Phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Thị Như Ý PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN KHÔNG GIAN CHUẨN TẮC Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Hà Thanh Thầy tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu truyền đạt cho kiến thức quí báu suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thái Sơn, PGS.TS Lê Anh Vũ quí thầy cô giảng dạy suốt trình học tập Xin cảm ơn quí thầy cô phòng Khoa học Công Nghệ Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Trong trình thực luận văn, vài lần liên hệ với nhà toán học nước ngoài, đặc biệt giáo sư Dydak, thầy tận tình giải đáp thắc mắc vấn đề liên quan Xin chân thành cảm ơn tác giả Dydak Xin chân thành cảm ơn người thân gia đình động viên tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Sau cùng, xin gởi lời cảm ơn đến bạn lớp học, trao đổi kiến thức, giúp đỡ động viên suốt trình học tập Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2008 Tác giả Huỳnh Thị Như Ý MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa……………………………………………………………… Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kiến thức lý thuyết tập hợp 1.1 Tập hợp 1.2 Lực lượng tập hợp 1.3 Tập đếm Không gian mêtric 2.1 Không gian mêtric 2.2 Ví dụ 10 2.3 Khoảng cách 11 2.4 Không gian mêtric tích 12 Không gian tôpô 12 3.1 Tôpô Không gian tôpô 12 3.2 Cở sở 13 3.3 Lân cận, sở lân cận 14 3.4 Phủ, phần bao đóng 15 3.5 Ánh xạ liên tục 16 3.6 Tiên đề tách 16 Sự mêtric hóa 20 4.1 Tôpô sinh mêtric 20 4.2 Không gian mêtric hóa 21 4.3 Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc 21 4.4 Cái mịn 22 Tập sao, hình 22 Chương PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ Phân hoạch đơn vị liên tục đồng bậc 24 1.1 Phân hoạch đơn vị 24 1.2 Liên tục đồng bậc 29 Tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị 37 2.1 Định nghĩa 37 2.2 Định lý 2.8 (sự tồn đạo hàm phân hoạch đơn vị) 38 2.3 Mệnh đề 2.9 (cái mịn phủ mở) 42 2.4 Bậc phân hoạch đơn vị 43 2.5 Mệnh đề 2.10 (tính toán bậc phân hoạch đơn vị) 43 Chương MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ CHO TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG Phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc 45 1.1 Định nghĩa không gian chuẩn tắc 45 1.2 Định lý thác triển Tietze không gian chuẩn tắc 45 1.3 Thác triển phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc 47 1.4 Định lý tồn phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc 51 Phân hoạch đơn vị mêtric hóa 53 2.1 Định lý 3.8 (tiêu chuẩn mêtric hóa không gian) 53 2.2 Định lý 3.11 ( Định lý mêtric hóa) 56 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Gần đây, nghiên cứu vấn đề tôpô hình học, nhiều nhà toán học Jerzy Dydak, N.Feldman, J.Segal, R Engelking,… mạnh dạn dùng phân hoạch đơn vị để nghiên cứu lại tính chất không gian tôpô Theo