Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)

Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN Mã số: ĐH2014-TN04-01 Xác nhận quan chủ trì (Ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài: (ký, họ tên) PGS.TS Phạm Hiền Bằng THÁI NGUYÊN, 05/2017 i DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Họ tên Đơn vị công tác Phạm Hiến Bằng Trường ĐHSP-ĐHTN Chủ nhiệm đề tài Nguyễn Quang Diệu Trường ĐHSP Hà Nội Thực Phạm Tuyết Mai Trường ĐHSP-ĐHTN Thực Phạm Thị Thủy Trường ĐHSP-ĐHTN Thực TT Trách nhiệm ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU Họ tên ngƣời Tên đơn vị nƣớc Nội dung phối hợp nghiên cứu Khoa Toán Trường Cung cấp tài liệu, tham gia Đại học sư phạm Hà số chuyên đề số GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu nội dung nghiên cứu Nội đại diện đơn vị ii MỤC LỤC DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI i ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU i THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .iii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS vi MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nội dung nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu CHƢƠNG I TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL 1.1.Hàm m - điều hòa dƣới 1.2.Các lớp kiểu Cegrell 1.3 Tính hàm m  điều hòa dƣới 11 1.4 Một vài áp dụng 16 Kết luận chƣơng 18 CHƢƠNG II ĐỒ THỊ ĐA CỰC ĐẦY TRONG £ N 19 2.1 Giới thiệu 19 2.2 Đồ thị hàm liên tục hàm chỉnh hình 21 2.3.Bao đa cực đồ thị 32 Kết luận chƣơng 36 CHƢƠNG III SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM CHỈNH HÌNH VÀ DÃY HÀM HỮU TỶ 37 3.1 Giới thiệu 37 3.2 Một vài kiến thức sở lý thuyết đa vị 39 3.3 Sự hội tụ dãy hàm chỉnh hình dãy hàm hữu tỷ 40 3.4 Xây dựng chi tiết hội tụ nhanh 53 Kết luận chƣơng 58 KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 iii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: -Tên đề tài: Một số ứng dụng lý thuyết đa vị giải tích phức nhiều biến - Mã số: ĐH2014-TN04-01 - Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Phạm Hiến Bằng Tổ chức chủ trì: Trường Đại học sư phạm- ĐHTN Thời gian thực hiện: 24 tháng Mục tiêu: Mục tiêu đề tài nghiên cứu tính hàm m - điều hịa lớp Cegrell Vấn đề xây dựng hàm xác định tập cho cho đồ thị chúng đa cực đầy Cuối nghiên cứu độ đo Monge-Ampere logarithmic mođun dãy đa thức hội tụ nhanh hàm chỉnh hình Tính sáng tạo: Có số kết báo khoa học xuất tạp chí quốc tế danh mục SCI SCIE Kết nghiên cứu: - Thu kết điều kiện đủ tính hàm m - điều hòa lớp Cegrell - Thu kết xây dựng hàm xác định tập cho cho đồ thị chúng đa cực đầy - Thu kết điều kiện đủ để đảm bảo hội tụ dãy hàm chỉnh hình dãy hàm hữu tỷ Sản phẩm: 5.1 Sản phẩm khoa học (bài báo khoa học): iv 5.1.1 Dieu N.Q., Bang P.H., Hong N.X (2014), “Uniqueness properties of m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1, pp 669-683 (SCI) 5.1.2 Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £ N ”, Anal Polon Math 112.1, pp 85-100 (SCIE) 5.1.3 Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem without uniform boundedness”, Publ Math 60, pp 311-334 (SCIE) 5.2 Sản phẩm đào tạo: 5.2.1 Nguyễn Thị Hải Hiền (2015), Approximation of plurisubharmonic functions in the weighted energy class, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.2 Trần Thị Thanh