Phân hoạch đơn vị trên không gian paracompact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Ngọc Hưng PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN KHÔNG GIAN PARACOMPACT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Thị Ngọc Hưng PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN KHÔNG GIAN PARACOMPACT Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quí báu suốt trình thực luận văn Chân thành cám ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Trong trình thực luận văn, tác giả vài lần liên lạc với nhà toán học nước ngoài, đặc biệt giáo sư Jerzy Dydak tận tình giải đáp vấn đề liên quan Xin chân thành cám ơn giáo sư Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Dân lập An Đông tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cám ơn bạn lớp với trao đổi góp ý động viên tác giả suốt trình thực luận văn TP HCM tháng năm 2008 Tác giả Phan Thị Ngọc Hưng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1 Không gian tôpô 12 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô 12 1.1.2 Lân cận 12 1.1.3 Cơ sở 13 1.1.4 Cơ sở lân cận 13 1.1.5 Điểm tụ (hay điểm giới hạn) 13 1.1.6 Phần trong, bao đóng, tập trù mật 13 1.1.7 Định nghĩa không gian khả li 14 1.1.8 Các tiên đề đếm 14 1.2 Ánh xạ liên tục 14 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi 15 1.4 Không gian 16 1.4.1 Định nghĩa tôpô cảm sinh, không gian 16 1.4.2 Định lý (Điều kiện để tập mở, đóng không gian con) 16 1.4.3 Hệ 17 1.4.4 Định lý (Điều kiện để tập mở, đóng không gian con) 17 1.5 Không gian thương 17 1.6 Các tiên đề tách 18 1.6.1 Định nghĩa Ti – không gian 18 1.6.2 Định lý 19 1.7 Không gian chuẩn tắc 19 1.7.1 Bổ đề Urysohn 19 1.7.2 Định lý Tietze – Urysohn 19 1.7.3 Hệ 19 1.7.4 Định lý (Điều kiện để không gian chuẩn tắc) 20 1.7.5 Hệ 20 1.8 Không gian mêtric hóa 20 1.8.1 Định nghĩa tôpô sinh mêtric 20 1.8.2 Định nghĩa không gian mêtric hóa 20 1.8.3 Định lý 20 1.8.4 Các kết 21 1.9 Hữu hạn địa phương 21 1.9.1 Định nghĩa hữu hạn địa phương 21 1.9.2 Bổ đề 21 1.9.3 Định nghĩa rời rạc (rời rạc địa phương) 21 1.9.4 Định nghĩa hữu hạn σ-địa phương (hữu hạn địa phương đếm được) 22 1.9.5 Định nghĩa rời rạc σ-địa phương (σ-rời rạc, rời rạc địa phương đếm được) 22 1.9.6 Định nghĩa làm mịn, làm mịn mở, làm mịn đóng 22 1.9.7 Bổ đề 23 1.10 Định lý mêtric hóa Nagata – Smirnov 23 1.10.1 Tập hợp dạng Gδ 23 1.10.2 Tập hợp dạng Fσ 24 1.10.3 Định lý mêtric hóa Nagata – Smirnov 24 1.11 Không gian compact 24 1.11.1 Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn 24 1.11.2 Định nghĩa phủ con, phủ hữu hạn 24 1.11.3 Định nghĩa không gian compact 25 1.11.4 Định lý 25 1.11.5 compact hóa 26 1.12 Không gian paracompact 26 1.12.1 Định nghĩa không gian paracompact 27 1.12.2 Định lý 27 1.12.3 Hệ 27 1.12.4 Định lý 27 1.12.5 Định nghĩa giá ánh xạ (support f) 27 1.13 Không gian phụ hợp 27 Chương 2: PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ 29 2.1 Phân hoạch đơn vị 29 2.1.1 Định nghĩa tổng 29 2.1.2 Định nghĩa loại phân hoạch 29 2.1.3 Định nghĩa phân hoạch U-small 30 2.1.4 Định nghĩa không gian chuẩn tắc 30 2.1.5 Định lý thác triển Tietze không gian chuẩn tắc 31 2.1.6 Định nghĩa không gian paracompact 31 2.1.7 Hệ 31 2.1.8 Mệnh đề 32 2.1.9 Hệ 34 2.2 Đồng liên tục - Đồng liên tục nghiêm ngặt 35 2.2.1 Định nghĩa đồng liên