112 52 Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán - Yêu cầu tính giá trị biểu thức hợp lí nên không thể thực hiện phép khai phương ở từng căn thức.. Do đó phải biến đổi thành những căn thứ[r]
(1)Së Gd&§t NghÖ an §Ò thi chÝnh thøc HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TỈNH CẤP THCS NĂM HỌC: 2012 - 2013 ĐỀ THI KIỂM TRA NĂNG LỰC MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (6,0 điểm) a) Anh (chị) hãy nêu năm cách thông dụng để tạo tình có vấn đề dạy học Toán b) Anh (chị) hãy trình bày các bước phương pháp chung để giải bài toán Lấy ví dụ minh hoạ Câu (3,5 điểm) a) Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp b) Hãy giải bài toán sau hai cách: Qua điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MEF đường tròn (O) (cát tuyến MEF không qua O) Gọi I là trung điểm EF Chứng minh rằng: điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên đường tròn Câu (4,0 điểm) Xét bài toán: 2x x x1 : x x x x x Cho biểu thức P = Tìm các giá trị x để biểu thức P có giá trị nguyên Anh (chị) hãy nêu định hướng giải bài toán trên và trình bày lời giải bài toán Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n thì hai số (2n + 1)(n + 1) và 3n + là hai số nguyên tố cùng Câu (5,0 điểm) Cho bài toán: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a, E là điểm nằm trên cạnh CD (E không trùng với D) Tia phân giác góc DAE cắt CD F Qua F kẻ đường thẳng vuông góc với AE H và cắt BC G a) Tính số đo góc FAG b) BD cắt AF, AG P, Q Chứng minh AH, GP, FQ đồng quy c) Tìm vị trí điểm E trên cạnh CD để diện tích tam giác AFG nhỏ Anh (chị) hãy giải bài toán trên Anh (chị) hãy hướng dẫn học sinh giải câu b - Hết -Họ tên thí sinh………………………………………Số báo danh………………… (2) HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm này gồm có trang) Câu a) 2,5 điểm b) 3,5 điểm 6,0 điểm Một số cách thông dụng để tạo tình có vấn đề Dự đoán nhờ nhận xét trực quan thực nghiệm Lật ngược vấn đề Xem xét tương tự Khái quát hoá Phát sai lầm, tìm nguyên nhân và sửa chữa (Mỗi cách 0,5 điểm, thí sinh nêu từ cách trở lên thì cho 2,5 điểm) Phương pháp chung tìm lời giải bài toán - Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: + Giả thiết là gì? Kết luận? Hình vẽ sao… + Phát biểu bài toán nhiều dạng khác để hiểu rõ bài toán + Bài toán này thuộc dạng toán nào? + Các kiến thức liên quan - Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Chỉ rõ các bước cần tiến hành theo trình tự thích hợp - Bước 3: Thực chương trình giải: Trình bày theo các bước đã - Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: + Xem có sai lầm không + Có thể giải bài toán theo cách khác không + Có thể khai thác bài toán không Ví dụ: Dạy giải bài tập: Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí 21,6 810 112 52 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán - Yêu cầu tính giá trị biểu thức hợp lí nên không thể thực phép khai phương thức Do đó phải biến đổi thành thức mà biểu thức dấu có thể khai phương Bước 2: Xác định hướng giải và thiết lập chương trình giải - Đưa thừa số ngoài dấu 2,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,5 (3) - Thực các phép nhân thức Bước 3: Thực chương trình giải 21,6 810 112 52 21,6 81.10 11 11 9 21,6.10.4 36 216.6 36 63.6 36.62 1296 Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: - Các phép toán đã thực chính xác, kết đúng - Các khâu suy luận hợp lí, các phép biến đổi hợp lí - Tìm thêm cách giải khác: 21,6 810 112 52 21,6.810.