Jacobson radical của các PI đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM LÊ LAN HƯƠNG JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG TRÊN MỘT VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Chuyên ngành : Đại số Mã số : 1.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Tp.HCM, 2005 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, xin gởi đến PGS-TS Bùi Tường Trí_Khoa Toán Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn này, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn TS Trần Huyên, PGS_TS Bùi Xuân Hải, TS Nguyễn Viết Đông, PGS-TS Mỵ Vinh Quang, Q thầy cô khoa Toán phòng Khoa Học Công Nghệ _ Sau Đại Học tham gia giảng dạy, quản lý lớp học, trực tiếp truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh , 2005 Học viên cao học khoá 13 Lê Lan Hương MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU HỆ THỐNG KÝ HIỆU CHƯƠNGI : CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ KHÔNG GIAO HOÁN I.1 : Tóm tắt kiến thức sở Trang I.2 : Caùc radical đại số Trang I.3 : Ideal nguyên tố ideal nửa nguyên tố Trang 12 CHƯƠNG II :CÁC PI-ĐẠI SỐ II.1 : Các định nghóa số kết hình thức Định lí Kaplansky-Amitsur-Levitzki Trang 17 II.2 : Các PI-đại số thoả mãn đồng thức qui mạnh Trang 38 II.3 : Địa phương hóa giao hoán Đại số nguyên tố thoả mãn đồng thức thật Trang 43 II.4 : Các định nghóa tương đương PI-đại số Trang 53 II.5 : Các đồng thức đại số Các PI-đại số phổ dụng Trang 57 CHƯƠNG III: JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG Trang 60 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO ™ TIẾNG ANH : [1] N JACOBSON LECTURE NOTES IN MATHEMATICS 441 PI_ALGEBRAS AN INTRODUCTION SPRINGER_VERLAG_BERLIN_HEIDELBERG_NEWYORK1975 [2] I.N HERSTEIN NON COMMUTATIVE RINGS A.M.S 1968 [3] M.F.ATIYAH, I.G MACDONALD INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY MASSACHUSETTS 1969 ™ TIẾNG VIỆT : [1] MỴ VINH QUANG ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG, BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 1998 [2]NGUYỄN CANG – NGUYỄN ĐĂNG PHẤT GIỚI THIỆU TÓM TẮT CUỘC ĐỜI VÀ SỰ NGHIỆP CÁC NHÀ TOÁN HỌC (TẬP II) NHÀ XUẤT BẢN TRẺ [3] NINH QUANG THĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC : VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ-1998 [4] NGUYỄN THỊ HỒNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC : ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ CÁC MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG TRÊN CÁC ĐẠI SỐ KHÁC-2004 LỜI MỞ ĐẦU Jacobson Nathan _ nhà toán học Mỹ gốc Ba Lan chuyên gia lónh vực Lý thuyết Vành Module Năm 1943, ông đưa khái niệm radical vành, giới toán học cho thỏa đáng khái niệm loại mà Gottfied Kother thuộc trường phái Emmy Nother đưa