Đại số ngoài trên không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Lệ Thi ĐẠI SỐ NGỒI TRÊN KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn, nhận nhiều giúp đỡ hỗ trợ Tôi xin chân thành cảm ơn TS.Nguyễn Hà Thanh tận tình hướng dẫn giúp đỡ nhiều để tơi hồn thành luận văn Nhân muốn gửi lời cảm ơn đến Thầy Cơ tổ Hình học thuộc khoa Tốn –Tin Trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giúp đỡ góp ý cho luận văn Tôi xin cảm ơn quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quan tâm góp ý để luận văn hồn chỉnh Bên cạnh đó, tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạch tài chính, Phịng Khoa học cơng nghệ Sau đại học trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh Ban giám hiệu trường THPT Chuyên Hùng Vương tạo điều kiện để tơi hồn tất chương trình cao học hồn thành luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln động viên giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hoàn thành luận văn thạc sĩ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết tích tenxơ khơng gian Banach công cụ để hiểu cấu trúc không gian Banach nghiên cứu nửa kỷ qua Người nghiên cứu Alexander Grothendieck Trên lý thuyết chuẩn không gian tuyến tính, chuẩn không gian Banach Grothendieck xây dựng mộât đẳng cấu tự nhiên không gian tuyến tính L( X  Y ; Z ) không gian Banach B( X  Y ; Z ) , tích tenxơ xem khơng gian tuyến tính Trên sở Grothendieck xây dựng chuẩn tenxơ không gian Banach, cảm sinh hai chuẩn : chuẩn nội xạ chuẩn xạ ảnh Nó chìa khoá để Grothendieck đại số hoá hình học, xây dựng thành cơng tích tenxơ tơpơ, khơng gian hạch, K- lí thuyết, tơpơ Grothendieck, … Sau đó, dựa vào kết Grothendieck Joe Diestel, Jan H Fourie, Johan Swart, Andreas Defant, … thác triễn rộng chuẩn xạ ảnh, chuẩn nội xạ không gian C(K), không gian Lp, chuẩn xạ ảnh, chuẩn nội xạ bên trái bên phải, chuẩn tenxơ không gian Hilbert, tốn tử ideal, không gian độ đo, …cùng nhiều ứng dụng khác Một vấn đề đặt chuẩn nội xạ, chuẩn xạ ảnh Grothendieck liệu có hay không tích ngoài, đại số không gian Banach hay khơng? Chúng thấy vấn đề quan trọng để nghiên cứu Và đề tài nghiên cứu luận văn Trong luận văn này, đặc biệt quan tâm đến việc trả lời câu hỏi sau đây: + Caùch xây dựng mộât đẳng cấu tự nhiên không gian tuyến tính L( X  Y ; Z ) khoâng gian Banach B( X  Y ; Z ) Grothendieck nào? + Chuẩn tenxơ không gian Banach, với hai chuẩn hợp lý chuẩn nội xạ, chuẩn xạ ảnh, tính phổ dụng ánh xạ hai chuẩn Grothendieck xây dựng nào? + Những kết Grothendieck kế thừa ta xây dựng chuẩn xạ ảnh ,chuẩn nội xạ tích ngoài, đại số ngoài? Cùng với số ví dụ ứng dụng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài này, muốn làm rõ chuẩn tenxơ không gian Banach theo kết nghiên cứu Grothendieck, sở mơ kết đó, chúng tơi xây dựng chuẩn xạ ảnh, chuẩn nội xạ tích Luận văn thực nhằm chứng minh cách đầy đủ số định lý