Phân hoạch đơn vị trên không gian paracompact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Ngọc Hưng PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN KHÔNG GIAN PARACOMPACT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Ngọc Hưng PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN KHÔNG GIAN PARACOMPACT Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức q báu suốt q trình thực luận văn Chân thành cám ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cám ơn q thầy phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Trong trình thực luận văn, tác giả vài lần liên lạc với nhà tốn học nước ngồi, đặc biệt giáo sư Jerzy Dydak tận tình giải đáp vấn đề liên quan Xin chân thành cám ơn giáo sư Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Dân lập An Đông tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cám ơn bạn lớp với trao đổi góp ý động viên tác giả suốt trình thực luận văn TP HCM tháng năm 2008 Tác giả Phan Thị Ngọc Hưng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 1.1 Không gian tôpô 11 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô 11 1.1.2 Lân cận 11 1.1.3 Cơ sở 12 1.1.4 Cơ sở lân cận 12 1.1.5 Điểm tụ (hay điểm giới hạn) 12 1.1.6 Phần trong, bao đóng, tập trù mật 12 1.1.7 Định nghĩa không gian khả li 13 1.1.8 Các tiên đề đếm 13 1.2 Ánh xạ liên tục 13 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phơi 14 1.4 Không gian 15 1.4.1 Định nghĩa tôpô cảm sinh, không gian 15 1.4.2 Định lý (Điều kiện để tập mở, đóng khơng gian con) 15 1.4.3 Hệ 16 1.4.4 Định lý (Điều kiện để tập mở, đóng khơng gian con) 16 1.5 Không gian thương 16 1.6 Các tiên đề tách 17 1.6.1 Định nghĩa Ti – không gian 17 1.6.2 Định lý 18 1.7 Không gian chuẩn tắc 18 1.7.1 Bổ đề Urysohn 18 1.7.2 Định lý Tietze – Urysohn 18 1.7.3 Hệ 18 1.7.4 Định lý (Điều kiện để không gian chuẩn tắc) 19 1.7.5 Hệ 19 1.8 Khơng gian mêtric hóa 19 1.8.1 Định nghĩa tôpô sinh mêtric 19 1.8.2 Định nghĩa khơng gian mêtric hóa 19 1.8.3 Định lý 19 1.8.4 Các kết 20 1.9 Hữu hạn địa phương 20 1.9.1 Định nghĩa hữu hạn địa phương 20 1.9.2 Bổ đề 20 1.9.3 Định nghĩa rời rạc (rời rạc địa phương) 20 1.9.4 Định nghĩa hữu hạn σ-địa phương (hữu hạn địa phương đếm được) 21 1.9.5 Định nghĩa rời rạc σ-địa phương (σ-rời rạc, rời rạc địa phương đếm được) 21 1.9.6 Định nghĩa làm mịn, làm mịn mở, làm mịn đóng 21 1.9.7 Bổ đề 22 1.10 Định lý mêtric hóa Nagata – Smirnov 22 1.10.1 Tập hợp dạng Gδ 22 1.10.2 Tập hợp dạng Fσ 23 1.10.3 Định lý mêtric hóa Nagata – Smirnov 23 1.11 Không gian compact 23 1.11.1 Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn 23 1.11.2 Định nghĩa phủ con, phủ hữu hạn 23 1.11.3 Định nghĩa không gian compact 24 1.11.4 Định lý 24 1.11.5 compact hóa 25 1.12 Không gian paracompact 25 1.12.1 Định nghĩa không gian paracompact 26 1.12.2 Định lý 26 1.12.3 Hệ 26 1.12.4 Định lý 26 1.12.5 Định nghĩa giá ánh xạ (support f) 26 1.13 Không gian phụ hợp 26 Chương 2: PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ 28 2.1 Phân hoạch đơn vị 28 2.1.1 Định nghĩa tổng 28 2.1.2 Định nghĩa loại phân hoạch 28 2.1.3 Định nghĩa phân hoạch U-small 29 2.1.4 Định nghĩa không gian chuẩn tắc 29 2.1.5 Định lý thác triển Tietze không gian chuẩn tắc 30 2.1.6 Định nghĩa không gian paracompact 30 2.1.7 Hệ 30 2.1.8 Mệnh đề 31 2.1.9 Hệ 33 2.2 Đồng liên tục - Đồng liên tục nghiêm ngặt 34 2.2.1 Định nghĩa đồng liên tục nghiêm ngặt 34 2.2.2 Định nghĩa đồng liên tục 34 2.2.3 Mệnh đề 35 2.2.4 Mệnh đề 37 2.2.5 Mệnh đề 39 2.2.6 Định nghĩa phân hoạch xấp xĩ 41 2.2.7 Hệ 42 2.2.8 Mệnh đề 43 2.2.9 Bổ đề 45 2.2.10 Định lý tồn phân hoạch đơn vị U-small 46 2.2.11 Định nghĩa closure-preserving 46 2.3 Thác triển phân hoạch đơn vị 46 2.3.1 Mệnh đề 47 2.3.2 Mệnh đề 48 2.3.3 Định lý 50 2.3.4 Bổ đề 51 2.3.5 Bổ đề 52 2.3.6 Bổ đề 54 2.3.7 Bổ đề 55 2.3.8 Bổ đề 57 2.3.9 Định lý (Thác triển phân hoạch đơn vị paracompact) 58 2.4 Tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị 59 2.5 Bậc chiều 60 2.5.1 Định nghĩa bậc phủ 60 2.5.2 Định nghĩa bậc phân hoạch đơn vị 60 2.5.3 Định nghĩa chiều không gian 61 2.5.4 Bổ đề 61 2.5.5 Định nghĩa chiều không gian paracompact 63 2.5.6 Hệ 63 Chương 3: ỨNG DỤNG PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ VÀO TÔPÔ 65 3.1 Ứng dụng phân hoạch đơn vị không gian paracompact 65 3.1.1 Định lý thác triển Tietze 65 3.1.2 Bổ đề 67 3.1.3 Định lý A H Stone 68 3.1.4 Bổ đề 69 3.1.5 Định lý Tamano 70 3.1.6 Chú ý (Điều kiện để paracompact đếm chuẩn tắc) 72 3.1.7 Định lý (Điều kiện đủ không gian paracompact đếm được) 72 3.1.8 Định lý thay phân hoạch đơn vị 74 3.1.9 Hệ (Định lý Michael) 79 3.1.10 Định lý mêtric hóa 80 3.1.11 Định lý mêtric hóa Nagata – Smirnov (Điều kiện cần) 83 3.2 Chiều phân hoạch đơn vị 85 3.2.1 Định lý (Tổng quát hóa định lý thác triển Tietze) 85 3.2.2 Mệnh đề (Chiều không gian phụ hợp) 87 3.2.3 Định lý (Chiều không gian paracompact) 88 3.2.4 Mệnh đề (Sự thác triển xấp xĩ) 90 3.2.5 Hệ 92 3.2.6 Định lý 92 KẾT LUẬN 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự bùng nổ nghiên cứu tôpô thời gian gần buộc phải xem xét lại vấn đề xác định chủ đề nên có nghiên cứu tơpơ Các nhà toán học tin sở để nghiên cứu khơng gian tơpơ tính chuẩn