Đường cong đơn thức trong không gian afin

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Mở View Menu, Chọn Zoom to ! Chọn tỷ lệ có sẵn hộp kích th thưước muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cấp Li cm n Trc ht em xin gi li cm n chõn thnh n thy Trn Mnh Hựng- Ngi ó trc tip hng dn, ch bo tn tỡnh em hon thnh khúa lun ca mỡnh Em xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu trng i hc Qung Bỡnh, s giỳp v mi mt ca quý thy cụ khoa Khoa hc t nhiờn ó cung cp cho em nhng kin thc quý bỏu thi gian hc cng nh sut quỏ trỡnh thc hin khúa lun Li cui em xin chõn thnh cm n gia ỡnh, bn bố, cỏc bn sinh viờn lp i hc s phm Toỏn K53 ó giỳp ng viờn, chia s khú khn cựng em Mc lc Li cm n MC LC M U Kin thc c s 1.1 Nhúm 1.2 Vnh 12 1.3 Trng 15 1.4 Iờan 17 1.5 Khụng gian afin 20 ng cong n thc khụng gian afin 2.1 23 a afin 23 2.1.1 Tp i s 23 2.1.2 Tụpụ Zariski 29 2.2 2.1.3 Tp i s bt kh quy 30 2.1.4 a afin 30 ng cong n thc khụng gian afin 32 KT LUN 45 TI LIU THAM KHO 46 M U Lớ chn ti Mt nhng quan trng ca Toỏn hc sut ba th k qua l vic nghiờn cu v tỡm li gii cho bi toỏn Fermat õy l mt bi toỏn thuc v lnh vc Lý thuyt s nhng ó thu hỳt c s quan tõm nghiờn cu ca rt nhiu nh khoa hc iu thỳ v l quỏ trỡnh tỡm kim li gii cho gi thuyt Fermat thỡ ngi ta ó phi s dng ti rt nhiu kin thc v k thut cng nh phng phỏp nghiờn cu ca rt nhiu ngnh khỏc nh Lý thuyt s, i s giao hoỏn, Gii tớch v c bit s ú cú s úng gúp rt quan trng ca ngnh Hỡnh hc i s Lý thuyt v cỏc a tp, cỏc ng cong i s v cỏc kt qu nghiờn cu liờn quan l nhng tim cn ca li gii nh lớ Fermat Tụi la chn ti ny thuc lnh vc Hỡnh hc i s vi ý tng tỡm hiu mt s kin thc chuyờn sõu ca a v nghiờn cu sõu sc v a i s, ng cong n thc cỏc khụng gian nht l khụng gian afin Mc ớch nghiờn cu Thc hin ti ng cong n thc khụng gian afin, tụi hng n mc ớch l rốn luyn kh nng tip cn, tỡm hiu v nghiờn cu mt Toỏn hc cũn khỏ mi i vi bn thõn T ú, hỡnh thnh kh nng trỡnh by mt khỏi nim toỏn hc tru tng mt cỏch lụgic v cú h thng Trỡnh by cỏc kin thc liờn quan n ti Tng hp cỏc kin thc b tr cho ti: Nhúm, vnh, trng, iờan cng nh khụng gian afin v a afin Nghiờn cu sõu hn ng cong n thc khụng gian afin i tng nghiờn cu v phm vi nghiờn cu - Cng c li cỏc kiờn thc liờn quan nh nhúm, vnh, trng, iờan - Cỏc kin thc v khụng gian afin nh ỏnh x afin, nh v to nh qua ỏnh x afin - Cỏc kin thc liờn quan n a afin nh i s, i s bt kh quy, a afin v ng cong n thc khụng gian afin Phng phỏp nghiờn cu Cỏc phng phỏp c s dng quỏ trỡnh nghiờn cu ti: - Phng phỏp nghiờn cu lý lun: c, phõn tớch, tng hp ti liu lm rừ ni dung lý thuyt Sau ú trỡnh by li cỏc