảo .107 Lời mở đầu Năm 1978 S.T Yau giải trọn vẹn giả thuyết Calabi (1956) tồn metric Kähler với độ cong Ricci cho trước Cơng trình Yau mở rộng cánh cửa cho ứng dụng phương trình đạo hàm riêng vào lĩnh vực hình học vi phân đại Rất nhiều nhà tốn học sau nghiện cứu tốn Calabi-Yau đa tạp khơng trơn Việc địi hỏi nghiên cứu phương trình MongeAmpère suy biến, nghĩa kiện khơng phải hàm trơn Điều tạo động lực cho đời lý thuyết đa vị đa tạp Kähler compact, lấy ý tưởng từ lý thuyết đa vị địa phương (trên  n ) phát triển E Bedford B.A Taylor [1], [2] Phần cốt lõi lý thuyết đa vị đa tạp lý thuyết dung lượng hội tụ toán tử Monge-Ampère lớp hàm kiểu Cegrell Những đóng góp bật lĩnh vực (nếu liệt kê vài người) thuộc Kolodziej, Cegrell, Guedi-Zeriahi [12] Cũng từ nghiên cứu tảng Bedford Taylor, vài tác giả nghiên cứu “lý thuyết đa vị”  n (hoặc đa tạp Stein) Lý thuyết dùng để nghiên cứu hàm đa điều hòa (psh) xem tổng quát hóa phi tuyết tính lý thuyết vị cổ điển (trên mặt phẳng phức), hàm điều hịa tốn tử Laplace ∆ thay hàm psh toán tử MongeAmpère phức ( dd ) d = ∂ + ∂ , d c := i i  ∂ − ∂  từ dd c= ∂∂ ; tiêu chuẩn chọn để độ đo dương π 2π c n Ở d , d c ký hiệu toán tử vi phân thực n   c1 n  dd log 1 + z   có giá trị    Mục đích luận văn trình bày lý thuyết vị toàn cục đa tạp Kähler compact Từ nguyên lý cực đại ta biết khơng có hàm đa điều hòa (trừ hàm hằng) đa tạp phức compact X Tuy nhiên, có nhiều dịng dương đóng có song bậc (1,1) Cho ω dịng trơn đóng thực có song bậc (1,1) X , ta xét dịng đóng dương ω ′ có song bậc (1,1) X đối đồng điều với ω Khi X Kähler , theo “bổ đề dd c ” ω ′ viết thành ω=′ ω + dd cϕ , với ϕ hàm khả tích dạng thể tích trơn X Một hàm ϕ gọi ω -đa điều hòa ( ω -psh) Về mặt địa phương hàm ω -psh tổng hàm psh hàm trơn Ta ký hiệu tập hợp hàm ω -psh PSH ( X , ω ) Các hàm giới thiệu Demailly, gọi hàm tựa đa điều hịa (qpsh) Từ tính chất quan trọng quan tâm lớn cộng đồng tốn học ngồi nước, tơi dành việc nghiên cứu luận văn thạc sĩ để tìm hiểu trình bày lý thuyết đa vị đa tạp Kähler compact Tuy nhiên khuôn khổ luận văn thạc sĩ chuẩn bị sáu tháng, tơi khơng thể tìm hiểu trình bày hết tất nội dung lý thuyết mà chủ yếu tập trung vào hai phần Đó lý thuyết dung lượng hội tụ toán tử Monge-Ampère Cụ thể hơn, toán tử Monge-Ampère liên tục theo dãy đơn điệu dãy hội tụ theo dung lượng Nội dung luận văn gồm bốn chương Chương trình bày kiến thức hàm đa điều hòa Chương giới thiệu khái niệm, tính chất dịng dương Chương trình bày kiến