tắc, compact, paracompact định lý thác triển Tietze Như biết, nhà tôpô túy nghiên cứu khơng gian thơng qua phủ mở Trong đó, nhà tơpơ hình học lại dùng hàm liên tục để nghiên cứu khơng gian Chính điều này, nhà toán học: J Dydak, N Feldman, J.Segal, R Engelking, I M James, A T Lundell, S Weingram, , bật Dydak nảy ý tưởng hợp hai cách nghiên cứu Họ dùng phân hoạch đơn vị để giải vấn đề thành công Chúng ta biết, phân hoạch đơn vị công cụ giải tích, thường sử dụng lý thuyết đồng luân Nhưng theo trình bày tơpơ thống phân hoạch đơn vị tồn phụ thuộc vào phủ cho trước A T Lundell S Weingram có cố gắng áp dụng phân hoạch đơn vị vào tôpô CW phức dừng lại phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương I M James thảo luận phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm tôpô tổng quát lý thuyết đồng luân Vì vậy, ứng dụng gặp khó khăn dùng phương pháp đại số để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương Ngay phân hoạch đơn vị tùy ý theo dạng định sẵn gặp phiền phức để tránh tất trở ngại Sự đời khái niệm “Phân hoạch hàm đồng liên tục” hướng để tận dụng tất ưu điểm phép tính vi tích phân phương pháp đại số để nghiên cứu phân hoạch đơn vị Khái niệm “Paracompact” đời năm gần Nó tổng qt hóa hữu ích khơng gian compact Nó đặc biệt giúp ích cho ứng dụng tơpơ hình học vi phân, điển hình định lý mêtric hóa Một tính chất hữu ích mà khơng gian paracompact sở hữu tồn phân hoạch đơn vị Vì lí đó, chúng tơi tiếp tục tìm hiểu phân hoạch đơn vị đặc biệt phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ, phân hoạch đồng liên tục, tính liên tục đồng bậc, thác triển phân hoạch đơn vị, bậc phân hoạch đơn vị Trên sở đó, chúng tơi tìm hiểu áp dụng chúng để nghiên cứu tơpơ hình học, đặc biệt nghiên cứu về: “Phân hoạch đơn vị không gian paracompact ” Mục đích Dùng phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ để chứng minh kết không gian paracomapact cách ngắn gọn đơn giản Đối tượng nội dung nghiên cứu Không gian paracompact Ý nghĩa khoa học thực tiễn Dùng phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ làm giảm số điều kiện kết không gian paracompact giúp cho phát biểu không gian paracompact trở nên đơn giản ngắn gọn 84 = ∑ n ⋅ fn = n ≥1 1 ∑ 2n = = n ≥1 1− Do đó: {gs,n}(s,n)∈S×N phân hoạch đơn vị X cho Us,n := gs,n-1(0,1], ∀(s,n)∈S×N ⇒ {Us,n}(s,n)∈S×N sở tập mở X Vậy: X mêtric hóa (Định lý 3.1.10) Như ta biết khơng gian qui X có sở hữu hạn σ- địa phương khơng gian chuẩn tắc Do đó, Trường hợp đặc biệt: X chuẩn tắc X qui ⇒ X T1- khơng gian A, B hai tập đóng rời X tồn họ đếm tập mở {U n }n=1 , X phủ A cho