mệnh đề chuẩn tenxơ không gian Banach, hai chuẩn nội xạ, chuẩn xạ ảnh cảm sinh tích Đối tượng nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu số vấn đề chuẩn tích ngồi khơng gian Banach, cụ thể nghiên cứu chuẩn tenxơ không gian Banach , chuẩn nội xạ xạ ảnh tích ngồi Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn tạo sở mở đầu để nghiên cứu đại số ngồi khơng gian Banach Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương : Chương 1: Hệ thống lại kiến thức chuẩn bị tenxơ tích ngồi, khái niệm làm tảng xây dựng chương chương Chương 2: Nghiên cứu chuẩn tenxơ không gian Banach, chuẩn nội xạ chuẩn xạ ảnh cảm sinh đó, với tính phổ dụng hai chuẩn này, theo kết nghiên cứu Grothendieck Chương 3: Nghiên cứu chuẩn nội xạ, chuẩn xạ ảnh tích ngồi tinh thần mơ theo kết nghiên cứu Grothendieck Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương cung cấp kiến thức để hiểu chương sau : 1.1 Đại số tenxơ Nhắc lại không gian vectơ không gian đối ngẫu với ký hiệu tenxơ Cho K=  (  ) e  (e1 , , en ) sở V V   Homlin (V , K )  { f : V  K / f ánh xạ tuyến tính } e  (e1 , , e n ) : đối ngẫu V 0 , i  j  ei , e j   i j   1 , i  j n f V  : f   f i ei  f i ei i 1 n  f , x  x, f   f i xi  f i xi i 1 Đổi sở : (e)'  (e1 , , en ) n n i 1 i 1 x   x i 'ei '  x i 'ei ' , ei '   Ci 'ei  Ci 'i ei C  (Ci 'i ) n ma trận đổi sở 1 C1' C2' .Cn '  C C C  n'  1' 2' Với C      n n C1' C2' Cn '  Công thức đổi toạ độ n x   Ci 'i x i ' (theo luật tenxơ) i i' n (e )'  (e1' , , e n ' ); f   f i 'ei ' i '1   n ei '   C i 'i ei (i '  n)  C  (Ci i ' ) n , i 1 Ma trận đổi sở e*  (e )' Ta có C  (C t ) 1  (C 1 )t n f i   Ci i ' f i ' i 1 1.1.1 Tenxơ kiểu (p, q)   a/ Đặt : Tp q (V )  Hom pol (V    V  V   V  ; K ) (tập hợp ánh xạ P q      V  V   V đa tuyến tính cấp p+q từ V   vào K ) P q T  Tp q (V ) gọi tenxơ kiểu (p, q) hay tenxơ p lần hiệp biến, q lần phản biến Tức :   T : V    V V   V  K P q (v1 , , v p ; f , , f q )  T (v1 , , v p ; f , f q )  K T tuyến tính biến * Tp q (V ) không gian vectơ K với phép toán sau: T , S  Tp q (V ),   K (T  S )(v1 , , v p ; f , , f q )  T (v1 , , v p ; f , , f q )  S (v1 , , v p ; f , , f q )  (T )(v1 , , v p ; f , , f q )  T (v1 , , v p ; f , , f q ) b/ Tenxơ khai triển KH T      p  x1   x p ,( , ,  p V  , x1 , , xq V ) cho : dn T (v1 , , v p ; f , , f q )    , v1    p , v p   xq , f p  K v1 , , v p V ; f , , f q V * T gọi tenxơ kiểu (p, q) khai triển thành tích tenxơ 1 , ,  p V  , x1 , , xq V *Tính chất Với tenxơ kiểu (p, q) tổ hợp tuyến tính tenxơ khai triển Chọn (e)  (e1 , , en ) sở V (e* )  (e1 , , e n ) sở V  c/ Định lý (số chiều sở Tp q (V ) ) Tp q (V ) nhận {ei   e  e j   e j / i1 , , i p  n; j1 , , j p  n} ip i q làm sở * dim Tp q (V )  n p  q Tp q (V ) : không gian kiểu (p, q) V * Với tenxơ T kiểu (p, q) có: T T i1 , ,i p e   e  e j   e j j1. jq i1 i1. i p ip q j1 j q tắt T  (T i i ) gọi thành