Nhóm vi phôi của các đa tạp không compact với tôpô whitney

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lại Thị Ngọc Diệp NHĨM VI PHÔI CỦA CÁC ĐA TẠP KHÔNG COMPACT VỚI TÔPÔ WHITNEY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lại Thị Ngọc Diệp NHĨM VI PHƠI CỦA CÁC ĐA TẠP KHÔNG COMPACT VỚI TÔPÔ WHITNEY huy n ng nh: H nh học tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGU Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 N H TH NH LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề t i “Nhóm vi phơi đa tạp khơng compact với tôpô Whitney” l cá nhân thực hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh, hồn tồn khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ báo, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Học viên cao học Lại Thị Ngọc Diệp LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường H ại học Sư phạm Th nh phố hí Minh, hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn H Thanh Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy ám ơn Thầy dạy bảo, hướng dẫn giúp em có thêm nhiều kiến thức để nghiên cứu hồn thành luận văn ng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn chân th nh đến quý thầy khoa Tốn – Tin trường ại học Sư phạm Th nh phố H hí Minh tận t nh dạy d v gi p tơi có thêm nhiều kiến thức cần thiết để thực luận văn n y hân th nh cám ơn q thầy Phịng Sau đại học tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Sau cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến gia đ nh v bạn bè – người luôn b n động vi n v gi p đỡ Tôi xin chân thành cảm ơn! TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Học viên cao học Lại Thị Ngọc Diệp MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 sở, lân cận, sở lân cận không gian tôpô 1.2 Ánh xạ li n tục 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đ ng phôi, ánh xạ vi phôi 1.4 Không gian thương 1.5 Không gian mêtric hóa 1.6 Không gian compact 1.7 Không gian paracompact 1.8 Không gian liên thông .10 1.9 Không gian Hilbert 11 1.10 a tạp .12 1.11 ng luân 14 1.12 Không gian co r t 15 Chƣơng CÁC KHÔNG GIAN CON MỞ CỦA KHÔNG GIAN LF VÀ KHÔNG GIAN CÁC PHÉP NHÚNG .16 2.1 ác không gian mở không gian LF 16 2.2 Không gian phép nh ng 25 Chƣơng NHĨM VI PHƠI CỦA CÁC ĐA TẠP KHƠNG COMPACT 34 3.1 Nhóm vi phôi đa tạp không compact 34 3.2 ác kết quan trọng 42 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 KÝ HIỆU M : đa tạp n chiều khơng compact, khơng có biên (M ) : nhóm vi phôi đa tạp M với tôpô Whitney c (M ) : nhóm vi phơi đa tạp M có giá compact, (M ) : thành phần li n thông đơn vị l2 c (M ) (M ) (M ) : không gian Hilbert tách i Xi : tích hộp dãy khơng gian tơpơ (Xi )i i Xi : tích hộp nhỏ dãy không gian điểm (Xi ,*i), i (M ; K ) : nhóm đóng tập K (M ) cho h (M ), h K idK , với M (M ; K ) : thành phần li n thông đơn vị K (L, M ) : không gian phép nhúng f : L (M ; K ) M C cho f K với L l đa tạp trơn M K tập L K (L, M )0 : thành phần liên thông bao hàm thức iL K (L, M ) idK , LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các đề tài nghiên cứu cấu trúc tơpơ nhóm vi phơi tốn ln thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học có nhiều hướng mở rộng V o năm 1967, nhóm vi phơi nh tốn học J Leslie nghi n cứu với đề t i “On a differential structure for the group of diffeomorphisms” đăng tr n tạp chí tốn học Topology ến năm 1979, nh tốn học N V Ivanov t m hiểu v nghi n cứu nhóm vi phơi đăng tr n tạp chí tốn học Journal of Soviet mathematics với đề t i “Diffeomorphism groups of Waldhausen manifolds” Sau đó, nh toán học T Banakh, K Mine, D Repovs, K Sakai, T agasaki t m hiểu v nghi n cứu nhóm vi phơi Trong luận văn n y, ch ng nghiên cứu cấu trúc tôpô nhóm vi phơi đa tạp khơng compact với tôpô Whitney Cho M đa tạp n chiều khơng compact, khơng có bi n Khi ta ký hiệu Whitney, c (M ) thông đơn vị (M ) nhóm vi phơi M với tơpơ nhóm vi phơi M có giá compact (M ) , nhóm mở nhóm Trong [4], T Banakh, K Mine, K Sakai v T đa tạp paracompact, (M ) phôi địa phương với tích hộp i (M ) thành phần liên c (M ) (M ) agasaki nhóm mở c (M ) c (M ) (M ) đ ng l2 , l2 l khơng gian Hilbert tách Trong [5], [6], [7], T Banach v D Repovs nghi n cứu tính chất tơpơ giới hạn trực tiếp nhóm khơng gian đ ng dạng Những kết n y áp dụng [3] để đưa tiêu chuẩn đơn giản để nhận biết nhóm tơpơ đ ng phơi với không gian mở l2 Trong [2], tiêu chuẩn n y sử dụng để nhận biết cấu trúc tơpơ nhóm đ ng phơi bề mặt không compact Với mong muốn áp dụng kết tr n để tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu sâu nhóm vi phơi đa tạp, tơi chọn đề tài “Nhóm vi phôi đa tạp không compact với tôpô Whitney” Chúng nghiên cứu luận văn n y dựa kết báo “Diffeomorphism groups of non-compact manifolds endowed with the Whitney C topology” tác giả T Banakh T Yagasaki, xuất năm 2015 tạp chí tốn học Topology and its Applications số 179 Mục đích Tìm hiểu nghiên cứu cấu trúc tơpơ nhóm vi phơi đa tạp không compact với tôpô Whitney Đối tƣợng nội dung nghiên cứu Nhóm vi phơi v đa tạp không compact Ý nghĩa khoa học thực tiễn Trong luận văn n y, ch ng ta nghiên cứu làm rõ mơ h lý thuyết tơpơ Whitney nhóm vi phơi đa tạp khơng compact, sau đưa số kết quan trọng nhóm c (M ) Cấu trúc luận văn Luận văn chia l m ba chương với nội dung cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày số kiến thức cần thiết liên quan đến chương sau luận văn Chương 2: Các không gian mở khơng gian LF khơng gian phép nhúng: Trình bày khái niệm kết quan trọng không gian LF không gian phép nhúng, với tiêu chuẩn để nhận biết nhóm tơpơ đ ng phôi với tập mở không gian LF khơng mêtric hóa, tách l2 Chương 3: Nhóm vi phơi đa tạp khơng compact: Trình bày số mệnh đề v định nghĩa nhóm vi phơi đa tạp khơng compact số kết quan trọng nhóm c (M ) 36 Whitney Vì tổng qt hóa ngăn cản tìm hiểu chất mục đích đây, chứng minh tự bao hàm ngắn b n chi tiết trường hợp G c (M ) Cho K tập M ặt GK c (M , K ) Khi đó, Gi ặt Fi GK M2i i G (K ) intM N i , N i