Hương (2015), Weighted pluricomplex energy, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm-Đại học Thái Nguyên 5.2.3 Trần Thị Mai Phương (2015), The complex Monge-Ampe’re operator and the Dirichlet problem in class F , Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.4 Tạ Quang Sỹ (2015), Monge-Ampe’re measures on pluripola set and complex Monge-Ampe’re equation, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.5 Phùng Thị Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.6 Dương Huyền Nhung (2016), Convergence in capacity, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.7 Ngạc Ngọc Khôi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic functions, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.8 Hoàng Thị Hải Yến (2016), A Dirichlet problem for complex MongeAmpe’re operator in F ( f ) , Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên v 5.2.9 Nguyễn Thị Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in hyperconvex domains, đề tài NCKH sinh viên trường Đại học sư phạm 5.2.10 Nguyễn Thị Lan (2016), Miền xác định toán tử Monge-Ampere phức, khóa luận tốt nghiệp sinh viên trường Đại học sư phạm Phƣơng thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu Kết đề tài phục vụ cho công tác đào tạo cử nhân, cao học nghiên cứu sinh ngành Tốn giải tích khoa Toán học, trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2017 Tổ chức chủ trì (ký, họ tên đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) PGS.TS Phạm Hiến Bằng vi INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: - Project title: Some applications of plurisubharmonic theory to complex analysis in several variables - Code number: ĐH2014-04-01 - Coordinator: Associate Professor Pham Hien Bang - Implementing Institution: Thai Nguyen University of Education - Cooperating Institution: Ha Noi National University of Education, Associate professor-doctor of science Nguyen Quang Dieu - Duration: 24 months Objective(s): - Research uniqueness properties of m - subharmonic functions in Cegrell classes - Construct functions defined on a given set such that their graphs are complete pluripolar - Research the convergence of sequence of holomorphic and rational functions Creativeness and innovativeness: There are some new results in three scientific articles published in the national journal of science, where one paper belongs to the SCI and two papers belongs to the SCIE list Research results: - Obtained sufficient conditions for unicity of m - subharmonic functions in Cegrell classes - Obtained result on construct functions defined on a given set such that their graphs are complete pluripolar - Obtained result on the convergence of sequence of holomorphic and rational functions Products: 5.1 Scientific products: vii 5.1.1 Dieu N.Q., Bang P.H., Hong X.X (2014), “Uniqueness properties of m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1, pp 669-683 (SCI) 5.1.2 Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £ N ”, Anal Polon Math 112.1, pp 85-100 (SCIE) 5.1.3 Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem without uniform boundedness”, Publ Math 60, pp 311-334 (SCIE) 5.2 Training products: 5.2.1 Nguyen Thi Hai Hien (2015), Approximation of plurisubharmonic functions in the weighted energy class, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.2 Tran Thi Thanh Huong (2015), Weighted pluricomplex energy, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.3 Tran Thi Mai Phuong (2015), The complex Monge-Ampe’re operator and the Dirichlet problem in class F , Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.4 Ta Quang Sy (2015), Monge-Ampe’re measures on pluripola set and complex Monge-Ampe’re equation, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.5 Phung Thi Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.6 Duong Huyen Nhung (2016), Convergence in capacity, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.7 Ngac Ngoc Khoi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic functions, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.8 Hoang Thi Hai Yen (2016), A Dirichlet problem for complex MongeAmpe’re operator in F ( f ) , Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.9 Nguyen Thi Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in viii hyperconvex domains, Scientific resrarch project of the of students of Thai Nguyen University of Education 5.2.10 Nguyen Thi Lan (2016), The domain of definition of the complex Monge-Ampe’re operator, Graduation thesis of students of Thai Nguyen University of Education Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results The results of the research used in training bachelors, postgraduate at the Department of Mathematics, College of Education, Thai Nguyen university MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Khởi nguồn từ cơng trình ngun thủy Bedford Taylor vào đầu năm 80 kỷ trước, toán tử Monge-Ampere không gian Euclid phức n chiều £ n xem mở rộng tự nhiên toán tử Laplace cổ điển xác định mặt phẳng phức Mối liên hệ cho áp dụng toán tử Monge-Ampere vào toán xấp xỉ hàm chỉnh hình hàm đa điều hịa tập mở bị chặn £ n Do đặc thù tốn tử Monge-Ampere khơng thể tính tốn tường minh hàm đa điều hịa khơng trơn tới cấp hai, nên tốn xấp xỉ hàm đa điều hòa tổng quát u dãy hàm đa điều hòa trơn u j đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu toán Dirichlet miền siêu lồi bị chặn Có thể kể đến định lý Fornaess-Wiegerinck (“Approximation of plurisubharmonic functions”, Arkiv for Mat 1989) nói xấp xỉ xảy với hàm đa điều hòa miền bị chặn D liên tục tới tận biên Sau F Wikstrom, Nguyễn Quang Diệu nghiên cứu biến dạng định lý Fornaess-Wiegerinck hàm đa điều hòa bị chăn miền siêu lồi Đặc biệt báo “Approximation of plurisubharmonic functions on bounded domains in £ n ”, Michigan Math J 2006, Nguyễn Quang Diệu lần xét thêm tính hội tụ yếu dãy độ đo Monge-Ampere (ddcu j )n Các kết có ứng dụng vào việc nghiên cứu toán Dirichlet toán tử Monge-Ampere giá trị biên hàm khả tích Lebesgue tùy ý Đây tốn quan trọng giải tích phức nhiều biến nhiều người quan tâm Một vấn đề liên quan Gonchar nghiên cứu vào cuối năm 70 kỷ trước xấp xỉ nhanh hàm chỉnh hình dãy đa thức hay hàm hữu tỷ Điều đáng ý mối liên hệ hội tụ dãy độ đo Monge-Ampere dãy hàm đa thức hay hàm hữu tỷ chưa đề cập đến Những điều phản ánh tính cấp thiết việc nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vị phức giải tích phức nhiều biến Việc giải thành công dù vấn đề 48 (a ) Dãy rm - f 1/ m hội tụ theo dung lượng đến D (b) Tồn tập đa cực E £ n với tính chất sau: Với z Ỵ D \ E khơng gian phức affin L £ n qua