tớnh cht theo mt h thng cú lụgic - Phng phỏp ly ý kin chuyờn gia: Xemina, ly ý kin ca ging viờn hng dn hon thnh v mt ni dung cng nh hỡnh thc ti nghiờn cu - Nghiờn cu, phõn tớch, tng hp cỏc ti liu ca cỏc nh khoa hc ó nghiờn cu v Hỡnh hc i s trc õy - Nghiờn cu v a afin mt cỏch chuyờn sõu qua ú m ng cong n thc khụng gian afin B cc khúa lun Ngoi cỏc phn m u, kt lun, mc lc v ti liu tham kho, ni dung khúa lun gm chng: Chng 1: Kin thc c s Chng ny l h thng gm mt s kin thc v nhúm, vnh, trng, c s ca trng, iờan, sinh ca iờan, khụng gian afin v ỏnh x afin Chng 2: ng cong n thc khụng gian afin Chng ny s h thng húa cỏc kin thc liờn quan a afin nh i s, i s bt kh quy Cng nh nghiờn cu sõu hn v ng cong n thc khụng gian afin Chng Kin thc c s Chng ny l h thng gm mt s kin thc v nhúm, vnh, trng, c s ca trng, iờan, sinh ca iờan, khụng gian afin v ỏnh x afin 1.1 Nhúm nh ngha 1.1.1 Phộp toỏn hai ngụi (gi tt l phộp toỏn) trờn hp X l mt ỏnh x f : X ì X X (x, y) f (x, y) Ta dựng kớ hiu xf y thay cho f (x, y) Nh vy, ng vi cỏc phộp toỏn , , +, ta cú cỏc kớ hiu x y, x y, x + y, Khi kớ hiu phộp toỏn l ta gi õy l phộp nhõn v thng vit xy thay cho x.y m ta gi õy l tớch ca x v y Cũn kớ hiu phộp toỏn l + ta gi õy l phộp toỏn cng v x + y l tng ca x v y Vớ d Phộp cng v phộp nhõn thụng thng trờn cỏc hp N, Z, Q, R, C l cỏc phộp toỏn hai ngụi Phộp tr thụng thng l phộp toỏn trờn cỏc hp Z, Q, R, C nhng khụng l phộp toỏn trờn N Phộp cng v phộp nhõn ma trn l cỏc phộp toỏn trờn M (n, R) gm cỏc ma trn vuụng cp n vi h s thc nh ngha 1.1.2 Cho phộp toỏn trờn hp X Ta núi phộp toỏn : (i) Giao hoỏn nu vi mi x, y X, x y = y x (ii) Kt hp nu vi mi x, y, z X, (x y) z = x (y z) (iii) Cú phn t trung hũa trỏi (phõn t trung hũa phi) l e nu e X v vi mi x X, e x = x (tng ng x e = x) Nu e va l phn t trung hũa trỏi va l phn t trung hũa phi thỡ ta núi e l phn t trung hũa ca phộp toỏn Mnh 1.1.3 Mt phộp toỏn cú nhiu nht mt phn t trung hũa nh ngha 1.1.4 Cho l mt phộp toỏn trờn hp X cú phn t trung hũa e v x l mt phn t tựy ý ca X Ta gi x l kh i xng trỏi (tng ng l kh i xng phi) nu tn ti x X cho x x = e (tng ng x x = e) Khi ú x c gi l phn t i xng trỏi (tng ng l phn t i xng phi) ca x Trng hp x va l kh i xng trỏi, va kh i xng phi thỡ ta núi x l kh i xng v phn t x X tha x x = x x = e c gi l phn t i xng ca x Chỳ ý: i vi phộp toỏn cng: Phn t trung hũa c gi l phn t khụng v c kớ hiu l 0, phn t i xng ca x c gi l phn t i ca x v kớ hiu l x i vi phộp toỏn nhõn: Phn t trung hũa c gi l phn t n v v c kớ hiu l e hoc 1, phn t i xng ca x c gi l phn t nghch o ca x v kớ hiu l x1 nh ngha 1.1.5 Cho hp X vi phộp