thức đa tạp Kähler compact Chương trình bày lý thuyết đa vị đa tạp Kähler compact với hai nội dung lý thuyết dung lượng hội tụ toán tử Monge-Ampère Luận văn hoàng thành dự hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Trần Huyên Trong trình viết luận văn Thầy động viên, quan tâm, giúp đỡ tác giả việc nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả chân thành cám ơn Tiến sĩ Lữ Hồng Chinh thảo luận hữu ích giúp đỡ nhiệt tình trình soạn thảo luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy trực tiếp giảng dạy lớp Hình học Tơpơ khóa 24 q thầy Tổ Hình học, Khoa Tốn-Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Tác giả đặc biệt cám ơn thầy Nguyễn Văn Đông dạy tác giả hình học Kähler , kiến thức giúp ích cho tác giả nhiều trình nghiên cứu Cám ơn quý bạn bè lớp Hình học Tơpơ khóa 24 chia với tác giả nhiều kiến thức, kinh nghiệm học tập hai năm học trường Chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Phịng Tổ chức hành chính, Phịng Kế hoạch-Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương số tính chất hàm đa điều hịa trình bày Mục đích luận văn tìm hiểu hàm tựa đa điều hòa đa tạp Kähler compact toán tử Monge-Ampère Phần lớn tính chất tồn cục giải lân cận địa phương, hiểu biết sâu sắc hàm đa điều hòa  n (tính compact topo L1loc , tính khả tích, …) quan trọng Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn thạc sỹ tác giả khơng thể trình bày (và chứng minh) tất nội dung lý thuyết đa vị địa phương Thay vào đó, tác giả lọc số nội dung hay nhất, trích phần từ sách trình chỉnh sửa Vincent Guedi Ahmed Zeriahi [13] Bạn đọc tham khảo thêm số sách cổ điển hàm đa điều hòa [15], [17] Trước hết giới thiệu sơ qua độ đo Radon Tài liệu tham khảo cho mục chương [10] 1.1 Độ đo Radon 1.1.1 Độ đo Borel Cho X tập khác rỗng Một đại số tập hợp X họ khác rỗng  gồm tập X cho:  đóng qua hợp hữu hạn qua phép lấy phần bù; nói cách khác, E1 ,, En ∈  1 E j ∈  , n E ∈  X \ E ∈  Một σ -đại số đại số đóng qua phép lấy hợp đếm được, nghĩa là: Nếu Ei ∈  ∞  i=1 Ei ∈  Vì  j Ej = ( ) c  j E cj , đại số ( σ -đại số) đóng giao hữu hạn (đếm được) Hơn nữa,  đại số ∅ ∈  X ∈  Cho  họ tập X Giao tất σ -đại số chứa  gọi σ -đại số sinh  Nếu X không gian metric bất kỳ, tổng quát không gian tôpô bất kỳ, σ -đại số sinh họ tập mở X (hoặc, tương đương, họ tập đóng X ) gọi σ -đại số Borel X , ký hiệu X Các thành phần gọi tập hợp Borel Các tập Borel bao gồm tập hợp mở, tập hợp đóng, giao đếm tập hợp mở, hợp đếm tập