Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)

Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN Mã số: ĐH2014-TN04-01 Xác nhận quan chủ trì (Ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài: (ký, họ tên) PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN, 05/2017 i DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI TT Đơn vị công tác Họ tên Trách nhiệm Phạm Hiến Bằng Trường ĐHSP-ĐHTN Chủ nhiệm đề tài Nguyễn Quang Diệu Trường ĐHSP Hà Nội Thực Phạm Tuyết Mai Trường ĐHSP-ĐHTN Thực Phạm Thị Thủy Trường ĐHSP-ĐHTN Thực ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU Tên đơn vị ngồi nƣớc Khoa Tốn Trường Đại học sư phạm Hà Nội Họ tên ngƣời Nội dung phối hợp nghiên cứu đại diện đơn vị Cung cấp tài liệu, tham gia số chuyên đề số nội dung nghiên cứu GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu ii MỤC LỤC DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI i ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU i THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU iii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS v MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nội dung nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu CHƢƠNG I TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL 1.1 Hàm m - điều hòa dƣới 1.2 Các lớp kiểu Cegrell 1.3 Tính hàm m - điều hịa dƣới 1.4 Một vài áp dụng Kết luận chƣơng CHƢƠNG II ĐỒ THỊ ĐA CỰC ĐẦY TRONG £ N 2.1 Giới thiệu 2.2 Đồ thị hàm liên tục hàm chỉnh hình 2.3 Bao đa cực đồ thị Kết luận chƣơng CHƢƠNG III SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM CHỈNH HÌNH VÀ DÃY HÀM HỮU TỶ 3.1 Giới thiệu 3.2 Một vài kiến thức sở lý thuyết đa vị 10 3.3 Sự hội tụ dãy hàm chỉnh hình dãy hàm hữu tỷ 10 3.4 Xây dựng chi tiết hội tụ nhanh 12 Kết luận chƣơng 13 KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 14 iii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: -Tên đề tài: Một số ứng dụng lý thuyết đa vị giải tích phức nhiều biến - Mã số: ĐH2014-TN04-01 - Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Phạm Hiến Bằng Tổ chức chủ trì: Trường Đại học sư phạm- ĐHTN Thời gian thực hiện: 24 tháng Mục tiêu: Mục tiêu đề tài nghiên cứu tính hàm m - điều hòa lớp Cegrell Vấn đề xây dựng hàm xác định tập cho cho đồ thị chúng đa cực đầy Cuối nghiên cứu độ đo Monge-Ampere logarithmic mođun dãy đa thức hội tụ nhanh hàm chỉnh hình Tính sáng tạo: Có số kết báo khoa học xuất tạp chí quốc tế danh mục SCI SCIE Kết nghiên cứu: - Thu kết điều kiện đủ tính hàm m - điều hịa lớp Cegrell - Thu kết xây dựng hàm xác định tập cho cho đồ thị chúng đa cực đầy - Thu kết điều kiện đủ để đảm bảo hội tụ dãy hàm chỉnh hình dãy hàm hữu tỷ Sản phẩm: 5.1 Sản phẩm khoa học (bài báo khoa học): 5.1.1 Dieu N.Q., Bang P.H., Hong N.X (2014), “Uniqueness properties of functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1, pp 669-683 (SCI) m-subharmonic 5.1.2 Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £ ”, Anal Polon Math 112.1, pp 85-100 (SCIE) 5.1.3 Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem without uniform boundedness”, Publ Math 60, pp 311-334 (SCIE) N 5.2 Sản phẩm đào tạo: 5.2.1 Nguyễn Thị Hải Hiền (2015), Approximation of plurisubharmonic functions in the weighted energy class, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.2 Trần Thị Thanh Hương (2015), Weighted pluricomplex energy, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm-Đại học Thái Nguyên 5.2.3 Trần Thị Mai Phương (2015), The complex Monge-Ampe’re operator and the Dirichlet problem in class F , Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên iv 5.2.4 Tạ Quang Sỹ (2015), Monge-Ampe’re measures on pluripola set and complex MongeAmpe’re equation, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.5 Phùng