tục nghiêm ngặt 35 2.2.2 Định nghĩa đồng liên tục 35 2.2.3 Mệnh đề 36 2.2.4 Mệnh đề 38 2.2.5 Mệnh đề 40 2.2.6 Định nghĩa phân hoạch xấp xĩ 42 2.2.7 Hệ 43 2.2.8 Mệnh đề 44 2.2.9 Bổ đề 46 2.2.10 Định lý tồn phân hoạch đơn vị U-small 47 2.2.11 Định nghĩa closure-preserving 47 2.3 Thác triển phân hoạch đơn vị 47 2.3.1 Mệnh đề 48 2.3.2 Mệnh đề 49 2.3.3 Định lý 51 2.3.4 Bổ đề 52 2.3.5 Bổ đề 53 2.3.6 Bổ đề 55 2.3.7 Bổ đề 56 2.3.8 Bổ đề 58 2.3.9 Định lý (Thác triển phân hoạch đơn vị paracompact) 59 2.4 Tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị 60 2.5 Bậc chiều 61 2.5.1 Định nghĩa bậc phủ 61 2.5.2 Định nghĩa bậc phân hoạch đơn vị 61 2.5.3 Định nghĩa chiều không gian 62 2.5.4 Bổ đề 62 2.5.5 Định nghĩa chiều không gian paracompact 64 2.5.6 Hệ 64 Chương 3: ỨNG DỤNG PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ VÀO TÔPÔ 66 3.1 Ứng dụng phân hoạch đơn vị không gian paracompact 66 3.1.1 Định lý thác triển Tietze 66 3.1.2 Bổ đề 68 3.1.3 Định lý A H Stone 69 3.1.4 Bổ đề 70 3.1.5 Định lý Tamano 70 3.1.6 Chú ý (Điều kiện để paracompact đếm chuẩn tắc) 72 3.1.7 Định lý (Điều kiện đủ không gian paracompact đếm được) 73 3.1.8 Định lý thay phân hoạch đơn vị 75 3.1.9 Hệ (Định lý Michael) 80 3.1.10 Định lý mêtric hóa 81 3.1.11 Định lý mêtric hóa Nagata – Smirnov (Điều kiện cần) 84 3.2 Chiều phân hoạch đơn vị 86 3.2.1 Định lý (Tổng quát hóa định lý thác triển Tietze) 86 3.2.2 Mệnh đề (Chiều không gian phụ hợp) 88 3.2.3 Định lý (Chiều không gian paracompact) 89 3.2.4 Mệnh đề (Sự thác triển xấp xĩ) 91 3.2.5 Hệ 93 3.2.6 Định lý 93 KẾT LUẬN 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự bùng nổ nghiên cứu tôpô thời gian gần buộc phải xem xét lại vấn đề xác định chủ đề nên có nghiên cứu tôpô Các nhà toán học tin sở để nghiên cứu không gian tôpô tính chuẩn tắc, compact, paracompact định lý thác triển Tietze Như biết, nhà tôpô túy nghiên cứu không gian thông qua phủ mở Trong đó, nhà tôpô hình học lại dùng hàm liên tục để nghiên cứu không gian Chính điều này, nhà toán học: J Dydak, N Feldman, J.Segal, R Engelking, I M James, A T Lundell, S Weingram, , bật Dydak nảy ý tưởng hợp hai cách nghiên cứu Họ dùng phân hoạch đơn vị để giải vấn đề thành công Chúng ta biết, phân hoạch đơn vị công cụ giải tích, thường sử dụng lý thuyết đồng luân Nhưng theo trình bày tôpô thống phân hoạch đơn vị tồn phụ thuộc vào phủ cho trước A T Lundell S Weingram có cố gắng áp dụng phân hoạch đơn vị vào tôpô CW phức dừng lại phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương I M James thảo luận phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm tôpô tổng quát lý thuyết đồng luân Vì vậy, ứng dụng gặp khó khăn dùng phương pháp đại số để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương Ngay phân hoạch đơn vị tùy ý theo dạng định sẵn gặp phiền phức để tránh tất trở ngại 10 Sự đời khái niệm “Phân hoạch hàm đồng liên tục” hướng để tận dụng tất ưu điểm phép tính vi tích phân phương pháp đại số để nghiên cứu phân hoạch đơn vị Khái niệm “Paracompact” đời năm gần Nó tổng quát hóa hữu ích không gian compact Nó đặc biệt giúp ích cho ứng dụng tôpô hình học vi phân, điển hình định lý mêtric hóa Một tính chất hữu ích mà không gian paracompact sở hữu tồn phân hoạch đơn vị Vì lí đó, tiếp tục tìm hiểu phân hoạch đơn vị đặc biệt phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ, phân hoạch đồng liên tục, tính đồng liên tục, thác triển phân hoạch đơn vị, bậc phân hoạch đơn vị Trên sở đó, tìm hiểu áp dụng chúng để nghiên cứu tôpô hình học, đặc biệt nghiên cứu về: “Phân hoạch đơn vị không gian paracompact ” Mục đích Dùng phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ để chứng minh kết không gian paracomapact cách ngắn gọn đơn giản Đối tượng nội dung nghiên cứu Không gian paracompact Ý nghĩa khoa học thực tiễn Dùng phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ làm giảm số điều kiện kết không gian paracompact giúp cho phát biểu không gian paracompact trở nên đơn giản ngắn gọn 11 Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức tôpô đại cương có liên quan đến đề tài nghiên cứu Chương 2: Phân hoạch đơn vị Ở chương trình bày: - Phân hoạch đơn vị, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm ngặt tính chất kèm chứng minh chi tiết - Thác triển phân hoạch đơn vị - Tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị - Bậc phân hoạch đơn vị chiều Các kết khác liên quan đến không gian chuẩn tắc luận văn trình bày không chứng minh Chương 3: Ứng dụng phân hoạch đơn vị vào tôpô Cụ thể: - Dùng phân hoạch đơn vị chứng minh số kết không gian paracompact: Định lý thác triển Tietze, định lý A H Stone, định lý Tamano, định lý mêtric hóa Nagata – smirnov (điều kiện cần) - Trình bày số áp dụng lý thuyết chiều 12 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương luận văn trình bày lại kiến thức tôpô thống có liên quan đến chương sau Ở đây, hầu hết định lý, hệ quả, bổ đề kết phát biểu không chứng minh Chúng dùng làm sở lý thuyết phục vụ đề tài 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô: Cho tập X Họ τ tập X gọi tôpô X thỏa điều kiện sau: τ1) X, ∅ thuộc τ, τ2) Hợp tùy ý tập thuộc τ thuộc τ, τ3) Giao hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ Tập X với tôpô X gọi không gian tôpô Viết (X, τ) hay X không cần rõ τ tôpô X Các phần tử không gian thường gọi điểm Cho (X, τ) không gian tôpô Tập G∈τ gọi tập mở X Tập F X gọi tập đóng X \ F mở Từ định nghĩa suy ra: a) ∅, X tập đóng, b) Giao tùy ý tập đóng tập đóng, c) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng 1.1.2 Lân cận: 13 Cho (X, τ) không gian tôpô x∈X Tập V ⊂ X gọi lân cận x tồn tập mở G cho x ∈ G ⊂ V Nếu lân cận V x tập mở V gọi lân cận mở x Nhận xét: - Mọi lân cận X chứa lân cận mở - Tập G mở G lân cận điểm thuộc 1.1.3 Cơ sở: Cho (X, τ) không gian tôpô Một họ β τ gọi sở τ nếu: ∀G∈τ, ∀x∈G, ∃V∈β : x∈V ⊂ G 1.1.4 Cơ sở lân cận: Một họ Ux lân cận x gọi sở lân cận x nếu: Mọi lân cận V x tồn lân cận U∈Ux cho U ⊂ V 1.1.5 Điểm tụ (hay điểm giới hạn): Cho A tập không gian tôpô X x∈X Nếu lân cận V x ta có V ∩ (A \ {x}) ≠ ∅ x gọi điểm tụ (hay điểm giới hạn) tập A 1.1.6 Phần trong, bao đóng, trù mật: Cho X không gian tôpô, tập A ⊂ X - Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A, ký hiệu A0 - Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, ký hiệu Ā hay cl(A) - Tập A gọi trù mật (hay trù mật khắp nơi ) X Ā = X 14 Từ định nghĩa suy ra: i) A0 tập mở lớn chứa A A ⊂ B ⇒ A0 ⊂ B0 A mở ⇔ A = A0 ii) A ⊂ X luôn có tập đóng chứa A Ā tập đóng nhỏ chứa A A = A A ∪ B = A ∪ B A ⊂ B ⇒ A ⊂ B A đóng ⇔ A = Ā 1.1.7 Định nghĩa không gian khả li: Không gian