Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN
PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn 9
Thời gian: 120 phút Câu 1: (4 điểm)
a) Chứng minh: √6+4√2−√3−2√2 số nguyên b) Rút gọn biểu thức: C = sin220+sin230+…+sin2880 Câu 2: (6 điểm)
a) Giải phương trình: 3x2 + 4x + 10 = 2 14x2
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x.y - x - y =
c) Chứng minh 3n + khơng số phương (với n N )
Câu 3: (4 điểm)
a) Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = Chứng minh: b c 16abc
b) Giả sử x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức
x y z
P
x y z
Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB, CD cho tiếp tuyến A cắt đường thẳng BC, BD thứ tự E F Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng EA AF
a) Chứng minh O trực tâm tam giác BEQ
b) Chứng minh đường vng góc với BQ kẻ từ P qua trung điểm đoạn thẳng OA
c) Hai đường AB CD có vị trí tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ theo R
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức: BC2 + AB.AC - AB2 = Tính:
2
A B
3
Chú ý:- Thí sinh bảng B khơng phải làm câu 2c - Thí sinh khơng sử dụng máy tính
(2)
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG A
Câu Ý Nội dung Biểu
điểm 1 (4đ) a 2đ 2
6 2 2 (2 2) ( 1) (2 2) ( 1) 3.
Do số nguyên nên ta có đpcm 2,0
b 2đ
Ta biết: Với < α < 900
Ta có sinα = cos(900-α), sin2α + cos2α = C = sin220 + sin230 + … + sin2880
C = (sin220 + sin2880) + + (sin2440 + sin2460) + sin2450 C = (cos2880 + sin2880) + + (cos2460 + sin2460) + sin2450 C = 1+1+ +1+
1 2= 87 43 2 0,5 0,5 0,5 0,5 2 (6đ) a 2đ ĐKXĐ: 2
x ; x
2
3x2 + 4x + 10 = 2 14x2
x24x 2x 2 1 2x21 7 = 0
2
(x 2) ( 2x 7)
2
x
x
x
x
2x
x
(thỏa mãn)
0,5 0,5 0,5 0,5 b 2đ
Ta có: x.y - x - y = x.( y -1) - y = x.(y - 1) - (y - 1) = 3 (x -1).(y - 1) = 3
Do x, y số nguyên nên x -1, y-1 số nguyên ước Suy trường hợp sau:
x y 1
;
x 1 y
;
x 1
y
;
x
y 1
Giải hệ ta có nghiệm phơng trình : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 c 2đ
-Với n = 2k+1 (kN), ta có:
n 2k
3 (3 1) 4m
(mN), scp
- Với n = 2k, giả sử 32k +4 = p2, suy p lẻ nên p có dạng
2l (l N)
k 2
k k
(3 ) 4l 4l 4l(l 1)
(3 ) 8r (r N) (3 ) 8q (q N)
Điều vô lý suy đpcm
0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 3 (4đ) a 2đ
(3)2
a (b c) a(b c)
(a b c) 4a(b c)
2
1 4a(b c)
(b c) 4a(b c) 16abc
1,0 1,0
b 2đ
Ta có
1 1
P= 1- 1-
1-x y z
1 1
P
x y z
Mặt khác, với x, y, z > Ta có
1 1
x y z (x 1) (y 1) (z 1)
1 1
x y z
Vậy
9
P
4
x y z
3
P x y z
x y z
4
Vậy P đạt giá trị lớn P
4
1 x y z
3
0,5 0,25
0,5 0,25 0,25 0,25 4
(5đ)
Vẽ hình
a 2đ