Thị Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.6 Dương Huyền Nhung (2016), Convergence in capacity, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.7 Ngạc Ngọc Khôi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic functions, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.8 Hoàng Thị Hải Yến (2016), A Dirichlet problem for complex Monge-Ampe’re operator in F ( f ) , Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên 5.2.9 Nguyễn Thị Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in hyperconvex domains, đề tài NCKH sinh viên trường Đại học sư phạm 5.2.10 Nguyễn Thị Lan (2016), Miền xác định toán tử Monge-Ampere phức, khóa luận tốt nghiệp sinh viên trường Đại học sư phạm Phƣơng thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu Kết đề tài phục vụ cho công tác đào tạo cử nhân, cao học nghiên cứu sinh ngành Tốn giải tích khoa Tốn học, trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2017 Tổ chức chủ trì (ký, họ tên đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) PGS.TS Phạm Hiến Bằng v INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: - Project title: Some applications of plurisubharmonic theory to complex analysis in several variables - Code number: ĐH2014-04-01 - Coordinator: Associate Professor Pham Hien Bang - Implementing Institution: Thai Nguyen University of Education - Cooperating Institution: Ha Noi National University of Education, Associate professor-doctor of science Nguyen Quang Dieu - Duration: 24 months Objective(s): - Research uniqueness properties of m - subharmonic functions in Cegrell classes - Construct functions defined on a given set such that their graphs are complete pluripolar - Research the convergence of sequence of holomorphic and rational functions Creativeness and innovativeness: There are some new results in three scientific articles published in the national journal of science, where one paper belongs to the SCI and two papers belongs to the SCIE list Research results: - Obtained sufficient conditions for unicity of m - subharmonic functions in Cegrell classes - Obtained result on construct functions defined on a given set such that their graphs are complete pluripolar - Obtained result on the convergence of sequence of holomorphic and rational functions Products: 5.1 Scientific products: 5.1.1 Dieu N.Q., Bang P.H., Hong X.X (2014), “Uniqueness properties of functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1, pp 669-683 (SCI) m-subharmonic 5.1.2 Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £ ”, Anal Polon Math 112.1, pp 85-100 (SCIE) 5.1.3 Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem without uniform boundedness”, Publ Math 60, pp 311-334 (SCIE) N 5.2 Training products: 5.2.1 Nguyen Thi Hai Hien (2015), Approximation of plurisubharmonic functions in the weighted energy class, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.2 Tran Thi Thanh Huong (2015), Weighted pluricomplex energy, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.3 Tran Thi Mai Phuong (2015), The complex Monge-Ampe’re operator and the Dirichlet vi problem in class F , Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.4 Ta Quang Sy (2015), Monge-Ampe’re measures on pluripola set and complex MongeAmpe’re equation, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.5 Phung Thi Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.6 Duong Huyen Nhung (2016), Convergence in capacity, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.7 Ngac Ngoc Khoi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic functions, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.8 Hoang Thi Hai Yen (2016), A Dirichlet problem for complex Monge-Ampe’re operator in F ( f ) , Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University 