ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI DIỄN TẬP HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN

UBND HUYỆN THÁP MƯỜI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang) THI DIỄN TẬP HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2017 - 2018 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 04/3/2018 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh: …………………………………… SBD: ……………… Câu I: (4 điểm) Rút gọn biểu thức A = Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị nhỏ B Câu II : (4 điểm) Chứng minh với số nguyên x, y biểu thức: C = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Chứng minh với số nguyên dương m thì: D = 5m(5m + 1) – 6m(3m + 2m) chia hết cho 91 Câu III: (4 điểm) Giải phương trình: x2+ 3x +1 = (x+3) x  Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc) với abc ≠ a ≠ b Chứng minh rằng: Câu IV: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Điểm M, N trung điểm cạnh AB, AC Kẻ ND  BC (DBC) Chứng minh : AB2 = BD2 – CD2 o o Biết độ dài BN  2.sin  ; CM  cos  với    90 Tính độ dài đoạn MN Câu V:(4 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD tùy ý khơng vng góc với AB cắt AB I Vẽ AM BN vng góc với CD (M, N  CD) Chứng minh: Chứng minh CM = DN Tiếp tuyến D cắt hai tiếp tuyến A B E F Kẻ DG  AB (GAB) Chứng minh GD tia phân giác góc EGF -HẾT UBND HUYỆN THÁP MƯỜI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC CHÍNH THỨC (HDC gồm có 03 trang) THI DIỄN TẬP HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 04/3/2018 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU I NỘI DUNG A= ĐIỂM 1,0 1,0 0,25 a) Đk: a > ; a ≠ ; a ≠ 0,25 - 0,25 0,25 0,5 0,5 b)  GTNN B II Dấu “=” xảy Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 0,5 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t  Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Vì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  x2 + 5xy + 5y2  Z Vậy A số phương  Z, 5y2  Z 0,5 0,5 0,5 D = 5m(5m + 1) – 6m(3m + 2m) = 25m + 5m – 18m – 12m = (25m – 12m) – (18m – 5m) = (25 – 12)(25m-1 + … + 12m-1) – (18 – 5)(18m-1 + … + 5m-1) 0,5 =13.(25m-1 + … + 12m-1) – 13.(18m-1 + … + 5m-1) 13 0,5 D = 5m(5m + 1) – 6m(3m + 2m) = 25m + 5m – 18m – 12m =(25m – 18m) – (12m – 5m) = (25 – 18)(25m-1 + … + 18m-1) – (12 – 5)(12m-1 + … + 5m-1) = 7.(25m-1 + … + 18m-1) – 7.(12m-1 + … + 5m-1) III Vậy D 91 x2+ 3x +1 = (x+3) x   x2+1 - x x  + 3x - x  =0  x  ( x  -x) +3(x- x  )=0  ( x  -x) ( x  - 3) = 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75  x2+ = ↔ x2 = ↔ x = Vậy nghiệm phương trình x = Ta có : (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc)  a2b – b2c –a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2  (a2b – ab2) + (a2c – b2c) = (a2bc2 – ab2c2) + (a3bc – ab3c)  (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c)  0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 IV Xét ∆AHC vng H có HN đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên : HN = NC =  ∆NHC cân N có ND HC HD = CD Xét ∆ABC vng A có: AB2 = BH.BC = (BD - HD)(BD + CD) = BD2 – CD2 0,5 0,5 0,5-0,5 Áp dụng định lý Pitago tam giác: MAC, NAB ta có: 0,5 BN  AN  AB2               � � CM  AM  AC2 � 0,5 � BN  CM  AN  (2AM)  AM +(2AN) � 4(sin   cos  )  5(AN  AM )  5.MN 0,5 0,5  MN  5 V Xét ∆AMI ∆BNI có :  ∆AMI (đối đỉnh) ∆BNI 0,5 0,5  Kẻ OH⏊CD cắt AN K, ta có HC = HD (1) 0,5 0,5 Xét ∆ABN có : OK // BN OA = OB  KA = KN Xét ∆NAM có: KH // AM KA = KN  HM = HN (2) Từ (1) (2) suy : HC – HM = HD – HN  CM = DN Ta có AE // DG // BF (cùng vng góc với AB) (vì EA = ED ; DF = FB)   Tam giác vuông AEG tam giác vuông BFG đồng  dạng    GD tia phân giác -HẾT 0,5 0,5 0,5 0,5 Lưu ý: - Nếu HS có cách giải khác trọn số điểm câu - Ở câu IV câu V HS khơng có vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm