DE VA DAP AN TOAN ON TAP KT 1 TIET CHUONG BIEN HINH 11

1/ Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D.  DP song song và bằng nửa BM, DO song song và bẳng nửa AI. Hãy chứng tỏ F và F' là những phép đối xứng [r]

CÁC BÀI TỐN ƠN TẬP KIỂM TRA TIẾT CHƯƠNG I:

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

( Có hướng dẫn giải )

CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ :

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét phép biến hình F biến điểm M(x;y) thành điểm M'(x+1; y ) Chứng minh F phép tịnh tiến

Hướng dẫn : - Tính MM'=(1;0 - Lí luận để suy F phép tinh tiến

Bài : Phép biến hình F biến điểm M(x;y) thành điểm M’(ax;y)

a).Với điểm M1 (x1;y1), N1(x2;y2) Tìm ảnh M’1 , N’1 lần lượtc M1, N1 qua F

b).Tìm a để F phép dời hình.

c).Với giá trị a tìm câu b, xác định cụ thể tên phép dời hình phép dời hình học ứng với a tìm

Hướng dẫn : b) a = ± 1

c) a = 1, F phép đồng a = -1, F phép đối xứng trục Oy

Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng có phương trình x + 2y – = điểm A(1, 1)

a) Hãy tìm ảnh điểm A d qua O

b) Hãy tìm ảnh d qua phép vị tự tâm A tỉ số 3 Hướng dẫn :

a) Khi lấy đối xứng qua Ox, điểm M(x, y) biến thành điểm M’(x, -y).

Do đó, A biến thành A’(2, -1) ảnh đ/thẳng đường thẳng có PT 2x + y +1 = b) M(x, y)



dbiến M’(x’,y’)



d’ cho:

'

AM =2AM

  

 

  

2 '

4 '

y y

x x

Từ đó, ta có 2x'y'120

Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình ảnh đường thẳng (d) : y = 2x - parabol (P) y = x2 + x + qua phép tịnh tiến theo vectơ v 



3;0



.

Hướng dẫn :

 

2

y x d

  

Gọi M(x; y)  (d)  y = 2x - (1)





' '

'

' '

v

x x x x

M T M

y y y y

   

 

    

 

 



Thay vào (1), ta : y’ = 2(x’ - 3) - = 2x’ - KẾT LUẬN : y = 2x -

 

2 2

y x x P

   

Gọi N(x, y)  (P)  y x2 x 2.

 

' '

'

' '

v

x x x x

N T N

y y y y

               

Thay vào (2), ta : y’ = (x’ - 3)2 + x’ - +2 = x’2 - 5x’ + KẾT LUẬN : y = x2 - 5x + 8. Bài : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 -2x - 4y - = Hãy tìm ảnh

(C) qua phép đối xứng trục (d) : 2x - y + =

Hướng dẫn : x2 y2 2x 4y 0   



x1



2



y 2



29

 

C

 có tâm I(1; 2) bán kính R =

Gọi (d1) đường thẳng qua I(1; 2) vng góc (d0)

 (d1) có VTPT n 



1; 2





 (d1) : 1(x - 1) 2(y - 2) =  (d1) : x + 2y - =

Gọi H giao điểm (d) (d1)

3

2 11;

2 11 5

5 x x y H x y y                            Gọi I'§d

 

I Khi H trung điểm II’

'

'

1 12

5 ' ;

12 5

5 I I x I Y                 

Vậy PT đường tròn cần tìm :

2 12 5 x y                

Bài : Cho đường tròn (C) : (x + )2 + y2 = Hãy viết phương trình đường tròn (C’) qua

phép quay tâm O(0; 0) , góc quay

2  

Hướng dẫn :

 Tìm tọa độ M x y'



'; '



ảnh M x y



;



qua phép quay Q



0;



Đặt  



Ox,OM ;



OM a

Ta có :



OM OM; '













' os + os

y = a.sin y' = a.sin +

x a c

x a c   

            