phần T (e) p j1 j q Ta cho hình dung cụ thể T  (T i i ) v1 , , v p V ; f , , f q V * p n vi   xi j e j , tức vi  ( xi1 , , xi n ), i  p (e) j 1 n f   f j i e j , f i ( f1i , , f n i ) ( e ) i j 1 Lúc : T (v1 , , v p ; f , , f q )  T i .i x1i x p f j f j q j1 jq 1 ip p q +TH1:p=1, q=0 kh * T (V )  Homlin (V , K )  V  T1 (V ) +TH2: p=0, q=1 KH T01 (V )  Homlin (V * , K )  V **  V  T (V ) +TH3: p=1, q=1 T11 (V )  Homlin (V  V * , K )  n p  q  n e  (e1 , , en ) , v  ( x1 , , x n ) (e) e*  (e1 , , e n ) trong(e* ) f  ( f1 , , f n ) (e* ) T11 T21 Tn1   x1   2   T1 T2 .Tn   x  j j i  T  (Ti ) n ; T (v; f )   Ti x f j  [ f1 , , f n ]      n  n n T1 Tn   x  Ta đồng T  (Ti j ) n trùng với tốn tử tuyến tính từ V vào V mà ma trận (e) Ti j Tức T11 (V )  End (V ) không gian tốn tử tuyến tính V +TH4: p=2, q=0 KH T2 (V )  Hombil (V  V  K )  T2 (V ) :không gian dạng song tuyến tính V +TH5: p = 0, q = QU T0 (V )  K *Kết luận : Đại số tuyến tính mơn học nghiên cứu tenxơ cấp bé (bé 2) Đại số đa tuyến tính mơn học nghiên cứu cấp tenxơ cấp tuỳ ý Tp q (V ) Ta có cơng thức đổi thành phần: T j1 jq i1 i p   C j j ' C 1  jq C i ' i C j 'q  i 'p ip T j1' jq ' i '1 i p ' luật tenxơ 1.1.2./ Đại số tenxơ Đặt:  T (V )   Tp q (V ) p ,q 0 T , q, p, Tp q  T (V ) không gian vectơ K * Ta định nghĩa tích tenxơ tenxơ: T  Tp q (V )  T (V ); S  Tr s (V )  T (V ) T  S  Tp  r q  s (V ) Sao cho : T  S (v1 , , v p , v p 1 , , v p  r ; f , f q  s )  T (v1 , , v p ; f , , f q )  S (v p 1 , , v p  r ; f q 1 , f q  s ) *Tính chất +Tính kết hợp : (T  S )  R  T  ( S  R) +Tính phân phối : (T1  T2 )  S  T1  S  T2  S T  ( S1  S )  T  S1  T  S +Tính kết hợp với phép vô hướng : (T )  S  T  ( S )   (T  S ) * Chú ý : T  S  S  T Khơng tính tổng qt ta gọi : G khơng gian tuyến tính sinh { x1i   xmi :1  i1  i2   im  n} với {x1j }nj 1 độc lập tuyến tính Đặt  '   theo bổ đề ta chọn { i x1i   xmi }kN1  S(  nk 1  k k m X  ) cho :  max  x1k   xmk ,  .i xi   xi   (1   ) k 1 N m m a i1 im i xi   xi m   i x   x  G, .i  R i  i1 m  im m Gíơng G khơng tính tổng quát, ta giả sử: F không gian tuyến tính sinh tập { xr   xr :1  r1  r2   rm  M } , i m {xj }rM1 độc lập tuyến tính Lấy G1 khơng gian tuyến tính sinh tập {xr}rn1 F1 khơng gian tuyến tính sinh tập ( {xr}rM1  {xik }im1 kN1 ) Theo định lý ta có tốn tử tuyến tính T : G1  X cho : , x  X  G1 (i) T ( x)  x (ii) T T 1    ' (iii) Tx , x    x , x  , x  G1 , x  F1 Ta chọn T cho : T  , Tm  ( m T ) : G1  ( m X )  Theo mệnh đề 3.2.4 ta có: Tm ( i xi   xi )   (1   ') i xi   xi m m m m  Do đ ó: Tm Tm 1    Rõ ràng Tm ( )   ,   ( m X )  G Tm ( i xi   xi ),  br .r x   xr  m m m r1 m    br .r x   x ,  i x   xi   a i1 im m  rm r1  i1 m m x   x  G,  br .r x   xr  F  i1  im  m r1 m  3.4 Chú ý ví dụ: 3.4.1.ví dụ:  (  k X ) p , p  không đại số Banach + Trường hợp  p   : Lấy     (1, x,0, ) với x  X cho :  x  (2 p  2)1/ p Thì     (1  x )1/ p phần tử ( ( k X )  ) p p Ta có     (1,2 x,0,0, ) Khi     (1  p x )1/ p p Khi    (1  x ) 2/ p  (1  p x )1/ p     p p +Trường hợp p   : Lấy   (2, x,0, ),  (1, x,0,0 ) với x thuộc X cho x  Ta có    =1 phần tử ( ( k X )  ) Vì p p    (2 p  x )1/ p  (1  p )1/ p  2 p p  1   (1  x )1/ p  21/ p      (2,3x,0,0, ) , p     (2 p  p x )1/ p  (2 p  p )1/ p p   3(( ) p  1)1/ p  3     Suy ra:       3.4.2.Chú ý: Lấy X khơng gian Hilbert , dim(X) = n, có sở chuẩn tắc {e1 , , en } X  không gian đối ngẫu sở đối ngẫu trực chuẩn {w1 , , wn } cho: 1 , i  j  ei , w j    0 , i  j Ta định nghĩa ,  :  m X   m X   R bởi:    e ,    w      ( n , m )    e , w   ( n , m )  ( n , m )  ( n , m ) 1 ,    với  e ,     0 ,    Lấy a i1 im wi   wi   m X  m Ta có : x1   xm  1, x1 , , xm  BX Do a i1 im wi   wi m   a i1 im wi   wi  comass (1) m lấy   vectơ phân tích m - dạng x1   xm   m X , x1   xm  Khi a i1 im wi   wi m     x1   xm ,  i wi   wi  (2) m m Từ (1) (2) suy : a i1 im wi   wi m  comass  a i1 im wi   wi m  Khi ta có định nghĩa comass mass theo chuẩn nội xạ chuẩn xạ ảnh:    m X  , comass     sup{ ,  :    m X }  phân tích m - dạng   Tương tự, ta có:    m X , mass   3.4.3.Ví dụ : ( l1n )   l12   sup{ ,  :    m X  ,   1} n Chứng minh: Lấy {e1 , , en } {w1 , , wn } sở ln , l1n cho: , i j 1  ei , w j    0 ,i j n Đầu tiên ta ( k ln )  lk , với  k  n Bởi định nghĩa (1 ln )  ln Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh + Lấy k=2  e ij i  e j  ( ln ) Định nghĩa T : l1n  R bởi:  e T ( x)  x ij i  ej   e  sup x ij i x 1  ej  ln , x  Bl n Do :  e ij i  ej  sup{ wp   e ij i  ej : p  1, , n}   sup{  ij :1  i  j  n} n  2 Suy : ( l )  l n   n   +Bây ta giả sử ( l )  lk , cho k, với  k  n n k   Ta chứng minh mệnh đề với trường hợp n=k+1 Thật : Lấy  e   ei  ( k 1 ln ) i1 .ik 1 i1 k 1 Định nghĩa T : l1n  R bởi: T ( x)  x  e   ei i1 ik 1 i1 k 1 (  k ln ) , x  l1n T lồi theo bổ đề 3.2.10, ta có:  e   ei i1 ik 1 i1 k 1 n Vì ( k ln )  lk ,  sup x    e   ei i1 ik 1 i1 e   ei i1 ik 1 i1 k 1  k 1 (  k ln ) : x  Bl } n  sup{  i i :1  i1   ik 1  n} k n   Do ( l )  lk 1 , n k 1   n   Ta suy ( l )  lk với k,  k  n n k   n   Khi với k,  k  n , ( l )  l1 k ( l1n )   l12 n k  n 3.5 Tính chất chuẩn  tính chất chuẩn  Theo trên, lý thuyết metric Grothendieck lý thuyết metric tích ngồi có tương đồng, tính chất chuẩn xạ ảnh, nội xạ liệu có cịn chuẩn xạ ảnh, nội xạ tích ngồi hay khơng? Grothendieck E không gian F, với khơng   gian Banach G, E  G không gian F  G (một cách tự nhiên tính chất nội xạ) Grothendieck cịn F khơng gian thương   E F  G khơng gian thương E  G (tính chất xạ ảnh) Thế có cịn trường hợp tích ngồi hay khơng ? Câu trả lời “có”, làm rõ qua định lý sau: 3.5.1.