Khi đó: Int M2i Li đa tạp intM M 2i (Fi )i M2i \ M 2i Ni (Li )i , i M F L GL Int M2i , (i n ) chiều compact M cho Nj họ rời rạc đa tạp (N i )i chiều compact M Cho F n K) G(Mi ) Có t n dãy (Ni )i Li c (M , M Fi , L Li , N i i N i Ta có G (F ) ầu tiên xét ánh xạ: : xác định Ánh xạ i G(Fi ) (h0, h1, , hm , idM , ) G(F ) h0h1h2 hm ánh xạ nhúng mở Trong thực tế, : i G(Fi ) ((hi )i (Fi )i rời rạc, ánh xạ (M ; M F ) xác định bởi: ) id M \F ((hi )i Theo định nghĩa tôpô Whitney C ) Fj , ta có có mở rộng tự nhiên hj Fj với j ánh xạ nhúng mở 37 (G(F )) Vì : xạ i G(Fi ) , nên ánh xạ i l ánh xạ nhúng mở Ánh G(N ) định nghĩa tương tự G(N i ) Tiếp theo xét ánh xạ: : xác định ((gi )i , h) ối với m i i lân cận mở cho si ( f ) i ((gi )i G(N i ) G(F ) G ) h , có thiết diện địa phương idM , áp dụng định lý cho C i f với m i f Các ánh xạ si , i si (iL ) i Int Ni , ta t m ánh xạ si : i si : i (si (fi ))i Xét ánh xạ r : G idM i i i i G (N i ) (Ki , M ) cho r (g ) (g ) Li i Tính liên tục ánh xạ dựa v o định nghĩa tôpô Whitney C nghịch đảo r ( i i) sr : GL Ảnh lân cận mở idM G ta có ánh xạ hợp thành: Chú ý: (g ) 1g G (N i ) , xác định ánh xạ: s ) i M Ki (K i , M ) bao hàm thức iL Li cho s((fi )i i G (F ) với m i g G(N ) , 38 (g ) s (g (si (g ) Li i Li ))i : G(N i ) G(F ) cho i Trong thực tế, với g Li g ) Li Li (s r (g ), (g ) 1g ) (g ) , (s r (g ), (g ) 1g ) (g ) si (g Li idM xác định bởi: Thiết diện địa phương muốn có (g ) s r (g ) (g ) 1g (g ) (g ) 1g g Xét ánh xạ: (id cho ((gi )i Vì mở ,(hi )i ): ((gi )i ) G(N i ) i ) ((hi )i ) ánh xạ nhúng mở, ảnh (idM ) ((idM )i , idM ) Do đó, thay (id Với m i h G(N i ) ) ảnh (h ) G(M 2i b) gi fj fj gi với j c) h = (h ) = ((fi )i i 1) i : ((fi )i Fi ) G(Fi ) G G (N i ) Im lân cận G (N i ) GL nhỏ hơn, 0( ) xác định bởi: gi ,(gi )i i lân cận thiết diện địa phương a) fi i i ,(gi )i G(N i ) i G(Fi ) ) có tính chất sau: G(Fi ) G(M2i Nj 1) G(M2i 2) với m i i 39 = ((fi )i ) ((gi )i ) = ( f0 f1f2 )(g 0g1g2 ) = f0g f1g1f2g2 d) (idM , f0, g 0, f1, g1, f2, g2, ) G (M i ) h i p(idM , f0, g 0, f1, g1, f2, g2, ) Cuối thiết diện địa phương idM ánh xạ p : nghĩa : i Gi cho (h ) i G định Gi (idM , f0, g 0, f1, g1, f2, g2, ) Ta hoàn thành chứng minh Ta ký hiệu H H i , i i , thành phần li n thông đơn vị G Gi , , tương ứng Khi ta có mệnh đề sau: 3.1.2 Mệnh đề i) H nhóm mở G dãy (Hi )i tạo thành dãy nhóm đóng H ii) Dãy (Hi )i có tính chất (1) - (4) liệt kê mệnh đề với nhóm H Chứng minh i) Vì H i nhóm li n thơng đóng G H i hợp H ' i Hi với m i i , H i nhóm liên thơng G Vì H i mở Gi với m i i , mệnh đề (4) nhóm H ' mở (v đóng) G v H H ' 40 ii) Các tính chất (1) - (4) mệnh đề kiểm tra sau: (1) Vì G paracompact v khơng m tric hóa được, nên không gian H (2) i) Vì Gi đa tạp l2 , nên H i nhóm mở ii), iii) Chúng ta áp dụng hệ (3) (ii) cho Ki Gi Hi l tôpô bù địa phương H i 1 H i Ki để kết luận / (Gi Hi 1) Ki (Ki , M )0 đa tạp l2 định lý Hi Vì (Gi Hi Gi Hi Hi nhóm mở Gi 1) / H i Hi , không gian thương không gian rời