5.2.9 Nguyen Thi Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in hyperconvex domains, Scientific resrarch project of the of students of Thai Nguyen University of Education 5.2.10 Nguyen Thi Lan (2016), The domain of definition of the complex Monge-Ampe’re operator, Graduation thesis of students of Thai Nguyen University of Education Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results The results of the research used in training bachelors, postgraduate at the Department of Mathematics, College of Education, Thai Nguyen university 1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Khởi nguồn từ cơng trình ngun thủy Bedford Taylor vào đầu năm 80 kỷ trước, tốn tử Monge-Ampere khơng gian Euclid phức n chiều £ xem mở rộng tự nhiên toán tử Laplace cổ điển xác định mặt phẳng phức Mối liên hệ cho áp dụng toán tử Monge-Ampere vào tốn xấp xỉ hàm chỉnh n hình hàm đa điều hòa tập mở bị chặn £ Do đặc thù toán tử MongeAmpere khơng thể tính tốn tường minh hàm đa điều hịa khơng trơn tới cấp hai, nên tốn xấp xỉ hàm đa điều hịa tổng quát u dãy hàm đa điều hịa n trơn u j đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu toán Dirichlet miền siêu lồi bị chặn Có thể kể đến định lý Fornaess-Wiegerinck (“Approximation of plurisubharmonic functions”, Arkiv for Mat 1989) nói xấp xỉ xảy với hàm đa điều hòa miền bị chặn D liên tục tới tận biên Sau F Wikstrom, Nguyễn Quang Diệu nghiên cứu biến dạng định lý Fornaess-Wiegerinck hàm đa điều hòa bị chăn miền siêu lồi Đặc biệt báo “Approximation of plurisubharmonic functions on bounded domains in £ ”, Michigan Math J 2006, Nguyễn Quang Diệu lần xét thêm tính hội tụ yếu dãy độ n đo Monge-Ampere (ddcu j )n Các kết có ứng dụng vào việc nghiên cứu toán Dirichlet toán tử Monge-Ampere giá trị biên hàm khả tích Lebesgue tùy ý Đây toán quan trọng giải tích phức nhiều biến nhiều người quan tâm Một vấn đề liên quan Gonchar nghiên cứu vào cuối năm 70 kỷ trước xấp xỉ nhanh hàm chỉnh hình dãy đa thức hay hàm hữu tỷ Điều đáng ý mối liên hệ hội tụ dãy độ đo Monge-Ampere dãy hàm đa thức hay hàm hữu tỷ chưa đề cập đến Những điều phản ánh tính cấp thiết việc nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vị phức giải tích phức nhiều biến Việc giải thành cơng dù vấn đề đóng góp đáng kể vào phát triển lý thuyết hàm biến phức Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu tính hàm m - điều hòa lớp Cegrell Tìm đặc trưng hàm điều hòa xa hàm m - điều hòa cho độ đo hàm xấp xỉ độ đo Monge-Ampere dãy hàm điều hòa trơn Vấn đề xây dựng hàm xác định tập cho cho đồ thị chúng đa cực đầy Cuối nghiên cứu độ đo Monge-Ampere logarithmic mođun dãy đa thức hội tụ nhanh mơt hàm chỉnh hình Nội dung nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu ứng dụng toán tử Monge-Ampere lý thuyết đa vị vào nghiên cứu số toán giải tích phức nhiều biến Cụ thể hơn, chúng tơi nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tính hàm m - điều hòa lớp Cegrell Xem xét mở rộng kết biết (tính hội tụ, tựa liên tục,…) tốn tử Monge-Ampere lớp hàm đa điều hòa cho lớp hàm m - điều hòa Xây dựng hàm xác định tập cho cho đồ thị chúng đa cực đầy Nghiên cứu tính xấp xỉ hàm đa điều hịa (tương ứng hàm chỉnh hình) hàm đa điều hịa trơn (tương ứng đa thức hàm hữu tỷ) Đặc biệt ý tới hội tụ dãy độ đo Monge-Ampere - Đề tài nghiên cứu phương pháp lý thuyết đa vị phức (cách xây dựng độ đo Monge-Ampere miền không bị chặn xấp xỉ hàm điều hịa mơ đun dãy hàm chỉnh hình thích hợp, …) CHƢƠNG I TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HỊA DƢỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL 1.1 Hàm m - điều hòa dƣới Định nghĩa 1.1.1 Cho W miền C n , u hàm điều hòa xỏc inh trờn W, u Ơ v m l số nguyên: £ m £ n Ta nói rằng: u hàm m - điều hòa với ˆ , bất đẳng thức h , , h G dd cu Ù h