CHU DE 1Bien doi RUT GON bieu thuc co chua canbac 2

Các bài toán về biến đổi biểu thức số cã chøa c¨n bËc hai... 3 Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng:.[r]

Chủ đề Các bài toán biến đổi biểu thức số cã chøa c¨n bËc hai I Lý thuyÕt 1) C¨n bËc hai: x =a⇔ x=±√ a ( a≥0 ) 2) C¨n bËc hai sè häc:  x 0  Neu a 0 thi x  a    x   a  A neu A 0 A2  A   A neu A  1) Hằng đẳng thức: 2) Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng: √ AB=√ A √ B ( A≥0; B≥0) 3) Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng: √ A √A = B √B ( A≥0, B>0 ) 4) Các phép biến đổi đơn giản bậc hai: 4.1 §a thõa sè ngoµi dÊu c¨n: √ A B=|A|√ B ( B≥0) 4.2 §a thõa sè vµo dÊu c¨n A B  A2 B A B  A2 B (Neu A 0, B 0) (Neu A  0, B 0) 4.3 Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n: A AB = = √ AB B B |B| √ √ ( AB≥0 , B≠0 ) 4.4 Trôc c¨n thøc ë mÉu: A A B = √ (B >0 ) √B B C( A∓√ B ) C = ( B ≥0 , A ≠B) A± √ B A −B C ( √ A∓ √ B) C = ( A , B ≥0 , A≠B) √ A±√ B A−B 5) Cộng trừ bậc hai đồng dạng: m √a−n √ a+ p √ a=(m−n+ p ) √a √ a=x ⇔ x 3=a 6) C¨n bËc 3: 3 √ ab=√ a √ b PhÐp to¸n: a a √ =3 (b≠0 ) b √b √ a II C¸c vÝ dô: A=29+12 √ TÝnh VÝ dô Cho √A 2 Gi¶i: Ta cã: A=29+12 √ 5=20+9+2 √ 3=( √5 ) +2.2 √5 3+3 =( √ 5+3 ) ⇒ √ A=2 √5+3 VÝ dô Rót gän biÓu thøc M=√ + √ 7− √ 4− √7 Gi¶i C¸ch Do đó: 8+ √7 7+2 √ 7+1 ( √7 +1 ) + √ 7= = = 2 2 8−2 √ 7−2 √ 7+1 ( √ 7−1 ) 4−√ 7= = = 2 M= √ ( √ 7+ ) C¸ch DÔ thÊy M > − √ ( √ 7−1 ) 2 = ( √ 7+1 ) ( √ 7−1 ) √2 − √2 = =√ √2 M 2=( √ 4+ √7−√ 4−√ ) =4+ √7+4−√ 7−2 √ ( + √ )( 4−√ ) M 2=8−2 √ 9=2 Suy ra: M=√ 3 VÝ dô 3: TÝnh x=√ 17 √5+38−√ 17 √ 5−38 Giải: Ta sử dụng các đẳng thức: (a+b )3 =a3 +b3 +3 ab( a+b ) (a+b )3 =a3 −b3 −3 ab( a−b ) LËp ph¬ng hai vÕ ta cã: 3 x =(√ 17 √5+38−√ 17 √ 5−38 ) 3 3 x =( 17 √5+38 )−( 17 √5−38 )−3 √ ( 17 √ 5+38 )( 17 √5−38 ) ( √ 17 √5+38−√ 17 √ 5−38 ) √ x =36−3 ( 17 √ ) −382 x=36−3 √1 x x +3 x−76=0⇔ x −4 x +4 x −16 x+19 x−76=0 ⇔ x ( x−4)+4 x( x−4 )+19( x−4)=0⇔( x−4)(x +4 x+19 )=0 ⇔ x=4 2 (V× x +4 x+19=x +4 x+ 4+15=( x +2) +15>0 ) II Bµi tËp LuyÖn tËp: Bµi Ph©n tÝch c¸c biÓu thøc sau thµnh c¸c luü thõa bËc hai: a)8+2 √15 c)5+ √ 24 Bµi TÝnh b)10−2 √ 21 d )12−√ 140 √A e )14+6 √ biÕt: a ) A=13−2 √ 42 b) A=46+6 √ c) A=12−3 √ 15 Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh rót gän: √ √ a) √ 5− √3−√ 29−6 √ 20 d)(5−3 √2) 13+30 √ 2+ √9+4 √2 b)( √ √7+ √ 48−√ √ 28−16 √3 ) √ √ 7+√ 48 √ √ c ) 4+ √3+5 √ 48−10 √ 7+4 √3 √ e) 6−2 √ √2+√ 12+ √18−√ 128 √ Bµi TÝnh: √ f )( √3−1) 6+2 √2 3−√ √ 2+ √12+√ 18− √128 