rạc v H i l tơpơ bù địa phương Do từ bổ đề (2) ta suy H i l tôpô bù địa phương Bổ đề (3) phép chiếu H i / Hi địa phương với phân thớ rời rạc (Gi Vì Hi l2 Vì H i 1 / (Gi Hi 1) Hi Hi / (Gi 1) / H i Hi 1) bó tầm thường đa tạp l2 , H i / H i l đ ng phôi địa phương với / H i l m tric hóa bổ đề (1), kết luận H i / Hi l đa tạp l2 (3), (4) Vì m i H i nhóm mở Gi , hộp nhỏ cận mở (idM )i i i Gi Vì thiết diện địa phương p: i Gi G idM với p: i Hi H (idM ) (idM )i H i lân ánh xạ hạn chế ánh xạ nhân trái 41 3.1.3 Định nghĩa Với cặp không gian (X , A) (Y , B ) , ta ký hiệu [X , A;Y , B ] tập hợp lớp đ ng luân [g ] ánh xạ cặp không gian g : (X , A) ánh xạ cặp không gian f : (Y , B ) f# : [X, A;Y , B ] (Y , B ) Bất kỳ (Z ,C ) cảm sinh hàm số: [X, A;Z,C] , f# : [g ] [ fg ] Giả sử L không gian compact K tập hợp đóng L Các ánh xạ bao hàm H i Hi H i H (i ) cảm sinh hàm hợp tập hợp điểm: Lấy giới hạn trực tiếp, ta có hàm tập hợp điểm : lim[L, K ; Hi , idM ] [L, K ; H , idM ] Vì tập compact H bao hàm số H i , ta có kết luận sau 3.1.4 Bổ đề Với cặp không gian compact (L, K ) bao hàm thức cảm sinh hàm số: : lim[L, K ; Hi , idM ] song ánh [L, K ; H , idM ] 42 3.1.5 Định nghĩa Cho m { } , ánh xạ f : X Y không gian liên thông đường gọi m - tương đương với số điểm sở x X , đ ng cấu cảm sinh tr n nhóm đ ng luân thứ k f# : đẳng cấu với k Một k (X, x ) k (Y , f (x )) m toàn cấu cho k m - tương đương gọi l tương đương yếu Nếu X Y có loại đ ng luân CW - phức, m i tương đương yếu l tương đương đ ng luân Lưu ý nhóm H H i ( i ) l li n thơng đường có loại đ ng luân CW - phức 3.1.6 Hệ Cho m { } Nếu m i bao hàm thức H i bao hàm thức H co r t v H Hi m- tương đương, H Ví dụ, m i H i l co r t được, H l2 3.2 Các kết quan trọng Áp dụng điều tr n ta có kết luận quan trọng sau v o nhóm c (M ) 3.2.1 Định lý Với đa tạp M trơn n chiều khơng có biên compact, nhóm c (M ) compact không l đ ng phôi với không gian mở l2 43 Chứng minh c (M ) Áp dụng mệnh đề 1, ta có , dãy Gi mạnh với dãy (Gi )i ng thời, với m i i Gi Gi 1 (M ; Ki ) , i ta có Gi đa tạp l2 , Gi l tôpô bù địa phương / Gi đa tạp l2 Do đó, theo định lý , l2 khơng m tric hóa trang bị tôpô c (M ) l đ ng phôi với không gian mở Trong [15] K Mine v K Sakai chứng minh định lý tam giác cho tập (định lý 3): tập mở U l2 mở l2 l đ ng phôi với với N l đa tạp l2 mà loại tôpô xác định loại đ ng N luân U Kết hợp kết với định lý 8, ta có hệ sau: 3.2.2 Hệ Nhóm (M ) l đ ng phôi với N xác định kiểu đ ng luân ặc biệt, (M ) (M ) l đ ng phôi với N N l đa tạp l2 m tôpô (M ) l tương đương đ ng luân với N đa tạp l2 , Trong số trường hợp cụ thể phát loại đ ng luân tôpô (M ) Dưới l biểu tượng biểu thị tương đương tôpô 44 3.2.3 Hệ Cho M đa tạp trơn n chiều liên thơng khơng compact, khơng có biên i) n Nếu ii) Nếu n (M ) , (M ) l2 v đa tạp M l định hướng bất khả quy, l2 iii) Nếu M vi phơi với phần N\ N đa tạp N trơn thơng compact có biên N , ặc biệt, (M ) l2 (N ; Trong hệ nhóm vi phơi (M ) (N ; (N ; N) n chiều liên N ) l