Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy một góc 450.. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013 BÌNH PHƯỚC Môn thi: Toán khối 12 THPT Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ CHÍNH THỨC A.PHẦN CHUNG (7 điểm) y 2x x 1 Câu (3 điểm) Cho hàm số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số trên b Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: -3x +y +1 = x +5 x+ x +2 Câu (1điểm).Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số y = trên đoạn [0;1] Câu ( điểm) Giải phương trình 16x -17 4x +16 = Câu ( điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, tam giác SAC cân A a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) A PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn hai phần sau I Chương trình chuẩn: Câu 5a (2 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau: () x2+3 x −4 > () x−1 a)log2x – log4(x – 3) = -1 b) Câu 6a (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 450 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD II Chương trình nâng cao: Câu 5b ( điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: log ( x 1) log log ( x 2) 2.log ( x 2) a) 25 3x.2 y 972 log x y 2 b) Câu 6b (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt (2) bên (SAB) là tam giác và vuông góc với đáy Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I (2012-2013) MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP 12 Đáp án gồm có 07 trang Câu Ý a Nội dung Biểu điểm 2x x 1 Cho hàm số (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên y Tập xác định: R \ {-1} 0.25 Giới hạn – Tiệm cận: 0.5 Phương trình tiệm cận ngang : y = vì Phương trình tiệm cận đứng : x = - vì y' Đạo hàm: lim y lim y 2 x x lim y , lim y x 1 x 1 0.5 x 1 y ' x D Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -∞; -1) và (-1; +∞ ) Hàm số không có cực trị Bảng biến thiên: x 0.25 -1 y' + + y Giao với trục Ox: y 0 x Giao với trục Oy: x 0 y 0.25 (3) b Đồ thị: 0.25 Tiếp tuyến song song với d nên hệ số góc k = 0,25 f’(x0) = ⇔ ( x +1)2 0.25 = ⇔ (x0 + 1)2 = ⇔ x0 = x0 = -2 +x0 = => y0 = -1: phương trình tiếp tuyến là y = 3x - 0.25 +x0 = -2 => y0 = 5: phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 11 0.25 x +5 x+4 x +2 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = trên đoạn [0;1] x +5 x+4 x +2 Hàm số y = xác định và liên tục trên đoạn [0;1] 2 x +8 x +6 ( x +2)2 y’ = , y’ = ⇔ x = -1 ¿ [ 0;1 ] x = -3 ¿ [ 0;1 ] 0.25 0,25 (4) y’ > ∀ x∈ [ 0;1 ] 11 y(0) = 2, y(1) = max y = Vậy [ 0; ] 11 0.25 y =2 ; 0.25 [ ;1 ] Giải phương trình 16x - 17.4x +16 = Đặt 4x = t >0 , Phương trình trở thành: t2 -17t + 16 = 0.25 Với t = 16 thì 4x = 16 0.25 ⇔ x=2 Với t = thì 4x = <=> x = 0.25 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm :x = và x = 0.25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, tam giác SAC cân A a Tính thể tích khối chóp S.ABCD a 2 Diện tích hình vuông ABCD là: S ABCD AB a Ta có: AC a 0.25 0.25 Vì tam giác SAC cân A nên SA = AC = a SA vuông góc mặt đáy nên SA là đường cao hình chóp 1 a3 2 V SA.S ABCD a 2.a 3 Thể tích khối chóp S.ABCD là b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) 0.5 (5) Dựng AH SC , H thuộc SC 0.5 CD SAD Ta có: CD SA, CD AD nên Suy CD AH Vậy AH ( SCD) suy khoảng cách từ A đến mp(SAC) là AH Trong tam giác vuông có AH là đường cao nên: 1 a AH AH SA2 AD 0.25 a Vây khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là 0,25 Câu 5a (2 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình 5a a b 6a Điều kiện: x > 0.25 Phương trình đã cho trở thành log2x = log2 (x – 3) - log22 log22x = log2(x – 3) ⇔ 2x= x – ⇔ x = -3 0.25 So với điều kiện , phương trình đã cho vô nghiệm 0.25 () x2+3 x −4 > () x−1 () x2+3 x −4 > 2( x−1) () 0.25 0.25 x2 + 3x – < 2(x – 1) 0.25 x2 + x – < -2 < x < 0.25 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: (-2;1) 0.25 (6) Gọi M, N là trung điểm CD và SA, O là tâm hình vuông ABCD Ta có: SO là đường cao hình chóp OM CD, SO CD nên góc tạo mặt bên (SCD) và mặt đáy là SMO = 450 0.25 a Suy tam giác SOM vuông cân O nên SO = OM = 0.25 a √2 OA = 2 Trong tam giác SAO vuông O có: SA SO OA a /2 Ta có điểm thuộc SO cách A, B, C, D 0.25 Trong mp(SAC) dựng đường trung trực SA cắt SO I Suy I là tâm mặt cầu qua điểm S, A, B, C, D Bán kính là R= SI Ta có tam giác SNI đồng dạng với tam giác SOA nên SN SI SN SA a = ⇒ SI= = SI SA SO Giải phương trình và hệ phương trình sau: 5b a 0.25 log ( x 1) log log ( x 2) 2.log ( x 2) 25 Ñieàu kieän : x 0.25 log ( x 1) log log ( x 2) 2.log ( x 2) 25 log ( x 1) log 5 log ( x 2) log ( x 2) 0.25 (7) x2 1 log log ( x 2)( x 2) x2 1 ( x 2)( x 2) x 5( x 4) x 5 x 20 x 21 21 x (loại) 21 21 2 x x 21 x 21 x Vậy phương trình có nghiệm b 0.25 0.25 3x.2 y 972 log x y 2 Giải hệ phương trình Điều kiện: x y x y 3x.2 y 972 log x y 2 Ta có: 0.25 3x.2 y 972 x y 3 x y y 3 y 3 972 x y y 6 36 x 5 y 2 So với diều kiện thì hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x;y) = (5;2) 0.5 0.25 6b Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác 0,25 SAB Vì tam giác SAB nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB (8) d là đường thẳng qua O và vuông góc mp(ABCD), ta có điểm thuộc d cách các đỉnh A, B, C, D d’ là đường thẳng qua G và vuông góc mp(SAB), ta có điểm thuộc d’ cách 0,25 các đỉnh S, A, B d và d’ cắt I suy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính R = SI Tứ giác OHGI có ba góc vuông nên OHGI là hình chữ nhật suy IG HO a 0,25 a SG SH 3 Tam giác SAB nên Trong tam giác SGI vuông G có Vậy bán kính mặt cầu là: R a 21 SI SG GI a 21 0,25 (9)