Do Q O trung điểm cạnh AF AB nên OQ//BF Suy ra: OQ BE
Vì BA EQ nên O trực tâm tam giác BEQ
1,0 1,0 b
2đ
Đường thẳng qua P BQ cắt AB H, dễ thấy PH//EO Vì P trung điểm EA nên H trung điểm AO
1,0 1,0 c
1đ
Ta có:
BPQ
1 AE AF AE AF
S AB.PQ 2R R R AE.AF
2 2
Vì AE.AF = AB2 = 4R2 nên SBPQ R 4R2 2R2
Dấu “=” xảy AE = AF hay tam giác BEF vuông cân tai B
(4)Khi AB CD
0,25
5 (1đ)
D B
C
A
Tõ BC2 + AB.AC - AB2 = 0
2 BC AB AC
BC AB(AC AB)
AB BC
Nªn AB > AC Trên AB lấy D cho AC = AD
BD = AB – AC
BC BD
AB BC ABC~CBD(c.g.c) ACB CDB (1) Mặt khác: CDB A ACD (2)
Ta có
1800 A
ACD
2
(3)
Từ (1), (2), (3) có :
1800 A A 180
ACB A
2
2C 180 A 180 (A B) 180 A
0
180 3A 2B A B 60
3
0,25 0,25 0,25
(5)ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG B
Câu Ý Nội dung Biểu
điểm 1 (4đ) a 2đ 2
6 2 2 (2 2) ( 1) (2 2) ( 1) 3. Do số nguyên nên ta có đpcm 2,0
b 2đ
Ta biết: Với < α < 900
Ta có sinα = cos(900-α), sin2α + cos2α = C = sin220 + sin230 + … + sin2880
C = (sin220 + sin2880) + + (sin2440 + sin2460) + sin2450 C = (cos2880 + sin2880) + + (cos2460 + sin2460) + sin2450 C = 1+1+ +1+
1 2= 87 43 2 0,5 0,5 0,5 0,5 2 (6đ) a 3đ ĐKXĐ: 2
x ; x
2
3x2 + 4x + 10 = 2 14x2
x24x 2x 2 1 2x21 7 = 0
2
(x 2) ( 2x 7)
2
x
x
x
x
2x x 2
(thỏa mãn)
0,75 0,75 0,75 0,75 b 3đ
Ta có: x.y - x - y = x.( y -1) - y = x.(y - 1) - (y - 1) = (x -1).(y - 1) = 3
Do x, y số nguyên nên x -1, y-1 số nguyên ước Suy trường hợp sau:
x y 1
;
x 1 y
;
x 1
y
;
x
y 1
Giải hệ ta có nghiệm phơng trình : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 3 (4đ) a 2đ
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm a, b+c ta có:
2
a (b c) a(b c)
(a b c) 4a(b c)
2
1 4a(b c)
(b c) 4a(b c) 16abc
1,0 1,0 b 2đ Ta có
1 1
P= 1- 1-
1-x y z
(6)
1 1
P
x y z
Mặt khác, với x, y, z > Ta có
1 1
x y z (x 1) (y 1) (z 1)
1 1
x y z
Vậy
9
P
4
x y z
3
P x y z
x y z
4
Vậy P đạt giá trị lớn P
4
1 x y z
3
0,25
0,5 0,25 0,25 0,25
4 (5đ)
Vẽ hình
a 2đ
Do Q O trung điểm cạnh AF AB nên OQ//BF Suy ra: OQ BE
Vì BA EQ nên O trực tâm tam giác BEQ
1,0 1,0 b
2đ
Đường thẳng qua P BQ cắt AB H, dễ thấy PH//EO
Vì P trung điểm EA nên H trung điểm AO
1,0 1,0
c 1đ
Ta có:
BPQ
1 AE AF AE AF
S AB.PQ 2R R R AE.AF
2 2
Vì AE.AF = AB2 = 4R2 nên SBPQ R 4R2 2R2
Dấu “=” xảy AE = AF hay tam giác BEF vng cân tai B
Khi AB CD
(7)5 (1đ)
D B
C
A
Tõ BC2 + AB.AC - AB2 = 0
2 BC AB AC
BC AB(AC AB)
AB BC
Nªn AB > AC Trên AB lấy D cho AC = AD
BD = AB – AC
BC BD
AB BC ABC~CBD(c.g.c) ACB CDB (1) Mặt khác: CDB A ACD (2)
Ta có
1800 A
ACD
2
(3)
Từ (1), (2), (3) có :
1800 A A 180
ACB A
2
2C 180 A 180 (A B) 180 A
0
180 3A 2B A B 60
3
0,25
0,25
0,25
(8)