(121 25) 216.81.96 3.9 2.6.42 (Ví dụ hợp lí 1,5 điểm) Câu a) 1,5 điểm 3,5 điểm Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 (hoặc tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối diện) - Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại góc (Mỗi dấu hiệu 0,5 điểm) 1,5 A I E F M K b) 2,0 điểm O B Cách 1: Do I là trung điểm dây EF không qua tâm nên OI EF suy MIO = 900 mặt khác vì MA, MB là các tiếp tuyến đường tròn tâm O nên MAO = MBO = 900 suy tứ giác MAIO và MAOB nội tiếp Suy điểm M, I, A, O, B cùng nằm trên đường tròn Cách 2: Gọi K là trung điểm MO Do I là trung điểm dây EF không qua tâm nên OI EF suy MIO = 900 mặt khác vì MA, MB là các tiếp tuyến đường tròn tâm O nên MAO = MBO = 900 MO suy KA = KB = KM = KO = KI = suy đpcm Câu 1,0 1,0 4,0 điểm Định hướng giải bài toán: (4) Bước Tìm điều kiện xác định biểu thức P Bước Rút gọn biểu thức P Bước Tìm giá trị nguyên P từ đó tìm giá trị x thoả mãn (Mỗi bước 0,5 điểm) Trình bày lời giải: x 0, x 1 Điều kiện xác định: 2x x x x x 1 x x x 1 Ta có: P = x x 1 x1 : x x 1 x x x 1 : 1,5 0,5 x1 0,5 0,5 0,5 Do x x 1 nên < P 2 Mà P nguyên suy P = 1; 2 1 x Nếu P = giải (Thoả mãn ĐKXĐ) Nếu P = giải x = (Thoả mãn ĐKXĐ) Câu Giả sử hai số (2n + 1)(n + 1) và 3n + không nguyên tố cùng suy tồn d là ước chung nguyên tố (2n + 1)(n + 1) và 3n + suy (2n + 1)(n + 1)d mà d nguyên tố nên 2n + 1d n + 1 d Nếu 2n +1d mà 3n + 2d suy 2(3n + 2) – 3(2n + 1)d 1 d (vô lí vì d nguyên tố) (1) Nếu n +1d mà 3n + 2d suy 3(n + 1) – (3n + 2)d 1d (vô lí vì d nguyên tố) (2) Từ (1) và (2) suy (2n + 1)(n + 1) và 3n + nguyên tố cùng Câu 0,25 0,25 1,5 điểm 0,5 0,5 0,25 0,25 5,0 điểm A B Q G P H D F E C a) Ta có ADF = AHF (cạnh huyền - góc nhọn) 1) AH = AD = AB AHG = ABG (cạnh huyền - cạnh góc vuông) A3 = A4 0,75 0,75 (5) Mà A1 = A2 nên FAG = ½ DAB = 450 b) Xét tứ giác AQFD có FAQ = FDQ = 450 nên tứ giác AQFD nội tiếp ADF + AQF = 1800 mà ADF =900 AQF = 900 FQ AG (1) Tương tự GP AF (2) 0.5 0.5 0,25 Mà AH FG (3) Từ (1), (2), (3) suy AH, FQ, GP đồng quy c) Do ADF = AHF SADF = SAHF 0,25 ABG = AHG SABG = SAHG 4,0 điểm SAFG = SADF + SABG 2SAFG = SABCD - SFGC = a2 - SFGC 0,5 Suy SAFG nhỏ và SFGC lớn đặt CF = x, CG = y suy FG = x2 y2 mà FH = FD, GH = GB FC + FG + GC = CD + CB = 2a 2a = x + y + x y 2 xy xy xy (áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm) 2a a2 xy (1 2) xy (1 2) SFGC = 0,5 dấu “=” xảy và x = y và FAG = 45 E trùng C Nêu các phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy Quan sát hình vẽ ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính chất các đường đồng quy tam giác Mà AH FG nên ta dự đoán AH, FQ, GP là các đường cao tam giác AFG Ta phải chứng minh FQ AG AQF = 900 Mà ADF = 900 nên phải chứng minh tứ giác AQFG nội tiếp 2) 1,0 điểm Lưu ý: Thí sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa 1,0 (6)