toỏn nhõn Ta núi (X, ) ( gi tt l X) l: (i) Mt na nhúm nu phộp toỏn nhõn kt hp trờn X (ii) Mt v nhúm nu phộp toỏn nhõn kt hp trờn X v cú phn t trung hũa trờn X Mt na nhúm c gi l giao hoỏn nu phộp toỏn tng ng giao hoỏn Vớ d Vi phộp cng thụng thng, cỏc hp N, Z, Q, R, C tr thnh cỏc v nhúm giao hoỏn Vi phộp cng thụng thng, hp N tr thnh mt na nhúm giao hoỏn nhng khụng l v nhúm Kớ hiu: Trong na nhúm (X, ) phộp toỏn nhõn kt hp nờn vi mi x, y, z (xy)z = x(yz) Giỏ tr chung ca hai v ng thc trờn c kớ hiu l xyz v gi l tớch ca cỏc phn t x, y, z theo th t ú Bng quy np ta Mnh 2.1.14 Nu L vụ hn thỡ I(An (L)) = (0) I(ứ) = K [x1 , , xn ] = (1) (iờan sinh bi 1) Vi mi X An (L) thỡ I(X) l iờan cn Vi mi V An (L) thỡ I(X) l K- a afin thỡ V(I(V )) = V Cho V1 , V2 l cỏc K- a afin Khi ú (a)V1 V2 I(V1 ) I(V2 ) (b)I(V1 V2 ) = I(V1 ) I(V2 ) V1 V2 = V(I(V1 ).I(V2 )) Cho (V ) , vi V l cỏc K- a afin Khi ú V = V( 2.2 I(V )) ng cong n thc khụng gian afin nh ngha 2.2.1 Cho trng K v s1 < < sn l nhng s nguyờn dng tha gcd(s1 sn )=1 Mt ng cong n thc An (K) c cho bi phng trỡnh tham s x1 = ts1 x2 = ts2 , x = tsn n ú t K v kớ hiu l C(s1 , , sn ) 32 nh lớ 2.2.2 ng cong n thc C = C(s1 sn ) An (K) l mt a afin cú s chiu bng v trng K úng i s thỡ C bt kh quy Chng minh Xột ng cu vnh : K[x1 xn ] K[t] xi tsi Khi ú ta cú C = V(Ker()) Tht vy, rừ rng C V(Ker()) ta chng minh V(Ker()) C Gi P = (x1 xn ) V(Ker()) Nu tn ti i cho xi = thỡ s xj = j vỡ xi j xsj i Ker(), suy p C Do ú ch cn xột xi = i Gi a1 , , an l nhng s nguyờn cho a1 s1 + + an sn = t t = xa11 xann , ú i = 1, , n ta cú tsi = (xa11 )si (xa22 )si (xann )si = (xs1i )a1 (xs2i )a2 (xsni )an = (xsi )a1 (xsi )a2 (xsi n )an = xi Suy P C, iu ú cú ngha l V(Ker()) C Mt khỏc, Ker() l mt iờan nguyờn t nờn C bt kh quy Hn na, dim(C) = dimK[x1 , , xn ]/I(C) = dimK[ts1 , ts2 , tsn ] = dim K[t] = 33 nh ngha 2.2.3 Trong K[x1 , x2 , x3 ], xột ng cong n thc C = C(s1 , s2 , s3 ) t: m12 m13 f1 = x m x2 x3 , m21 m23 f2 = x m x1 x3 , m31 m32 f3 = x m x1 x2 Trong ú mi l s nguyờn dng nh nht cho tn ti mij (i, j = 1, 2, 3) khụng õm tha phng trỡnh mi si = mij sj j=i Mnh 2.2.4 Cho ng cong n thc C = C(s1 , s2 , s3 ) v cỏc a thc f1 , f2 , f3 nh ngha 2.2.3 Khi ú xy mt hai trng hp sau: mij = i = j mkj mki k Tn ti i, j cho fi = fj v a thc cũn li fk = xm k xi xj cú mki v mkj u dng Chng minh Nu trng hp khụng xy Gi s m13 = 0, ta chng minh f2 = f1 Trc ht ta cú m23 = vỡ nu gi s m23 = thỡ mõu thun vi gi thit Tht vy, tớnh cht nh nht ca cỏc mi ta cú m2 m12 T gi thit gcd(s1 , s2 , s3 ) = suy m21 > Ta li cú m2 m12 m2 m13 x3 f1 = xm x2 x2 34 m21 m23 m12 m2 