Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao, nhận đề.. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P.[r]
(1)Trường TH&THCS Lê Văn Hiến ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán ĐỀ ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao, nhận đề) ĐỀ BÀI Bài 1: ( 3,5 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x,y) cho x (x+1) = y + Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình : x - 3x + - = Bài 3: (3,5điểm) Cho x = + y= + Tính giá trị biểu thức: p = x + y - 3( x+ y) - 2010 Bµi 4: (2,5 ®iÓm) : a/ Cho 2011 sè nguyªn d¬ng a1, a2 , , a2011 Tho¶ m·n : a1 a2 a3 a2011 30 5 5 Chøng minh r»ng : a a a a 2011 30 Bµi 5: (4,5 ®iÓm) Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm P Vẽ c¸t tuyÕn PMN (M n»m gi÷a P vµ N) VÏ AD vµ BC vu«ng gãc víi MN; BC c¾t nöa đờng tròn I Chứng minh rằng: a/ Tø gi¸c AICD lµ h×nh ch÷ nhËt b/ DN = CM c/ AD.BC = CM.CN d/ BC2 + CD2 + DA2 = 2AD.BC + AB2 Bài §¸p ¸n ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP – MÔN TOÁN Lời giải sơ lược Điểm 2 2 2 x (x+1) = y +1 ⇔ x +x= y +1 ⇔ 4x +4x+1= 4y +5 ⇔ (2x+1) - 3® (2y)2=5 1,75 ⇔ (2x+2y+1)(2x-2y+1)=5 Vì x, y z nên 2x+2y+1; 2x-2y+1; là ước nên TH1 ¿ 2x+2y +1=1 2x-2y +1=5 ¿{ ¿ ⇔ ¿ x=1 y=− ¿{ ¿ TH2 ¿ 2x+2y +1=−1 2x-2y +1=− ¿{ ¿ ⇔ 1,0 (2) 0,25 ¿ x=−2 y =1 ¿{ ¿ ¿ 2x+2y +1=5 2x-2y +1=1 ¿{ ¿ TH3 ¿ x=−2 y=− ¿{ ¿ ⇔ ¿ x =1 y=1 ¿{ ¿ TH4 ¿ 2x+2y +1=−5 2x-2y +1=− ¿{ ¿ ⇔ Vậy: Các cặp số (x,y) phải tìm là: (1;-1); (1;1); (-2;1); (-2;-1) ` ĐK: x R x2- 3x + - √ x2 −3 x+ =0 Đặt √ x2 −3 x+ = t (t 0) phương trình trở thành t2 - 3t + = ⇒ t1 = 1; t2 = thỏa mãn điều kiện Với t1 = ⇒ x2 - 3x + = ⇒ x2 - 3x + = (vô nghiệm) Với t2 = ⇒ x2 - 3x + = ⇒ x2 - 3x = ⇒ x1 = 0; x2 = Vậy phương trình có nghiệm x1=0; x2=3 2,5® Đặt √3 3+2 √2 =a; √3 3− √ =b ⇒ a3+b3=6; ab=1; x=a+b ⇒ x3=(a+b)3=( a3+b3)+3ab(a+b)=6+3x ⇒ x3 - 3x = Đặt √3 17+12 √2 = m; √3 17− 12 √ = n ⇒ m3 + n3 = 34; mn = 1; y =m + n ⇒ y3=(m+n)3=( m3+n3)+3mn(m+n)=34+3y ⇒ y3- 3y=34 Khi đó p=(x3-3x) + (y3-3y) + 2010 = 2050 3® 1,25 1,0 1,5 1,25 0,5 3,5® Tríc hÕt ta chøng minh a vµ a5 cã cïng ch÷ sè tËn cïng : ThËt vËy 15 ; 25; 35; 45 ; 55; 65; 75 ; 85; 95 lÇn lît cã ch÷ sè tËn cïng lµ : ; 2; 3; 4; ; 1,0 6; ; 8; Suy : a vµ a5 cã cïng ch÷ sè tËn cïng (1) a vµ a5 Chia cho cã cïng sè d : ThËt vËy +) a = 3k + => a5 = (3k + 1)5 chia cho cã sè d lµ 15 = +) a = 3k + => a5 = (3k + 2)5 chia cho cã sè d lµ d cña 25 chia cho 3, 1,0 mµ 25 = 32 chia cho d +) a = 3k => a5 = 3k5 chia cho hÕt VËy a vµ a5 Chia cho cã cïng sè d (2) Ta cã : A = a1 a2 a3 a2011 30 => A = a1 a2 a3 a2011 2.3.5 A chia hÕt cho vµ => A cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, C¨n cø vµo (1) 5 5 => B = a a a a 2011 cã ch÷ sè tËn cïng lµ => B chia hÕt cho vµ (I) A chia hÕt cho 3, c¨n cø vµo (2) => B còng chia hÕt cho (II) 5 5 Tõ (I) vµ (II) Suy : a a a a 2011 30 (§PCM) 1,5 7,5® (3) C N 0,5 I H M D P B A O 1,0 1,5 a/ Tø gi¸c AICD lµ h×nh ch÷ nhËt OA = OB = OI = R => Tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I => Tø gi¸c AICD cã gãc D, C, I vu«ng => Tø gi¸c AICD lµ h×nh ch÷ nhËt (®pcm) b/ DN = CM K OA = OB, OH//AD//BC => HD = HC (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : MN + (HD – HM) = MN + (HC – HN) Hay : MN + MD = MN + NC Hay : DN = CM (®pcm) c/ AD.BC = CM.CN Dễ dàng chứng minh đợc : CIM đồng dạng với CNB (góc – góc) CI CM CI BC CM CN => CN CB Do AICD lµ h×nh ch÷ nhËt (c©u a) => CI = AD Thay vµo ta cã : AD.BC = CM.CN (®pcm) d/ BC2 + CD2 + DA2 = 2AD.BC + AB2 Ta cã : AB2 = AI2 + BI2 = CD2 + BI2( CD = AI) =>2AD.BC + AB2 = 2AD.BC + CD2 + BI2 Mµ BI = BC – CI = BC – AD => 2AD.BC + AB2 = 2AD.BC + CD2 + (BC – AD)2 = 2AD.BC + CD2 + BC2 – 2AD.BC + DA2 => 2AD.BC + AB2 = CD2 + BC2 + DA2 =BC2 + CD2 + DA2 (®pcm) HÕt 1,5 (4) (5)