Định lý Nếu X khơng gian Y ( X ) không gian (  Y )  Chứng minh : Nó đủ để ( m X ) không gian ( Y ) , với m lớn Xét x i 1i   xmi  ( m X ) , cho xi  BX có  yi  BY cho yi / X  xi  Theo định lý Hahn –Banach(1) Ta có : x 1i i   xmi (  m X )  x 1i i   xmi (  m Y ) Với   , có y1 , , ym  BY cho :  x i   xmi 1i (  m Y )      i x1i   xmi , y1   ym  Lấy xi  yi / X , i  1, , m Khi với xi  BX , i  1, , m , ta  có: x i 1i   xmi Khi (  m Y ) x i 1i      i x1i   xmi , x1   xm    xmi (  m Y )  x i 1i   xmi (  m X ) Ta suy điều cần chứng minh Ta X không gian Y khơng suy ( m X )  không gian ( m Y )  Thật vậy: 2n Đặt X  l22 n , Y  l12 ri thành phần thứ i hàm Rademacher {1, n ., 22 } Theo định nghĩa hàm Rademacher, cho i=1, …, 2n ri (k )  sign(2 k / 22 n ) cho k={1, , 22 n } Đặt {e1 , , e2 n } {e1 , , e2n } sở X X  cho: 1 , i  j  ei , ej    0 , i  j Đặt {u1 , , u2 } {u1 , , u2 } sở Y Y  cho: 2n 2n 1 , i  j ui , u j    0 , i  j Ánh xạ tuyến tính T : X  Y ,định nghĩa bởi: T (ei )  ri với ri thành phần thứ i hàm Rademacher, theo định lý Khintchine (2), ta có: 2n 2n A1 ( )  2n a r 1/2 i 1  B1 ( )1/2 i i i 1 i 1 với B1  A1  / Bây lấy    i 1 e2 i 1  e2 i ,   i 1 e2i 1  e2i n n Khi :  ,    i 1  e2 i 1  e2i , e2i 1  e2i   n n Rõ ràng : n n    sup{( x2i 1   x2 i )1/2 i 1 i 1 n n  ( y2i 1   y2 i )1/2 : x, y  BX }  i 1 i 1 Ta có :  e1  e2 ,    e1  e2 , e1  e2   Do      n n  T ( )   r2 i 1  r2i i 1 Nó dễ dàng : n  r2i1  r2i ul   i 1 Suy n r i 1 i 1  r2 i 2n   ri 22 n i 1 2n 22 n ul  Theo định lý Khintchine, ta có: n 22 n 22 n   r2 i 1  r2 i ,    lk u  u   2n i 1 i 1 k l 1  l  k 22 n 22 n  l 1 k l 1 lk ul  uk  n r Ta có : i 1 Khi : i 1  r2 i  2n  n  r2i 1  r2i n e  2n  n  i 1 i 1  i 1  e2 i  Khi n vơ lớn T ( ) có chuẩn bé  (1) “Định lý Hahn Banach: Lấy  không gian không gian Banach X Nếu  hàm tuyến tính bị chặn  tồn hàm  X cho:  ( f )   ( f ), f      ”  (2) “Bất đẳng thức Khintchine: Lấy { n , n  1} dãy độc lập giá trị tự phân bố khắp không gian (, F , P) thoả P(1  1)  P(1  1)  / Nếu { an , n  1} dãy số thực p  (0; ) tồn số dương Ap, Bp cho: N Ap ( a ) n 1 n p /2 p N N  E (  an n )  Bp ( an2 ) p /2 , N  ” n 1 n 1 3.6.Tính chất ( m X ) ,( m X )  chiều hữu hạn Schauder Trong lý thuyết metric tích tenxơ E F có sở Schauder (ei ) ,( f i ) tích tenxơ có sở Schauder (ei  f j ) Để xét tính chất ( m X ) ,( m X )  chiều hữu hạn Schauder ta cần thêm số khái niệm sau: Lấy {xn }n1 sở X {xn }n1 n  xi  i 1 n 1 a x i 1 i i cho vô hướng {ai }i1 , với số nguyên n {xn }n1 co hàm song trực giao {xn }n 1 dạng sở X  Một dãy { X n }n 1 khơng gian đóng X gọi phân tích Schauder X x  X có đại diện dạng  x   xn , xn  X n với n n 1 Nếu dim( X n )   cho n, { X n }n 1 gọi phân tích Schauder hữu hạn chiều 3.6.1.