z 0, tồn dãy {rm }j ³ cho rm - f j 1/ m j Dz hội tụ đến theo dung lượng (đối với L ) Ở ký hiệu Dz thành phần liên thơng D Ç L chứa z Để chứng minh Định lý, trước tiên ta giới thiệu ký hiệu sau: Cho D miền bị chặn £ n E tập ¶ D Khi ta định nghĩa dạng khác hàm cực trị tương đối wR (z , E , D ) = sup{j (z ) : j Ỵ PSH (D ), j < 0, lim sup j (rx ) £ - 1, " x Ỵ E }, z Î D r ® 1- ,rx Î D Sử dụng kĩ thuật trên, ta có bổ đề sau khai thác tính chất (i ) tập X cho Định lý 3.3.6 Bổ đề 3.3.7 Cho D miền bị chặn £ n X tập ¶ D Giả sử X thỏa mãn điều kiện (i ) Định lý 3.3.6 Khi với dãy {X j }j ³ Ð ¶ D cho X j - X , ta có lim wR (z , X j , D ) < 0, " z ẻ D jđ Ơ Chng minh Giả sử kết luận khơng Vì {wR (z , X j , D )}j ³ dãy giảm hàm khơng dương, nên tồn z Ỵ D cho wR (z 0, X j , D ) = 0, " j ³ Cố định j ³ 1, với k ³ 1, ta tìm j k, j Ỵ PSH (D ), j cho lim- j j® k, j (rx ) £ - 1, " x Ỵ X j j k, j (z ) > - 2k k, j < 49 Bây giờ, đặt j j = å k³ j k, j Dễ kiểm tra j j Ỵ PSH (D ), j j < 0, lim- j j (rx ) = - Ơ , rđ " x ẻ X j j j (z ) > - Tiếp theo, đặt j (z ), " z Ỵ D 2j j å j j (z ) = j³ Rõ ràng j Ỵ PSH (D ), j < 0, j (z ) > - Bây giờ, với x Ỵ X ta chọn j x cho x Ỵ X j Khi đó, ta có x lim- j (rx ) £ r® 1 j 2x lim j j (rx ) = - ¥ r ® 1- x Mâu thuẫn hoàn thành chứng minh Bổ đề □ Chúng ta cần vài kết tiêu chuẩn tính compact nón hàm đa điều hòa Bổ đề 3.3.8 Cho {u m }m ³ dãy hàm đa điều hòa xác định miền D £ n Giả sử dãy bị chặn trên tập compact D không hội tụ tới - ¥ tập compact D Khi đó, khẳng định sau xảy ra: (a ) Tồn dãy {u m }j ³ hội tụ L1loc (D ) tới hàm u Ỵ PSH (D ) , j u º/ - Ơ (b) lim sup j đ Ơ um £ u D j (c ) lim sup j đ Ơ um = u ngoi mt đa cực D j (d ) Tập {z ẻ D : lim j đ Ơ um (z ) = - ¥ } đa cực j Chứng minh Khẳng định (a ) (b) suy từ Định lý 3.2.12 [26] Áp dụng Định lý 3.2.12 ([26]) lần để đạt u = (lim sup j đ Ơ um )* j 50 khp ni trờn D Do đó, Theo Bổ đề 3.2.4 ta nhận (c ) Cuối cùng, (d ) dễ dàng suy từ (c ) Bổ đề chứng minh Cuối điều kiện đủ để dãy hàm đo hội tụ theo dung lượng đến Bổ đề 3.3.9 Cho {u m }m ³ dãy hàm đa diều hòa {vm }m ³ dãy hàm đo xác định miền bị chặn D Ð £ n Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i ) {u m }m ³ bị chặn (ii ) Tồn tập compact X D cho inf sup um (z ) > - Ơ m zẻ X (iii ) um + vm hội tụ đến - ¥ tập compact D v Khi đó, dãy {e m }m ³ hội tụ đến theo dung lượng Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn tập compact K D , dãy {m j } số < e < 1, d > cho cap(K j , D ) > d, " j ³ 1, K j = {z Ỵ K : vm < log e} Từ (ii ) suy u m khơng hội tụ đến j - ¥ j X Vì vậy, sử dụng Bổ đề 3.3.7 giả thiết (i ) , ta giả sử u m j hội tụ L1log (D ) đến u ẻ PSH (D ), u / - Ơ Tiếp theo, từ giả thiết (iii ) ta suy ravới M mà M + log e > tồn J M ³ cho u m + vm < - M , " j ³ j M , " z Ỵ K j j Vì vậy, với j ³ j M ta có bao hàm sau K j Ð L j = {z Ỵ K : um < - M - log e} j Suy cap(L j , D ) ³ cap(K j , D ) > d, " j ³ jM 51 Cho w lân cận K , compact tương đối D Khi đó, ta có sup um j³ j L1 ( w) < ¥ (3.10) Theo Định nghĩa 3.2.2, ta chọn j j Ỵ PSH (D ), - < j j < cho ò Lj (dd cj j )n > d Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg (xem Định lý 2.1.7 [4]), với j ³ j M ta có ước lượng sau d< ị Lj (dd cj j )n £ C K ,w c n u ( dd j ) £ u j M + log e òK m j M + log e m j L1 ( w) Ở C K , w số dương phụ thuộc vào K , w Cho M