' os cos -sin sin ' sin cos os sin

x a c

y a c

                

xx'' x cx os -y.sin.sin y osc 

        

  

C : x 3



2 y2

   

 

C có tâm I 



3;0



; bán kính R = 3.

y

O x x

M 

Gọi

 





0;

2

' os - 0.sin

2

' ' 0;3

' 3.sin - os

2

x c

I Q I I

y c



 

 

 



 

 

    

    



    

   

   

    

   

    



 Phương trình đường trịn cần tìm



C' :



x2



y 3



2 9

(Bài tập tự giải ) :

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v   (1; 2) đường tròn (C) có phương trình: x2 y2 4x 4y 1 0

    

1) Viết phương trình ảnh đường trịn (C) qua phép đối xứng trục Oy 2) Viết phương trình ảnh đường trịn (C) qua phép tịnh tiến Tv

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 3x -4y + = 0, đường tròn (C ) có tâm I(1; -2) qua điểm M(1; 0)

1) Viết phương trình đường trịn (C )

2) Viết phương trình đường thẳng (d1) ; (d2) ảnh (d) qua phép đối xứng

trục Ox phép vị tự tâm I tỉ số k = Viết phương trình đường trịn (C1) , (C2) ảnh

(C) qua phép đối xứng trục Ox phép vị tự tâm I tỉ số k =

3) Viết phương trình đường tròn (C3) ảnh đường tròn (C ) qua phép đồng dạng

hợp thành phép vị tự tâm I tỉ số k = phép tịnh tiến theo vectơ OB với B(-1;3).

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(3; 0) , B(0; 4) , C(-1; -2) Gọi A'B'C' ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm I(1; -2) tỉ số Tính chu vi diện tích tam giác A'B'C'

Hướng dẫn : Chu vi tam giác A'B'C' lần chu vi tam giác ABC

Diện tích tam giác A'B'C' lần diện tích tam giác ABC CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC THƠNG THƯỜNG :

Bài 1 Cho tam giác ABC, tâm O, ba đường cao AA1,BB1,CC1 Hãy tìm xem có

phép biến hình biến ABC thành Hướng dẫn :

Phép đồng - Phép đối xứng trục : DAA1; DBB1; DCC1 - Phép quay :

Q

(O, 120O)

 ;

Q

(O,240O)

Bài : Cho đường trịn (O,R) (O’,R) Tìm phép dời hình biến (O) thành (O’) Hướng dẫn + ( ) ( ')

' O O

T

oo 

+ ĐI(O) = (O’) ( I trung điểm OO’

Bài 3 Cho hai điểm A,B đường tròn (O ) khơng có điểm chung với đường thẳng AB.Qua điểm M chạy (O ) dựng hình bình hành MABN.Chứng minh điểm N thuộc đường tròn xác định

Hướng dẫn : MN ABkhông đổi Suy : Phép tịnh tiến theo AB biến M thành N

Vì M chạy (O ) nên N chạy (O’) ảnh (O ) qua TAB

Bài 4 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB.Một đường trịn (O’,R’) tiếp xúc với (O,R) AB C D.Đường thẳng CD cắt (O,R) I Chứng minh I trung điểm cung AB

Hướng dẫn :

-C tâm vị tự (O ) (O’)

- D thuộc (O’),I thuộc (O ),C,D,I thẳng hàng nên ( , ') R R C

V biến O thành O’,I thành D

-OI song song với O’D nên OI vuông góc với AB -Kết luận: I trung điểm cung AB

Bài :

Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi A', B', C' trung điểm cạnh BC, CA, AB

a) Phép vị tự biến A thành A’; biến B thành B’; biến C thành C’.

b) Chứng minh tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trực tâm tam giác A',B',C'

c) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh GO GH 



Hướng dẫn

a) GA GA

2

'  V ( G;

 ): A  A'

Tương tự : V ( G;

2

 ): B  B' , C  C'