B ∩ cl (U n ) = ∅ với n ∞ Thật vậy: Un định nghĩa hợp Us,n cho B ∩ cl (U s , n ) = ∅ Tương tự ta tìm họ đếm được{Vn }n=1 tập mở X phủ B ∞ mà A ∩ cl (Vn ) = ∅, với n Đặt U n′ := U n \ ∪ Vk Vn′ := Vn \ ∪ U k k ≤n k ≤n ⇒ U′, V′ tập mở {U n′ }n=1 , {Vn′}n=1 phủ mở A, B ∞ ∞ U′n ∩ V′m = ∅, ∀m, n Thật vậy: Giả sử n ≤ m mà không làm tính tổng qt Ta có: U n′ ⊂ U n   ⇒ U n′ ∩ Vm′ = ∅ Vm′ ⊂ X \ U n  85 ∞ ∞ k =1 k =1 Đặt U := ∪U k′ V := ∪Vk′ Khi đó: U, V tập mở X U ∩ V = ∅, ∞ A ⊂ ∪U k′ ⇔ A ⊂ U , k =1 ∞ B ⊂ ∪Vk′ ⇔ B ⊂ V k =1 Vậy: X chuẩn tắc (Định nghĩa không gian chuẩn tắc) 3.2 Chiều phân hoạch đơn vị Dùng phân hoạch đơn vị để giới thiệu chiều phủ không gian chuẩn tắc qua phân hoạch đơn vị hữu hạn tùy ý, không gian paracompact qua phân hoạch đơn vị tùy ý để thấy ứng dụng phép tính phân hoạch đơn vị Kết lý thuyết chiều khơng gian paracompact định lý 3.2.1(tổng quát hóa định lý thác triển Tietze) 3.2.1 Định lý: Cho n ≥ Giả sử X không gian paracompact, {Us}s∈S phủ mở X, A tập đóng X, {fs}s∈S phân hoạch đơn vị U-small A có bậc tối đa n Khi tồn phân hoạch đơn vị {gs}s∈S X lân cận đóng B A X cho điều kiện sau thỏa: a) gsA = fs , s∈S b) gs(X – Us) ⊆ {0}, s∈S c) Bậc {gsB}s∈S tối đa n d) Nếu dim(X) ≤ n B = X Chứng minh 86 Ta có: X paracompact, A tập đóng X, U = {Us}s∈S phủ mở X, {fs}s∈S phân hoạch đơn vị U-small A ⇒ Tồn phân hoạch đơn vị U-small {hs}s∈S X thác triển {fs}s∈S (Do bổ đề 2.3.7) ⇒ hsA = fs hs(X – Us) ⊆ {0}, s∈S Gọi {hT′}T⊆S đạo hàm {hs}s∈S Xét h = ∑ hT ′ , với T chứa tối đa (n + 1) phần tử T ⊆S ⇒ hA ≡ (Do mệnh đề 2.4.3) Đặt W = {x∈X  h(x) ≠ 0}, h′  T , W T chứa tối đa (n + 1) phần tử iT ′ =  h  , trường hợp khác  Lấy tích phân {iT′}T⊆S ta {iT}T⊆S {iT′}T⊆S đạo hàm {iT}T⊆S ⇒ Bậc {iT}T⊆S tối đa n (Do mệnh đề 2.4.3) ⇒ is(W – Us) ⊆ {0}, s∈S Chọn tập mở V ⊃ A cho cl(V) ⊆ W Chọn tập mở U ⊃ A cho cl(U) ⊆ V Nếu dim(X) > n ta đặt B = cl(V) thác triển {isB}s∈S X, ta {gs}s∈S thỏa điều kiện a) c) Nếu dim(X) ≤ n thác triển {is| cl(V)}s∈S X cho is(X – Us)s∈S , (s∈S), chọn phân hoạch đơn vị {js}s∈S X có bậc tối đa n xấp xĩ {is}s∈S (Do hệ 2.5.6 bổ đề 2.5.4) 87 X chuẩn tắc (Vì X paracompact), cl(U), X – V tập đóng X, cl(U) ∩ (X – U) = ∅ ⇒ ∃a : X → [0,1] liên tục cho a(cl(U)) ⊆ {1}, a(X – U) ⊆ {0} Đặt gs(x) = a(x) is(x) + ( – a(x) ) js(x) Thì: gs liên tục, s∈S gs| A = fs , ∑ g s = ∑ [ a.is + (1 − a) js ] s∈S s∈S = ∑ a.is + ∑ (1 − a) js s∈S s∈S     = a. ∑ is  + (1 − a). ∑ js   s∈S   s∈S  = a + (1 − a) = 1, g s ( X − U s ) = a.is ( X − U s ) + (1 − a) js ( X − U s ) ⊆ {0}, s ∈ S ⇒ {gs}s∈S thỏa a) b) Giả sử bậc {gsB}s∈S lớn n Lấy x∈X giả sử T = {s∈S  