co r t N ) viết tắt thành phần li n thông đơn vị (N ; N ) N mà không l m thay đổi điểm biên Bởi tính compact đa tạp N , tơpơ whitney C hóa trùng với tơpơ compact mở C N (N ; N ) mêtric Chứng minh Chúng ta có ký hiệu M i , Ki H (M ) M \ Int Mi , H i (M , K i ) , thông m i thành phần liên thông Ki Ánh xạ hạn chế H i Theo [12], [13] ta có (M i ; (M i ; Mi ) : h , M i liên M \ Int Mi không compact h Mi tương đương đ ng luân M i ) co r t nên H i l co r t Theo hệ 3, H i l co r t nên H l co r t Do đó, H (M ) , i), ii) Vì M liên thơng, ta giả sử m i i hay i l đ ng phôi với l2 l2 45 , M i cầu chiều, Trong trường hợp n (M i ; M i ) co r t đoán Smale [9] Nếu M i cầu chiều, cách giả định, M i đa tạp Haken chiều có bi n định hướng [10], [16] iii) Cho N [0,1] N ặt Mi N \( N Ki {0} N N [0, / (i M \ Int Mi i))) N (0, / (i ầu tiên thấy hàm thức H i m ii Không gian M với f xạ nhúng f : Ki ặc biệt, r : Hi Ki 1 Ki Ki Ki 1 1)] với i Hi l tương đương đ ng luân với (Ki , M ) l co r t không gian ánh Ki (Ki , M ) Ki idK i C (Ki , M )0 hệ (2) (ii) ánh xạ hạn chế (K i , M ) bó phân thớ với thớ H i Gi V không gian sở (Ki , M ) l co r t paracompact, bó tầm thường t n phân thớ bảo to n phép đ ng phơi : Hi Vì H i 1 Ki liên thơng, ta có H i (Ki , M ) (H i Hi 1 Gi Vì Gi ) phân thớ bảo tồn, ta có phép đ ng phơi cặp : (H i 1, H i ) Ki (Ki , M ),{ik } i Hi 46 Vì Ki (Ki , M ) l co r t được, bao hàm thức {ik } H i tương đương đ ng luân v bao h m thức H i Từ hệ , H đa tạp l2 , H Ki i H1 (N ; (M1, N) M1 ) (N ; hệ Hi 1 (Ki , M ) H i N ) Vì cuối 47 KẾT LUẬN Trong luận văn, tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu cấu trúc tơpơ nhóm vi phơi đa tạp không compact với tôpô Whitney, dựa vào kết nghiên cứu tác giả T Banakh, K Mine, D Repovs, K Sakai T Yagasaki Chương 1, ch ng dành cho việc nhắc lại số kiến thức cần thiết dùng luận văn Chương dành cho việc trình bày số khái niệm kết quan trọng không gian LF không gian phép nhúng, với tiêu chuẩn để nhận biết nhóm tơpơ đ ng phơi với tập mở không gian LF không mêtric hóa, tách l2 Trong chương 3, luận văn tiếp tục trình bày số mệnh đề v định nghĩa nhóm vi phơi đa tạp khơng compact Tr n sở đó, ch ng ta có kết quan trọng sau: Giả sử M đa tạp n chiều không compact, bi n Khi ta ký hiệu vi phơi M với tơpơ Whitney, (M ) nhóm vi phơi M có giá compact thành phần li n thông đơn vị c (M ) l2 c (M ) (M ) Khi đó, nhóm (M ) (M ) , nhóm mở nhóm c (M ) l đ ng phôi với không gian mở l đ ng phơi với N N đa tạp l2 mà loại tôpô xác định loại đ ng luân phôi với l2 quy (M ) nhóm n 1,2 n (M ) Ví dụ, (M ) l đ ng M l định hướng bất khả h ng ta nhận thấy đa tạp N liên thông compact n chiều với biên khác r ng N nhóm (N \ N ) l đ ng phôi với (N ; N) , 48 (N ; N ) thành phần liên thơng đơn vị nhóm vi phôi (N ; N ) N mà không l m thay đổi điểm biên Trên thực tế, việc nghiên cứu nhóm vi phơi toán thu h t quan tâm nhiều nhà tốn học có nhiều hướng mở rộng Vì thời gian hồn thành luận văn v kiến thức cịn hạn chế nên