Kết luận

b) Ta có OA'  BC BC // B'C' nên OA'  B'C' Tương tự cm OB'  A'C'  đpcm c) Ta có V ( G;

2

 ):  ABC   A'B'C'

H trực tâm tam giác ABC, O trực tâm tam giác A'B'C' nên V ( G;  12 ): H  O

 đpcm

Bài 6: Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt hai điểm phân biệt A B Hãy xác định

hai điểm M thuộc (O1) N thuộc (O2) cho A trung điểm MN

Hướng dẫn : - Nêu cách xác định vị trí điểm M N - Vẽ hình KKKK

) ' (

' O

M  A’ giao điểm thứ hai (O’) với đường nối tâm OO’.

a) Chứng minh AM//A’M’

b) Chứng minh đường thẳng MM’ qua tâm vị tự hai đường tròn (O) (O’) Hướng dẫn

a) MA//M’A’ ˆ ' ˆ ' ' 900



AM A

M A M

b) I giao điểm MM’ OO’ MA//M’A’ (cùng vng góc với M’A) nên

O A M O A

Mˆ  ' ˆ' OMA đồng dạng với O'M'A' MOˆAM'Oˆ'A' OM//O'M'

đó I tâm vị tự ngồi hai đường trịn

Bài : Cho tam giác ABC, trung điểm M BC di động đường tròn (O;R) cố định a) Vẽ ảnh tam giác A’B’C’ tam giác ABC qua phép vị tự tâm A, tỉ số k = 2/3

b) Khi M di động (O;R), A cố định, trọng tâm G tam giác ABC chạy đường ?

Hướng dẫn

a) Vẽ đúng, đầy đủ

b) Chỉ phép vị tự tâm A, tỉ số k = 2/3 biến M thành G

Kết luận G chạy đường tròn tâm O’, bán kính r = 2/3 R(là ảnh đường trịn (O;R) qua phép vị tự nói

Bài 9 :

Cho tam giác ABC, dựng tam giác hình vng ABDE BCKF Gọi P trung điểm cạnh AC, H điểm đối xứng D qua B, M trung điểm đoạn FH

a) Xác định ảnh vectơ AB BP qua phép quay tâm B, góc 900

b) CMR DF = 2BP DF vuông góc với BP Hướng dẫn :

a) Ta có





      90 ; ) ( BH BA BD BH BA

 

A H QB 

 900  QB

 

BA BH

0

90

Vì QB

 

A H

0

90 ;

 

F C QB 

0

90 nên

 

HF AC QB 

0

90

b) Vì P trung điểm AC nên theo tính chất phép quay, ta có ảnh P qua phép quay trung điểm M HF

 

       BM BP BM BP BM BP QB900

mà DP BM BF BM //  Do đó, BP DF DF BP  

Bài 10 : Cho hai tam giác OAB OA’B’ Gọi C1 C2 trung điểm

đoạn thẳng AA’ BB’

Chứng minh : OC1C2

Hướng dẫn :

Xét phép quay Q tâm O với góc quay góc lượng giác  



OA OB;



Rõ ràng

 

 

 

 

 





0;

0; 0;

' '

' '

Q A B

Q AA BB

Q A B



 

 



 



 



Do C1 : C2 trung điểm AA’, BB’ nên Q0;

 

C1 C2

 

2

0

1 60

OG OC C OC AOB

    

 

 

 OC C1 (đpcm)

Bài 11: Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng BCIJ, ACMN, ABEF gọi O, P, Q tâm đối xứng chúng

1/ Gọi D trung điểm AB Chứng minh DOP tam giác vuông cân đỉnh D 2/ Chứng minh AO vng góc với PQ AO = PQ

Hướng dẫn :