đ Ơ v ỏp dng (3.10), ta nhận đượcmâu thuẫn Bổ đề chứng minh □ Chứng minh Định lý 3.3.6 (a ) Sau bỏ từ X tập đa cực (có thể rỗng), ta giả sử rm (z ) Î £ với z Î X m ³ Vì f * bị chặn X , nên từ giả thiết (ii ) (iii ) ta suy sup m³ 1 log rm (x ) < Ơ , m "x ẻ X Vi N , đặt X N = {z Ỵ X : sup m³ Điều suy X = U N³ 1 log rm (x ) £ N } m X N Vì X khơng đa cực, nên tồn N ³ cho X ¢= X N không đa cực Bây giờ, ta viết rm = pm / qm với qm chuẩn hóa cho qm X¢ = Với m ³ 1, ta định nghĩa hàm đa điều hòa D um = 1 log pm - qm f , vm = log qm m m 52 Ta buộc cho dãy {u m }m ³ hội tụ đến - ¥ tập compact D Thật vậy, ý rằng, X ¢ không đa cực, nên bất đẳng thức BernsteinWalsh (3.1) kéo theo dãy {vm }m ³ bị chặn trên tập compact £ n Theo cách chọn X ¢, lần sử dụng bất đẳng thức (3.1), ta suy log pm bị chặn trên tập compact £ n Từ đó, dùng m ước lượng giả thiết tính bị chặn f , suy dãy {u m }m ³ bị chặn dãy trên tập compact D Với k, j ³ ta đặt X k , j = {x Ỵ X : rm (x ) - f *(x ) 1/ m < / j , " m ³ k } Theo giả thiết ta có X k , j - X j đ Ơ Bây giờ, cố định điểm z Ỵ D Theo Bổ đề 3.3.7 giả thiết (i ) , ta tìm k j (z ) (phụ thuộc vào j z ) cho wR (z 0, X k , j , D ) < 0, " k ³ k j (z ) (3.11) Mặt khác, với x Ỵ X k , j m ³ k ta có lim sup um (rx ) = vm (x ) + r ® 1- log rm (x ) - f *(x ) £ A1 - log j , m A1 = sup m ³ sup x Ỵ D vm (x ) số hữu hạn Bây giờ, ta đặt A2 = sup sup um ( x ) m³ xỴ D Khi đó, theo lý trên, A2 số hữu hạn Bằng cách kết hợp tất điều mô tả định nghĩa wR (.E , X ), ta đạt ước lượng sau um (z ) £ A2 + (A1 - logj ) wR (z 0, X K , j , D ) , " m ³ k Kt hp (3.11) v (3.12) , cho m đ Ơ v j đ Ơ ú ta c lim um (z ) = - Ơ mđ Ơ (3.12) 53 Vì điều với z Ỵ D {u m }m ³ bị chặn trên D, nên theo Bổ đề Hartogs suy u m phải hội tụ đến - ¥ tập compact D Cuối cùng, với z nằm tập cực rm ta lưu ý đẳng thức sau tầm thường u m ( z ) = vm ( z ) + log rm (z ) - f (z ) m Do đó, sử dụng Bổ đề 3.3.8, ta kết luận rm - f 1/ m hội tụ đến theo dung lượng D (b) Theo khẳng định chứng minh (a ) , dãy vm = log qm m bị chặn trên tập compact £ n Ngồi ra, vm khơng tiến đến - ¥ tập compact £ n Như vậy, theo Bổ đề 3.3.8 (d), tồn tập đa cực E £ n cho lim sup vm > - ¥ D \ E jđ Ơ Ta s ch rng E cú tính chất địi hỏi Thật vậy, cố định điểm z Ỵ D \ E Lấy L không gian afin phức qua z Dz thành phần liên thơng D Ç L chứa z Chọn dãy {vm } j ³ cho j inf vm (z ) > - ¥ j³ j Lấy v j¢ v j¢¢ hạn chế hai dãy vm j log rm - f Dz Theo j mj kết chứng minh (a ) , ta có v jÂ+ v jÂÂ hi t u n - Ơ trờn tập compact Dz Vì vậy, sử dụng Bổ đề 3.3.8 lần ta kết luận e vj¢ hội tụ nhanh theo dung lượng tới Dz 3.4 Xây dựng chi tiết hội tụ nhanh □ 54 Mục đích phần đưa ví dụ dãy hàm hữu tỷ thỏa mãn giả thiết Định lý 3.3.6 Chính xác hơn, ta xây dựng dãy hàm hữu tỷ {rm }m ³ với cực nằm bên D cho {rm }m ³ hội tụ * * điểm nhanh tới f tập compact ¶ D Ở f có giá trị biên theo tia hàm chỉnh hình bị chặn f xác định đĩa đơn vị D Ta bắt đầu với tiêu chuẩn tổng quát đảm bảo hội tụ nhanh tích vơ hạn biết Mệnh đề 3.4.1 Cho {rm }m ³ dãy hàm hữu tỷ, D miền £ n {b m }m ³ dãy số dương Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i ) {rm }m ³ bị chặn địa phương D (ii ) lim m đ Ơ ( m ¥ j= m+1 b j ) = (iii ) Tồn tập không đa cực X D cho với x Ỵ X , tồn số M x > : rm (x ) - £ M x bm , rm - 1(x ) " m ³ Khi đó, dãy {rm }m ³ hội tụ nhanh