Định lý Lấy X không gian Banach với sở co {en }n 1 { X n }n 2 , với X n khơng gian tuyến tính sinh tập Khi {ei  ei   ei  en : i1  i2   im 1  n} phân tích Schauder hữu m 1 hạn chiều cho ( m X ) Chứng minh : *Chúng ta chứng minh với m=2, trừơng hợp chung ta chứng minh tương tự Lấy {wn }n 1 hàm song trực giao X  sở X  Đầu tiên ta cho k k  xn  n2 k 1 x n n2 , xn  X n Thật : Đặt: xn   i 1  in ei  en ,   n 1 Khi có x , y   BX cho:  k n 1  n  i 1 k e  en in i  n 1      in ei  en , x  y   n  i 1 Lấy x   n 1 xn wn , y    n 1 yn wn Khi :  k n 1  k n 1    in ei  en , x  y      in ( xi yn  xn yi ) n  i 1 n  i 1 Đặt x1   n 1 xn wn , y1   n1 yn wn k k Do {wn } sở nên x1 , y1  Rõ ràng : k n 1 k 1 n 1  inei  en    n  i 1  n  i 1  e  en in i  Do đó: k x n2 n  k 1 x , xn  X n n n2  x Bây giả sử Khi đó: x1   0, xn  X n , n n2  x  0,suy x1  n n2  Ta giả sử x1   xk  0, k  Khi : xk 1  k 1 x n 2  n   x 0 n n 2  Suy : xn1  Bây ta { :    n 2  i 1  in ei  en } không gian tuyến  n 1 tính đóng ( X ) Thật vậy: lấy { n 2  i 1  ink ei  en }k 1 dãy Cauchy ( X )  n 1   Khi có k0  N cho: k n 1  n  i 1 k2 in k n 1 ei  en    ink ei  en  n  i 1  Cho số nguyên k2  k1  k0 Ta :  ink   in , k  , i, n Ta có : (12k  12k )e1  e2    , k2  k1  k0 Do đó: 12k  12 , 12 , i  1,2 (12k  12k )e1  e2  (13k  13k )e1  e3  ( 23k   23k )e2  e3 2   Suy :  (13k  13k )e1  e3  ( 23k   23k )e1  e3 , wi  w3   2 , i  1,2 2 Do  ik3   i ,  i , i  1,2 Giả sử ta có :  ink   in , n  1, , m ; i  1, , n  Khi đó: m 1 n 1  ( n  i 1 Ta có k2 in k2 i ( m 1)   ik( m 1) )e1  em1  2  Xét  kj ( m1)   kj ( m1)     ( i 1   ink ) ei  en  ( i 1 k2 i ( m 1)   ik( m1) )e1  em1  2  ta có :  kj( m1)   j ( m1) , j  1, , m  ink   in , n  1, , m ; i  1, , n Khi ta suy ra: n 1    n2 i 1 e  en   n2  i 1  in ei  en  k in i n 1 { :    n 2  in ei  en } khơng gian đóng ( X )  Suy ra: ( X )  { :    n2  i 1  in e1  en }   n 1 3.6.2.Định lý Lấy X X n định lý 3.6.1 Thì { X n }n 2 phân tích Schauder hữu hạn chiều cho ( X )  Chứng minh : Như định lý 3.6.1, chứng minh n=2 Đầu tiên ta cho k k x n2  n  k 1 x n2 , xn  X n n  lấy   ,    n2  i 1  in w1  wn  B(   n 1 X) thoả mãn: k x n2 n  k m n 1 n2 n  i 1      xn ,  in wi  wn  + m  k : Lấy 1   n 2  i 1  in w1  wn , n 1 k + m  k : Lấy Ta có : 1   Thì 1   theo địng lý 3.6.1 k  xn n2   k 1 x n2 , xn  X n n  Như ta biết cầu đơn vị ( X )  bao lồi đóng tập  {x  y : x  y  1} Điểm cực trị cấu E  F tất điểm e  f với e f điểm cực trị BE , BF Khi rõ ràng điểm cực trị cầu ( X )  tất điểm x  y , với x , y điểm cực trị BX x  y   KẾT LUẬN Như thấy Grothendick xây dựng đẳng cấu tự nhiên khơng gian tuyến tính L( X  Y ; Z ) không gian Banach B ( X  Y ; Z ) Theo sơ đồ sau X Y   K U X Y :  ( x, y )  U ( x  y ) Từ ơng chuẩn hợp lý tích tenxơ X  Y cảm sinh hai chuẩn : * Chuẩn nhỏ nhất, xem không gian B ( X  , Y  ) tính chất nội xạ làm rõ mệnh đề 2.2.6 “nếu Z không gian tuyến tính đóng   X Z Y khơng gian tuyến tính đóng X  Y ”, gọi chuẩn nội xạ  * Chuẩn lớn nhất, xem đối ngẫu với B(X;Y) tính chất xạ ảnh làm rõ qua mệnh đề 2.2.7 “nếu Y khơng gian tuyến tính đóng   khơng gian Banach X Z ( X / Y ) thương Z  X (với không gian Banach Z)”, gọi chuẩn xạ ảnh  Mô theo kết nghiên cứu Grothendick, khảo sát chuẩn