tôpô X gọi khả li X tồn tập tập hữu hạn đếm trù mật 1.1.8 Các tiên đề đếm 1.1.8.1 Tiên đề đếm thứ 2: Không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai có sở đếm 1.1.8.2 Tiên đề đếm thứ 1: Không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x∈X có sở lân cận đếm 1.1.8.3 Định lý: Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai thỏa mãn tiên đề đếm thứ 1.2 Ánh xạ liên tục 1.2.1 Định nghĩa: 15 Cho X Y không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục x∈X lân cận V f(x) Y tồn lân cận U x X cho f(U) ⊂ V Nói cách khác: Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục x∈X V lân cận f(x) Y f -1(V) lân cận x X Ánh xạ gọi liên tục X liên tục x∈X 1.2.2 Định lý: Với ánh xạ f : X → Y, điều kiện sau tương đương a) f liên tục b) f -1(G) mở X với tập G mở Y c) f -1(G) mở X với G thuộc sở Y d) f -1(G) mở X với G thuộc tiền sở Y e) f -1(F) đóng X với tập F đóng Y ( ) f ( B) ⊃ f) f A ⊂ f ( A) với tập A X g) −1 f −1 ( B ) với tập B Y 1.2.3 Hệ quả: Cho f : X → Y g : Y → Z ánh xạ liên tục Thì a) g° f liên tục b) ∪ f −1(Vα )   = f −1  ∪Vα  , α  ∩ f −1(Vα )   = f −1  ∩Vα  , Vα tập mở Y α  α α 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi 1.3.1 Định nghĩa phép đồng phôi: 16 Cho X, Y không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y gọi phép đồng phôi hay ánh xạ tôpô f song ánh, liên tục f -1 liên tục Hai không gian gọi đồng phôi tồn phép đồng phôi từ không gian vào không gian Hai không gian đồng phôi gọi hai không gian tương đương tôpô 1.3.2 Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng: Cho X, Y không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y gọi mở (hay ánh xạ mở) tập G mở X f(G) mở Y Ánh xạ f : X → Y gọi đóng (hay ánh xạ đóng) tập F đóng X f(F) đóng Y 1.3.3 Định lý: Cho X, Y không gian tôpô song ánh f : X → Y f phép đồng phôi f ánh xạ liên tục mở (hoặc đóng) 1.4 Không gian 1.4.1 Định nghĩa tôpô cảm sinh, không gian con: Cho không gian tôpô (X, τ) tập Y ⊂ X Khi đó: - Họ τY = {V ⊂ Y  V = Y ∩ G với G∈τ} tôpô A - τY gọi tôpô cảm sinh tôpô τ X - Không gian (Y, τY) gọi không gian không gian X - Mỗi phần tử τY gọi tập hợp mở Y 1.4.2 Định lý: Cho không gian tôpô (X, τ) (Y, τY) không gian Khi 17 a) Tập A ⊂ Y mở Y A = Y ∩ G với G tập mở X b) Tập B ⊂ Y đóng Y B = Y ∩ F với F tập đóng X 1.4.3 Hệ quả: Cho Y không gian không gian tôpô X y∈Y Nếu V lân cận y Y tồn lân cận U y X cho V = U ∩ Y 1.4.4 Định lý: Cho Y không gian không gian tôpô X Một tập hợp mở (đóng) tùy ý Y mở (đóng) tùy ý X Y tập mở (đóng) X 1.5 Không gian thương 1.5.1 Định nghĩa: Cho không gian tôpô (X, τ) quan hệ tương đương R X Ký hiệu X tập thương X theo quan hệ tương đương R Ký hiệu R[x] R lớp tương đương chứa x∈X Ánh xạ π : X → X gọi phép chiếu tắc R x π ( x) = R[ x] −1 X X Ta có π toàn ánh Trên R , họ σ = V ⊂ R π (V ) ∈τ tôpô { } ( X R , σ ) gọi không gian thương không gian X theo quan hệ tương R Khi π liên tục Như vậy: phép chiếu tắc toàn ánh liên tục 1.5.2 Định lý: 18 Cho phép chiếu tắc π : X → X R ánh xạ f : X R → Y Ánh xạ f liên tục f °π liên tục 1.6 Các tiên đề tách 1.6.1 Định nghĩa Ti- không gian: Cho X không gian tôpô - X gọi T0- không gian hai điểm khác x, y∈X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x - X gọi T1- không gian hai điểm khác x, y∈X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x - X gọi T2- không gian hay không gian Hausdorff hai điểm khác x, y∈X tồn lân cận U x lân cận V y cho: U ∩ V = ∅ - X gọi T3- không gian hay không gian qui X T1- không gian với x∈X tập đóng F X không chứa x, tồn tập mở U, V cho x∈U, F ⊂ V U ∩ V = ∅ - X gọi T 1- không gian hay không gian hoàn toàn qui hay không gian Tikhonov X T1- không gian với x∈X tập đóng F X không chứa x, tồn hàm liên tục f : X → [0,1] cho f(x) = f(y) = với y∈F - X gọi T4- không gian hay không gian chuẩn tắc X T1- không gian hai tập đóng không giao A, B X, tồn tập mở U, V cho A ⊂ U, B ⊂ V U ∩ V = ∅ Ta gọi T0 , T1 , T2 , T3 , T , T4 tiên đề tách Ví dụ: Đường thẳng thực T0- không gian, T1- không gian, không gian Hausdorff, không gian qui, không gian chuẩn tắc 19 Nhận xét: Tj- không gian ⇒ Ti- không gian với j > i 1.6.2 Định lý: Cho X không gian tôpô a) X T1- không gian tập gồm điểm X tập đóng b) X không gian qui X T1- không gian x∈X, lân cận V x chứa lân cận đóng x Tức là: X không gian qui X T1- không gian x∈X, lân cận V x tồn lân cận U x cho x ∈U ⊂ U ⊂ V 1.7 Không gian chuẩn tắc: 1.7.1 Bổ đề Urysohn: Cho X không gian chuẩn tắc, A B hai tập đóng rời X Khi tồn hàm liên tục f : X → [0, 1] cho f(x) = 0, ∀x∈A f(x) = 1, ∀x∈B 1.7.2 Định lý Tietze-Urysohn: Cho X không gian chuẩn tắc, A tập đóng X Khi hàm liên tục f : A → [0, 1] tồn hàm liên tục g : X → [a, b] cho gA = f 1.7.3 Hệ quả: a) Cho f hàm liên tục tập đóng A không gian chuẩn tắc X Khi tồn hàm g liên tục X cho gA = f b) Nếu X không gian chuẩn tắc X hoàn toàn quy 20 1.7.4 Định lý: Không gian tôpô X không gian chuẩn tắc T1- không gian với tập đóng F X, lân cận tùy ý F có chứa lân cận đóng F 1.7.5 Hệ quả: Mọi không gian qui thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai không gian chuẩn tắc 1.8 Không gian mêtric hóa 1.8.1 Định nghĩa tôpô sinh mêtric: Cho không gian mêtric (X, d) Ta xác định (X, d) tập hợp τ tập X sau: τ = {U ⊂ X | ∀x∈U, ∃r > cho B(x, r) ⊂ U} Thì τ tôpô X Tôpô τ xác định gọi tôpô sinh mêtric d X, phần tử thuộc τ gọi tập mở (X, d) 1.8.2 Định nghĩa không gian mêtric hóa: Không gian tôpô (X, τ) gọi không gian mêtric hóa (hay không gian mêtric hoá được) X có mêtric d cho tôpô sinh mêtric d trùng với tôpô τ X 1.8.3 Định lý: a) Mọi không gian mêtric hóa không gian chuẩn tắc thỏa tiên đề đếm thứ b) Mọi không gian mêtric hóa thỏa tiên đề đếm thứ hai khả li [...]... Chương 2: Phân hoạch đơn vị Ở chương này trình bày: - Phân hoạch đơn vị, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm ngặt cùng các tính chất kèm các chứng minh chi tiết - Thác triển phân hoạch đơn vị - Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị - Bậc phân hoạch đơn vị và chiều Các kết quả khác liên quan đến không gian chuẩn tắc luận văn chỉ trình bày chứ không chứng minh Chương 3: Ứng dụng phân hoạch đơn vị vào... T4- không gian hay không gian chuẩn tắc nếu X là T1- không gian và hai tập con đóng bất kỳ không giao nhau A, B trong X, tồn tại các tập con mở U, V sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và U ∩ V = ∅ Ta gọi T0 , T1 , T2 , T3 , T 1 , T4 là các tiên đề tách 3 2 Ví dụ: Đường thẳng thực là T0- không gian, T1- không gian, không gian Hausdorff, không gian chính qui, không gian chuẩn tắc 19 Nhận xét: Tj- không gian ⇒ Ti- không. .. sao cho: U ∩ V = ∅ - X gọi là