tập compact D tới hàm chỉnh hình f D Chứng minh.Từ giả thiết (i ) (iii ) suy tích vơ hạn r1 Õ m ³ rm + rm hội tụ điểm tới hàm g đo được, giá trị phức X Ta chứng minh rm hội tụ điểm nhanh tới g X Thật vậy, ta viết f j = rj / rj - với j C nh x ẻ X, Ơ g(x ) - rm (x ) = rm (x ) Õ f j (x ) - j= m+1 Theo (iii ) ta có ước lượng sau m đủ thích hợp 55 ¥ ¥ Õ f j (x ) - = j= m+1 Õ ¥ £ (1 + ( f j (x ) - 1) - j= m+1 Õ ( f (x ) j ) 1) + - j= m+1 ¥ ¥ £ Õ (M x b j + 1) - £ exp( j= m+1 å Mxbj ) - j= m+1 ¥ £ 2M x å bj j= m +1 Ở ta sử dụng bất đẳng thức e t £ + 2t , £ t cho rm (x ) £ C x với m ³ Do ¥ g(x ) - rm (x ) £ 2C x M x å bj j= m+1 Điều cần chứng minh suy từ (ii ) Cuối cùng, áp dụng nhận xét (ii ) sau chứng minh Định lý 3.3.4 ta kết luận mệnh đề □ Mệnh đề 3.4.2 Tồn tập đếm A £ \ D với F Ð A , dãy {rm }m ³ hàm hữu tỷ £ hàm chỉnh hình f : £ \ A ® £ bị chặn D cho tính chất sau xảy ra: (a ) Các cực {rm }m ³ nằm A với m ³ (b) {rm }m ³ hội tụ nhanh đến f tập compact £ \ A (c ) {rm }m ³ hội tụ điểm nhanh F = A \ A đến f *, giá trị biên theo tia f (d ) f không thác triển qua điểm F đến hàm chỉnh hình Phép chứng minh tiến hành thơng qua hai Bổ đề Đối với vấn đề thứ nhất, ta cần vài ký hiệu Ta xắp xếp ( ¥ * )2 = {(m , n ) : m , n ³ 1} theo thứ 56 tự từ điển phân bậc, (m , n ) p ( p, q) m + n < p + q m + n = p + q m < p Gọi ind (m , n ) số (m , n ) Tính tốn đơn giản ta (m + n - 2)(m + n - 1) + m ind( m , n ) = Từ max(m , n ) ³ ind (m , n ) với m , n ³ Bổ đề 3.4.3 Tồn dãy số kép {rmn } Ð (0,1) cho dãy thứ tự từ điển phân bậc tương ứng {s j }j ³ thỏa mãn điều kiện sau 1/ n ổƠ ữ lim ỗỗỗồ (1 - s j )ữ ữ nđ Ơ ỗ ữ ốj = n ø = Chứng minh (xem [19, Bổ đề 4.3) Bổ đề 3.4.4 Cho a = e i q b = re i x với £ q, x £ - ba ³ p Khi 2 q- x p Chứng minh (xem [19, Bổ đề 4.4]) Bổ đề 3.4.5 Tồn dãy B = {a j }j ³ Ð D cho (a ) F tập hợp điểm tụ B (b) lim n đ Ơ ( Ơ j= n+1 (c ) Với x Ỵ F , (1- | a j |))1/ n = å ¥ j=1 1- | a j | 1- a j x < ¥ Hơn nữa, ỉ ¥ 1- | a ỗ j lim ỗỗ kđ Ơ ỗ ốj = k + 1- a j x Chứng minh (xem [19, Bổ đề 4.5]) 1/ k |÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø = 57 Chứng minh Mệnhđề 3.4.2 Cho B = {a j }j ³ Ð D dãy Bổ đề 3.4.5 Đặt f j (z ) = Đặt A = { | aj | aj - z a j - a jz m , Õ f (z ) rm (z ) = j j=1 : j ³ 1} Khi tập điểm tụ A F Ta cố định tập aj compact K Ð £ \ A Với j ³ z Ỵ K ta có f j (z ) - = (a j + | a j | z )(1- | a j |) a j (1 - a j z ) £ M K (1- | a j |), M K > phụ thuộc vào K A Bây giờ, từ Bổ đề 3.4.5 (a) Mệnh đề 3.4.1 suy khẳng định thứ hai Đối với hội tụ nhanh x Ỵ F , ta có f j ( x) - = (a j + | a j | x)(1- | a j |) £ a j (1 - a j x) 1- | a j | (1 - a j x) j đủ lớn Dùng lập luận tương tự chứng minh Mệnh đề 3.4.1 ta ¥ Õ j= m +1 | aj | aj - x a j 1- a jx ¥ - 1£ å 1- | a j | j= m +1 - a jx Mặt khác, theo Định lý [13], ta có lim n đ Ơ rn ( x) = f ( x) Như vậy, ta tìm M x > cho | rm ( x) | £ M x với n ³ Do đó, ¥ f ( x) - rm ( x) £ 8M x 1- | a j | å a x j= m +1 j Khẳng định (c) suy từ Bổ đề 3.4.5 (c) Cuối cùng, ta ý tập khơng điểm rm {a 1, , a m } điểm F điểm 58 tụ {a m }m ³ 1, nên hàm giới hạn f thác triển chỉnh hình qua điểm F □ Kết luận chƣơng Trong chương chúng tôinghiên cứu điều kiện đủ để đảm bảo hội tụ củadãy {fm }m ³ hàmchỉnh hình xác định trênmiền bị chặn D Ð £ n dãy hàm hữu tỷ (1 £ deg rm £ m ) xác địnhtrên £ n , tập hợp đủ lớn miễn hội