hợp đóng, v.v Cho  σ -đại số X Một độ đo  (hoặc ( X , ) đơn giản X  ngầm hiểu) hàm µ :  → [0, ∞] cho i µ ( ∅ ) =0 { } ii Nếu E ∞j dãy tập rời  , µ ( E ) = ∑ ∞ j ∞ µ (Ej ) Tính chất (ii) gọi tính chất cộng tính đếm Tập X σ -đại số  X gọi không gian đo Mỗi E ∈  gọi tập đo hay  -đo Nếu µ độ đo ( X , ) Thì ba ( X , , µ ) gọi không gian độ đo,  gọi miền độ đo µ Một độ đo có miền σ -đại số Borel X gọi độ đo Borel X Trong luận văn xét không gian độ đo σ hữu hạn, tức ∞ X =  i =1 Ei với µ ( Ei ) < +∞ Hai trường hợp thường gặp là: X tập mở  n X đa tạp Kähler compact Cho µ độ đo Borel X E tập Borel X Độ đo µ gọi quy ngồi E µ ( E ) = inf { µ (U ) U ⊃ E , U mở} quy E µ ( E ) = sup { m ( K ) K ⊂ E , K compact } Nếu µ vừa quy ngồi vừa quy tập hợp Borel, µ gọi quy 1.1.2 Các phiếm hàm tuyến tính dương 0 ( X ) Cho X không gian Hausdorff compact địa phương, 0 ( X ) không gian hàm liên tục X với giá compact Một phiếm hàm tuyến tính I 0 ( X ) gọi dương I ( f ) ≥ với f ≥ Mệnh đề 1.1 Nếu I phiếm hàm tuyến tính dương 0 ( X ) , với K ⊂ X compact có số K cho I ( f ) ≤ K f u ∀f ∈ 0 ( X ) cho supp ( f ) ⊂ K Chứng minh Cho tập compact K , chọn φ ∈ 0 ( X ,[0,1]) cho φ = K Nếu supp ( f ) ⊂ K , ta có f ≤ f f u u f , nghĩa f u f − f ≥ f u f + f ≥ Vì I (f ) − I ( f ) ≥ fu I (f ) + I ( f ) ≥ 0, kết I ( f ) ≤ I (f ) f u  Định nghĩa 1.2 Một độ đo Borel quy µ gọi độ đo Radon µ ( K ) < +∞ vơi tập compact K ⊂ X Nếu U mở X f ∈ 0 ( X ) , ký hiệu f  U nghĩa ≤ f ≤ supp ( f ) ⊂ U Định lý 1.3 Nếu I phiếm hàm tuyến tính dương 0 ( X ) , tồn độ đo Radon µ X thỏa I( f ) = ∫X fd µ , ∀f ∈ 0 ( X ) Hơn nữa, µ thỏa = µ (U ) sup {I ( f ) : f ∈ 0 ( X ) , f  U } với tập mở U ⊂ X µ ( K= ) inf {I ( f ) : f ∈ 0 ( X ) , f ≥ χ K } với tập compact K ⊂ X Ta thường hay đồng I với độ đo Radon µ 94 Một kết quan trọng lý thuyết đa vị địa phương nói dung lượng Cap(⋅, Ω) Cap(⋅, Ω′) so sánh Ω′ ⊂ Ω (xem [7, Định lý 6.5]) Do ta giả sử ω = dd cψ gần Ω Cố định C1 > cho −C1 ≤ ψ ≤ C1 Ω Cố định ϕ ∈ PSH( X , ω ) cho ≤ ϕ ≤ X đặt = u (2C1 ) −1 (ϕ +ψ + C1 ) Khi u ∈ PSH( X , ω ) ≤ u ≤ 1, ∫E ωϕ = n (2C1 ) n ∫ (dd c u ) n ≤ (2C1 ) n Cap BT ( E , Ω) E Lấy supremum theo ϕ ta Capω ( E ) ≤ (2C1 ) n Cap BT ( E , Ω) Chú ý ta chưa sử dụng giả thuyết ω Kähler Để chứng minh bất đẳng thức lại ta lấy χ ∈  ∞ ( X ) cho χ ≡ X  Ω χ < Ω Thay χ εχ cần, ta giả sử χ ∈ PSH( X , ω ) Có thể làm ω Kähler (và nơi ta sử dụng giả thiết Kähler ) Cố định ε > đủ nhỏ cho χ ≤ −ε Ωδ Bây lấy u ∈ PSH(Ω) cho ≤ u ≤ Ω Ta xét  u −ψ + C1  + 2C Ωδ    u −ψ + C1  , χ ( x) + 1 Ω  Ωδ ϕ ( x) max  =  + 2C1 ε   1 X  Ω   Nhận xét ≤ u′ := (u −ψ + C1 ) / (2 + 2C1 ) ≤ (1 + 2C1 ) / (2 + 2C1 ) < Ω Vì 2 ϕ ∈ PSH ( X , ω ) từ χ ( x) + ≡ > u ′ ∂Ω Chú ý thêm ≤ ϕ ≤ 1, ε ε với E ⊂ Ωδ ta có (2 + 2C1 ) n n  ω 2 c  c  ∫E (dd u )= ∫E  + 2C1 + dd ϕ  ≤ ∫E  ε ω + dd ϕ  c n n n 2 ≤ Cap 2ω /ε ( E ) ≤   Capω ( E ) ε  Do Cap BT ( E , Ω) ≤ 4n (1 + C1 ) n ε − n Capω ( E )  95 Vì tập hợp đa cực địa phương tập hợp có dung lượng tương đối (xem [2]), ta có: Hệ 3.31 Capω ( P) = ⇔ Cap BT ( P) = ⇔ P tập hợp đa cực địa phương Nhận xét 3.32 Chứng minh Mệnh đề 3.30 khơng cịn ω khơng phải dạng Kähler Tuy nhiên hệ trường hợp ω ≥ lớn Điều chứng minh thơng qua cơng thức tính dung lượng Monge-Ampère tính chất hàm cực đại tương đối mà không cần sử dụng so sánh dung lượng địa phương dung lượng toàn cục 3.4.5 Bài toán Dirichlet Kết sau hệ trực tiếp toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức cầu đơn vị [1],[2] Định lý 3.33 (Bài toán Dirichlet) Cho ϕ ∈ PSH( X , ω ) ∩ L∞ ( X ) B cầu nhỏ X Khi tồn ϕ ∈ PSH( X , ω ) cho ϕ = ϕ X  B, ϕ ≥ ϕ (ωϕ ) n = B Hơn nữa, ϕ1 ≤ ϕ2 ϕ ≤ ϕ2 Nhiều kết phần ω dạng không âm, trơn lớn (nghĩa {ω}n > ), ví dụ sau Ví dụ 3.34 Cho π : X →  X phép thổi từ  X dọc theo đa tạp trơn Y có  dạng Kähler   Khi ω đối chiều ≥ Cho ω X đặt ω = π ∗ ω dạng nửa xác định dương, trơn X ω|E ≡ 0, với E ước đặt biệt phép thổi Rõ ràng  ), PSH( X , ω ) = π PSH (  X ,ω hàm ω -psh không tách điểm E Tuy nhiên, dung lượng Monge Ampère Capω (⋅) định nghĩa tốt thỏa tính chất thiết lập phần trước 96 3.5 Sự hội tụ toán tử Monge-Ampère Ta biết toán tử Monge-Ampère liên tục theo dãy giảm (Định lý 3.16) Ta chứng minh tính liên tục cịn với dãy tăng dãy hội tụ theo dung lượng Monge-Ampère Hội tụ theo dung lượng Định lý 3.35 Cho (j j ) dãy bị chặn hàm ω -psh X hội tụ theo dung lượng Monge-Ampère ϕ ∈ PSH( X , ω ) Giả sử f j dãy bị chặn hàm tựa liên tục (theo dung lượng Monge-Ampère) hội tụ đơn điệu hàm tựa liên tục f Khi f j (ω + dd cj j ) n → f (ω + dd cj ) n theo nghĩa yếu độ đo Radon Chứng minh Ta giả sử tất hàm j j , f j nhận giá trị c n [0,1] Trước hết ta chứng minh µ= =: (ω + dd cϕ ) n j : (ω + dd j j ) hội tụ yếu µ Thật vậy, với χ ∈C∞ (X ) dùng công thức Stokes khai triển (ω + dd cj j ) n − (ω + dd cj ) n ta có đánh giá | Tj , j − ∫X χ (µ j − µ ) ≤ C ∫X |jj C số phụ thuộc vào �χ�C ( X ) T= j : n −1 ∑ (ω + dd cj j )k ∧ (ω + dd cj )n−1−k ∧ ω k =0 c n Đặt ψ= j : (jj j + ) / Ta có T j ≤ Cn (ω + dd ψ j ) với Cn số phụ thuộc vào n Cố định ε > Do | jj |≤ nên ta có đánh giá sau j |≤ 1,| 97 | (ω + dd ψ j ) j − ∫X c (µ j − µ ) ≤ C ∫X |jj (ω + dd cψ j ) n + C ∫ (ω + dd cψ j ) n = C∫ |jj |jj − | ≤ε − | >ε c n j j ≤ Cε ∫ ω n + 2C ∫ X |jj j − | >ε (ω + dd cψ j ) n |> ε ) ≤ Cε ∫ ω n + 2CCapξ (| jj j − X Do j j hội tụ theo dung lượng Monge-Ampère ϕ nên số hạng cuối hội tụ zero j → +∞ Bây cho ω → ta lim j →+∞ j − ) = ∫X χ (mm Như ta chứng minh µ j hội tụ yếu µ Cuối cùng, ta chứng minh f j µ j hội tụ yếu f µ Cho χ hàm trơn X Ta cần chứng minh ∫X χ f j d µ j → ∫X χ fd µ Do µ j , µ ≤ Capω nên Bổ đề 3.36 cho ta điều phải chứng minh  Bổ đề 3.36 Cho µ j dãy độ đo Radon dương hội tụ yếu µ Giả sử tồn C > cho sup( µ j ( E ) + µ ( E )) ≤ CCapω ( E ), ∀E ⊂ X j Giả sử f j dãy bị chặn hàm tựa liên tục (theo dung lượng Monge-Ampère) hội tụ đơn điệu hàm tựa liên tục f Khi f j d µ j → fd µ theo nghĩa yếu độ đo Radon Chứng minh Ta giả sử C > chặn sup | f j |,sup | f | Cố định X X ε > Tồn tập mở U ⊂ X cho Capω (U ) < ε f j , f liên tục K = X  U Tồn F ∈ C ( X ) cho f = F K Với ψ ∈ C ( X ) ta có | χ | µ j (U ) + sup | χ | sup | f j − f | µ j ( X ) ∫X |χ || f j − f | d µ j ≤ 2C sup X X K ≤ 2C sup | χ | Capω (U ) + sup | χ | sup | f j − f | µ j ( X ) X X K 98 Cho j → +∞ sau cho ε → ta thấy ta phải chứng minh fd µ j → fd µ Để làm điều ta lại thay f F lập luận tương tự, để ý F ∈ C ( X ) nên ∫X χ Fd µ j → ∫X χ Fd µ  Hội tụ theo dãy tăng Định lý 3.37 Cho (j j ) dãy bị chặn hàm ω -psh X hội tụ tăng hầu khắp nơi ϕ ∈ PSH( X , ω ) Khi (ω + dd cj j ) n → (ω + dd cj ) n theo nghĩa yếu độ đo Radon Chứng minh Ta chứng minh khẳng định sau quy nạp theo p : Với T = (ω + dd c u1 ) ∧  ∧ (ω + dd c un − p ) u1 , , un − p ∈ PSH( X , ω ) ∩ C ∞ ( X ) (ω + dd cj j ) p ∧ T → (ω + dd cj ) p ∧ T , j → +∞ theo nghĩa yếu độ đo Radon Khẳng định p = 0,1 (theo định nghĩa) Xét p > ψ hàm trơn ω -psh ta cần chứng minh lim ∫ j →+∞ X ψ (ω + dd cj j ) p = ∧T ∫X ψ (ω + dd j ) c p ∧ T ω ∧ T , ω j := ω + dd cj j áp dụng cơng thức Stokes ta có Thật vậy, đặt S := j ∧T ∫X ψω= ∫X ψω j p p −1 ∧ S + ∫ j jω jp −1 ∧ dd cψ ∧ T X Theo giả thiết quy nạp ω jp −1 ∧ dd cψ ∧ T hội tụ yếu ωϕp −1 ∧ dd cψ ∧ T Các hàm jj j, bị chặn X Theo Bổ đề 3.36 ta có lim ∫ j →+∞ X p −1 ∧ dd cψ ∧ T= ∫ jω p −1 ∧ dd cψ ∧ T j jωjj j X Từ ta có điều phải chứng minh, theo giả thiết quy nạp ∫X ψωϕ p −1 ∧ S ∫X ψω j p −1 ∧ S hội tụ  99 3.6 Nguyên lý so sánh Định lý 3.38 Cho u, v ∈ PSH( X , ω ) ∩ L∞ ( X ) Khi {u