nhiều nhà toán học, tính chất tôpô quan trọng tính chuẩn tắc, tính compact, tính paracompact vấn đề liên quan đến định lý thác triển Tietze Như biết, có hai cách tiếp cận nghiên cứu không gian thông qua phủ mở hàm liên tục Bằng cách sử dụng phân hoạch đơn vị xây dựng định nghĩa chứng minh định lý, tác giả J.Dydak, N.Feldman, J.Segal, R Engelking,…đã thống hai cách tiếp cận Khi nghiên cứu phân hoạch đơn vị, tìm thấy nhiều áp dụng tôpô, hình học Ngoài ra, đóng vai trò quan trọng việc xây dựng lý thuyết đồng luân Ban đầu, nghiên cứu, nhà toán học chứng minh tồn phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ dừng lại việc nghiên cứu phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm Khi đó, gặp nhiều khó khăn tìm hiểu áp dụng khó để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương phương pháp đại số, chí xây dựng phân hoạch đơn vị tùy ý không tránh khỏi trở ngại Vì vậy, việc xây dựng phân hoạch liên tục đồng bậc giải khó khăn này, đem lại nhiều thuận lợi nghiên cứu không gian tôpô, đặc biệt không gian chuẩn tắc 6 Vì lí đó, đề tài nghiên cứu “phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc” Mục đích nghiên cứu Sử dụng phân hoạch đơn vị để chứng minh kết không gian chuẩn tắc cách ngắn gọn đơn giản Đối tượng nội dung nghiên cứu Không gian chuẩn tắc Ý nghĩa khoa học thực tiễn Phân hoạch đơn vị giúp cho việc giải toán tôpô hình học cách đơn giản Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu lí chọn đề tài Phần nội dung: Chương 1: Nêu số kiến thức chuẩn bị tôpô đại cương Gồm phần lý thuyết tập hợp, không gian mêtric không gian tôpô Chương 2: Phần sở nội dung luận văn Ở đây, khái niệm phân hoạch đơn vị, liên tục đồng bậc, tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị định nghĩa, với định lý kèm chứng minh nêu lên làm sở cho việc trình bày chương Chương 3: Trình bày số áp dụng phân hoạch đơn vị cho tôpô, hình học Nội dung chương gồm ba phần Thứ nhất, sử dụng phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ để chứng minh định lý thác triển Tietze Thứ hai, trình bày số áp dụng phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc Thứ ba, tìm hiểu vấn đề mêtric hóa không gian chứng minh định lý mêtric hóa Phần kết luận: Đưa nhận xét nghiên cứu phân hoạch đơn vị 8 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương kiến thức tôpô đại cương làm sở lý thuyết cho việc nghiên cứu chương sau Cụ thể sau: Một số kiến thức lý thuyết tập hợp 1.1 Tập hợp 1.1.1 Thứ tự phận Quan hệ R tập hợp X gọi thứ tự phận thỏa tính chất sau: (i) Phản xạ: xRx, ∀x ∈ X , (ii) Phản đối xứng: Nếu xRy vaø yRx x=y, ∀x,y ∈ X , (iii) Bắc cầu: Nếu xRy vaø yRz xRz, ∀x,y,z ∈ X Tập hợp X với thứ tự phận R gọi tập hợp phận ký hiệu (X, R) Thứ tự phận thường ký hiệu ≤ tập hợp phận ký hiệu ( X , ≤ ) 1.1.2 Phần tử bé nhất, lớn Cho ( X , ≤ ) tập hợp phận A ⊆ X Phần tử a ( a ∈ A ) gọi phần tử bé (phần tử đầu tiên) A a ∈ A a ≤ x , ∀x ∈ A Phần tử b ( b ∈ A ) gọi phần tử lớn (phần tử cuối cùng) A b ∈ A x ≤ b, ∀x ∈ A 1.1.3 Tập tốt: Tập phận ( X , ≤ ) gọi tốt tập hợp không rỗng X có phần tử bé 1.2 Lực lượng tập hợp Cho tập X Y Nếu tồn đơn ánh f : X → Y ta viết card ( X ) ≤ card (Y ) ; tồn song ánh f : X → Y ta viết card ( X ) = card (Y ) ; tồn đơn ánh f : X → Y không tồn song ánh từ X lên Y ta viết card ( X ) < card (Y ) Ta gọi card(X) lực lượng tập X Hiển nhiên X ⊂ Y card ( X ) ≤ card (Y ) 1.3 Tập đếm Một tập X tập đếm card ( X ) ≤ card (Y ) Như vậy, X tập đếm có đơn ánh f : X → Y có toàn ánh g : X → Y Mọi tập hữu hạn đếm Ta kí hiệu card ( X ) = n card ( X ) = card ({1,2, , n}) card ( ∅ ) = Trong trường hợp ta hiểu card ( X ) số phần tử X Không gian mêtric 2.1 Không gian mêtric Cho X tập Một hàm d : X → mãn điều kiện sau: mêtric X thỏa 10 (i) d ( x, y ) ≥ 0; d ( x, y ) = ⇔ x = y; (ii) d ( x, y ) = d ( y , x ) ; (iii) d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) , ∀x, y, z ∈ X Không gian mêtric ( X , d ) tập X với mêtric d X Nếu ( X , d ) không gian mêtric x ∈ X gọi điểm với x, y ∈ X ta gọi d ( x, y ) khoảng cách từ x đến y 2.2 Ví dụ Với x = ( x1 , x2 , , xk ) , y = ( y1 , y2 , , yk ) ∈ R k , đặt 1 ⎞2 ⎛ n d ( x, y ) = ⎜ ∑ xi − y j ⎟ ⎝ i =1 ⎠ d mêtric R k Thật vậy, (i), (ii) hiển nhiên Với x = ( x1 , x2 , , xk ) , y = ( y1 , y2 , , yk ) , z = ( z1 , z2 , , zk ) ∈ R k sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có: d k ( x, y ) = ∑ xi − zi k i =1 ≤∑ i =1 xi − yi k ≤∑ i =1 ( xi − yi + yi − zi ) k k i =1 i =1 + 2∑ xi − yi yi − zi + ∑ 2 yi − zi 2 k 2⎞ ⎛ k 2⎞ ⎛ ≤ ∑ x − y + 2⎜ ∑ x − y ⎟ ⎜ ∑ y − z ⎟ + ∑ y − z i i i i i i i i ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ k i =1 k i =1 11 ⎛ k ⎞ k ⎛ ⎛ ⎟ ≤⎜⎜ ∑ x −y i i ⎟ + ⎜ ∑ yi − zi ⎟ ⎜ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎞2 ≤ ( d ( x, y ) + d ( y , z ) ) ⎞2 2 Từ suy d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) ta có (iii) Mêtric d gọi mêtric Euclide R k Kí hiệu C [ a, b ] tập hàm liên tục [ a, b ] Với () () x, y ∈ C [ a, b ] đặt d ( x, y ) = max x t − y t t∈[ a,b ] Ta thấy d thỏa (i) (ii) Ta kiểm tra (iii) Với x, y, z ∈ C [ a, b ] ta có : () () d ( x, z ) = max x t − z t t∈[ a,b ] ≤ max( x ( t ) − y ( t ) + y ( t ) − z ( t ) ) t ∈[ a ,b ] ≤ max x ( t ) − y ( t ) + max y ( t ) − z ( t ) t∈[ a ,b ] t∈[ a ,b ] d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( z , y ) Do d mêtric C [ a, b ] Khoảng cách Cho A, B hai tập khác rỗng không gian mêtric X Đặt d ( A, B ) = inf d ( x, y ) x∈A, y∈B Ta gọi số thực d(A, B) khoảng cách hai tập hợp A B 12 Nếu A = {a} ta viết d(A, B) = d(a, B) gọi khoảng cách từ điểm a đến tập B Nếu A ∩ B ≠ ∅ d(A, B) = 0, điều ngược lại nói chung không 2.4 Không gian mêtric tích Cho X ×Y = ( X ,dX ) ( Y , dY ) hai không gian mêtric tùy ý {( x, y )⏐x ∈ X , y ∈ Y } tích Descartes X Y Đặt d ( ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ) = d X ( x1 , x2 ) + dY ( y1 , y2 ) , ∀ ( x1 , x2 ) , ( y1 , y2 ) ∈ X × Y Khi d mêtric X × Y Không gian mêtric ( X × Y , d ) gọi không gian mêtric tích hai không gian mêtric X Y Không gian tôpô 3.1 Tôpô Không gian tôpô 3.1.1 Cho tập X Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện sau: (i) X ∅ thuộc τ ; (ii) Hợp tùy ý tập thuộc τ thuộc τ ; (iii) Giao hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ 3.1.2 Ví dụ Với tập X, P (X) tôpô X, gọi tôpô rời rạc Tập X với tôpô rời rạc gọi không gian rời rạc 13 Với tập X, họ {∅, X } tôpô X, gọi tôpô tầm thường Tập X với tôpô tầm thường gọi không gian tầm thường Với không gian mêtric (X,d), họ tập mở theo mêtric d tôpô X Tôpô gọi tôpô sinh mêtric d Không gian mêtric X coi không gian tôpô với tôpô sinh mêtric Tôpô sinh mêtric thông thường gọi tôpô thông thường Với tập vô hạn X, họ bao gồm tập ∅ tất tập G X có X \ G đếm được, tôpô X Tôpô gọi tôpô Zariski Với tập không đếm X, họ bao gồm tập ∅ tất tập G X có X \ G đếm được, tôpô X 3.2 Cơ sở 3.2.1 Cơ sở Cho τ tôpô X Một họ β τ gọi sở τ tập thuộc τ hợp họ tập thuộc β Nói cách khác, họ β τ sở τ G ∈τ x ∈ G tồn V ∈ β cho x ∈V ⊂ G Không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai tôpô có sở đếm 3.2.2 Ví dụ Tôpô thông thường với a, b số hữu tỉ, a < b Như đề đếm thứ hai có sở họ tất khoảng ( a, b ) với tôpô thông thường thỏa mãn tiên 14 ⎛ 1⎞ Trong không gian mêtric, họ tất hình cầu mở B ⎜ x, ⎟ , ⎝ n⎠ x∈ X ,n∈ sở 3.3 Lân cận, sở lân cận 3.3.1 Lân cận Cho X không gian tôpô x ∈ X Tập V X gọi lân cận điểm x tồn tập mở G cho x ∈ G ⊂ V Nếu lân cận V x tập mở V lân cận mở x 3.3.2 Cở sở lân cận Một họ Ux lân cận x gọi sở lân cận x lân cận V x tồn lân cận U∈Ux cho U ⊂ V Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở lân cận đếm 3.3.3 Ví dụ ⎡⎣ a, b ⎤⎦ ( a < b ) lân cận điểm tùy ý ( a, b ) đường thẳng thực Họ tất tập mở chứa x sở lân cận x Trong không gian mêtric, điểm x, họ hình cầu mở tâm x, bán kính ,n ∈ N sở lân cận x Như không gian mêtric n thỏa mãn tiên đề đếm thứ Trong không gian rời rạc, tập điểm { x} sở lân cận điểm x 15 3.4 Phủ, phần bao đóng 3.4.1 Các định nghĩa phủ Cho X không gian tôpô, tập A ⊂ X Một họ {Vα }α∈I tập X gọi phủ A A ⊂ ∪ Vα Ta nói A phủ α ∈I họ {Vα}α∈I Nếu Vα tập mở với ∀α∈I {Vα}α∈I gọi phủ mở A Nếu I tập hữu hạn {Vα}α∈I gọi phủ hữu hạn A Cho X không gian tôpô, tập A ⊂ X {Vα }α∈I phủ A Nếu J ⊂ I {Vα}α∈J phủ A {Vα}α∈J gọi phủ phủ {Vα}α∈I Nếu tập J hữu hạn {Vα}α∈J gọi phủ hữu hạn {Vα}α∈I 3.4.2 Phần bao đóng Cho X không gian tôpô A tập X Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A, kí hiệu A0 Từ định nghĩa ta có: A0 tập mở lớn chứa A; A ⊂ B A0 ⊂ B A mở A = A0 Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, kí