tụ điểm xảy trênmột tập khơng q nhỏ Kết đạt chương Định lý 3.3.6,là tổng quát Định lý 3.1.1 Định lý 3.1.2khi dãy {rm }m ³ hội tụ nhanh đến giá trị biên theo bán kính hàmchỉnh hình f bị chặn xác định trênmiền bị chặn D Ð £ n KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Các kết đạt đề tài gồm: - Đã tổng quát hóa kết Bloom Levenbeng tính việc mở rộng hàm đa điều hòa cực đại [7] kết Duval Sibony tính việc mở rộng hàm đa điều hòa dưới[20] lớp hàm m - điều hòa Các kết đạt Định lý 1.3.2 Định lý 1.3.3 - Áp dụng kết tính điều kiện đủ hội tụ yếu dãy hàm m - điều hòa Các kết đạt Định lý 1.4.1 Định lý 1.4.2 -Xây dựng hàm liên tục g xác định F , tích N tập đóng cho Gf (g) đa cực đầy Kết đạt Định lý 2.2.1 59 -Xây dựng hàm chỉnh hình g D cho Gg (D ) đa cực đầy £ N + , với đa diện giải tích liên thơng D Ð £ N Kết trình bày Định lý 2.2.8 tổng quát định lý Levenberg, Martin Poletsky [28] - Mệnh đề 2.3.5 kết toán xác định bao đa cực đầy Chúng chứng minh f hàm chỉnh hình miền D Ð £ cho phần bù Gf (D ) (Gf (D ))*£ Ç (D ´ £ ) chứa A ´ £ với A tập đếm được, (Gf (D ))*£ Ç (D ´ £ ) = Gf (D ) - Cuối kết hội tụ củadãy {fm }m ³ hàmchỉnh hình xác định trênmiền bị chặn D Ð £ n dãy hàm hữu tỷ (1 £ deg rm £ m ) xác địnhtrên £ n , tập hợp đủ lớn miễn hội tụ điểm xảy trênmột tập không nhỏ Kết đạt Định lý 3.3.6 Đây tổng quát Định lý 3.1.1 Định lý 3.1.2 dãy {rm }m ³ hội tụ nhanh đến giá trị biên theo bán kính hàm chỉnh hình f bị chặn xác định miền bị chặn D Ð £ n 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH BedfordE., Taylor A (1988), “Plurisubharmonic functions with logarithmic singularities”, Ann Inst Fourier 38, pp 133–171 Benelkourchi S., Jennane B., Zeriahi A (2005), “Polya’s inequalities,global uniform ntegrability and the size of plurisubharmoniclemniscates”, Ark Mat.43(1), pp 85112 DOI: 10.1007/BF02383612 Blocki Z (2002), “The complex Monge -Ampère operator in pluripotential theory”, Unished lecture notes based on graduate course at JagiellonianUniversity 1997, last modified: November 2002, available athttp://gamma.im.uj.edu.pl/ blocki/publ/ln/wykl.pdf Blocki Z (2005), “Weak solutions to the complex Hessian equation”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 55(5), pp 1735–1756 Bloom T (2001), “On the convergence in capacity of rational approximants”, Constr Approx.17(1), pp 91-102 DOI:10.1007/S0036500100-11 Bloom T., Levenberg N (2003), “Weighted pluripotential theory”, Amer J Math 125, pp 57–103 Cegrell U (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, pp 187–217 Cegrell U (2004), “The general definition of the complex Monge–Ampere operator”, Ann Inst Fourier (Grenoble)54, pp 159–179 L.H, “On arXiv:1301.6502v1 10 Chinh Cegrell’s ( 11 C irka E M “Meromorphic (1976), rationalapproximations in £ classes N of m - subharmonic continuation, and functions”, the rate of ”, Mat Sb (N.S.) 99(141), no.4, pp 615-625 12 Coltoiu M (1990),“Complete locally pluripolar sets”, J Reine Angew Math 412, pp 108 – 112 13 Colwell P (1966), “On the boundary behavior of Blaschke products inthe unit disk”, Proc Amer Math Soc 17, pp 582-587 DOI:10.1090/S0002-9939-1966- 61 0193243-6 14 Davidson K R (1983), “Pointwise limits of analytic functions”, Amer.Math Monthly 90(6), 391-394 DOI: 10.2307/2975578 15 Dieu N.Q (2011), “A unicity theorem for