Người ta gọi Jacobson radical vành giao hoán A giao ideal tối đại A, ký hiệu : radA Jacobson chứng minh radA tập phần tử a A cho - ax, với x∈A, khả nghịch vành A Tổng quát hơn, A đại số không giao hoán Jacobson radical A định nghóa tập hợp tất phần tử A linh hóa tất mun bất khả quy A Trong luận văn này, dựa sở lý thuyết đại số không giao hoán PI-đại số, tìm hiểu tính chất Jacobson radical PI-đại số xem xét Jacobson radical PI-đại số phổ dụng vành giao hoán có đơn vị Luận văn gồm chương: Chương I: Chúng trình bày vấn đề đại số không giao hoán, khái niệm radical đại số, định nghóa tính chất ideal nguyên tố, ideal nửa nguyên tố Chương II: Chúng trình bày số định nghóa tính chất PIđại số, có trình bày định lí đồng thức đa thức, định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki Đồng thời, xem xét PI-đại số thỏa mãn đồng thức quy mạnh địa phương hóa giao hoán Từ đó, trình bày định nghóa tương đương PI-đại số, đưa khái niệm số tính chất PI-đại số phổ dụng Chương III: Chúng trình bày tính chất Jacobson Radical PIđại số phổ dụng HỆ THỐNG KÝ HIỆU Rad A : Jacobson Radical cuûa A ln(A) : lower nil radical cuûa A L(A) : levitzki nil radical cuûa A Un(A) : Upper nil radical cuûa A IΔ A : I ideal hai phía A I Δl A : I ideal trái A I Δ lmax A : I ideal trái tối đại A [x,y]=xy-yx : Giao hoán tử x y Tr(a) : vết ma trận a Sgn( π ) : dấu phép π [M :F] : số chiều M F B⊂ A : B chứa A Mn(K) : Tập hợp ma trận vuông cấp n K A[x] : Vành đa thức ẩn x A A[ x1 ,x , ,x n ] : Vành đa thức n ẩn x1 ,x , ,x n A End VF : Tập hợp phép biến đổi tuyến tính V F KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày số kết PI-đại số sau: ™ Định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki: Giả sử A đại số nguyên thủy Khi A thỏa mãn đồng thức thật A đại số đơn hữu hạn chiều tâm C Nếu d bậc nhỏ đồng thức thật A d = 2n số chẵn [A:C] = n2 , đồng thời A thỏa mãn đồng thức chuẩn Sd ™ Nếu A đại số thỏa mãn đồng thức quy mạnh bậc d ln(A) = L(A) = Un(A) ™ Bất kỳ đồng thức f(x1,…,xm) A đồng thức As (với As xem đại số K) Chiều ngược lại phần tử S quy A ™ Nếu A tích trực tiếp đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thật có bậc bị chặn ideal I ≠ (O) A có giao khác không với tâm C A ™ Các định nghóa tương đương PI-đại số: A PI-đại số ⇔ ∃ f đồng thức A: SfA = A m A PI-đại số ⇔ ∃ n, m : A thỏa mãn đồng thức S2n Sau đó, trình bày định nghóa số tính chất PI-đại số phổ dụng vành giao hoán có đơn vị K : ¾ Cho A PI-đại số vành giao hoán K I = I(A) tập tất đồng thức A Khi I T-ideal K{X} ¾ Một PI-đại số phổ dụng đại số có dạng U = UI = K{X}/I, m I T-ideal K{X} chứa S2n , với m, n ¾ Nếu U = K{X}/I PI-đại số phổ dụng U PI-đại số I ideal chứa tất đồng thức U Chúng chứng minh số tính chất Jacobson