m13 = xm x3 , (f2 + x1 x3 )x2 m21 m12 m2 m23 suy p = xm x3 Ker() Do ú a thc x1 x2 p = p/xm Ker() (mõu thun vi tớnh chõt nh nht ca m1 ) m12 m21 Nh vy f1 = xm v f2 = xm x2 x1 Do tớnh cht nh nht ca m1 , ta cú gcd(m1 , m12 ) = Khi ú (m21 , m2 ) l mt bi s ca (m1 , m12 ), suy m1 = m21 v m2 = m12 Mnh 2.2.5 Cho ng cu c nh ngha nh chng minh nh lớ 2.2.2 v cỏc a thc f1 , f2 , f3 nh ngha 2.2.3 Ta t I = Ker(), ú I = f1 , f2 , f3 Chng minh Ta ch cn chng minh I f1 , f2 , f3 Tht vy, vỡ I l t hp tuyn tớnh trờn K ca nhng a thc thun nht x1 x2 x3 x1 x2 x3 , ú I l iờan c sinh bi nhng a thc thun nht dng xj j Gi J = f1 , f2 , f3 Nu I J, chn xi xi j=i xj j cú bc j=i nh nht I\J Do tớnh nh nht ca mi ta cú mi Vi i = 1, xột m12 m13 b = xm x2 x3 x2 x3 Ta thy b I \ J vỡ b b f1 Nu c m12 v m13 u khỏc thỡ tn ti b no ú v j = hoc j = cho b = xj b Bc ca b nh hn bc ca b nờn b J, suy b J (mõu thun) Do ú s xy 35 hai trng hp m12 = = hoc m13 = = Gi s m13 = = 0, ta cú b = x1m1 xm12 x3 v m1 > Do tớnh nh nht ca m3 ta c m3 , ú 12 31 m32 b = x1m1 xm x3 m3 xm I \ J 1 x2 Vỡ b b f3 v m31 , m32 u dng Nh vy cú th chia b cho mt hai bin x1 hoc x2 , iu ny mõu thun vi tớnh nh nht ca deg b Nhn xột: Trong nh ngha ca ng cong n thc, nu ta thay gi thit gcd(n1 , n2 , n3 = d) v t C1 = C( nd1 , nd2 , nd3 ) thỡ C = C1 K l úng i s vỡ ú ỏnh x KK t td l ton ỏnh Trng hp K khụng úng i s thỡ iu trờn núi chung l khụng ỳng Chng hn chn K = R v ng cong C(2, 2, 4) A3 (R) thỡ C(2, 2, 4) = C1 (1, 1, 2) vỡ (1, 1, 1) C1 \ C Mnh 2.2.6 Cỏc a thc m12 m13 m2 m21 m23 m3 m31 m32 f1 = xm x2 x3 , f2 = x2 x1 x3 , f3 = x3 x1 x2 nh ngha 2.2.3 tha iu kin m1 = m21 + m31 m2 = m12 + m32 36 m3 = m13 + m23 Chng minh Nu ta t v1 = (m1 , m12 , m13 ), v2 = (m21 , m2 , m23 ), v3 = (m31 , m32 , m3 ) v v = v1 + v2 + v3 = (a1 , a2 , a3 ) thỡ a1 s1 + a2 s2 + a3 s3 = Ta cú th gi s a2 , a3 cựng du, ú a1 = hoc |a1 | = | m1 + m21 + m31 | m1 (do tớnh nh nht ca m1 ) iu th hai khụng xy vỡ < mj1 < m1 , ú a1 = 0, suy a2 = a3 = nh lớ 2.2.7 Cho ng cong n thc C = C(s1 , s2 , s3 ) thỡ a C L vi L = V(x1 , x2 ) c xỏc nh bi hai a thc f1 , f2 cho nh ngha 2.2.3 Chng minh Rừ rng C L V(f1 , f2 ) Ta cn chng minh V(f1 , f2 ) C L Tht vy, gi P = (a, b, c) V(f1 , f2 ) Ta xột hai trng hp a = hoc a = Nu a = thỡ b = f2 (P ) = 0, suy P = (0, 0, c) Oxy Nu a = thỡ b = v c = f1 (P ) = 0, t ú f1 (P ) = am1 = bm12 cm13 cm13 = am1 bm12 , f2 (P ) = bm2 = am21 cm23 cm23 = am21 bm2 Suy cm3 = cm13 cm23 = am1 m21 bm2 m12 = am31 bm23 , ngha l f3 (P ) = 0, suy P C = V(f1 , f2 , f3 ) B 2.2.8 Bng cỏch thc hin mt phộp cng hoc tr mt bi b+nm12 c+nm13 ca f1 vo n thc