1/  Phép quay Q( ,90 )C biến MB thành AI, nên MB vng góc với AI

 DP song song nửa BM, DO song song bẳng nửa AI

 Suy DP vng góc với DO

2/  Phép quay Q( ,90 )D biến OA thành PQ

 Suy OA vng góc với PQ

Bài 12 Cho hai phép quay QA QB có tâm quay A B ( phân biệt ) có góc quay

900 Gọi F hợp thành

A

Q QB , F' hợp thành QB QA Hãy chứng tỏ F F' là phép đối xứng tâm nêu rõ cách xác định tâm đối xứng phép

Hướng dẫn Lấy điểm O cho tam giác OAB tam giác vuông cân với góc (AO,AB) = (BA,BO) = 450

Khi đó, QA hợp tành hai phép đối xứng trục ĐAOvà ĐAB, QB hợp thành hai

phép đối xứng trục ĐAB ĐBO Vậy F hợp thành bốn phép đối xứng trục theo thứ tự : AO

Đ , ĐAB, ĐAB, ĐBO, tức hợp thành hai phép đối xứng trục ĐAO ĐBO Vì AO

vng góc với BO nên F phép quay tâm O góc quay 1800, tức phép đối xứng qua điểm

O Chú ý xác định điểm O điều kiện : Tam giác OAB vuông cân (OB,OA) =

90

O

A C

1 A’

B’

B

Tương tự , F' phép đối xứng qua tâm O' , cho O'AB tam giác vuông cân mà (OA,OB) = 900

Bài 13 Về phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng BCMN ACPQ có tâm O O'

a) Chứng minh cố định hai điểm A, B cho điểm C thay đổi đường thẳng NQ ln ln qua điểm cố định

b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh IOO' tam giác vuông cân Hướng dẫn

a) Xét Q QA, B phép quay tâm A, B với góc quay ( AQ, AC) = (BC, BN ) = 900

Hợp thành hai phép phép đối xứng qua điểm H xác định Vì phép đối xứng tâm H biến Q thành N nên H trung điểm đoạn thẳng NQ, tức đường thẳng NQ qua điểm H cố định

b) Cách 1 : Gọi Q QO, O' phép quay có góc quay 900 với tâm quay tương ứng O O'

thì phép hợp thành F chúng biến B thành A, Nhưng F phép đối xứng tâm , nên tâmđối xứng trung điểm I AB Suy tam giác IOO' vuông cân đỉnh I

Cách 2 : Phép quay tâm C góc quay 900 biến A thành P biến M thành B Bởi vậy, ta có

AM = PB AM PB Chú ý IO đường trung bình tam giác ABM IO' đường trung bình tam giác APB nên suy IOO' tam giác vuông cân

Bài 14 : Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định, đỉnh C chạy đường trịn (O) Tìm tập hợp điểm D

Hướng dẫn : Nêu được: tồn TBA (C)D T (O) O'

BA 

 

mà C(O) D(O')

Bài 15: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b, hai đỉnh A, B cố định Gọi I giao điểm hai đường chéo

1 Tìm tập hợp điểm C D thay đổi Tìm tập hợp điểm I C D thay đổi Hướng dẫn :

1/ Chọn u DC  , với u cố định  Phép tịnh tiến theo u biến D thành C  Kết luận

2/  Chứng minh: AI AB AC

AB b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Kết luận

Bài 16: Cho đường tròn (O;R) Một điểm A cố định thuộc đường tròn, B C di động đường trịn cho góc BAC  khơng đổi (00 < α < 1800),

a) Tìm tập hợp trung điểm M BC α quay quanh điểm A

Hướng dẫn :

a).Vì α không đổi nên độ dài đoạn không đổi : BC = 2Rsinα Từ ta có: OM= Rcosα

Vậy tập hợp điểm M đường tròn (O,Rcosα)



G M O

B C

A

b) Ta có:   AM

3

AG

( , )

( )

A

V M G

 

Suy G



đường tròn ảnh V )(O,Rcos ) (O,'R)

2 , A

(   , với     Rcos

2 ' R , AO ' AO

Bài 17: Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C điểm đối xứng với A qua B PQ đường kính thay đổi (O) khác đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA PB M, N

a) Chứng minh Q trung điểm CM, N trung điểm CQ. b).Tìm quỹ tích điểm M, N đường kính PQ thay đổi.