gs(x) ≠ 0} chứa nhiều (n + 1) phần tử Điều xảy < a(x) < 1, x∈V Do js(x) > ⇒ is(x) > 0, ∀s∈S (Vì {js}s∈S xấp xĩ {is}s∈S) Nên is(x) > 0, ∀s∈T ⇒ {is}s∈T có bậc lớn (n + 1) V : vơ lý (Vì bậc {is}s∈S tối đa n V) ⇒ Bậc {gsB}s∈S tối đa n Vậy: {gs}s∈S thỏa c) d) 3.2.2 Mệnh đề: 88 Giả sử A tập đóng khơng gian X f : A → Y hàm liên tục Nếu X Y paracompact X ∪f Y paracompact Hơn nữa, dim(X) ≤ n dim(Y) ≤ n dim(X ∪f Y ) ≤ n Chứng minh Giả sử U = {Us}s∈S phủ mở X ∪f Y Vì Y tập đóng X ∪f Y nên U phủ mở Y- paracompact ⇒ Tồn phân hoạch đơn vị Y cho gs(Y \ Us) ⊆ {0}, s∈S Gọi π : X ⊕ Y → X ∪f Y phép chiếu Thì π liên tục Mà U = {Us}s∈S phủ mở X ∪f Y Nên V = {Vs}s∈S , với Vs = π-1(Us), phủ mở X ⊕ Y ⊇ A ⊕ Y, A ⊕ Y paracompact (Vì A ⊕ Y tập đóng X ⊕ Y paracompact ) ⇒ {gs ° π}s∈S phân hoạch đơn vị A ⊕ Y cho (gs ° π)(A ⊕ Y \ Vs) ⊆ {0}, s∈S Theo định lý 2.3.9, {gs ° π}s∈S thác triển X ⊕ Y Sự thác triển cảm sinh phân hoạch đơn vị {hs}s∈S X ∪f Y cho hs(X ∪f Y \ Us) ⊆ {0}, s∈S Vậy: X ∪f Y paracompact Để chứng minh dim(X ∪f Y ) ≤ n trường hợp dim(X) ≤ n dim(Y) ≤ n ta chứng minh tương tự định lý 3.2.1 Kết luận: Mệnh đề chứng minh 3.2.3 Định lý: 89 ∞ Giả sử X không gian paracompact X = ∪ X k, với Xk đóng X, k =1 ∀k Nếu dim(Xk) ≤ n, ∀k dim(X) ≤ n Chứng minh Chứng minh: dim(X) ≤ n ⇔ Bất kỳ phân hoạch đơn vị {fs}s∈S X xấp xĩ với phân hoạch đơn vị {gs}s∈S có bậc tối đa n Giả sử {fs}s∈S phân hoạch đơn vị X Chúng ta chứng minh cách qui nạp theo k i) Khi k = 1: X1 đóng X- paracompact, dim(X1) ≤ n { ⇒ Xấp xĩ f s X1 } s∈S phân hoạch đơn vị có bậc tối đa n (theo bổ đề 2.5.4), thác triển X ta phân hoạch đơn vị {g1,s}s∈S cho {g1,s}s∈S xấp xĩ {fs}s∈S (Theo bổ đề 2.3.7), bậc {g } 1, s B1 s∈S tối đa n với lân cận đóng B1 X1 X (Theo định lý 3.2.1c) ii) Giả sử với k ≥ 1, tồn phân hoạch đơn vị {gk,s}s∈S X mà xấp xĩ ∞ {fs}s∈S , với lân cận đóng Bk ∪ Xk { b ậ c c g k , s k =1 Bk } s∈S tối đa n Ta chứng minh điều với k + Thật vậy: Đặt A = Bk ∩ Xk+1 ⇒ A đóng X, dim(A) ≤ n (Do hệ 2.4.4) {gk, sA}s∈S thác triển Xk+1 để xấp xĩ toàn bậc lúc {f s X k +1 } s∈S bảo 90 { Dán thác triển vừa tìm với g k ,s Bk } s∈S , sau thác triển X, ta xấp xĩ {gk+1,s}s∈S {fs}s∈S (Theo định lý 3.2.1), cho bậc lân cận đóng Bk+1 Bk ∪ Xk+1 tối đa n Lấy giới hạn thuận tất {gk, s}s∈S k→∞ ta xấp xĩ {gs}s∈S {fs}s∈S có bậc tối đa n ⇒ dim(X) ≤ n (Do định nghĩa 2.5.5) Một phần ý nghĩa định lý 3.2.1 là: Phân hoạch đơn vị tập đóng khơng gian paracompact thác triển lân cận mà bảo toàn bậc Kết thác triển xấp xĩ 3.2.4 Mệnh đề: Giả sử A tập khơng gian mêtric hóa X {fs}s∈S phân hoạch đơn vị A Khi tồn lân cận U A X phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương {gs}s∈S U cho {gsA}s∈S xấp xĩ {fs}s∈S Hơn nữa, bậc {fs}s∈S tối đa n bậc {gs}s∈S tối đa n Chứng minh Gọi U tập mở A Đặt e(U) = {x∈X  dist(x, A) < dist(x, X \ U)} Nếu x ∈ A ∩ e(U ) x ∈ A dist ( x, A) = ⇒ ⇒   x ∈ e(U ) dist ( x, A) < dist ( x, X \ U ) ⇒ dist ( x, X \ U ) > ⇒ x∉ X \U ⇒ x ∈U ⇒ A ∩ e(U ) ⊆ U (1) 91 Ngược lại: Nếu x ∈ A ∩ U x ∈ A dist ( x, A) = ⇒ ⇒   x ∈U x ∉ X − U dist ( x, A) = ⇒ ⇒ dist ( x, A) < dist ( x, X \ U ) dist ( x, X \ U ) > ⇒ x ∈ e(U ) ⇒ ( A ∩ U ) ⊆ e(U ) (2) Từ (1) (2) suy ra: A ∩ e(U) = U Ta có: e(V ∩ W) = e(V) ∩ e(W), với V W hai tập mở A Thật vậy: { } = { x ∈ X dist ( x, A) < dist ( x, ( X − V ) ∪ ( X − W ) ) } = { x ∈ X dist ( x, A) < { dist ( x, X − V ), dist ( x, X − W ) } } e(V ∩ W ) = x ∈ X dist ( x, A) < dist ( x, X − (V ∩ W ) ) = { x ∈ X dist ( x, A) < dist ( x, X − V )} ∩ ∩ { x ∈ X dist ( x, A) < dist ( x, X − W )} = e(V ) ∩ e(W ) −1 Đặt U s := f s (0, 1], s ∈ S , Vs := e(U s ), s ∈ S , U = ∪Vs s∈S   Vì: e  ∩ U s  =  s∈T  ∩ e(U s ) , (với T tập hữu hạn S), bậc s∈T {Vs}s∈S tối đa bậc {fs}s∈S (3) X mêtric hóa ⇒ X chuẩn tắc ⇒ X paracompact Mà: {Vs}s∈S phủ mở U Nên chọn phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương {gs}s∈S U cho gs(X – Vs) ⊆ {0}, s∈S 92 Hơn nữa, bậc {gs}s∈S tối đa bậc {fs}s∈S , (Vì bậc phân hoạch đơn vị bậc phủ mở (3)) {gsA}s∈S xấp xĩ {fs}s∈S 3.2.5 Hệ quả: Giả sử A tập khơng gian X Nếu X mêtric hóa dim(A) ≤ dim(X) Chứng minh Đặt dim(X) = n Cho {fs}s∈S phân hoạch đơn vị A, ta tìm lân cận mở U A X phân hoạch đơn vị {gs}s∈S U cho {gsA}s∈S xấp xĩ {fs}s∈S (Theo mệnh đề 3.2.4) Vì U tập có dạng Fσ X Nên: dim(U) ≤ n (Theo định lý 3.2.3), {gs}s∈S xấp xĩ {hs}s∈S có bậc tối đa n (Theo bổ đề 2.5.4) {hsA}s∈S xấp xĩ {fs}s∈S bậc tối đa n ⇒ dim(A) ≤ n (Theo định nghĩa 2.5.5) Vậy: dim(A) ≤ dim(X) 3.2.6 Định lý: Giả sử A B tập không gian X Nếu X mêtric hóa dim(A ∪ B) ≤ dim(A) + dim(B) + Chứng minh Đặt dim(A) = m, dim(B) = n Giả sử {fs}s∈S phân hoạch đơn vị X 93 Dựa vào mệnh đề 3.2.4 bổ đề 2.5.4, ta tìm lân cận mở U A lân cận mở V B cho tồn phân hoạch đơn vị {gs}s∈S U có bậc tối đa m {hs}s∈S V có bậc tối đa n cho {gs}s∈S xấp xĩ {fsU}s∈S {hs}s∈S xấp xĩ {fsV}s∈S X mêtric hóa ⇒ X paracompact (Do hệ 3.1.3) ⇒ X chuẩn tắc (Tính chất khơng gian paracompact) Mà: X – U X – V tập đóng rời X Nên tồn hàm liên tục a: X → [0, 1] cho: A(X – U ) ⊆ {0} A(X – V ) ⊆ {1} (Bổ đề Urysohn) Đặt ps ( x) = a( x) g s ( x ) + (1 − a( x ) ) hs ( x ), x ∈ X Khi đó: ps liên tục, s∈S, ∑ ps = s∈S ∑[ a g s + (1 − a) hs ] s∈S = ∑ a g s + ∑ (1 − a) hs s∈S