g) √|12 √ 5−29|+√ 25+4 √21−√12 √ 5+29− √25−4 √21 a) A=√ 8−2 √ 5− √8+2 √ b) B=√ 4+ √10+2 √ 5+ √ 4−√ 10+2 √5 c) C=√ 4+ √15+ √ 4−√15−2 √3−√ Bµi Rót gän: ( a ) A= 15 12 + − ( √ 6+11 ) √6 +1 √ 6−2 3−√6 ) b )B= √3−√ 5( √10−√ 2)(3+ √ ) Bµi Rót gän biÓu thøc: c )C=(4 + √ 15)( √ 10− √ ) √ 4−√15 d )D= √ 8+ √ 15 8− √ 15 + 2 √ M= √ √7−√ 3−√ √ 7+ √ √ √7−2 Bài Chứng minh các số sau là các số nguyên: a ) A= Bµi TÝnh: √ 3+ √ 5− √13+ √ 48 √ 6+√ b )B= 2+ √3 2− + √ ; 2+ √ 4+2 √ 2− √ 4−2 √3 2+ √ 2−√ C= + √ 2+ √3+ √5 √2−√ 3−√ A= Bµi TÝnh: 3 B= (5+2 √6 )(49−20 √ 6) √ 5−2 √ √3−11 √ 2+ √3 2− + √ √2+ √ 2+ √ √ 2−√ 2− √3 A= √ √ 5+2− √ √5−2; B= √3+ √ 17+ √ 3−√ 17 Bµi 10 H·y lËp ph¬ng tr×nh f(x)=0 víi hÖ sè nguyªn cã mét nghiÖm lµ Bµi 11 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 10 M= 3 √ 9−√ 6+ √ ( 1+ √ 1+ √ : 4−2 √ √ √ 2−1 3 x=√ 3+ √ ) √ A= ( 1+3 √3 ) 26+2 √ 26+2 √28+6 √3−1 B=√ 3(2 √27−√ 48+ √3) Bµi 12 Cho Chøng tá r»ng A chia hÕt cho B Bµi 13 Rót gän biÓu thøc: √ √ M=√ 2+ √ √ 2+ √ 2+ √3 2+ √2+ √ 2+ √ 2− √2+ √ 2+ √ Bµi 14 Cho c¸c biÓu thøc: 1 1     1 2 3 48  49 1 1 B      48 A a) TÝnh A Bµi 15 Chøng minh r»ng: b) Chøng minh r»ng B > 12 √ 8+2 √10+2 √ 5+ √8−2 √10+2 √ 5=√ 2+ √10 1 = − Bµi 16 a) Chøng minh r»ng: (k +1 ) √ k +k √ k +1 √ k √ k +1 b) ¸p dông tÝnh A= 1 1 + + + + √ 1+1 √ √ 2+ √ √ 3+3 √ 100 √ 99+99 √ 100 víi k nguyªn d¬ng A= Tæng qu¸t: 1 1 + + + + √ 1+1 √ √ 2+2 √ √ 3+3 √ (n+1 ) √ n+n √ n+1 20072 2007 P= 1+2007 + + 20082 2008 Bµi 17 TÝnh: n2 n P= 1+n + + n+1 ( n+1) Tæng qu¸t: Bµi 18 XÐt biÓu thøc: √ √ P= 1 1 − + − + − √ 2−√ √3−√ √ 4−√ √ 2006−√ 2007 √ 2007− √2008 a) Rót gän P Bµi 19 Cho c¸c sè sau: √ b) Gi¸ trÞ cña P lµ sè h÷u tØ hay v« tØ? V× sao? A= 6+ √6+ √ 6+ + √ 3 √ √ √ B= 6+ 6+ 6+ + 3√6 Chứng minh A và B không phải là các số nguyên 3 √ √ √ 3 A= 60+ 60+ 60+ .+ √60 Bµi 20 a) Cho A  20  20  20   20 ; b) Cho Chøng minh r»ng 7<A+B<8 N=99 .9 00 ⏟ ⏟ n ch sè n ch sè Bµi 21 Cho TÝnh C= Bµi 23 TÝnh B  24  24  24   24 √N √ 4+ √7−√ 4− √7−√ Bµi 22 So s¸nh : Chøng minh r»ng 3<A<4 vµ sè 4+ √ 4−√ + √ 2+ √ + √7 √ 2−√ 4−√ Bµi 24 Rót gän biÓu thøc: N= √ √ 6+8 √ 3+4 √2+18  2x  2x A  tai x  1 1 2x 1  2x Bµi 25 TÝnh R a  a  a  biet a  Bµi 26 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc S Bµi 27 Cho tæng So s¸nh S víi  1   5 2   7 (§Ò thi hsg thµnh phè n¨m häc 2002-2003) 3    1 2  8 97  48  49  1 Bµi 28 T×m tæng: S = 8.12  8.22  8.10032       12.32 32.52 20052.2007 1 Híng dÉn: XÐt sè h¹ng tæng qu¸t cña tæng: 8.n   2n  1  2n 1 1 1  1      n  2n  