Ù h Ù wn - m ³ xảy theo nghĩa m- 1 m ˆ = h Ỵ C : h Ùw dịng, G m (1,1) { n- m m- ³ 0, , h Ù w m n- m } ³ , w = dd c | z |2 dạng Kahler C n C (1,1) không gian (1, 1) - dạng với hệ số Ký hiệu SH m (W) tập hợp hàm m - điều hòa W, SH m- (W) tập hợp hàm m - điều hòa âm W Mục đích chương đưa điều kiện đủ cho tính hàm m - điều hòa Kết theo hướng Định lý Bloom Levenbeng tính việc mở rộng hàm đa điều hòa cực đại Định lý 1.1.1 (Định lý 2.4 [7]) Giả sử K Ð C n tập compact lồi đa thức W miền bị chặn chứa K u, v hàm đa điều hòa bị chặn W, thỏa mãn u £ v W u = v lân cận liên thơng ¶ W , v liên tục thỏa mãn (dd v ) = W\ K Khi c n u = v W\ K Định lý 1.1.2 [20] Giả sử W miền siêu lồi bị chặn C n K Ð W tập lồi chỉnh hình compact W u1, u hàm đa điều hòa âm cho điều kiện sau xảy ra: a ) lim u1(z ) = lim u (z ) = 0; zđ ảW zđ ảW b) (dd cu1 )n £ (dd cu )n W\ K ò (dd u ) c n < ¥; K c ) u1 < u W\ K ; d) ò (dd u ) c n K £ ò (dd u ) c n K Khi u1 = u W\ K Mệnh đề 1.1.3 Cho W tập mở C n Khi ta có: a ) PSH (W) = SH n (W) Ð SH n - 1(W) Ð Ð SH 1(W) = SH (W) ˆ b) Nếu u là hàm C - trơn m - điều hòa dạng dd cu thuộc G m theo điểm c ) Nếu u, v Ỵ SH m (W) a , b > a u + b v Ỵ SH m (W) d ) Nếu u, v Ỵ SH m (W) max(u, v) Ỵ SH m (W) e ) Cho {u a } A (sup A họ hàm m - điều hịa W, bị chặn địa phương Khi * u a )* Ỵ SH m (W) Ở u * qui hóa u , tức u (z ) = lim u ( x) xđ z Ơ f ) Nu {u j } dãy giảm hàm m - điều hòa di thỡ u = lim j đ + Ơ u j hàm m - j=1 điều hòa g) Cho p ³ hàm bán kính trơn C n , triệt tiêu bên ngồi hình cầu đơn vị thỏa mãn ò Cn pdV n = dV n độ đo Lebesgue C n Với u e (z ) = (u * r e )(z ) = ị u Ỵ SH m (W) , đặt u (z - x)r edV n ( x), " z Ỵ We , B (0, e ) r e (z ) = e 2n { } r (z / e ) We = z ẻ W: d (z , ả W) > e Khi u e Ỵ SH m (We ) ầ C Ơ (We ) v u e u e ¯ Định nghĩa 1.1.4 Giả sử u1, , u p ẻ SH m (W) ầ LƠloc (W) Khi tốn tử Hessian phức H m (u1, , u p ) định nghĩa qui nạp ( ) dd cu p Ù Ù dd cu1 Ù wn - m = dd c u pdd cu p- Ù Ù dd cu1 Ù wn - m Ơ Núi riờng, nu u ẻ SH m (W) Ç Lloc (W) độ đo Borel (dd cu )m Ù wn - m xác định tốt gọi m - Hessian phứccủa u 1.2 Các lớp kiểu Cegrell Định nghĩa 1.2.1 Một miền W bị chặn C n gọi m - siêu lồi tồn hàm vét cạn, m - điều hòa liên tục âm r W, tức {r < c }Ð W với c < Định nghĩa 1.2.2 Cho m số nguyên £ m £ n Ta đặt, ïì ïü Em0 (W) = ïí u Ỵ SH m- (W) ầ LƠ (W) : lim u (z ) = 0, ò (dd cu )m Ù wn - m < Ơ ùý, zđ ảW ùù ùù W ợ ỵ ìï ü ï F m (W) = ïí u Ỵ SH m- (W) : $ Em0 (W) ' u j ] u, sup ò (dd cu )m Ù wn - m < Ơ ùý, ùù ùù j W ợ ỵ { Em (W) = u Ỵ SH m- (W) : " G Ð W$ , uG Ỵ Fm (W), u = uG G Mệnh đề 1.2.3 Giả sử u, v, j 1, , j m- Ỵ Fm (W) Khi ị udd v ÙT c W T = dd cj Ù dd cj } = ò vdd u ÙT c , W m- Ù wn - m Ở hai vế - ¥ Mệnh đề 1.2.4 a ) Nếu u, v Ỵ F m (W) j Î SH m- (W) cho u £ v thời điểm ò j (dd u ) c m Ù wn - m £ W ò j (dd v) c m Ù wn - m W b) Nếu u Ỵ F m (W) {u j } Ð F m (W) cho u j ] u j Z ¥ lim ị j dd cu j ( jđ Ơ m ) wn - m = W m ò j (dd u ) c Ù wn - m với j Ỵ Em (W) W c ) Nếu {u j } Ð F m (W) cho u j ] u j Z ¥ lim inf ò j dd c u j ( jđ Ơ m ) vi j ẻ SH m- (W) đó, u Ỵ Em (W) Hơn nữa, Ù wn - m > - ¥ W sup W j < u Ỵ F m (W) Bổ đề 1.2.5 Giả sử u, w1, , wm - Ỵ Fm (W) cho v Ỵ SH - (W) Ç C (W) Đặt T = dd c w1 Ù dd c wm - Ù wn - m Khi ị dd c u ÙT ³ {u < v } ò dd c v ÙT {u < v } Mệnh đề 1.2.6 Cho u Î Em (W) Giả sử v Î SH m (W) ầ LƠ (W) v {u j } é Em (W) ầ LƠ (W) , u j ] u j Z ¥ Khi v(dd cu j )m Ù wn - m ® v(dd cu )m Ù wn - m yếu Mệnh đề 1.2.7 Cho WÐ C n miền - siêu lồi Khi E1(W) = SH - (W) Bổ đề 1.2.8 Cho WÐ £ n , u ẻ SH (W) ầ LƠ (W) v v Ỵ SH (W) Khi lim udd cva Ù wn - = udd cv Ù wn - , va = m ax(v, a ) ađ - Ơ B 1.2.9 Cho u ẻ SH m (W) Ç C (W) Khi với tập mở G Ð W, tồn y G Ỵ Em0 (W) cho u - y G = const G 1.3 Tính hàm m - điều hòa dƣới Bổ để 1.3.1 Cho WÐ D miền bị chặn £ n K Ð D tập lồi phân hình, compact D