Sở GD & ĐT Hà Nam Phòng GD & ĐT Thanh Liêm Trường THCS Liêm Túc.. ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]
(1)Sở GD & ĐT Hà Nam Phòng GD & ĐT Thanh Liêm Trường THCS Liêm Túc ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN Năm học 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150(phút) Câu I (2đ) Giải phương trình 3 x x 2 ( x 1) Câu II : (6đ) Cho a, b > Chứng minh a3 b3 c3 a bc b ca c ab Tìm x, y nguyên thỏa mãn : x3 + y3 = xy - Câu III : ( 8đ) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O) Các tia phân giác ,phân giác ngoài góc BAC cắt BC D và E Tia AD cắt đường tròn (O ) M , Tia EA cắt tia MO N a Chứng minh : N thuộc (O ) b Chứng minh : AB AC = BD DC + AD2 c Tính AD theo các cạnh tam giác ABC biết AB = c ; AC = b ; BC = a Câu IV : ( 4đ) Cho a,b,c không âm và thỏa mãn a +b + c = A a b c 1 c 1 a 1 b Tìm giá trị lớn biểu thức A (2) Đáp Án Đặt x u; x v (1) 3 3 3 u v 4.( u v ) u v uv ( u v ) 4.( u v ) Có: u v 3.(u v).(u 2uv v ) 0 3.(u v ).(u v) 0 u v x x Câu II : 3 1.Ta có a b ab(a b) (*) với a,b Mặt khác: Với a, b, c > tương tự (*) ta có: b3 c3 bc(b c); c3 a ca(c a) 2(a b3 c ) ab(a b) bc (b c) ca (c a ) 2(a b3 c ) a 2b ab b c bc c a ca 2(a b3 c ) a (b c ) b (c a ) c (a b) Áp dụng bất đẳng thức: a b 2 ab cho hai số không âm, ta có: b c 2 bc ; c a 2 ca a (b c) 2a bc ; b (c a ) 2b ca ; c ( a b) 2c ab a (b c) b (c a ) c (a b) 2a bc 2b ca 2c ab a (b c ) b (c a ) c (a b) a bc b ca c ab 3 2 a b c a bc b ca c ab Từ đó => Ta có x y x xy y xy (3) Dễ thấy x - y vì x = - y thì đó – x2 = ( vô lý ) x xy y xy x y Do x, y nguyên nên Suy (2) 2 x xy y xy Do đó Xét hai trường hợp : + ) xy – > Khi đó (2) trở thành x xy y xy ( x y ) loại +) xy – < Khi đó (2) trở thành 2 x xy y 8 xy x y 8 Do đó x , y 0;1; Từ đó suy Các cặp số thỏa mãn là (0 :-2) Câu III a Do tia AD, AE là hai tia phân giác và ngoài góc BAC => góc NAM = 900 mà OA = OM => ON = OM = OA => N thuộc (O) b Xét hai tam giác ABM và ADC có góc BAM = MAD (gt) góc AMB = góc ACD ( hai góc nt cùng chắn cung AB) AB AM AD AC =.> tam giác ABM đồng dạng với tam giác ACD nên => AB.AC = AM.AD AB.AC = AD2 + DM.AD (1) Hệ thức lượng (O) với hai cát tuyến AM và BC cho ta AD DM = DB DC (4) Do đó AB.AC = AD2 + DB.DC c.Giả sử (b>c ) Theo T/C đường phân giác tam giác ta có DB DC DC DC a ac ab DB ; DC c b c b cb bc bc EB EC EB EC a ac ab EB ; EC c b c b c b c b c b a b c p Đặt là nửa chu vi tam giác ABC Từ (1) ta có 2 bc ( b c ) a ac ab AD AB AC BD.DC cb c b c b (b c )2 bc(a b c).(b c a ) 4bcp ( p a ) (b c) (b c) Do đó AD bcp( p a ) bc A a b c a b c a b bc ca (1) Câu IV : Ta cm: + Trường hợp 1: Một ba số a,b,c a b a b (a b) 4b 4 b(a b) a b Giả sử c = ta có Hiển nhiên bđt đúng theo bđt AM – GM ( hay gọi bđt Cosi) Dấu = xảy a= 3b + Trường hợp : Ta cm tổng quát x a b a c c b ,y ,z ,k 2 Đặt Giả sử x = max(x,y,z) thì (1)tương đương với y z x2 z x2 y x2 y z x yz z x y 1 x y z ( x y )( x z )( z y )( ) k x y z xy yz zx (2) Ta cần cm (2) với trường hợp z y Với t 0 thì (5) k ( x t ) ( y t ) ( z t ) k x y z 3t k x y z 2t ( x y z ) 3t k x y z 3t (3) Luôn đúng vì k 3 và x y z x y z 2 2 Mặt khác vì x = max (a,b,c) và x y z nên tồn t (a,b,c) để ( x t ) ( y t ) ( z t ) đó (2) đúng thay x’ = x – t , y’ = y – t, z’ = z – t 1 x ' y ' z ' ( x ' y ')( x ' z ')( z ' y ')( ) k x ' y ' z ' x' y' y'z' z'x' Vậy ta có Bđt (2)có thể viết dạng ( x ' y ')( x ' z ')( z ' y ')( 1 ) ( x ' t )( y ' t ) ( y ' t )( z ' t ) ( z ' t )( x ' t ) x ' y ' z ' 3t k ( x ' t ) ( y ' t ) ( z ' t ) BĐT trên trực tiếp có cộng (3)và (4)với x,y,z thay x’,y’,z’ Vậy bđt CM Đẳng thức xảy x=3t,y=t,z=0 các hoán vị tương ứng Vậy với a+b+c =0 =>Max A = 5/4 a = 3/4 ; b= 1/4 ; c=0 (và các hoán vị (6)