Hướng dẫn : a)

- Chứng minh QB//AP

- Từ chứng minh Q trung điểm CM - Chứng minh tương tự N trung điểm CQ b)

- Tìm phép vị tự V(C,2)(Q)(M)

- Lý luận quỹ tích điểm M

- Lý luận tương tự đưa quỹ tích N

Bài 18 Cho đường trịn (O) đường kính AB đường thẳng d vng góc với AB B Với đường kinh MN thay đổi đường tròn ( MN khác AB), gọi P Q giao điểm d với đường thẳng AM AN Đường thẳng qua M, song song với AB cắt đường thẳng AN H

1) Chứng minh H trực tâm tam giác MPQ. 2) Chứng minh ABMH hình bình hành.

3) Tìm quĩ tích điểm H.

4) Tìm quĩ tích trực tâm tam giác NPQ.

Hướng dẫn : a) MH PQ QH, PM nên H trực tâm tam giác MPQ b) AB//HM AH//BM nên ABMH hình bình hành

c) Từ câu b) có MH  BA Suy : TBA biến M thành H

Quỹ tích H ảnh (O) qua TBA - trừ hai điểm ảnh A B

d) Điểm N đóng vai trị hồn tồn tương tự điểm M , nên quĩ tích trực tâm tam giác NPQ trùng với quĩ tích điểm H

Bài 19 Cho đường trịn (O) điểm I khơng nằm đường trịn Với điểm A thay đổi đường tròn , dựng hình vng ABCD có tâm I

1) Tìm quỹ tích điểm C.

2) Tìm quỹ tích điểm B D.

3) Khi điểm I trùng với O, có nhận xét ba quỹ tích nói ? Hướng dẫn

1) Phép đối xứng tâm ĐIvới tâm I biến điểm A thành điểm C Vậy quĩ tích C đường trịn

( )O , ảnh đường tròn (O) qua phép đối xứng đó. 2) Phép quay Q tâm I góc quay

2 

biến điểm A thành điểm B phép quay Q' tâm I góc quay

2 

 biến điểm A thành điểm D Suy quĩ tích B D đường tròn ( )O2 ,

( )O : ảnh đường tròn (O) qua phép quay Q Q'

3) Khi I trùng với O ( )O1 , ( )O2 , ( )O3 trùng với (O) nên ba quĩ tích nói

đường trịn (O)

Bài 20 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A,B Một cát tuyến di

động qua A cắt hai đường trịn P Q a) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn PQ.

b) I trung điểm đoạn PQ Tìm tập hợp điểm M PQ cho :

( )

2 k

AM  AP AQ

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

, với k 1

c) Tìm tập hợp trọng tâm G ABI Hướng dẫn

a) Lập luận đến PBQ cân B Lập luận đến AIB 900 Kết luận, Vẽ hình

b)AI 12(AP AQ) Suy AM kAI Kết luận, Vẽ hình c) Gọi N trung điểm AB Lập luận đến

V

I G

N: 

Kết luận, Vẽ hình

Bài 21 Cho đường trịn (O) (O’) cắt A B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) A C, cắt (O’) A D Gọi M N trung điểm AC AD a) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn MN

b) Tìm quỹ tích trung điểm J đoạn CD. Hướng dẫn

a) / / '

'

OM MN

OM O N O N MN

 

 

   OO' NM hình thang vng M N

Ta có : KI IA KIA1V , mà K A cố định Suy : Tập hợp điểm I đường tròn (C )

đường kính AK

b) Ta có J trung điểm đoạn CD nên có :

AC AD 1

AJ AC AD AM AN 2AI

2 2



     

                           

     

( I trung điểm MN ) Vậy : AJ 2AI   J ảnh I qua phép vị tự tâm A tỉ số

Mà I chạy đường tròn ( C )

Do : Tập hợp J đường tròn (C ') , với (C') ảnh (C ) qua phép vị tự tam A tỉ số

Bài 22 Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn Một đường thẳng thay đổi qua P, cắt (O) hai điểm A B Tìm quỹ tích điểm M cho PM PA PB

  

Hướng dẫn

Gọi I trung điểm AB

2

PA PB PI  

                            

PM PA PB 2PI

   

Gọi V phép vị tự tâm P tỉ số k = V biến điểm I thành điểm M

Vì I trung điểm AB nên OI AB suy quĩ tích điểm I đường trịn (C) đường kính PO

Vậy quĩ tích điểm M đường trịn (C') ảnh (C) qua phép vị tự V Nếu ta lấy O' cho PO' 2 PO (C') đường trịn đường kính PO'

Bài 23 Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường trịn đó.Dựng hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D

Hướng dẫn

Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M cho : AM = AB = AD Khi đó, ta có

2

AM AB AC AC 

Ngoài (AM, AB) = 450 (AM, AD) = -450

Suy ra, phép vị tự V tâm A tỉ số k =

2 biến điểm C thành điểm M phép quay Q tâm A

góc quay 450 biến điểm M thành điểm B Vậy gọi F phép hợp thành V Q F

biến C thành B Vì quĩ tích C đường trịn (O) nên quĩ tích B ảnh đường trịn qua phép đồng dạng F

Đường trịn quỹ tích B xác định sau : Gọi AR đường kính (O) PQ đường kính (O) vng góc với AR ( ta kí hiệu điểm P, Q cho (AR,AP) = 450)

Khi dễ thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích B đường trịn đường kính AP

Bài 24 Cho hình vng ABCD điểm M nằm cạnh hình vng Tìm điểm N, P nằm cạnh hình vng cho tam giác MNP tam giác

Hướng dẫn

Giả sử dựng tam giác MNP thỏa mãn điều kiện toán Nếu dùng phép quay Q tâm M góc quay 600 N biến thành P hình vng ABCD biến thành hình vng

A'B'C'D' mà P nằm hình vng Từ suy cách dựng

Bài 25 Cho đường trịn (O) với dây cung PQ Dựng hình vng ABCD có hai đỉnh A, B nằm đường thẳng PQ hai đỉnh C, D nằm đường tròn

Hướng dẫn

Giả sử dựng hình vng ABCD thỏa mãn điều kiện toán Gọi I trung điểm đoạn thẳng PQ OI đường trung trực PQ nên đường trung trực DC đường trung trực AB Từ suy ra, dựng hình vng PQMN có phép vị tự tâm I biến hình vng PQMN thành hình vng ABCD

Cách dựng

Dựng hình vng PQMN Lấy giao điểm C C' đường thẳng IM đường tròn , lấy giao điểm D D' IN đường trịn( ta kí hiệu cho hai điểm C,D nằm phía đường thẳng PQ) Gọi điểm B,A,B',A' hình chiếu điểm C,D,C',D' đường thẳng PQ Ta hình vuông ABCD A'B'C'D' thỏa mãn điều kiện toán

Bài 26 Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm B cố định nằm đường thẳng d, d không qua A.Hãy xác định d điểm C cho tam giác ABC có trọng tâm nằm (O)

Hướng dẫn

Giả sử dựng tam giác ABC với trọng tâm G thuộc (O) Gọi I trung điểm BC

3

AG AI

 

Như , phép vị tự ( , )2

A

V biến I thành G biến đường thẳng d thành

đường thẳng d' qua G Vậy G giao điểm (O) d' suy cách dựng : Dựng đường thẳng d' ảnh d qua phép vị tự tâm A, tỉ số

3

Lấy G giao điểm (O) d'

Lấy I giao điểm đường thẳng AG d Xác định điểm C cho I trung điểm BC

* Số nghiệm hình số giao điểm G (O) d' mà đường thẳng AG không qua B