radical, Upper nil radical, Lower nil radical đại số A sau : œ Nếu A PI – đại số : ln(A) = L(A) = Un(A) ⊂ radA œ Nếu A PI – đại số nửa nguyên tố : ln(A) = L(A) = Un(A) = œ Nếu A PI – đại số nửa nguyên tố có tâm C thỏa ann A radC = A[ λ ] PI – đại số nửa nguyên thủy Khi đó, ta coù : ln(A[λ ]) = L(A[λ ]) = Un(A[λ ]) = rad(A[λ ]) = œ Đặc biệt : Nếu A PI – đại số phổ dụng radA nil ideal Khi : ln(A) = L(A) = Un(A) = radA œ Hơn nữa, U = K{X}/I PI-đại số phổ dụng, I= U PI-đại số phổ dụng giao hoán Mà PI-đại số phổ dụng giao hoán đại số đa thức với biến đếm biến giao hoán với Do đó, áp dụng kết radU Nil ideal vành đa thức n ẩn vành giao hoán có đơn vị K, có đường khác cách chứng minh trực tiếp để đến kết sau : Rad(K [x1 ,x , ,x n ] ) = Nil(K [x1 ,x , ,x n ] ) Tuy nhiên, việc tìm hiểu tính chất Jacobson Radical PIđại số, PI-đại số phổ dụng, nhiều khía cạnh khác PI-đại số cần tiếp tục nghiên cứu giải Đó chẳng hạn : xem xét ideal In gồm đồng thức Mn(K); ứng dụng PI-đại số đại số đơn tâm hữu hạn chiều trường, …vv, … Vì thời gian khả nghiên cứu hạn chế nên phần trình bày luận văn khó tránh khỏi thiếu sót.Kính mong Quý thầy cô bạn đồng nghiệp vui lòng bảo lượng thứ Thành phố Hồ Chí Minh, 2005 Người thực Lê Lan Hương CHƯƠNG I: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này, trình bày khái niệm kết sử dụng đến luận văn Trong đó, chủ yếu xét phạm trù đại số có đơn vị (không thiết giao hoán) vành giao hoán có đơn vị K Trừ rõ ràng, mun hiểu mun trái, ideal hiểu ideal hai phía I.1 TÓM TẮT NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Định nghóa I.1.1 A gọi đại số vành K nếu: A K_mun, A vành ∀ k ∈ K, ∀ a,b ∈ A: k(ab) = (ka)b = a(kb) Định nghóa I.1.2 Cho A K_đại số Đại số đối A, ký hiệu Ao, đại số mà Ao = A K_mun tích a ∗ b xác định a ∗ b = b.a, với ∀ a,b ∈ A Định nghóa I.1.3 Nếu A,B K_đại số, M K_mun A_B_song mun A_mun trái, B_mun phải có tính chất kết hợp sau đây: (ax)b = a(xb), ∀ a ∈ A, b ∈ B, x ∈ M Löu ý: • Tích tenxơ mun đại số, trừ trường hợp đặc biệt, hiểu tích tenxơ K Ta viết M ⊗ N thay M ⊗K N • Nếu A, B K_ đại số A ⊗ B K_ đại số 57 II CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA MỘT ĐẠI SỐ_ CÁC PI- ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG Định nghóa II.5.1 T-ideal K{X} ideal ổn định với tự đồng cấu K{X}, nghóa là: I T-ideal K{X}, f ∈ I η : K{X} → K{X} tự đồng cấu K{X} ηf ∈ I Mệnh đề II.5.1 Cho A PI-đại số vành giao hoán K I = I(A) tập tất đồng thức A Khi I T-ideal K{X} Chứng minh Vì I tập tất đồng thức A nên theo định nghóa II.4.1 ta coù: I = {f = f(x1, …, xm) ∈ K{X}/ ϕ f = với đồng cấu ϕ: K{X} → A} Giả sử η : K{X} → K{X} tự đồng cấu K{X} ϕ : K{X}→ A đồng cấu từ K{X} vào A Khi ϕ η: K{X} →A đồng cấu từ K{X} vào A Lấy f ∈ I thì: ϕ η f = ⇒ϕ (η f) = Suy