hiệu A Từ định nghĩa ta có A tập đóng nhỏ chứa A; A ⊂ B A ⊂ B A đóng A = A Tập D gọi trù mật X D = X Không gian X gọi khả li có tập đếm trù mật Tập A X gọi không đâu trù mật ( A ) = ∅ 16 3.5 Ánh xạ liên tục Cho X Y không gian tôpô ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X lân cận V f(x) Y tồn lân cận U x X cho f (U ) ⊂ V , cách tương đương f −1 (V ) lân cận x Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục x ∈ X 3.6 Tiên đề tách 3.6.1 Các tiên đề tách Không gian tôpô X gọi T0 - không gian hai điểm x, y khác thuộc X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x Không gian tôpô X gọi T1 - không gian hai điểm x, y khác thuộc X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x Không gian tôpô X gọi T2 - không gian (hay không gian Hausdorff ) hai điểm x, y khác thuộc X, tồn lân cận U x lân cận V y cho U ∩ V = ∅ Không gian tôpô X gọi T3 - không gian (hay không gian qui) X T1- không gian với tập đóng F X không chứa x, tồn tập mở U V cho x ∈U , F ⊂ V U ∩ V = ∅ Không gian tôpô X gọi T - không gian (hay không gian hoàn toàn qui) X T1 - không gian với x ∈ X , tập đóng F X không chứa x, tồn hàm liên tục f : X → [ 0,1] cho f(x)=0 f(y)=1 với y ∈ F Không gian hoàn toàn qui gọi không gian Tikhonov 17 Không gian tôpô X gọi T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc) X T1- không gian hai tập đóng A, B không giao X, tồn tập mở U V cho A ⊂ U , B ⊂ V U ∩ V = ∅ Ta gọi T0 , T1 , T2, T3 , T , T4 tiên đề tách 3.6.2 Tính chất không gian chuẩn tắc 3.6.2-1 Bổ đề Urysohn Cho X không gian chuẩn tắc, A B hai tập đóng rời X Khi tồn hàm liên tục f : X → [0,1] cho f ( x ) = với x ∈ A f ( x ) = với x ∈ B Chứng minh Trước hết ta chứng minh số hữu tỉ dạng r = k 2− n ∈ ( 0,1] , tồn tập mở U r cho A ⊂ U r ⊂ X \ B, U r ⊂ U s , r < s Thật vậy, đặt U1 = X \ B Gọi V W tập mở rời cho A ⊂ V B ⊂ W Đặt U1/ = V Vì X\W đóng nên ta có: A ⊂ U1/ ⊂ U1/ ⊂ X \ W ⊂ X \ B = U1 Bây ta xây dựng U r với r = k 2− n qui nạp theo n Giả sử chọn U r với r = k 2− n , < k ≤ 2n , ≤ n ≤ N − Ta xây dựng Ur với r = ( j + 1) 2− N ,0 ≤ j < N −1 < j ≤ N −1 , r = j 2− N = j 2− ( N −1) , U r có theo giả thiết qui nạp) Ta có U X \ U ( j +1)2 1− N (với j 21− N hai tập đóng rời (ở đặt U = A ), nên tương tự trên, chọn U r cho U j ⊂ U r ⊂ U r ⊂ U ( j +1)2 1− N 1− N 18 Vậy ta có họ U r có tính chất đặt Đặt U r = X với r > xác định hàm f ( x ) = inf {r / x ∈U r } Vì A ⊂ U r ⊂ X \ B với < r < nên f ( x ) = với x ∈ A , f ( x ) = với x ∈ B ≤ f ( x ) ≤ với x ∈ X Với α ∈ [ 0,1] , giá trị r = k 2− n , < k < 2n trù mật [ 0,1] nên f ( x ) < α ⇔ x ∈U r với r đó, r < α ⇔ x ∈ ∪U r r α ⇔ x ∉U r với r đó, r > α ⇔ x ∉U s với s đó, s > α ( ⇔ x ∈ ∪ X \ Us s >α ) ( Vì f −1 ( ( −∞,α ) ) = ∪ U r f −1 ( (α , +∞ ) ) = ∪ X \ U s r α ) mở Từ f liên tục 3.6.2-2 Định lý 1.1(Định lý Tietze-Urysohn) Cho X không gian