T3- không gian hay không gian chính qui nếu X là T1- không gian và với mọi x∈X và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U, V sao cho x∈U, F ⊂ V và U ∩ V = ∅ - X gọi là T 1- không gian hay không gian hoàn toàn chính qui hay không 3 2 gian Tikhonov nếu X là T1- không gian và với mọi x∈X và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại hàm liên tục... X, Y là các không gian tôpô và song ánh f : X → Y f là phép đồng phôi khi và chỉ khi f là ánh xạ liên tục và mở (hoặc đóng) 1.4 Không gian con 1.4.1 Định nghĩa tôpô cảm sinh, không gian con: Cho không gian tôpô (X, τ) và tập Y ⊂ X Khi đó: - Họ τY = {V ⊂ Y  V = Y ∩ G với G∈τ} là một tôpô trên A - τY gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ trên X - Không gian (Y, τY) gọi là không gian con của không gian X - Mỗi... Cho X, Y là các không gian tôpô Ánh xạ f : X → Y được gọi là một phép đồng phôi hay ánh xạ tôpô nếu f là song ánh, liên tục và f -1 liên tục Hai không gian được gọi là đồng phôi nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia Hai không gian đồng phôi còn được gọi là hai không gian tương đương tôpô 1.3.2 Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng: Cho X, Y là các không gian tôpô Ánh xạ... f là hàm liên tục trên tập con đóng A của không gian chuẩn tắc X Khi đó tồn tại hàm g liên tục trên X sao cho gA = f b) Nếu X là không gian chuẩn tắc thì X hoàn toàn chính quy 20 1.7.4 Định lý: Không gian tôpô X là không gian chuẩn tắc khi và chỉ khi T1- không gian và với mỗi tập con đóng F trong X, mỗi lân cận tùy ý của F có chứa một lân cận đóng của F 1.7.5 Hệ quả: Mọi không gian chính qui thỏa... mở trong (X, d) 1.8.2 Định nghĩa không gian mêtric hóa: Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian mêtric hóa (hay không gian mêtric hoá được) nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô τ trên X 1.8.3 Định lý: a) Mọi không gian mêtric hóa đều là không gian chuẩn tắc và thỏa tiên đề đếm được thứ nhất b) Mọi không gian mêtric hóa thỏa tiên đề đếm được thứ hai khi và chỉ... Nhận xét: Tj- không gian ⇒ Ti- không gian với j > i 1.6.2 Định lý: Cho X là không gian tôpô a) X là T1- không gian nếu và chỉ nếu mọi tập con chỉ gồm một điểm của X là tập đóng b) X là không gian chính qui nếu và chỉ nếu X là T1- không gian và mọi x∈X, mọi lân cận V của x đều chứa một lân cận đóng của x Tức là: X là không gian chính qui nếu và chỉ nếu X là T1- không gian và mọi x∈X, mọi lân cận V của... các Ti- không gian: Cho X là không gian tôpô - X gọi là T0- không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x, y∈X có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x - X gọi là T1- không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x, y∈X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x - X gọi là T2- không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x, y∈X tồn tại... là không gian chuẩn tắc 1.8 Không gian mêtric hóa 1.8.1 Định nghĩa tôpô sinh bởi mêtric: Cho không gian mêtric (X, d) Ta xác định trong (X, d) một tập hợp τ các tập con của X như sau: τ = {U ⊂ X | ∀x∈U, ∃r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ U} Thì τ là một tôpô trên X Tôpô τ xác định như trên gọi là tôpô sinh ra bởi mêtric d trên X, các phần tử thuộc τ được gọi là các tập mở trong (X, d) 1.8.2 Định nghĩa không gian