ra: η f ∈ I Vậy I T-ideal K{X} ■ Lưu ý: *Nếu g1, g2,… dãy vô hạn phần tử K{X} tồn tự đồng cấu η : K{X} → K{X} cho: xi ↦ gi , i = 1, 2, … tự đồng cấu có theo cách Do ideal N T-ideal nếu: với f = f (x1,…,xm) ∈ N, ∀ g1,g2,…, gm ∈ K{X}thì f (g1,…, gm) ∈ N 58 * Nếu A PI-đại số I = I(A) theo mệnh đề II.4.4 ta có: m I chứa đồng thức S2n A, với m, n Định nghóa II.5.2 Một PI-đại số phổ dụng đại số có dạng U = UI = K{X}/I , : I m T-ideal K{X} chứa S2n , với m, n Nhận xét: ™ Ta viết ū = u+ I, u ∈ K{X} Khi đó: U = { ū / u ∈ K{X}} ™ Neáu A PI-đại số, I = I(A) U = K{X}/I U PI-đại số phổ dụng ™ Nếu a1, a2,… ∈ A tồn đồng cấu : ϕ :U→A x i ↦ai Mệnh đề II.5.2 Nếu U = K{X}/I PI-đại số phổ dụng U PI-đại số I ideal chứa tất đồng thức U Chứng minh *Giả sử U = K{X}/I PI-đại số phổ dụng Lấy f = f (x1,…, xm) ∈ I vaø η : K{X} → U đồng cấu cho: f (x1,…, xm) ↦ f (ηx1,…, ηxm) Ta vieát: ηxi = gi + I Khi đó: f (g1,…, gm) ∈ I, I T-ideal Vì f (ηx1,…, ηxm) = f (g1 + I,…, gm + I) = f (g1,…, gm) + I = I Suy ra: ηf = với đồng cấu η : K{X} → U ⇒ f đồng thức U m Nói riêng, ta có S2n đồng thức U Do theo mệnh đề II.4.4, ta có U PI-đại số 59 * Bây giờ, cho f = f (x1,…,xm) đồng thức U Khi đó, với đồng cấu ϕ : K{X} → xi ↦ U cho x i = xi + I ,với i = 1, 2, … ϕ f = (do U PI-đại số) ⇒f ( x1 ,…, x m ) = ⇒f (x1,…,xm) + I = I ⇒f (x1,…,xm) ∈ I Vậy I ideal chứa tất đồng thức U ■ Nhận xét: Theo mệnh đề II.5.2, PI-đại số phổ dụng U PI-đại số nên ta có: ln (U) = Un(U) (do mệnh đề II.4.1) Do đó, U nửa nguyên tố ln(U) = ( mệnh đề I.3.4)⇒ Un(U) = ⇒U không chứa nil ideal khác ⇒ U[λ] nửa nguyên thủy Định nghóa II.5.3 Cho A đại số, I ∆ A Khi đó: ™ rad (I) ideal R cuûa A cho: R/ I = rad (A/I) ™ Un(I) ideal N A cho: N/I = Un(A/I) 60 CHƯƠNG III: JACOBSON RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ PHỔ DỤNG Kết trình bày phần mệnh đề III.1: Mệnh đề III.1: Cho U = K{X}/I PI-đại số phổ dụng Khi đó, rad U nil ideal Để chứng minh mệnh đề này, trước hết chứng minh bốn bổ đềsau: Bổ đề III.1.1 Nếu I T-ideal K{X} radical R I upper nil radical N I T-ideal Nếu I T-ideal, I’ ⊃ I annK{X} I’/I T-ideal Chứng minh * Chứng minh R T-ideal: Lấy g(x1,…,xm)∈ R Chúng ta cần chứng minh: ∀ f1,…,fm, f ∈ K{X} : g(f1,…,fm)f + I tựa quy K{X}/I Giả sử f = f (x1,…,xm), ta có: Vì g(x1,…,xm)∈R nên g(x1,…,xm).f (xm+1,…,x2m)+ I tựa quy K{X}/I Do ∃ l ∈ K{X} cho: g(x1,…,xm) f (xm+1,…,x2m) + l - g(x1,…,xm) f (xm+1,…,x2m) l ≡ (mod I) g(x1,…,xm) f (xm+1,…,x2m) + l - l g(x1,…,xm) f (xm+1,…,x2m)≡ (mod I) Xeùt tự đồng cấu η : K{X} Do I T-ideal nên: → K{X} định bởi: xi ↦ fi xm+i ↦ xi ; 1≤ i ≤ m 61 g(f1,…,fm) f (x1,…,xm) + l’ - g(f1,…,fm) f (x1,…,xm) l’ ≡ (mod I) g(f1,…,fm) f (x1,…,xm) + l’ - l’ g(f1,…,fm) f (x1,…,xm) ≡ (mod I) Vì g (f1,…,fm) f + I tựa quy với f ∈ K{X} vàø