tích ngồi  m X đại số đầy đủ  X , đối ngẫu : *Chuẩn xạ ảnh  định nghĩa  m X xem chuẩn cảm sinh  m X đối ngẫu với Bm ( X ) có định nghĩa: x i 1i   xmi    sup{  x1i   xmi ,  x1j   xmj  : i  x i 1i j   xmi   m X x j  1j   xmj  1}  *Chuẩn nội xạ  định nghĩa  m X  xem chuẩn khơng gian tuyến tính Bm ( X ) , từ suy chuẩn nội xạ  m X nhờ vào mệnh đề 3.1.1 " x  1i x  1i   xmi   m X    xmi   sup{  i x   xmi , x1   xm  : x1   xm  BX }"  1i  Và định nghĩa sau : x i 1i   xmi  sup{  x1i   xmi , x1   xm  : x1 , , xm  BX }   i Qua định lý 3.3.3 ta thấy hàm song tuyến tính   X  tích  phân chuẩn hàm song tuyến tính gọi chuẩn tích phân.Chúng tơi trình bày nhiều tính chất hai chuẩn tích ngồi khơng gian Banach Thơng qua chúng tơi có đưa vào ví dụ 3.4.1, 3.4.3 đại số Banach.Và mối liên hệ chuẩn nội xạ, xạ ảnh tích ngồi  m X với chiều hữu hạn Schauder thông qua định lý 3.6.1 định lý 3.6.2 Và đến chúng tơi nói, sở để xây dựng thành cơng đại số ngồi khơng gian Banach xác định chuẩn nội xạ chuẩn xạ ảnh tích ngồi khơng gian Banach Với thời gian trình độ có hạn, kết mà chúng tơi tìm hiểu cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy độc giả Tôi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Hà Thanh (2008), Bài giảng nhập môn đa tạp khả vi Nguyễn Hà Thanh (2008), Bài giảng nhập môn đa tạp Riemann Lê Anh Vũ, Bài giảng Chuyên Đề Tenxơ, Khoa Toán Tin Trường ĐHSP TP.HCM Tiếng Anh Anna Kaminska (2003),Trends in Banach Space and Operator Theory ,University of Memphis, pp.1-63 Andreas Defant, Klaus Floret (2003), Tensor norm and operator ideals, north Holland mathematics studies, pp.146-190 Ray mond A.Ryan (2002), Introduction to tensor product of Banach Spaces,Springer Monographs in Mathematics, pp.1-87 Diestel (1984), Sequences and Series in Banach Space, Springer- Verlag, New York Joseph Diestel, A.Grothendick, Jan H.Fourie, Johan Swart (2008), The metric theory of tensor products, American Mathematical Society, pp.1-22 Ramasinghege (1988), Multidimensional geometric moduli and exterior algebra of a Banach Space, PhD Thesis, The United State University 10 Diestel, J.J.Uhl Jr (1977), Vector Measure.Math, Surveys, Vol 15, Amer.Math.Soc, New York 11 Federer (1969), Grometric Measure Theory, Springer –Verlag, New York, pp.8-49 12 Http: //en.wikipedia.org/wiki ... khơng gian Banach công cụ để hiểu cấu trúc không gian Banach nghiên cứu nửa kỷ qua Người nghiên cứu Alexander Grothendieck Trên lý thuyết chuẩn không gian tuyến tính, chuẩn không gian Banach. .. đẳng cấu tự nhiên không gian tuyến tính L( X  Y ; Z ) không gian Banach B( X  Y ; Z ) , tích tenxơ xem khơng gian tuyến tính Trên sở Grothendieck xây dựng chuẩn tenxơ không gian Banach, cảm sinh...  T  ( S )   (T  S ) * Chú ý : T  S  S  T T(V) đại số gọi đại số tenxơ V 1.2 Đại số dạng 1.2.1 Các p-dạng (ngoài) X Cho X không gian vectơ n - chiều K  p  {w : X  X   X  K / w