plurisubharmonic functions”, Ann Polon Math 100(2), pp 159–165 16 Dieu N.Q., Hiep P.H (2008), “Pluripolar hulls and complete pluripolarsets”, PotentialAnal 29, pp 409–426 17 Dieu N.Q., Bang P.H., Hong N.X (2014), “Uniqueness properties of m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1, pp 669-683 18 Dieu N.Q., Manh P.V (2014), “Complete pluripolar graphs in £ N ”, Anal Polon Math 112.1, pp 85-100 19 Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem without uniform boundedness”, Publ Math 60, pp 311-334 20 Duval J., Sibony N (1995), “Polynomial convexity and rational convexity”, Duke Math J 79, pp 478–513 21 Edigarian A., Wiegerinck J (2004), “Determination of the pluripolar hull of graphs ofcertain holomorphic functions”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, pp 2085–2104 22 Edigarian A., Siciak J., W ZwonekW (2006), “Bounded holomorphic functions with multiple sheeted pluripolar hulls”, Studia Math.175, pp 233–247.100 23 Edlund T (2004), “Complete pluripolar curves and graphs”, Ann Polon Math 84, pp 75–86 24 Edlund T., Marzguioui S.E (2008), “Pluripolar hulls and fine analyticstructure”, Indag.Math 19, pp 53–64 ( 25 GonC ar A.A.(1974), “A local condition for the single-valuedness of analyticfunctions of several variables”, (Russian), Mat Sb (N.S.)93(135), pp 296313, 327 26 Hörmander L.(1994), Notions of convexity,Progress in Mathematics 127, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA 27 Klimek M (1991), Pluripotential theory, London Mathematical SocietyMonographs New Series 6, Oxford Science Publications, TheClarendon Press, Oxford University Press, New York 28 LevenbergN., Martin N.G., Poletsky E (1992),“Analytic disks andpluripolar sets”, IndianaUniv Math J 41, pp 515–532 62 29 Levenberg N., Poletsky E (1999), “Pluripolar hulls”, Michigan Math J 46, pp 151–162 30 Li S.Y (2004), “On the Dirichlet problems for symmetric function equations of the eigenvalues of the complex Hessian”, Asian J Math.8(1), pp 87–106 31 Poletsky E., Wiegerinck J (2006), “Graphs with multiple sheetedpluripolar hulls”, Ann.Polon Math 88, pp 161–171 32 Sadullaev A (1981), “Plurisubharmonic measures and capacities on complex manifolds”, Uspekhi Mat Nauk 36, no 4, pp 53–105 (in Russian) 33 Sadullaev A (1984), “A criterion for fast rational approximation in £ n ”, (Russian), Mat Sb (N.S.)125(167), no 2, pp 269-279 34 Siciak J (1981), “Extremal plurisubharmonic functions in £ n ”, Ann Polon.Math 39, pp 175-211 35 Zeriahi A (1989), “Ensembles pluripolaires exceptionnels pour la croissance partielle desfonctions holomorphes”, Ann Polon Math 50, pp 81–91 ... thiết việc nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vị phức giải tích phức nhiều biến Việc giải thành cơng dù vấn đề đóng góp đáng kể vào phát triển lý thuyết hàm biến phức Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài... Các kết có ứng dụng vào việc nghiên cứu toán Dirichlet toán tử Monge-Ampere giá trị biên hàm khả tích Lebesgue tùy ý Đây toán quan trọng giải tích phức nhiều biến nhiều người quan tâm Một vấn đề... pháp nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu ứng dụng toán tử Monge-Ampere lý thuyết đa vị vào nghiên cứu số toán giải tích phức nhiều biến Cụ thể hơn, chúng tơi nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tính