xa1 xb2 xc3 ta thu c n thc xanm x2 x3 Chng minh 37 Quy np theo n Vi n = 1, m12 m13 am1 b+m12 c+m13 x2 x3 xa1 xb2 xc3 x1am1 xb2 xc3 (xm x2 x3 ) = x1 Gi s mnh ỳng vi n - 1, tc l ta thu c a(n1)m1 b+(n1)m12 c+(n1)m13 x2 x3 x1 Tr n thc trờn cho n thc b+(n1)m12 c+(n1)m13 m1 x3 (x1 x1am1 x2 12 m13 xm x3 ), ta thu c b+nm12 c+nm13 xam x2 x3 nh lớ 2.2.9 Cho ng cong n thc C = C(s1 , s2 , s3 ), ú tn ti g I(C) cú dng g = x3 + h ú h (x1 , x2 ), l s nguyờn dng cho f2 Rad(g, f1 ) v ú C = V(g, f1 ) Nh vy ng cong n thc A3 (K) l tng giao y Chng minh a Gi s tn ti g I(C) cho f2 Rad(g, f1 ) v g = x3 + h ú h (x1 , x2 ) v l s nguyờn dng Ta cú (g, f1 ) I(C) suy C = V(I(C)) V(g, f1 ) Ngc li, gi s P = (a, b, c) V(g, f1 ), ta chng minh P C Nu a = 0, thỡ b = v c = vỡ f2 (P ) = v g(P ) = Nh vy P = (0, 0, 0) C 38 Nu a = 0, gi s b = hay c = thỡ f1 (P ) = suy a = ( mõu thun), ú a, b, c u khỏc Theo gi thit f1 (P ) = am1 = bm12 cm13 cm13 = am1 bm12 , f2 (P ) = bm2 = am21 cm23 cm23 = am21 bm2 Do ú ta cú: cm3 = cm13 cm23 = am1 m21 bm2 m12 = am31 bm23 Suy f3 (P ) = 0, ngha l P C Nh vy C l giao ca hai siờu mt g = v f1 = b S tn ti ca g Trc ht ta vit li m21 m23 m2 m21 m1 m23 m1 f2m1 = (xm x3 x1 x3 ) = x2 k x1 Trong ú k (x1 , x2 ) Cng hoc tr a thc trờn cho a thc m (m21 1) m12 m13 +m1 m23 x2 x3 m21 m1 m23 x1m21 m1 x3m23 m1 f1 = xm x3 x1 1 12 ri chia cho xm ta c m1 (m21 1) m13 +m1 m23 32 g = xm x kx m1 (m21 1) m13 +m1 m23 32 Nu m21 = thỡ g = xm x = x3 + h, kx ú h2 (x1 , x2 ) v = m13 + m1 m23 Nu m21 = 1, theo cụng thc khai trin nh thc Newton m21 m23 m1 f2m1 = (xm = x1 x3 ) m1 (m j)m21 jm2 (m1 j)m23 (1)j ( )x1 x2 x3 j=0 j m1 Khi j = 0, ỏp dng B vi n = m21 cho m21 m1 m23 xm x3 39 Ta c n thc (m1 m23 +m21 m13 ) 21 m12 xm x3 Khi j = m21 , 21 m31 m12 m21 m32 m21 m23 m31 x1m21 m31 x2m2 m21 x3m23 m31 = xm x2 x2 x1 Khi j m21 1, ỏp dng b vi n = (m21 1) cho n thc (m1 j)m21 jm2 (mi j)m2 x2 x3 x1 Ta c n thc (m1 j)m21 m21 (m21 1)m1 jm2 +(m21 1)m12 (m1 j)m2 +(m21 1)m13 x2 x1 x1 Nh vy ta thu c a thc 21 m12 m1 m23 +m21 m13 g0 = xm x3 + h0 12 m21 12 m21 Trong ú h0 (x1 , x2 ) chia ht cho xm Chia g0 cho xm ta 2 c m23 +m21 m13 g = xm +h vi h (x1 , x2 ) Vớ d Xột C = (1, 2, 3) c xỏc nh bi phng trỡnh tham s x = t1 x2 = t2 , x = t3 ti t K, lỳc ú I(C) = (f1 = x21 x2 , f2 = x2 x21 , f3 = x3 x1 x2 ) 40 Xột C = C(2, 3, 5) I(C) = (f1 = x31 x22 , f2 = x32 x21 x3 , f3 = x3 x1 x2 ) Ly tng ca f23 = (x32 x21 x3 )3 = x92 3x21 x62 x3 + 3x41 x62 x23 x61 x33 , v x31 x33 f1 = x61 x33 x31 x22 x33 Sau ú chia cho x22 , ta thu c a thc x72 3x22 x42 x3 + 3x41 x2 x23 x31 x33 Cng thờm vo a thc trờn x33 f1 = x31 x33 x22 x33 Ta c x72 3x21 x42 x3 + 3x41 x2 x23 x22 x33 Li cng thờm vo a thc trờn 3x1 x2 x23 f1 Ta cú a thc x72 3x21 x42 x3 + 3x1 x32 x23 x22 x33 Cui cựng chia cho x22 thỡ c g = x52 3x21 x22 x3 + 3x1 x2 x23 x33 Nh vy C l giao ca hai siờu mt V(g) v V(f1 ) 41 Chỳ ý: Khi ta núi ng cong n thc C l giao ca hai siờu mt thỡ iu ú khụng cú ngha iờan I(C) c sinh bi hai phn t Ta thy c iu ú qua vớ d sau Vớ d Xột ng cong C = C(3, 4, 5) c xỏc nh bi iờan I(C) = (f1 = x31 x2 x3 , f2 = x22 x1 x3 , f3 = x23 x21 x2 ), ú tn ti a thc g = x41 2x1 x2 x3 + x32 Tha f12 = x22 f3 + x21 g, f22 = x21 f3 + x2 g Nờn C = V(g, f3 ) Gi s tn ti p, q I(C) cho I(C) = (p, q) Vi deg(x1 ) = 3, deg(x2 ) = 4, deg(x3 ) = Ta cú deg(f1 ) = 9, deg(f2 ) = 8, deg(f3 ) = 10 Khi ú vi f (x1 , x2 , x3 ) I(C) b(i, j, k)xi1 xj2 xk3 , b(i, j, k) K, (i, j, k) N f (x1 , x2 , x3 ) = i,j,k Vỡ f(t3 , t4 , t5 ) = nờn b(i, j, k)t3i+4j+5k = i,j,k t n = 3i + 4j + 5k(i, j, k N) Nu n = thỡ (i, j, k) = (0, 0, 0) suy b(0, 0, 0) = 0, n = thỡ khụng tn ti (i, j, k), 42 n = thỡ khụng tn ti (i, j, k), n = thỡ (i, j, k) = (1, 0, 0) suy b(1, 0, 0) = 0, n = thỡ (i, j, k) = (0, 1, 0) suy b(0, 1, 0) = 0, n = thỡ (i, j, k) = (0, 0, 1) suy b(0, 0, 1) = 0, n = thỡ (i, j, k) = (2, 0, 0) suy b(2, 0, 0) = 0, n = thỡ (i, j, k) = (1, 1, 0) suy b(1, 1, 0) = 0, n = thỡ (i, j, k) = (1, 0, 1) hoc (0, 2, 0) suy b(1, 0, 1) + b(0, 2, 0) = 0, Khi ú ta cú x22 x1 x3 = f2 n = thỡ (i, j, k) = (3, 0, 0) hoc (0, 1, 1) suy b(3, 0, 0) + b(0, 1, 1) = 0, ú ta cú x31 x2 x3 = f1 n = 10 thỡ (i, j, k) = (2, 1, 0) hoc (0, 0, 2) suy b(2, 1, 0) + b(0, 0, 2) = 0, ú ta cú x21 x2 x2 x3 = f3 Chỳ ý rng f1 (f2 , f3 ), f2 (f3 , f1 ), f3 (f1 , f2 ) Vỡ p, q (f1 , f2 , f3 ) nờn bc ca p v q phi ln hn hoc bng Gi s p = a1 f1 + a2 f2 + a3 f3 + , K, q = b1 f1 + b2 f2 + b3 f3 + , bi K Vỡ f1 , f2 , f3 (p, q) nờn tn ti i , i , i K, i = 1, cho f = p + q f2 = p + q a1 : b1 = a2 : b2 = a3 : b3 (khụng xy ra) f = p + q Vy I(C) khụng th sinh bi a thc 43 Nhn xột: ng cong n thc C = (s1 , s2 , s3 ) A3 (K) c xỏc nh bi cỏc a thc m12 m13 f1 = x m x2 x3 , m21 m23 f2 = x m x1 x3 , m31 m32 f3 = x m x1 x2 Tha iu kin m1 = m21 + m31 , m2 = m12 + m32 , m3 = m13 + m23 , tc l cú iờan sinh bi cỏc nh thc cp ca ma trn m21 m32 m13 x x2 x3 m12 m23 m31 x2 x3 x1 Xột ng cong n thc A4 (K) Bersinsky ó chng minh rng ng cong n thc C(s1 , s2 , s3 , s4 ) A4 (K) l tng giao y s1 , s2 , s3 , s4 l na nhúm i xng 44 KT LUN Vi cỏc ni dung nghiờn cu ó trỡnh by, khúa lun "ng cong n thc khụng gian afin" ó gii quyt nhng t Ni dung lý thuyt u tiờn ca nghiờn cu l a afin, ni dung th hai