s∈S     = a  ∑ g s  + (1 − a ). ∑ hs  = a + (1 − a ) = 1,  s∈S   s∈S   x ∈U ∩ V x∈ X ⇒   x ∈ X \ (U ∩ V ) = ( X \ U ) ∪ ( X \ V )  ps ( x) = a ( x) f s ( x ) + (1 − a( x) ) f s ( x) = f s ( x) > ⇒   ps ( x) = g s ( x ) + (1 − 1) hs ( x ) =  ps ( x) > ⇒ f s ( x) > 0, ∀s ∈ S ⇒  ps ( X \ (U ∩ V ) ) ⊆ {0}, s ∈ S Vậy: {ps}s∈S phân hoạch đơn vị xấp xĩ {fs}s∈S , có bậc tối đa m + n + 94 KẾT LUẬN Như trình bày, chúng tơi dùng khái niệm mới: Phân hoạch đơn vị, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm ngặt, bậc phân hoạch đơn vị để nghiên cứu hình học tôpô Cụ thể chứng minh trực tiếp kết không gian paracompact kết lý thuyết chiều không gian paracompact Ở chương 2, trước tiên chúng tơi trình bày phân hoạch hàm bất kỳ, phân hoạch phụ thuộc phủ, phân hoạch xấp xĩ, phân hoạch đồng liên tục hàm hữu hạn xác định dương Trên sở chứng minh phân hoạch đồng liên tục có phân hoạch xấp xĩ hữu hạn địa phương, chứng minh tồn phân hoạch đơn vị U-small (phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ) Tiếp theo chúng tơi trình bày thác triển phân hoạch đơn vị không gian paracompact: “Giả sử X paracompact, A tập đóng X, {Us}s∈S phủ mở X Bất kỳ phân hoạch đơn vị {fs}s∈S A cho fs(A - Us) ⊆ {0}, s∈S, tồn thác triển {gs}s∈S {fs}s∈S X cho gs(X - Us) ⊆ {0}, s∈S Nếu {fs}s∈S hữu hạn địa phương {gs}s∈S hữu hạn địa phương Nếu {fs}s∈S hữu hạn điểm A tập Gδ X {gs}s∈S hữu hạn điểm” Để kết thúc chương chuẩn bị đầy đủ cho chương chúng tơi tìm hiểu thêm bậc phân hoạch đơn vị thơng qua định nghĩa chiều không gian không gian paracompact, đạo hàm tích phân phân hoạch đơn vị, Ở chương 3, dùng phân hoạch đơn vị tùy ý, phân hoạch đồng liên tục, phân hoạch hữu hạn, phân hoạch hữu hạn địa phương, phân hoạch hữu hạn điểm, bậc phân hoạch đơn vị, chứng minh cách chi tiết định lý: 95 Định lý thác triển Tietze: “Nếu X paracompact A tập đóng X, hàm liên tục f : A → E từ A vào không gian Banach E thác triển X”; Định lý A H Stone: “Mỗi khơng gian mêtric hóa không gian paracompact”; Định lý Tamano: “Giả sử X không gian hồn tồn quy Nếu X × rX chuẩn tắc với rX compact hóa X, X paracompact”; Kết lý thuyết chiều không gian paracompact (là định lý 3.2.1 - Tổng quát hóa định lý thác triển Tietze): “Cho n ≥ Giả sử X không gian paracompact, {Us}s∈S phủ mở X, A tập đóng X, {fs}s∈S phân hoạch đơn vị có bậc tối đa n A cho fs(A - Us) ⊆ {0}, s∈S Thì tồn phân hoạch đơn vị {gs}s∈S X lân cận đóng B A X cho điều kiện sau thỏa: a) gs|A = fs , s∈S b) gs(X - Us) ⊆ {0}, s∈S c) Bậc gs|B tối đa n d) Nếu dim(X) ≤ n B = X” Điều hấp dẫn khác phân hoạch đơn vị mà luận văn chưa thể thực (do hạn chế định) nghiên cứu hình học tơpơ chỗ kết đạt không gian paracompact (định lý Tamano định lý Stone) dùng kết nối tới định lý Ascoli, phép tính vi tích phân phân hoạch đơn vị ứng dụng rộng rãi tới lý thuyết chiều phức đơn mêtric mà thể hình học chúng (các phép tính vi tích phân) phân chia nhỏ trọng tâm phức đơn 96 Nếu có quan tâm, mong độc giả tiếp tục nghiên cứu phân hoạch đơn vị Cuối cùng, có nhiều cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong ý kiến đóng góp q thầy bạn bè luận văn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2008 Tác giả 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Định - Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực (cơ sở giải tích đại), Nhà xuất Giáo dục J L Keli, Tôpô đại cương (Hồ Thuần, Hà Huy Khái, Đinh Mạnh Tường dịch), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương - Độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục Hồng Xn Sính – Đồn Quỳnh, Tơpơ ?, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Trần Tráng, Tơpơ đại cương, Khoa Tốn – Tin học Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh (2005) Huỳnh Thị Như Ý (2008), Phân hoạch đơn vị áp dụng Tiếng Anh A T Lundell – S Weingram, The Topology of CW complexes New York: Van Nostrand Reinhold Co., 1969 Glen E Bredon, Topology and Geometry, Springer 10 I M James, General Topology and Homotopy Theory, New York: Springer Verlag, 1984 11 Jerzy Dydak, Extension theory: The interface between set – theoretic and algebraic topology, Topology Appl 74 (1996), 1647-1661 12 Jerzy Dydak (2003), “Partitions of unity”, Volume 27 No 1, 125-171 13 J Van Mil, The Infinite – Dimensional Topology of Function Spaces, North – Holland Mathematical Library 14 Http: //en.wikipedia.org/wiki/Paracompact spaces 98 15 Http: //en.wikipedia.org/wiki/Normal_space 16 Http: //en.wikipedia.org/wiki/Equicontinuity 17 Http: //en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function ... chất hữu ích mà khơng gian paracompact sở hữu tồn phân hoạch đơn vị Vì lí đó, chúng tơi tiếp tục tìm hiểu phân hoạch đơn vị đặc biệt phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ, phân hoạch đồng liên tục,... thác triển phân hoạch đơn vị, bậc phân hoạch đơn vị Trên sở đó, chúng tơi tìm hiểu áp dụng chúng để nghiên cứu tôpô hình học, đặc biệt nghiên cứu về: ? ?Phân hoạch đơn vị khơng gian paracompact. .. Phân hoạch đơn vị Ở chương trình bày: - Phân hoạch đơn vị, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm ngặt tính chất kèm chứng minh chi tiết - Thác triển phân hoạch đơn vị - Tích phân đạo hàm phân hoạch