Giả sử u, v Ỵ SH (W) cho dd c log | f | Ùwn - = trờn Wầ {u v} vi mi hàm chỉnh hình f D với Ï f (K ) Khi u = v W\ K Định lý 1.3.2 Cho W miền m – siêu lồi bị chặn £ n K Ð W tập lồi phân hình compact W Giả sử u, v Ỵ Fm (W) thỏa mãn: a ) ò j (dd cu )m Ù wn - m ³ W ò j (dd v) c m Ù wn - m với j Ỵ Em0 (W) đa điều hòa lân cận W mở K W b) u £ v W\ K Khi u = v W\ K Định lý 1.3.3 Cho D miền bị chặn £ n K tập lồi chỉnh hình compact D Giả sử WÐ D miền m - siêu lồi u, v Ỵ Em (W) cho: a ) u = v lân cận mở (¶ W) \ K b) (dd cu )m Ù wn - m ³ (dd cv )m Ù wn - m W\ K c) u £ u W\ K Khi u = v W\ K 1.4 Một vài áp dụng Mệnh đề 1.4.1 Cho W miền m - siêu lồi bị chặn £ n K Ð W tập compact lồi phân hình Cho u, {u j }j ³ hàm thuộc F m (W) thỏa mãn điều kiện sau: (a ) {u j }j ³ không hội tụ đến - ¥ tập compact W\ K (b) u j £ u W\ K với j ³ c m n- m = (c ) lim ò j (dd u j ) Ù w jđ Ơ W ũ j (dd u ) w c n- m với j Ỵ Em0 (W) đa điều hòa W lân cận mở K W m (d ) sup ò (dd c u j ) Ù wn - m < ¥ j³ W Khi u j ® u L1loc (W\ K ) Mệnh đề 1.4.2 Cho W miền siêu lồi bị chặn £ n K tập lồi đa thức compact £ n Giả sử {u j }j ³ dãy F m (W) thỏa mãn điều kiện sau: c m n- m > - ¥ (a ) Tồn j Ỵ SH m- (W) cho lim inf ò j (dd u j ) Ù w jđ Ơ W (b) Tn ti u ẻ SH m- (W) ầ LƠloc (W\ K ) cho lim sup u j (z ) £ u(z ), " z Ỵ W/ K jđ Ơ v (dd cu )m wn - m = W\ K (c ) u j ® u L1loc (U ) j ® ¥ , U lân cận mở ca ả (W\ K ) Khi ú u j đ u L1loc (W\ K ) j đ Ơ Kết luận chƣơng - Trong chương chúng tơi tổng qt hóa kết Bloom Levenbeng tính việc mở rộng hàm đa điều hòa cực đại [7] kết Duval Sibony tính việc mở rộng hàm đa điều hòa [17] lớp hàm m - điều hòa Các kết đạt Định lý 1.3.2 Định lý 1.3.3 - Áp dụng kết tính điều kiện đủ hội tụ yếu dãy hàm m - điều hòa Các kết đạt Định lý 1.4.1 Định lý 1.4.2 6 CHƢƠNG II ĐỒ THỊ ĐA CỰC ĐẦY TRONG £ N 2.1 Giới thiệu Trước tiên nhắc lại vài khái niệm lý thuyết đa vị dẫn đến khái niệm bao đa cực đầy Định nghĩa 2.1.1 Một hm u na liờn tc trờn, u - Ơ , xác định miền D Ð £ N gọi đa điều hòa với dòng phức l , hạn chế u lên thành phần liên thơng D Ç l hàm điều hòa đồng - ¥ Ký hiệu PSH (D ) nón hàm đa điều hòa D Định nghĩa 2.1.2 Tập D Ð £ N gọi tập đa cực với z Ỵ D , tồn lân cận mở U z0 hàm u Ỵ PSH (U ) , u khơng đồng nht - Ơ cho D ầU é {z ẻ U : u(z ) = - ¥ } Định nghĩa 2.1.3.[29] Cho tập đa cực E D , bao đa cực E D xác định nghĩa E D* = {z Ỵ D : " u Ỵ PSH (D ), u |E - Ơ ị u(z ) = - Ơ } Chương tập trung vào việc xây dựng hàm xác định tập cho cho đồ thị chúng đa cực đầy Với tập X £ N hàm f xác định X , đồ thị f X xác định Gf (X ) = {( z , f (z )) : z Ỵ X } 2.2 Đồ thị hàm liên tục hàm chỉnh hình Kết mục tổng quát kết Edlund [20] Levenberg Định lý 2.2.1 Cho F1, , Fn tập đóng khác rỗng £ F = F1 ´ ´ Fn Khi tồn hàm g liên tục F chỉnh hình phần F cho Gg (F ) đa cực đầy £ N + Bổ đề 2.2.2 [23] Hàm số fm xác định k fm ( x) = aij(m ) k å å i= j = ( x - b mi )nj (2.3) liên tục bị chặn Fm Hơn ước lượng n k+1 ỉ ÷ ÷ | fm ( x) - fmk ( x) |Ê 8k ỗỗỗ1 ÷ ÷ k + 1ø è (2.4) với x Ỵ Fm với số tự nhiên k đủ lớn Đặc biệt, fm chỉnh hình phần Fm Bổ đề 2.2.3.[23,Bổ đề 5] Nếu x Î £ \ (Tm È Fm ) , | fmk ( x) |đ Ơ k đ Ơ Bổ đề 2.2.4 [23] kn kn (a ) Nếu r > , x < r k đủ lớn, | qmk ( x) £ (C k ) k | qmk (x) fmk (x) |£ k (C k ) k n (b) Nếu x Ỵ Fm , qmk ( x) ³ (Dmk ) k ( k - 1)n k (c ) Nếu x = B mi Ỵ Tm , tồn dx > phụ thuộc vào k cho | qmk (x) fmk (x) |³ aik(m ) (dx ) với k đủ lớn kn k (d ) Nếu x Ỵ £ \ (Tm È Fm ) tồn g x > phụ thuộc vào k cho | qmk ( x) |³ ( g x ) Bổ đề 2.2.5 [23] Hàm u xác định ¥ å u (z , w ) = max {u k (z , w), - 1}, z Ỵ £ N , w Î £ k= (2.10) đa điều hòa £ N + Hơn nữa, uk (z , w) ³ a k với k ³ k å ¥ k = k0 a k hội tụ u(z , w) > - ¥ Bây đặt: N gk (z ) = Õ (f mk N (z m ) + M ), g(z ) = m=1 Õ (f m (z m ) + M ), z Ỵ F m=1 (2.11) Bổ đề 2.2.6 Ước lượng n | g(z ) - gk (z ) |£ 8N (2M ) N- k+1 ỉ ữ ữ k ỗỗỗ1 ữ ữ k + 1ứ ố (2.12) xảy với z Ỵ F k đủ lớn Kết tiếp theo, Định lý 2.2.8, tổng quát kết Martin Poletsky [28], chứng minh dựa kết sau: Bổ đề 2.2.7 Cho E tập đa cực Fs £ n F ánh xạ chỉnh hình từ lân cận mở U E £* n đến £ cho F (E ) Ð D F (E £* n ) Ð D Khi F (E £* n ) Ð D Định lý 2.2.8 Cho W miền £ N D đa diện giải tích liên thơng compact tương đối W, tức D = {z Î W:| f1(z ) |< 1, ,| fk (z ) |< 1} , f1, , fk chỉnh hình W Khi tồn hàm g cho i ) g liên tục D chỉnh hình D ii ) Gg (D ) Gg (D ) đa cực đầy £ N + 2.3 Bao đa cực đồ thị Nhắc lại, Theo Levenberg Poletsky [29], bao đa cực âm E D- tập đa cực E Ð D xác định E D- = I {z Î D : u(z ) = - ¥ u Î PSH (D ), u < 0, u |E = - ¥ } Định lý 2.3.1 ([29], Định lý 2.4) Cho D miền giả lồi £ n , {D j } dãy tăng miền compact tương ¥ UD j = D Cho E Ð D tập đa cc Khi ú j=1 Ơ E D* = U(E ầ D ) j=1 j Dj Bổ đề 2.3.2 ([29], Bổ đề 3.4) Cho D Ð Ð G miền £ n , E Ð D tập compact, V miền G chứa điểm z Ỵ D khơng giao với E , K = ả V ầ D Khi ú tn ti điểm w Ỵ K cho w(z, E , D ) £ w(w, E , G ) Bổ đề 2.3.3 Cho f hàm chỉnh hình miền bị chặn D £ Giả sử tồn tập cực E D cho (Gf (D ))*£ Ç (D ´ £ ) Ð Gf (D ) È (E ´ £ ) Giả sử (z , w0 ) Ỵ (Gf (D ))*£ \ Gf (D ) với z Ỵ E , w0 ¹ f (z ) Khi với lân cận U z £ tồn ti z Âẻ E ầU , z ÂÂẻ U \ {z Â} cho (z Â, f (z ÂÂ) ẻ Gf (D ))*Ê v f (z Â) f (z ¢¢) Mệnh đề 2.3.4 ([16], Định lý 3.4) Cho W miền £ n E tập đa cực W cho E ầ H = ặ, ú H l siờu phẳng z = Khi E W* Ç H đa cực Mệnh đề sau kết mục Mệnh đề 2.3.5 Cho D miền £ f hàm chỉnh hình D Giả sử tồn tập đếm A D thỏa mãn: (Gf (D ))*£ Ç (D ´ £ ) Ð Gf (D ) È (A ´ £ ) Khi (Gf (D ))*£ Ç (D ´ £ ) = Gf (D ) Kết luận chƣơng Trong chương chứng minh tồn hàm g liên tục F chỉnh hình phần F cho Gg (F ) := {(z, g(z )) : z Ỵ F } đa cực đẩy £ N + 1, F tích tập N đóng £ Sử dụng kết để D đa diện giải tích tồn hàm chỉnh hình bị chặn g cho Gg (D ) đa cực đầy £ N + Những kết tương tự với kết trước Edlund [23] Levenberg, Martin Poletsky [28] Cụ thể là: - Kết thứ Sử dụng phương pháp Edlund, xây dựng hàm liên tục g xác định F , tích N tập đóng cho Gf (g) đa cực đầy Kết đạt Định lý 2.2.1 - Kết thứ hai, Định lý 2.2.8 tổng quát định lý Levenberg, Martin Poletsky [28] Cụ thể là, với đa diện giải tích liên thơng D Ð £ N bất kì, chúng tơi xây dựng hàm chỉnh hình g D cho Gg (D ) đa cực đầy £ N + - Cuối cùng, Mệnh đề 2.3.5 kết liên quan đến toán xác định bao đa cực đầy CHƢƠNG III SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM CHỈNH HÌNH VÀ DÃY HÀM HỮU TỶ 3.1 Giới thiệu Cho D miền £ n , {fm }m ³ dãy hàm chỉnh hình xác định D Định lý cổ điển Vitali khẳng định {fm }m ³ bị chặn tập compact D dãy hội tụ điểm tới hàm f tập X D , không nằm siêu mặt phức D , {fm }m ³ hội tụ tập compact D Ta tìm tương tự Định lý Vitali đề cập trên, bỏ qua tính bị chặn dãy xét ( Gon Car chứng minh kết sau tìm điều kiện địa phương cho tính đơn trị hàm chỉnh hình liên tục [25, Định lý 2] Định lý 3.1.1 Cho {rm }m ³ dãy hàm hữu tỷ £ n (deg rm £ m ) mà hội tụ nhanh theo độ đo tập mở X tới hàm chỉnh hình f xác định miền bị chặn D (X Ð D ) tức là, với e > 1m lim l 2n (z Ỵ X :| rm (z ) - f (z ) | mđ Ơ õy l 2n l đo Lebesgue £ n @ ¡ 2n > e) = Khi đó, {rm }m ³ phải hội tụ nhanh theo độ đo tới f toàn miền D Định lý 3.1.2 [6] Cho f hàm chỉnh hình xác định miền bị chặn D Ð £ n {rm }m ³ dãy hàm hữu tỷ (deg rm £ m ) hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập Borel không đa cực X D tức là, với e > 1m lim cap({z Ỵ X :| rm (z ) - f (z ) | mđ Ơ > e}, D ) = Khi {rm }m ³ hội tụ nhanh đến f theo dung lượng D tức là, với tập Borel E D với e > 1m lim cap({z Ỵ E :| rm (z ) - f (z ) | mđ Ơ > e}, D ) = Ở ký hiệu cap(., D ) dung lượng tương đối ( Các Định lý GonC ar Bloom ý tưởng cho kết nghiên cứu chương 10 Kết chương (Định