l nghiờn cu sõu hn v ng cong n thc khụng gian afin Qua quỏ trỡnh nghiờn cu ó giỳp tụi hiu sõu hn v a afin cng nh ng cong n thc khụng gian afin v nm vng nhng kin thc c bn Hỡnh hc i s Ni dung khúa lun dng li vic xõy dng cỏc khỏi nim v nh lớ ca ng cong n thc khụng gian afin nờn cha khai thỏc trit cỏc ng dng ca lớ thuyt ny cỏc chuyờn ngnh khỏc ca toỏn hc nờn tng lai tụi s c gng nghiờn cu sõu hn v ton din hn v ny Vn ng cong n thc khụng gian afin l mt khỏ mi m v hay nhng cha cú nhiu ti liu tham kho nc nờn nhng kin thc m khúa lun a s l ngun ti liu giỳp ớch rt nhiu cho bn c yờu toỏn v ham thớch tỡm hiu khoa hc 45 TI LIU THAM KHO Bresinsky H (1975), Symmetric Semigroups of Integers Generated by Ele-ments Hong Xuõn Sớnh v Trn Phng Dung (2004), i s i cng, Nxb i hc s phm H S Long (2011), V a xuyn afin, Lun thc s toỏn hc, trng i hc Vinh Trn Hoi Ngc Nhõn (2006), S phng trỡnh xỏc nh mt s dng a i s c bit, Lun thc s toỏn hc, trng i hc s phm ng Thỏp 46 [...]... phương g(W) (ii) Nếu α là cái phẳng trong A với phương W và nếu f −1 (α ) = ∅ thì f −1 (α ) là cái phẳng trong A với phương g −1 (W ) 22 Chương 2 Đường cong đơn thức trong không gian afin Chương này sẽ hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến đường cong đơn thức trong không gian afin Cũng như nghiên cứu sâu hơn về đường cong đơn thức trong không gian afin 2.1 2.1.1 Đa tạp afin Tập đại số Để tìm hiểu về... + dx + ey + f = 0 Trong đó a, b, c không đồng thời bằng không Ví dụ Trong không gian, các mặt cong thường được xác định bởi đồ thị của một phương trình ba ẩn số f (x, y, z) = 0 Ví dụ một mặt phẳng trong không gian được xác định bởi đồ thị của một phương trình tuyến tính ax + by + cz + d = 0 Trong đó a, b, c không đồng thời bằng không Tuy nhiên không phải hình học nào trong không gian cũng có thể mô... đa tạp afin thì V(I(V )) = V 5 Cho V1 , V2 là các K- đa tạp afin Khi đó (a)V1 V2 ⇔ I(V1 ) I(V2 ) (b)I(V1 ∪ V2 ) = I(V1 ) ∩ I(V2 ) V1 ∪ V2 = V(I(V1 ).I(V2 )) 6 Cho (Vα )α∈Λ , với Vα là các K- đa tạp afin Khi đó Vα = V( α∈Λ 2.2 I(Vα )) α∈Λ Đường cong đơn thức trong không gian afin Định nghĩa 2.2.1 Cho trường K và s1 < < sn là những số nguyên dương thỏa gcd(s1 sn )=1 Một đường cong đơn thức trong An... V có duy nhất một −−→ điểm N của A sao cho M N = u −−→ −−→ −−→ (ii) Với mọi bộ ba điểm M, N, P của A luôn có M N + N P = M P 20 K- không gian afin( A, f, V ) còn được gọi là không gian afin A liên kết với không gian vectơ V hoặc vắn tắt là không gian afin A Không gian afin A gọi là n chiều nếu dim V = n, kí hiệu dim A = n −−→ Tính chất (i) Với mọi điểm M của A thì M M = 0 −−→ (ii) Với mọi cặp điểm... xạ afin f f : A → A (iv) Cho n+1 điểm độc lập M0 , M1 , , Mn trong đó K- không gian afin n chiều A và cho n+1 điểm tùy ý M0 , M1 , , Mn trong đó K- không gian afin A Khi đó có một và chỉ một ánh xạ afin f : A → A sao cho f (Mi ) = Mi , i = 1, 2, Định nghĩa 1.5.4 Cho ánh xạ afin f : A → A liên kết với ánh xạ tuyến tính g : V → V (i) Nếu α là cái phẳng trong A có phương W thì f(α) là cái phẳng trong. .. nghĩa 2.2.3 Trong K[x1 , x2 , x3 ], xét đường cong đơn thức C = C(s1 , s2 , s3 ) Đặt: m12 m13 1 f1 = x m 1 − x2 x3 , m21 m23 2 f2 = x m 2 − x1 x3 , m31 m32 3 f3 = x m 3 − x1 x2 Trong đó mi là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại mij (i, j = 1, 2, 3) không âm thỏa mãn phương trình mi si = mij sj j=i Mệnh đề 2.2.4 Cho đường cong đơn thức C = C(s1 , s2 , s3 ) và các đa thức f1 , f2 , f3 trong Định... 1.5.2 Hệ m+1 điểm A0 , A1 , , Am , (m ≥ 1) của không −−−→ −−−→ −−−→ gian afin A gọi là độc lập nếu m vectơ A0 A1 , A0 A2 , A0 Am , là độc lập tuyến tính Hệ một điểm bất kì luôn được xem là độc lập Định nghĩa 1.5.3 Cho hai K- không gian afin A và A liên kết lần lượt với các không gian vectơ V và V Ánh xạ f : A → A được gọi là ánh xạ afin giữa các không gian afin A và A nếu có ánh xạ tuyến tính g : V →... bởi duy nhất một phương trình Khác với đường cong trong mặt phẳng, một đường thẳng trong không gian được xác định bởi một hệ hai phương trình tuyến tính:  a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 a x + b y + c z + d = 0 2 2 2 2 Điều này ứng với việc đường thẳng này là giao của hai mặt phẳng của hai phương trình tuyến tính trên Có thể xem các hình hình học trong không gian n- chiều là các tập nghiệm của các... một số ví dụ sau: Ví dụ Trong mặt phẳng, các hình hình học cơ bản là các đường cong, thường được xác định bởi đồ thị của một phương trình hai ẩn số f (x, y) = 0, hàm f (x, y) thường là một đa thức hai biến Ví dụ phương trình tổng quát của một đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 Trong đó các hệ số a, b, c không đồng thời bằng không, còn phương 23 trình tổng quát của một đường cong bậc hai có dạng ax2... đa thức có hệ số là hữu tỉ, số thực hay số phức Tổng quát hơn người ta có thể xét các hệ phương trình đa thức với hệ số thuộc một trường nào đó với các nghiệm số cũng thuộc trường đó Ta có định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Cho K là một trường vô hạn phần tử Người ta gọi không gian Đềcác K n là không gian afin n-chiều trên K, kí hiệu AnK Tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức n ẩn số với các hệ số trong