g(f1,…,fm) ∈ R Suy R T-ideal *Chứng minh N T-ideal: Lấy g(x1,…,xm) ∈N Chúng ta cần chứng minh: ∀ f1,…,fm ∈ K{X}thì g(f1,…,fm ) luỹ linh theo mod I Thật vậy, g(x1,…,xm)∈N nên g(x1,…,xm )+ I luyõ linh K{X}/I ⇒∃n : [g(x1,…,xm)]n ≡ (mod I) Xét tự đồng cấu ψ : K{X} xi → K{X} định bởi: ↦ fi ; 1≤ i ≤ m Do I T-ideal nên [g(f1,…,fm )]n ≡ (mod I) ⇒g(f1,…,fm )luỹ linh theo mod I Vậy g(f1,…,fm ) ∈N ⇒ N T-ideal *Chứng minh annK{X} I’/I T-ideal: Đặt B = annK{X} I’/I Lấy g(x1,…,xm) ∈ B.Chúng ta cần chứng minh: ∀ f1,…,fm∈K{X}, ∀ f ∈I’: g(f1,…,fm).f ≡ (mod I) , f g(f1,…,fm) ≡ (mod I) Thật vậy, g(x1,…,xm) ∈ B nên: g(x1,…,xm).f ≡ (mod I) vaø f g(x1,…,xm) ≡ (mod I) Xét tự đồng cấu γ : K{X} xi → K{X} định bởi: ↦ fi ; 1≤ i ≤ m Do I T-ideal nên : g(f1,…,fm).f ≡ (mod I) , f g(f1,…,fm) ≡ (mod I) 62 Suy g(f1,…,fm ) ∈ B.Vậy B T-ideal ■ Bổ đề III.1.2 Cho A đại số nửa nguyên tố, I ∆ A B = annA I (linh hóa tử bên trái I A).Khi đo ù: A/B nửa nguyên tố annA/B (I+B)/B = Chứng minh • Giả sử N ∆ A , N ⊃ B : N2 ⊂ B Khi : N2 I = (vì B = annA I) ⇒(NI)2 = NI NI ⊂ N2I = ⇒NI= 0(do A nửa nguyên tố) ⇒N ⊂B Do N/B ∆ A/B : (N/B)2 = N/B = 0.Suy A/B nửa nguyên tố • Đặt annA/B (I+B)/B = P/B Khi đó: P = {p / pI ⊂ B} Suy ra: PI ⊂ B ⇒PI2 = (vì PI2 ⊂ BI = 0) ⇒PI = (do A nửa nguyên tố) ⇒ P ⊂ B ⇒ annA/B (I+B)/B = ■ Bổ đề III.1.3 Cho A PI-đại số nửa nguyên tố có tâm C thỏa:annA radC = Khi đó: đồng thức f A tổng đồng thức hoàn toàn fi cho: ht fi ≤ ht f fi trộn f trộn Chứng minh * Ta vieát: d f = f (x1,…, xm) = ∑ fi (x1,…, xm), với degx fi = i i=0 Ta chứng minh fi đồng thức A Lấy c ∈ rad C vaø a1, a2,…,am ∈ A : 63 Vì f(cj a1, a2,…,am ) = (do f đồng thức A) với ≤ j ≤ d nên tương tự phép chứng minh mệnh đề II.3.1 ta thu được: ce [1 – c h(c)] ui = đó: ui = fi (a1,…,am ) h(c) ∈ Z[c], e = (d3- d)/3 Khi đó: ch(c) ∈ rad C ⇒1 - ch(c) khả nghịch C Vì vậy: ce ui = ⇒ (cuiA)e = mà A nửa nguyên tố ⇒ c ui = ⇒ui ∈ annA radC ⇒ ui = , annA radC = ⇒fi ( a1,…,am ) = , ∀ ∈ A ⇒fi đồng thức A * Bây giờ, fi theo x1 , ht fi ≤ ht f, fi trộn hay theo xj f có tính chất này.Lặp lại trình chứng minh với x2, x3,… có điều phải chứng minh ■ Bổ đề III.1.4 Cho A PI-đại số nửa nguyên tố có tâm C thỏa : annA radC = H đại số giao hoán K Khi đồng thức A đồng thức AH = H ⊗K A Chứng minh: Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử ∃ f đa thức có chiều cao tối thiểu thỏa: f đồng thức A f không đồng thức H ⊗K A Chúng ta giả sử f trộn hoàn toàn (do bổ đề III.1.3) Giả sử xi có mặt f xj mặt f Khi ∆ij f có chiều cao thấp f ∆ij f đồng thức A.Vì ∆ij f đồng thức AH = H ⊗K A (do giả thiết phản chứng) 64 Do đó: a’1, a’2,…,a’m , b’i ∈ AH : f(a’1,…, a’i + b’i, a’i+1, …,a’m ) = f (a’1,…, a’i,…,a’m ) + f (a’1,…, b’i,…,a’m ) , ∀ i Suy : với a’1,…,a’m ∈ AH f (a’1,…,a’m ) tổng số hạng có dạng f(h1 ⊗ a1,h2 ⊗ a2,…,hm ⊗ am), với hi ∈ H, ai∈ A Vì f hoàn toàn H giao hoán nên : r r r f(h1 ⊗ a1,…,hm ⊗ am) = h1 h2 … hm m ⊗ f (a1,…,am ) , với ri = degxi f Do f đồng thức A f đồng thức AH Mâu thuẫn với giả thiết phản chứng ■ Lưu ý:Bổ đề III.1.4 áp dụng H = K[λ] ta có: A[λ] = AK[λ] thỏa mãn tất đồng thức A Do A[λ] PI-đại số Bây sẵn sàng để chứng minh mệnh đề III.1 : * Ta có: R ⊃ N ⊃ I, với R = rad I, N = Un(I).Do bổ đề III.1.1 ta có: R , N B =annK{X} R/N T-ideal Hơn nữa, K{X}/N nửa nguyên tố B/N=annK{X}/NR/N nên theo bổ đề III.1.2 ta có: K{X}/B ≅ (K{X}/N)/(B/N) nửa nguyên tố annK{X}/B (R+B)/B = Chúng ta cần chứng minh R = N Điều có ta chứng minh R ⊂ B Vì : R ⊂ B ⇒ R2 ⊂ BR ⊂ N (do B = annK{X} R/N) ⇒R ⊂ N (do U/N không chứa ideal lũy linh khác 0) ⇒R = N Rõ ràng, (R + B)/B ⊂ rad K{X}/B Nếu thay I B ta có thu gọn mệnh đề là: U nửa nguyên toá, N = I, annK{X} R/I = I 65 *Gọi C tâm U = K{X}/I Ta chứng minh annU radC = Laáy b ∈ annU radC ⇒ b ∈ annU (rad U) ∩ C (vì (rad U) ∩ C ⊂ radC) Khi [C ∩ (radU) b (radU)]2 = vì: ⎧c ∈ C Lấy c ∈ C ∩ (radU)b(radU) ⇒ ⎨ ⎩ c ∈ (radU)b(radU) ⊂ radU ⇒ c ∈ (radU) ∩ C ⇒ bc = cb = 0, b∈ annU (rad U) ∩ C Do c ∈ C neân c(radU)b(radU) = Do [C ∩ (radU)b(radU)]2 = Hơn nữa, U nửa nguyên tố nên : C ∩ (radU)b(radU) = Theo mệnh đề II.3.2 ta có: (radU)b(radU) = ⇒(b radU)2 = ⇒ b radU = (do U nửa nguyên tố) ⇒ b ∈ annU radU ⇒ b ∈ ann U (R + B)/ B ⇒ b = Vaäy annU radC = Như ta chứng minh : U PI-đại số nửa nguyên tố có tâm C thoả annU radC = nên theo nhận xét bổ đề III.1.4 ta có: U[λ] thỏa mãn đồng thức U Mà U[λ] ⊃ U ⇒U thỏa mãn đồng thức U[λ] nên U U[λ] có đồng thức *Lấy f ∈ R η : K{X} → U[λ] đồng cấu Vì U[λ] có tập đếm phần tử sinh nên tồn toàn cấu từ K{X} vào U[λ] Giả sử tồn toàn cấu ξ : K{X} → U[λ] thỏa ξ f = ηf Lấy g ∈ I ⇒g đồng thức U (do mệnh đề II.5.2) ⇒ g đồng thức U[λ] ⇒ ξ g = Dó ξ I = Ta xét toàn cấu cảm sinh ξ : K{X}/I → U[λ] y+I↦ ξy 66 Xét toàn cấu hạn chế rad K{X}/I vào rad U[λ] ta có: Do U[λ] nửa nguyên thủy nên : rad U[λ] = 0⇒ ξ R/I = ⇒ ξ R = ⇒ ξ f = , ∀ f ∈ R ⇒ηf = ξ f = 0, với đồng cấu η: K{X}/I → U[λ] ⇒f đồng thức U[λ] ⇒ f đồng thức U ⇒f ∈ I ⇒ R ⊂ I ⇒ R ⊂ B.■ Từ việc chứng minh mệnh đề III.1 ta có kết sau : Hệ quả1: Nếu U PI-đại số nửa nguyên tố có tâm C thỏa ann U radC = U[λ ] PIđại số nửa nguyên thủy Khi : ln(U[λ ]) = L(U[λ ]) = Un(U[λ ]) = rad(U[λ ]) = Chứng minh: Hệ suy từ bổ đề III.1.4 mệnh đề I.2.2 ■ Hệ 2: Nếu U PI-đại số phổ dụng : ln(A) = L(A) = Un(A) = radU Chứng minh : Hệ suy từ mệnh đề III.1 mệnh đề II.4.1 ■ Bây giờ, dùng mệnh đề III.1 để soi sáng kết đại số giao hoán mà trước để nhận kết ta phải đường mang tính sơ cấp dài Đó : đại số đa thức với số đếm biến giao hoán Radical Jacobson với Nil Radical Trước tiên, thử nhìn lại đường xây dựng kết mà đại số giao hoán làm 67 Trong phần này, ta ký hiệu Nil(A) nil radical A, giao ideal nguyên tố vành giao hoán có đơn vị A Mệnh đề III.2 Trong vành đa thức ẩn K[x] ta có : Rad(K[x]) = Nil(K[x]) Để chứng minh mệnh đề này, cần quan tâm đến số kết vành giao hoán: Bổ đề III.2.1 i) Cho x phần tử lũy linh K Khi 1+x khả nghịch K ii) Tổng phần tử khả nghịch phần tử lũy linh khả nghịch Bổ đề III.2.2 Cho f = a0 + a1x + + an x n ∈ K[x] Khi : i) ⎧a0 khả nghịch K f khả nghịch K[x] ⇔ ⎨ ⎩a1 , a2 , , an luõy linh K ii) f luõy linh K[x] ⇔ a0 , a1 , , an luõy linh K Bổ đề III.2.3 Nil(K[x]) = {f = a0 + a1x + + an x n ∈ K[x] / a0 , a1 , , a n luõy linh K} Chứng minh mệnh đề III.2 + Ta có Rad(K[x]) ⊃ Nil(K[x]) : ƒ Rad(K[x]) giao hoán tất ideal tối đại K[x] ƒ Nil(K[x]) giao tất ideal nguyên tố K[x] ƒ Ideal tối đại ideal nguyên tố + Ta có Rad(K[x]) ⊂ Nil(K[x]) : Laáy f ∈ Rad(K[x]), f = a0 + a1x + + an x n 68 ⇒ 1- fk khả nghịch, ∀ k ∈ K[x] Chọn k = x : – fx = – ( a0 x + a1x + + an x n +1 ) khaû nghòch K[x] ⇒ a0 , a1 , , a n lũy linh K (do bổ đề III.2.2) ⇒ f ∈ Nil(K[x]) (do bổ đề III.2.3) Vậy ta chứng minh Rad(K[x]) = Nil(K[x]) ■ Sau đây, mở rộng kết mệnh đề III.2 vành đa thức nhiều ẩn Tuy nhiên, để rõ ràng hơn, trước tiên trình bày sơ lược số ký hiệu phép toán vành đa thức nhiều ẩn Thật vậy, K[x1, x2] = (K[x1])[x2] nên phần tử f K[x1, x2] viết dạng : f = a0 (x1 ) + a1 (x1 )x + + an (x1 )x 2n : ai(x1) ∈ K[x1], (x1 ) = b i0 + b i1x1 + b i2 x12 + + b im i x1m i , ∀i = 0,n Vì K[x1, x2] vành nên ta có phép nhân phân phối phép cộng, f viết daïng sau : f = c1x1a11 x a212 + c2 x1a21 x a222 + + cm x1am1 x a2m2 với ci ∈ K, ∀ i = 0,m ; (ai1 ,ai2 ) ≠ (a j1 ,a j2 ), ∀i ≠ j ci giao hoán với x1, x2 x1 giao hoán với x2 Bằng quy nạp, đa thức f vành K[ x1 , x , , x n ] viết dạng : f = c1x1a11 x a212 x an1n + c2 x1a21 x a222 x an2n + + cm x1am1 x a2m2 x anmn với (1) ci ∈ K, ∀ i = 1,m , gọi hệ tử đa thức f (ai1 ,ai2 , ,ain ) ≠ (a j1 ,a j2 , ,a jn ), ∀i ≠ j ci giao hoán với x1 , x , , x n x1 , x , , x n giao hoán với Như thế, giả sử cho f, g ∈ K[ x1 , x , , x n ] với f có dạng (1) 69 a21 a22 am1 am 2n mn g= d1x1a11 x 2a12 x1n n + d x1 x x n + + d m x1 x x n Khi đó, f = g ⇔ ci = di, ∀ i = 1,m f = ⇔ ci = 0, ∀i = 1,m Hơn nữa, tính chất phép toán vành K[ x1 , x , , x n ] ta có tổng, hiệu, tích f g : f ± g= m ∑ (c i=1 f.g = ∑c d x i,j i i ± d i )x1ai1 x 2ai x inn ai1 + a j1 j a + a j2 x 2i a + a jn .x nin với i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, m Tương tự, vành K[x], K[x1, x2], có kết sau : Mệnh đề III.3 Rad(K[x1, x2]) = Nil(K[x1, x2]) Để cho việc trình bày chứng minh rõ ràng, trước tiên chứng minh bổ đề sau : Bổ đề III.3.1 i) f khả nghịch K[x1, x2] ⇔ ii) f lũy linh K[x1, x2] ⎧ hệ tử tự khả nghịch K ⎨ ⎩các hệ tử lại lũy linh K ⇔ hệ tử f lũy linh K Chứng minh : Giả sử f = f0 + f1x + + fn x n2 với fi ∈ K[x1], ∀i = 0,n vaø fi = i) f khả nghịch K[x1, x2] ⎧f0 khả nghịch K[x1 ] ⎨ ⎩f1 ,f2 , , fn luõy linh K[x1 ] (bổđềIII.2.2) ⇔ mi ∑b x j=0 j ij 70 ⎧⎪ b 00 khả nghịch K, b0j luõy linh K, ∀j = 1,m ⎨ ⎪⎩ b ij luõy linh K, ∀i = 1,n , ∀j = 0,m i ⇔ ⎧ hệ tử tự khả nghịch K ⇔⎨ ⎩các hệ tử lại luõy linh tronh K ii) f luõy linh K[x1 ,x ] ⇔ (Bổ đề III.2.2) f0 , f1 , , fn luõy linh K[x1 ] ⇔ b ij luõy linh K, ∀i = 0,n , ∀j = 0,m i ⇔ hệ tử f lũy linh K ■ Bổ đề III.3.2 Nil( K[x1 ,x ] ) = {f ∈ K[x1 ,x ] / hệ tử f lũy linh K} Chứng minh : Ta có : f ∈ Nil( K[x1 ,x ] ) ⇔ f luõy linh K[x1 ,x ] ⇔ hệ tử f lũy linh K (bổ đề III.3.1).■ Chứng minh mệnh đề III.3 : + Ta coù Nil( K[x1 ,x ] ) ⊂ Rad(K[x1,x2]) vì: ƒ Nil( K[x1 ,x ] ) giao tất ideal nguyên tố cuûa K[x1 ,x ] ƒ Rad( K[x1 ,x ] ) giao tất ideal tối đại K[x1 ,x ] ƒ Ideal tối đại ideal nguyên tố + Hơn nữa, Rad( K[x1 ,x ] ) ⊂ Nil( K[x1 ,x ] ) : Lấy f ∈ Rad( K[x1 ,x ] ) Giả sử f = f0 + f1x + + fn x 2n , với fi ∈ K[x1 ], ∀i = 0,n ⇒ 1-fk khả nghịch K[x1 ,x ] , ∀ k∈ K[x1 ,x ] Chọn k = x2 Khi đó: 71 1-fx2 = − ( f0 x + f1x 2 + + fn x n +1 ) khả nghịch K[x1 ,x ] ⇒ hệ tử f lũy linh K(do bổ đề III.3.1) ⇒ f ∈ Nil( K[x1 ,x ] ) (do bổ đề III.3.2) Vậy Rad( K[x1 ,x ] ) = Nil( K[x1 ,x ] ).■ Baèng quy nạp, từ mệnh đề III.2 mệnh đề III.3, có kết sau : Mệnh đề III.4 Rad( K[x1 ,x , ,x n ] ) = Nil( K[x1 ,x , ,x n ] ) Đến đây, trở lại với việc xem xét PI-đại số phổ dụng U=K{X}/I trường hợp I=, với [x1,x2]=x1x2 - x2x1 Khi U PI-đại số phổ dụng giao hoán Thật vậy, f ∈ I ⇒ f đồng thức U (do mệnh đề II.5.2) Do đó, lấy f=[x1,x2] : ∀u1 , u2 ∈ U , ta có : u1 u2 = u2 u1 Mà nữa, PI-đại số phổ dụng giao hoán đại số đa thức với biến đếm biến giao hoán với Nên áp dụng mệnh đề III.1 vành đa thức n ẩn vành giao hoán có đơn vị K ta có mệnh đề III.4 Như thế, thông qua việc xem xét tính chất Jacobson Radical PI-đại số phổ dụng U = K{X}/I, xét trường hợp đặc biệt I = có đường khác để đến kết vành đa thức n ẩn vành giao hoán có đơn vị K : rad( K[x1 ,x , ,x n ] ) = Nil( K[x1 ,x , ,x n ] ) ... này, dựa sở lý thuyết đại số không giao hoán PI- đại số, tìm hiểu tính chất Jacobson radical PI- đại số xem xét Jacobson radical PI- đại số phổ dụng vành giao hoán có đơn vị Luận văn gồm chương:... A PI – đại số phổ dụng radA nil ideal Khi : ln(A) = L(A) = Un(A) = radA œ Hơn nữa, U = K{X}/I PI- đại số phổ dụng, I= U PI- đại số phổ dụng giao hoán Mà PI- đại số phổ dụng giao hoán đại. .. đương PI- đại số: A PI- đại số ⇔ ∃ f đồng thức A: SfA = A m A PI- đại số ⇔ ∃ n, m : A thỏa mãn đồng thức S2n Sau đó, trình bày định nghóa số tính chất PI- đại số phổ dụng vành giao hoán có đơn vị K