chuẩn tắc, A tập đóng X Khi hàm liên tục f : A → [ a, b ] tồn hàm liên tục F : X → [ a, b ] cho F ⎢A = f Chứng minh 19 Bằng cách thay f { g } dựng dãy n f −a ta giả thiết [ a, b ] = [ 0,1] Ta xây b−a hàm liên tục X cho 2n−1 ≤ g n ≤ n X n ⎛2⎞ ≤ f − ∑ g j ≤ ⎜ ⎟ A j =1 ⎝3⎠ n ⎛ ⎡ 1⎤ ⎞ ⎛ ⎡2 ⎤⎞ Xét tập B = f −1 ⎜ ⎢0, ⎥ ⎟ C = f −1 ⎜ ⎢ ,1⎥ ⎟ Vì B, C đóng A ⎝ ⎣ 3⎦ ⎠ ⎝ ⎣3 ⎦⎠ A đóng X nên B,C đóng X Theo bổ đề Urysohn, tồn ⎡ 1⎤ g1 : X → ⎢0, ⎥ cho g1 = B g1 = C ⎣ 3⎦ Từ ≤ f − g1 ≤ A Giả sử xây dựng g1 , , g n −1 có tính n −1 2n−2 ⎛2⎞ chất ≤ g n−1 ≤ n −1 X ≤ f − ∑ g j ≤ ⎜ ⎟ j =1 ⎝3⎠ n −1 A ⎡ 2n −1 ⎤ Bằng phương pháp trên, ta có g n : X → ⎢0, n ⎥ cho g n = tập ⎣ ⎦ có n n 2n −1 2n −1 ⎛2⎞ f − ∑ g j ≥ n g n = n tập có f − ∑ g j ≥ ⎜ ⎟ Dễ thấy g n có 3 j =1 j =1 ⎝3⎠ n tính chất mong muốn dãy { g n } ⎛2⎞ Đặt F = ∑ g n , ta có ≤ f − F ≤ ⎜ ⎟ n =1 ⎝3⎠ ∞ F ≡ f A hiển nhiên ≤ F ≤ n A với n, 20 Ta phải chứng minh F liên tục Với x0 ∈ X ε > , chọn 2n−1 ε cho ∑ n < Do g1 , , g N liên tục x0 nên tồn lân cận V x0 n = N +1 ∞ cho g n ( x ) − g n ( x0 ) < ε 3N với x ∈V , n=1,…,N Từ với x ∈V N F ( x ) − F ( x0 ) ≤ ∑ g n ( x ) − g n ( x0 ) + n =1 ε ε ε ∞ ∑ n = N +1 gn ( x ) + 2n −1 < + + = ε (vì g n ≤ n mà 3 3 ∞ ∑ n = N +1 g n ( x0 ) 2n−1 ε ∑ n < 3) n = N +1 ∞ Vậy F liên tục x0 Sự mêtric hóa 4.1 Tôpô sinh mêtric 4.1.1 Hình cầu, mặt cầu Cho không gian mêtric ( X , d ) , điểm x0 ∈ X số thực r > { } Hình cầu mở tâm x0 bán kính r tập B ( x0 , r ) = x ∈ X⏐d ( x , x0 ) < r { } Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r tập B∗ ( x0 , r ) = x ∈ X ⏐d ( x , x0 ) ≤ r { } Mặt cầu tâm x0 bán kính r tập hợp B ( x0 , r ) = x ∈ X⏐d ( x , x0 ) = r Hình cầu mở B(x0, r) gọi r- lân cận điểm x0 không gian mêtric ( X , d ) 4.1.2 Tôpô sinh mêtric Cho không gian mêtric (X, d) Ta xác định ( X , d ) tập hợp τ tập X sau: [...]... (hay không gian hoàn toàn 3 2 chính qui) nếu X là T1 - không gian và với mọi x ∈ X , mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0,1] sao cho f(x)=0 và f(y)=1 với mọi y ∈ F Không gian hoàn toàn chính qui gọi là không gian Tikhonov 17 Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1- không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao... T2 - không gian (hay không gian Hausdorff ) nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅ Không gian tôpô X gọi là T3 - không gian (hay không gian chính qui) nếu X là T1- không gian và với mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho x ∈U , F ⊂ V và U ∩ V = ∅ Không gian tôpô X gọi là T 1 - không gian (hay không. .. tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X 3.6 Tiên đề tách 3.6.1 Các tiên đề tách Không gian tôpô X gọi là T0 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x Không gian tôpô X gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x Không gian. .. ) và ( Y , dY ) là hai không gian mêtric