việc tìm hiểu nhóm vi phơi đa tạp không compact dừng lại nội dung nói Chúng tơi tiếp tục nghiên cứu đề t i n y để tìm hiểu sâu vấn đề liên quan 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO T Banakh, T Yagasaki (2015), “Diffeomorphism groups of non-compact manifolds endowed with the Whitney C topology”, Topology and its Applications, (179), 51-61 T Banakh, K Mine, K Sakai, T agasaki (2014), “On homeomorphism groups of non-compact surfaces, endowed with the Whitney topology”, Topology and its Applications, (164), 170-181 T Banakh, K Mine, D Repovs, K Sakai, T Yagasaki (2013), “Detecting topological groups which are (locally) homeomorphic to LF-spaces”, Topology and its Applications, (160), 2272-2284 T Banakh, K Mine, K Sakai, T Yagasaki (2011), “Homeomorphism and diffeomorphism groups of non-compact manifolds with the Whitney topology”, Topology Proceedings, (37), 61-93 T Banakh, D Repovs (2012), “ topological characterization of LF-spaces”, Topology and its Applications, (159), 1475–1488 T Banakh, D Repovs (2012), “Direct limit topologies in the categories of topological groups and of uniform spaces”, Tohoku Math Journal, (64), 1– 24 T Banakh, D Repovs (2010), “The topological structure of direct limits in the category of uniform spaces”, Topology and its Applications, (157), 10911100 50 T Dobrowolski, H.Torúnczyk (1981), “Separable complete ANRs admitting a group structure are Hilbert manifolds”, Topology and its Applications, (12), 229–235 Hatcher (1983), “ proof of the Smale conjecture, Diff (S3 ) O(4) ”, Annals of Mathematics, (117), 553–607 10 J Hempel (1976), “3-Manifolds”, Annals of Mathematics Studies, (86) 11 S Illman (2003), “The very-strong C topology on C (M , N ) and K- equivariant maps”, Osaka Journal of Mathematics, (40), 409–428 12 N V Ivanov (1979), “Diffeomorphism groups of Waldhausen manifolds”, Journal of Soviet mathematics, (12), 115–118 13 N V Ivanov (1980), “Spaces of surfaces in Waldhausen manifolds”, Preprint LOMI, 5-80 (in Russian) 14 J A Leslie (1967), “On a differential structure for the group of diffeomorphisms”, Topology (6), 263–271 15 K Mine, K Sakai (2008), “Open subsets of LF-spaces”, Bulletin of the Polish Academy of Sciences Mathematics, (56), 25–37 16 F Waldhausen (1968), “On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large”, Annals of Mathematics, (87), 56–88 ... với phần trong) đa tạp chiều với biên Biên vịng trịn, đa tạp chiều  Một bóng (hình cầu cộng với phần trong) đa tạp chiều với 14 biên Biên mặt cầu, đa tạp chiều 1.10.6 Đa tạp Hilbert Một đa tạp. .. Một đa tạp gọi l bất khả quy l hợp tập đóng thực (nghĩa l khơng t n tập đóng) 1.10.5 Đa tạp có biên Một đa tạp với biên l đa tạp với đường bi n (cạnh) Ví dụ:  Biên đa tạp  n chiều với biên đa tạp. .. n cứu nhóm vi phơi Trong luận văn n y, ch ng nghiên cứu cấu trúc tơpơ nhóm vi phơi đa tạp không compact với tôpô Whitney Cho M đa tạp n chiều khơng compact, khơng có bi n Khi ta ký hiệu Whitney,