lý 3.3.6), tổng quát hóa Định lý 3.1.1 Định lý 3.1.2 dãy {rm }m ³ hội tụ nhanh đến giá trị biên theo bán kính hàm chỉnh hình f bị chặn xác định miền bị chặn D Ð £ n Cuối cùng, Mệnh đề 3.4.2 cho minh hoạ Định lý 3.2 Một vài kiến thức sở lý thuyết đa vị Định nghĩa 3.2.1 Dung lượng tương đối tập Borel E D xác định cap(E , D ) = sup {ị (dd u ) c n } : u Ỵ PSH (D ), - < u < E Định nghĩa 3.2.2 Cho {fm }m ³ 1, f hàm đo giá trị phức xác định miền bị chặn D Ð £ n Ta nói dãy {fm }m ³ (i ) hội tụ theo dung lượng đến f X với e > ta có lim cap(X m ,e , D ) = 0, mđ Ơ ú X m ,e = {x Ỵ X : fm (x ) - f (x ) > e}; (ii ) hội tụ theo dung lượng tới f D tính chất (i ) xảy với tập compact X D Ta có mối quan hệ sau hội tụ theo dung lượng hội tụ điểm Bổ đề 3.2.3 Cho {fm }m ³ f hàm đo giá trị phức xác định miền D Ð £ n Nếu {fm }m ³ hội tụ theo dung lượng đến f tập Borel X D , tồn dãy {fm }j ³ j tập đa cực E Ð X cho {fm }j ³ hội tụ điểm đến f X \ E j Bổ đề 3.2.4 Cho {u m }m ³ dãy hàm đa điều hòa D Giả sử dãy bị chặn u( z )= tập compact D Đặt l i m m su u pz Ỵ z( Khi ) D, đó, tập mđ Ơ {z ẻ D : u(z ) < u *(z )} đa cực 3.3 Sự hội tụ dãy hàm chỉnh hình dãy hàm hữu tỷ Định lý 3.3.1 Cho D miền £ n {fm }m ³ dãy hàm chỉnh hình bị chặn D Giả sử tồn dãy tăng {a m }m ³ số dương thỏa mãn tính chất sau đây: (i ) fm + - fm a D £ e m (ii ) a := infm ³ 1(a m + - a m ) > (iii ) Tồn tập Borel không đa cực X D hàm độ đo bị chặn f : X ® £ cho fm (x ) - f (x ) 1/ a m đ 0, " x ẻ X Khi đó, khẳng định sau xảy ra: (a ) {fm }m ³ hội tụ tập compact D tới hàm chỉnh hình f (3.2) 11 (b) Đối với tập compact K ca D , ta cú lim m đ Ơ fm - f 1/ a m K = Hệ 3.3.2 Cho {pm }m ³ dãy đa thức £ n với deg pm £ m Giả sử tồn tập Borel không đa cực X £ n hàm độ đo f : X ® £ cho pm (x ) - f (x ) 1/ m ® 0, " x Ỵ X (3.3) Khi khẳng định sau xảy ra: (a ) {pm }m ³ hội tụ tập compact £ n đến hàm chỉnh hình f 1/ m (b) Đối với tập compact K £ n ta có lim m đ Ơ pm - f K = Định nghĩa 3.3.3 Cho V siêu mặt đại số £ n U tập mở £ n Ta định nghĩa bậc V ÇU số nguyên bé d cho tồn đa thức p bậc d £ n cho V ầU = {z ẻ U : p(z ) = 0} Định lý 3.3.4 Cho {rm }m ³ dãy hàm hữu tỷ £ n thỏa mãn tính chất sau: (i ) Tồn tập Borel không đa cực X £ n hàm đo bị chặn f : X ® £ cho lim rm (x ) - f (x ) 1/ m mđ Ơ = 0, " x Ỵ X (ii ) Với z Ỵ £ n tồn hình cầu mở Bz(zo , r ), m ³ 1, l Î (0, 1) cho d eg(Vm Ç Bz(zo , r )) £ m l , " m ³ m , ký hiệu V m tập cực rm Khi đó, có tồn hàm đo  F : £ n ® £ cho rm - F 1/ m hội tụ điểm đến ngồi tập có độ đo Lebesgue Bổ đề 3.3.5 Cho {a m }m ³ dãy số dương cho a m £ m l Khi đó, hàm F (t ) = å t m am với số l Ỵ (0, 1) (3.4) xác định liên tục [0,1) m³ Định lý 3.3.6 Cho D miền bị chặn £ n X Ð ¶ D tập compact Cho f hàm chỉnh hình bị chặn D {r } m m³ dãy hàm hữu tỷ £ n Giả sử điều kiện sau thỏa mãn : (i ) Đối với x Ỵ X , điểm rx Î D với r < đủ gần Hơn nữa, u Ỵ PSH (D ), u < thỏa mãn lim- u (rx ) = - ¥ , " x Ỵ X u = - Ơ rđ (ii ) Vi mi x ẻ X tồn giới hạn f * (x ) = lim- f (rx ) r® 12 1/ m (iii ) Dãy rm - f * hôi tụ điểm đến X Khi ta có khẳng định sau: (a ) Dãy rm - f 1/ m hội tụ theo dung lượng đến D (b) Tồn tập đa cực E £ n với tính chất sau: Với z Ỵ D \ E khơng gian phức affin L £ n qua z , tồn dãy {r } m m³ 1/ m j cho rm - f Dz hội tụ đến theo dung lượng (đối với L ) Ở ký hiệu Dz thành phần liên thơng D Ç L chứa z Bổ đề 3.3.7 Cho D miền bị chặn £ n X tập ¶ D Giả sử X thỏa mãn điều kiện (i ) Định lý 3.3.6 Khi với dãy {X j } j³ Ð ¶ D cho X j - X , ta có lim wR (z , X j , D ) < 0, " z ẻ D jđ Ơ B 3.3.8 Cho {u m } dãy hàm đa điều hòa xác định miền D m³ £ n Giả sử dãy bị chặn trên tập compact D không hội tụ tới tập compact D Khi đó, khẳng định sau xảy ra: (a ) Tồn dãy {u } mj j³ - ¥ hội tụ L1loc (D ) tới hàm u ẻ PSH (D ), u - Ơ (b) lim sup j đ Ơ um Ê u trờn D j (c ) lim sup j đ Ơ um = u tập đa cực D j (d ) Tập {z Ỵ D : lim jđ Ơ u m (z ) = - Ơ j } đa cực Cuối điều kiện đủ để dãy hàm đo hội tụ theo dung lượng đến Bổ đề 3.3.9 Cho {u m } m³ dãy hàm đa diều hòa {vm } m³ dãy hàm đo xác định miền bị chặn D Ð £ n Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i ) {u m } m³ bị chặn (ii ) Tồn tập compact X D cho inf sup um (z ) > - ¥ m ³ zẻ X hi t u n - Ơ trờn cỏc tập compact D (iii ) u m + vm { } Khi đó, dãy e vm m³ hội tụ đến theo dung lượng 3.4 Xây dựng chi tiết hội tụ nhanh Mệnh đề 3.4.1 Cho {rm } m³ dãy hàm hữu tỷ, D miền £ n dãy số dương Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: {b } m m³ 13 (i ) {rm } m (ii ) lim mđ Ơ (å bị chặn địa phương D 1/ m ¥ b j= m +1 j ) = (iii ) Tồn tập không đa cực X D cho với x Ỵ X , $ M z > : rm (x ) rm - 1(x ) Khi đó, dãy {rm } - £ M x b m , " m ³ hội tụ nhanh tập compact D tới hàm chỉnh hình f Mệnh đề 3.4.2 Tồn tập đếm A £ \ D với F Ð A , dãy {rm } m³ D m³ hàm hữu tỷ £ sau xảy ra: hàm chỉnh hình f : £ \ A ® £ bị chặn D cho tính chất (a ) Các cực {rm } m³ (b) {r } m m³ (c ) {rm } m³ nằm A với m ³ hội tụ nhanh đến f tập compact £ \ A hội tụ điểm nhanh F = A \ A đến f * , giá trị biên theo tia f (d ) f không thác triển qua điểm F đến hàm chỉnh hình Kết luận chƣơng Trong chương nghiên cứu điều kiện đủ để đảm bảo hội tụ dãy {f } m m³ hàm chỉnh hình xác định miền bị chặn D Ð £ n dãy hàm hữu tỷ (1 £ deg rm £ m ) xác định £ n , tập hợp đủ lớn miễn hội tụ điểm xảy tập khơng q nhỏ Kết đạt chương Định lý 3.3.6, tổng quát Định lý 3.1.1 Định lý 3.1.2 dãy {rm } m³ hội tụ nhanh đến giá trị biên theo bán kính hàm chỉnh hình f bị chặn xác định miền bị chặn D Ð £ n 14 KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Các kết đạt đề tài gồm: - Đã tổng quát hóa kết Bloom Levenbeng tính việc mở rộng hàm đa điều hòa cực đại [7] kết Duval Sibony tính việc mở rộng hàm đa điều hòa [20] lớp hàm m - điều hòa Các kết đạt Định lý 1.3.2 Định lý 1.3.3 - Áp dụng kết tính điều kiện đủ hội tụ yếu dãy hàm m - điều hòa Các kết đạt Định lý 1.4.1 Định lý 1.4.2 -Xây dựng hàm liên tục g xác định F , tích N tập đóng cho Gf (g) đa cực đầy Kết đạt Định lý 2.2.1 - Xây dựng hàm chỉnh hình g D cho Gg (D) đa cực đầy £ N + , với đa diện giải tích liên thơng D Ð £ N Kết đạt được, Định lý 2.2.8 , tổng quát hóa định lý Levenberg, Martin Poletsky [28] - Mệnh đề 2.3.5 kết toán xác định bao đa cực đầy - Cuối kết hội tụ dãy {fm } m³ hàm chỉnh hình xác định miền bị chặn D Ð £ n dãy hàm hữu tỷ (1 £ deg rm £ m ) xác định £ n , tập hợp đủ lớn miễn hội tụ điểm xảy tập không nhỏ Kết đạt chương Định lý 3.3.6, tổng quát Định lý 3.1.1 Định lý 3.1.2 dãy {rm } m³ hội tụ nhanh đến giá trị biên theo bán kính hàm chỉnh hình f bị chặn xác định miền bị chặn D Ð £ n DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ([17]) Dieu N.Q., Bang P.H., Hong N.X (2014), “Uniqueness properties of m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1, 669-683 ([18]) Dieu N.Q., Manh P.V (2014), “Complete pluripolar graphs in £ N ”, Anal Polon Math 112.1, 85-100 ([19]) Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem without uniform boundedness”, Publ Math 60, 311-334 15 ... LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 14 iii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: -Tên đề tài: Một số ứng dụng lý thuyết đa vị giải tích phức nhiều biến. .. thiết việc nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vị phức giải tích phức nhiều biến Việc giải thành công dù vấn đề đóng góp đáng kể vào phát triển lý thuyết hàm biến phức Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài... Các kết có ứng dụng vào việc nghiên cứu toán Dirichlet toán tử Monge-Ampere giá trị biên hàm khả tích Lebesgue tùy ý Đây tốn quan trọng giải tích phức nhiều biến nhiều người quan tâm Một vấn đề