tùy ý {( x, y )⏐x ∈ X , y ∈ Y } là tích Descartes của X và Y Đặt d ( ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ) = d X ( x1 , x2 ) + dY ( y1 , y2 ) , ∀ ( x1 , x2 ) , ( y1 , y2 ) ∈ X × Y Khi đó d là một mêtric trên X × Y Không gian mêtric ( X × Y , d ) được gọi là không gian mêtric tích của hai không gian mêtric X và Y 3 Không gian tôpô 3.1 Tôpô Không gian tôpô 3.1.1 Cho một... gọi là không gian tầm thường 3 Với mọi không gian mêtric (X,d), họ các tập mở theo mêtric d là một tôpô trên X Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d Không gian mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric Tôpô sinh bởi mêtric thông thường trên gọi là tôpô thông thường 4 Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G của X có X \ G đếm được, là một tôpô trên X Tôpô... không giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V = ∅ Ta gọi T0 , T1 , T2, T3 , T 1 , T4 là các tiên đề tách 3 2 3.6.2 Tính chất của không gian chuẩn tắc 3.6.2-1 Bổ đề Urysohn Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời nhau của X Khi đó tồn tại hàm liên tục f : X → [0,1] sao cho f ( x ) = 0 với mọi x ∈ A và f ( x ) = 1 với mọi x ∈ B Chứng minh... ⎡ 1⎤ g1 : X → ⎢0, ⎥ sao cho g1 = 0 trên B và g1 = trên C 3 ⎣ 3⎦ Từ đó 0 ≤ f − g1 ≤ 2 trên A Giả sử đã xây dựng được g1 , , g n −1 có tính 3 n −1 2n−2 ⎛2⎞ chất 0 ≤ g n−1 ≤ n −1 trên X và 0 ≤ f − ∑ g j ≤ ⎜ ⎟ 3 j =1 ⎝3⎠ n −1 trên A ⎡ 2n −1 ⎤ Bằng phương pháp trên, ta có g n : X → ⎢0, n ⎥ sao cho g n = 0 trên tập ⎣ 3 ⎦ có n n 2n −1 2n −1 ⎛2⎞ f − ∑ g j ≥ n và g n = n trên tập có f − ∑ g j ≥ ⎜ ⎟ Dễ thấy... lý Tietze-Urysohn) Cho X là không gian chuẩn tắc, A là tập con đóng của X Khi đó mọi hàm liên tục f : A → [ a, b ] đều tồn tại một hàm liên tục F : X → [ a, b ] sao cho F ⎢A = f Chứng minh 19 Bằng cách thay f bởi { g } các dựng dãy n f −a ta có thể giả thiết [ a, b ] = [ 0,1] Ta sẽ xây b−a hàm liên tục trên X sao cho 2n−1 0 ≤ g n ≤ n trên X và 3 n ⎛2⎞ 0 ≤ f − ∑ g j ≤ ⎜ ⎟ trên A j =1 ⎝3⎠ n ⎛ ⎡ 1⎤ ⎞... V Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x ∈ X đều có một cơ sở lân cận đếm được 3.3.3 Ví dụ 1 ⎡⎣ a, b ⎤⎦ ( a < b ) là lân cận của một điểm tùy ý của ( a, b ) trên đường thẳng thực 2 Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x 3 Trong không gian mêtric, tại mỗi điểm x, họ các hình cầu mở tâm x, bán kính 1 ,n ∈ N là cơ sở lân cận của x Như vậy mọi không gian. .. d là một mêtric trên C [ a, b ] 2 3 Khoảng cách Cho A, B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X Đặt d ( A, B ) = inf d ( x, y ) x∈A, y∈B Ta gọi số thực d(A, B) này là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B 12 Nếu A = {a} thì ta viết d(A, B) = d(a, B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B Nếu A ∩ B ≠ ∅ thì d(A, B) = 0, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng 2.4 Không gian mêtric tích